chuyên đề nguyên hàm

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
( 3 tiết )
I. Nội dung của chuyên đề
1. Nguyên hàm và tính chất
2. Phương pháp tính nguyên hàm
II. Chuẩn kiến thức, kĩ năng, thái độ và những phẩm chất, năng lực
1. Kiến thức
- Hiểu khái niệm nguyên hàm của một hàm số
- Biết các tính chất cơ bản của nguyên hàm
2. Kỹ năng
- Tìm được nguyên hàm của một số hàm đơn giản dựa và bảng nguyên hàm và cách
tính nguyên hàm từng phần.
- Sử dụng được phương pháp đổi biến số để tính nguyên hàm.
3. Tư duy, thái độ
- Xây dựng tư duy logic, biết nhận dạng các bài tập về dạng quen thuộc.
- Giáo dục tính cẩn thận, chính xác trong lập luận, tính toán
- Rèn luyện ý thức kỷ luật, tinh thần trách nhiệm, tích cực hợp tác nhóm, chủ động
hồn thành nhiệm vụ được giao.
4. Định hướng hình thành và phát triển các năng lực
- Năng lực tính tốn trên các tập hợp số.
- Năng lực sử dụng ngơn ngữ tốn học (cơng thức, kí hiệu).
- Năng lực sử dụng cơng cụ tính tốn (MTCT).
- Năng lực giải quyết vấn đề.
- Năng lực hợp tác nhóm.
- Năng lực giao tiếp.
III. Bảng mơ tả các mức độ nhận thức, biên soạn câu hỏi và bài tập
1. Bảng mô tả các chuẩn được đánh giá
Nội
dung
kiến
thức

1.
Khái
niệm
nguyên
hàm

Nhận biết
- Phát biểu được định
nghĩa nguyên hàm.
- Trong một số trường
hợp đơn giản nhận ra
được hàm số có là
nguyên hàm của hay
khơng?
Ví dụ 1.1
a) Phát biểu định
nghĩa ngun hàm
của một hàm số?
b) Hàm số nào sau
đây là nguyên hàm
của hàm số ?
Phát biểu được công
thức nguyên hàm của
một số hàm số đơn
giản thường gặp

2.

Thông hiểu

Vận dụng thấp

- Sử dụng định nghĩa
để giải thích được
một hàm số là hay
khơng là nguyên
hàm của .

- Sử dụng định
nghĩa để tìm được
nguyên hàm của
một số hàm số đơn
giản.

Ví dụ 1.2
a) Tại sao là một
nguyên hàm của
hàm số .
b) Các hàm số là
nguyên hàm của các
hàm số nào?
Sử dụng cơng thức
để giải thích được
hàm số là nguyên
hàm của .

Vận dụng cao

- Sử dụng định

nghĩa để tìm
được nguyên hàm
của một hàm số
đơn giản thỏa
mãn một điều
kiện cho trước.
Ví dụ 1.3
Ví dụ 1.4
Dựa vào định
a) Tìm nguyên
nghĩa nguyên hàm, hàm của hàm số
tìm nguyên hàm
biết .
của các hàm số
b) Tìm nguyên
a)
hàm của hàm số
b)
biết .
Sử dụng cơng thức
để tìm được
ngun hàm của
một số hàm số đơn
giản.

Sử dụng cơng
thức để tìm được
ngun hàm của
một số hàm số
phức tạp hơn

1


Nguyên
hàm
của
một số
hàm
số
thường
gặp

Ví dụ 2.1
a) Nêu bảng nguyên
hàm của một số hàm
số đơn giản thường
gặp?
b) Nguyên hàm của
hàm số là hàm số
đúng hay sai?
- Nêu lên được một số
3. Một tính chất cơ bản của
số tính
nguyên hàm.
chất cơ - Nhận ra được cơng
bản của thức diễn tả cho một
tính chất của nguyên
nguyên hàm.
hàm
Ví dụ 3.1

a) Nêu một số tính
chất cơ bản của
nguyên hàm?
b) Giả sử là hàm số
liên tục trên khoảng J,
các mệnh đề sau đúng
hay sai?

Ví dụ 2.2
Giải thích tính đúng,
sai trong mỗi phần
sau
a)

4. Một
số
phương
pháp
tìm

Giải thích được các
bước tính ngun
hàm bằng phương
pháp đổi biến số
hoặc lấy nguyên
hàm từng phần
Ví dụ 4a.2
Tìm lỗi sai trong lời
giải sau
Tính

Giải.
Đặt , khi đó
=
= =

Phát biểu ( viết ra
được) cơng thức tính
ngun hàm bằng
phương pháp đổi biến
số hoặc lấy nguyên
hàm từng phần
nguyên Ví dụ 4a.1
hàm
a) Phát biểu cơng
thức biểu diễn cách
a)
đổi biến số khi tính
Phương nguyên hàm?
pháp
b) Nêu các bước thực
đổi biến hiện khi tính nguyên
số
hàm bằng phương
pháp đổi biến số?
Ví dụ 4b.1
a) Phát biểu cơng
thức biểu diễn cách
lấy ngun hàm từng
phần khi tính ngun
hàm?

b)
b) Nêu các bước thực
Phương hiện khi tính nguyên
pháp lấy hàm bằng phương
nguyên pháp lấy nguyên hàm
hàm
từng phần?
từng

Ví dụ 2.3
Tính
a)

Ví dụ 2.4
Tính
a)

b)

b)

Giải thích được các
bước tính nguyên
hàm dựa vào tính
chất của nguyên
hàm.

Tìm được nguyên
hàm của một hàm
số khi sử dụng chỉ

một tính chất của
nguyên hàm

Phối hợp các tính
chất của nguyên
hàm để tìm
ngun hàm của
một hàm số

Ví dụ 3.2
Giả sử và là các
hàm số liên tục trên
khoảng J, các mệnh
đề sau đúng hay sai?

Ví dụ 3.3
Tính

Ví dụ 3.4
Tính
a)

b)

 (x  2 x
3

a)

2

)dx

b)

b)

Ví dụ 4b.2
Cơng thức sau đúng
hay sai? Vì sao?

Tính được ngun
hàm của một hàm
số khi đã chỉ rõ
phương pháp

Tính được
nguyên hàm của
một hàm số khi
chưa chỉ rõ
phương pháp

Ví dụ 4a.3
Tính các nguyên
hàm sau bằng
phương pháp đổi
biến số
a)
( Đặt )
b)

( Đặt )
Ví dụ 4b.3
Tính các nguyên
hàm sau bằng
phương pháp lấy
nguyên hàm từng
phần
a)

Ví dụ 4a.4
Tính các nguyên
hàm
a)
b)

Ví dụ 4b.4
Tính các nguyên
hàm
a)
b)

b)

2


phần

2. Câu hỏi và bài tập (có phụ lục đính kèm)
Chuẩn được đánh giá

Bài tập
Nhận biết được nguyên hàm cần tính là Bài tập: Tính các nguyên hàm sau
các hàm thường gặp và áp dụng công thức,
(x 3  2 x 2 )dx
tính chất của nguyên hàm để tính được

4xdx
a) 
1 e)
nguyên hàm của các hàm số đó
1


 sin  2x  4  dx
2 c)
2 h)

1


2 i) cos

 sin xdx

2

t

ds

Hiểu Dễ dàng tính được các nguyên hàm Bài tập: Tính các nguyên hàm sau
dựa vào bảng nguyên hàm hoặc đổi biến
xcosxdx
sin4 xcosxdx

2 a)
2 b) 
hay từng phần đơn giản
2

2 f)

 (x

3 b)

 ln(x

 5)sin xdx
2

 1)dx

x

2 g)

 e .cos xdx

3 c)

 ln xdx

x

xe dx
4 a) 
Xác định được mối quan hệ giữa hàm số
dưới dấu nguyên hàm với các hàm thường
gặp để từ đó sử dụng các kiến thức liên
quan phân tích, biểu diễn hàm số đó theo
các hàm thường gặp. Vận dụng cơng thức
ngun hàm và tính chất suy ra nguyên
hàm cần tính.
Xác định được mối quan hệ giữa hàm số
dưới dấu nguyên hàm với các hàm thường
gặp để từ đó sử dụng các kiến thức liên
quan phân tích, biểu diễn hàm số đó theo
các hàm thường gặp. Tuy nhiên việc phân
tích biểu diễn hàm số dưới dấu ngun
hàm địi hỏi học sinh phải có kỹ năng phân
tích biến đổi ở mức độ cao hơn mơi có thể
thấy được mối quan hệ với các hàm cơ
bản. Sau đó Vận dụng cơng ngun hàm
và tính chất suy ra ngun hàm cần tính.

Bài tập: Tính các nguyên hàm sau
2x 2  3x  4
2x  1
dx

 2x  1 dx
 x
1 d)
1 e)
x 1
 x.e dx
2

4 b)

3 d)

Bài tập: Tính tích phân
1 f)



dx
(1 x2)3
2k )

2 i)


2 h)

3 e)

ln(1 x)
x2

dx

IV. Tiến trình dạy học chuyên đề
1. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
- Chuẩn bị của giáo viên:
+ Kế hoạch dạy học,
+ Các phiếu học tập sử dụng trong chuyên đề
+ Bảng phụ (Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp, hàm mở rộng)
- Chuẩn bị của HS: Sách, vở, nháp, ôn tập các kiến thức liên quan bài học
3


2. Phương pháp dạy học
Thảo luận nhóm, sử dụng phương tiện dạy học trực quan, đàm thoại, tình huống,
động não, giảng giải, thuyết trình
3. Thiết kế tiến trình dạy học chuyên đề
Hoạt động khởi động:
a) Mục tiêu: Củng cố bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản
b) Phương tiện: Bảng phụ về bảng đạo hàm
c) Tổ chức dạy học: ( cá nhân, cả lớp )
1. GV cho HS độc lập trả lời các câu hỏi sau
Tính đạo hàm của các hàm số sau:
5
5
+) y  x
+) y  x  6
+) y  sinx
+) y  sinx  4
x

x
+) y  e
+) y  e  3
+) y  ln x
+) y  ln x  5
2. HS thực hiện nhiệm vụ học tập theo yêu cầu của GV. Các thành viên trong
lớp hỗ trợ nhau để hoàn thành nhiệm vụ học tập.
3. GV nhấn mạnh lại bảng đạo hàm
4. GV cho học sinh biết mục đích của chuyên đề này là sử dụng bảng đạo hàm để
dẫn đến một khái niệm mới liên quan tới đạo hàm là Nguyên hàm.
Hoạt động thực hành
Hoạt động 1. Khái niệm Nguyên hàm 
a) Mục tiêu: Giúp HS hình thành khái niệm nguyên hàm
b) Phương tiện: Bảng phụ, máy chiếu đa vật thể, phấn viết bảng.
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV chia lớp thành 6 nhóm (mỗi nhóm từ 5 đến 6 học sinh), yêu cầu các nhóm
Cho biết các hàm số sau lần lượt là đạo hàm của hàm số nào?
1
y
4
x
x
+) y  5x
+) y  cosx
+) y  e
+)
2. Học sinh hoạt động theo nhóm đã phân cơng.
3.Đại diện của nhóm trình bày kết quả đã làm được. Các nhóm cịn lại đặt câu hỏi
với nhóm đang trình bày. Đại diện nhóm trả lời (nếu cần có thể có sự trợ giúp của các thành
viên cịn lại trong nhóm).

4. GV cho các nhóm đánh giá sản phẩm của các nhóm cịn lại. Sửa sai (nếu có) trong
bài làm của HS, chốt kiến thức, chính xác hóa .
Hoạt động 2. Tính chất của nguyên hàm

f (x)dx  F (x)  C

 f (x)dx=f(x)+C
kf (x)dx=k f (x)dx

(k  0)
 f (x)  g(x)dx= f (x)dx   g(x)dx
 


a) Mục tiêu: Giúp HS hình thành tính chất của ngun hàm
b) Phương tiện: Máy chiếu đa vật thể, phấn viết bảng.
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV u cầu các nhóm tính các ngun hàm sau:
1
ds
4xdx
sin
xdx
2



cos
t
a)

b)
c)

d)

4


2
Cho biết hàm số y  2x  cos x có đạo hàm là hàm số nào? Từ đó cho biết nguyên
(4x  sinx)dx
hàm của hàm số 
.
2. Học sinh hoạt động theo nhóm đã phân cơng.
3. Đại diện của nhóm trình bày kết quả đã làm được. Các nhóm cịn lại đặt câu hỏi
với nhóm đang trình bày. Đại diện nhóm trả lời (nếu cần có thể có sự trợ giúp của các thành
viên cịn lại trong nhóm).
4. GV cho các nhóm đánh giá sản phẩm của các nhóm cịn lại. Có thể hướng dẫn
hoặc giải mẫu nếu có ý học sinh gặp khó khăn. Sửa sai (nếu có) trong bài làm của HS, chốt
kiến thức, chính xác hóa lời giải, khắc sâu tính chất.
Hoạt động 3. Bảng nguyên hàm
a) Mục tiêu: Giúp HS liên hệ giữa đạo hàm, khái niệm nguyên hàm đưa ra được
bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp.
b) Phương tiện: Máy chiếu đa vật thể, phấn viết bảng, bảng phụ về nguyên hàm của
một số hàm thường gặp.
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV u cầu các nhóm dựa vào khái niệm nguyên hàm và bảng đạo hàm các hàm
số cơ bản đưa ra và ghi nhớ bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản
2. Yêu cầu các nhóm thảo luận, nêu cách xây dựng, nêu khó khăn của từng thành
viên trong nhóm, chia sẻ cách làm.

3. Đại diện nhóm nêu những khó khăn khi thực hiện.
4. GV cho các nhóm trao đổi, hướng dẫn cách làm với các nhóm gặp khó khăn.Chốt
kiến thức và chỉnh sửa tồn tại của học sinh.
Hoạt động 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

Định lí: Nếu

 f (u)du  F (u )  C và hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục thì:

 f (u).udx  F (u)  C

a) Mục tiêu: Giúp HS biết cách tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến khi
khơng dựa được hồn tồn vào bảng nguyên hàm.
b) Phương tiện: Máy chiếu đa vật thể, phấn viết bảng.
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV phân tích hướng dẫn HS liên hệ với vi phân để đưa ra cách tính nguyên hàm
bằng phương pháp đổi biến với ví dụ tính nguyên hàm của hàm số 
.
2. GV chia lớp thành 6 nhóm (mỗi nhóm từ 5 đến 6 học sinh), yêu cầu các nhóm tính
các nguyên hàm sau.
sin(3 x  1) dx

2
7
 (2x  1) xdx

4
 sin xcos xdx

x 1

 x.e dx
2

a)
b)
c)
3. Yêu cầu các nhóm thảo luận, nêu cách giải từng bài tập nêu trên, nêu khó khăn
của từng thành viên trong nhóm, chia sẻ cách làm.
4. Đại diện nhóm nêu những khó khăn khi thực hiện tính các nguyên hàm trên.
5. GV cho các nhóm trao đổi, hướng dẫn cách làm với các nhóm gặp khó khăn, hoặc
GV hướng dẫn HS thực hiện với các ý khơng có nhóm nào giải được. Chốt kiến thức và
chỉnh sửa tồn tại của học sinh.



f ( ax  b)dx 

1
F (ax  b)  C
a

Hệ quả: Với u = ax + b (a  0) ta có:
Chú ý: Nêu tính ngun hàm theo biến mới u thì sau khi tính ngun hàm phải trở
lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x).
5


Hoạt động 4: Tính nguyên hàm bằng phương pháp từng phần
Định lí: Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì:

 udv  uv   vdu

a) Mục tiêu: Giúp HS biết cách tính nguyên hàm bằng phương pháp nguyên hàm
từng phần.
b) Phương tiện: Máy chiếu đa vật thể, phấn viết bảng.
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. GV phân tích hướng dẫn HS cách tìm ngun hàm bằng phương pháp nguyên
hàm từng phần bằng cách tính nguyên hàm của hàm số 
.
2. GV chia lớp thành 6 nhóm (mỗi nhóm từ 5 đến 6 học sinh), yêu cầu các nhóm tính
các ngun hàm sau.
x.sin xdx

x

b) 
c) 
3. u cầu các nhóm thảo luận, nêu cách giải từng bài tập nêu trên, nêu khó khăn
của từng thành viên trong nhóm, chia sẻ cách làm.
4. Đại diện nhóm nêu những khó khăn khi thực hiện tính các ngun hàm trên.
5. GV cho các nhóm trao đổi, hướng dẫn cách làm với các nhóm gặp khó khăn, hoặc
GV hướng dẫn HS thực hiện với các ý khơng có nhóm nào giải được. Chốt kiến thức và
chỉnh sửa tồn tại của học sinh.
Hoạt động củng cố
a) Mục tiêu: Giúp học sinh có cái nhìn tổng thể về cách tìm nguyên hàm của hàm số,
phát triễn năng lực nhận biết, tổng quát hóa bài toán, liên hệ với thực tế.
b) Phương tiện: Phiếu học tập, bảng phụ
c) Tổ chức dạy học (cá nhân/nhóm/tồn lớp)
1. Giáo viên chia nhóm, phát phiếu học tập cho học sinh
2. Học sinh thảo luận theo nhóm tính các nguyên hàm sau

xe dx
a) 

a)

3
2
 (x  2 x )dx



 sin  2x  4  dx
d)
2

(x
g) 

 5)sin xdx

xcosxdx

2x 2  3x  4
 2x  1 dx
c)

2x  1
 x dx
b)



sin x

5
e) cos x
2

ln(x
h) 

ln xdx



dx

f)

 1)dx

dx
(1 x2)3
x

e .cos xdx
i) 

3. Giáo viên yêu cầu học sinh làm việc theo nhóm, trình bày chi tiết từng phần và

u cầu tất cả các thành viên trong nhóm tích cực tham gia thảo luận, học sinh khá giỏi chịu
trách nhiệm hướng dẫn và giảng giải cho học sinh trung bình, yếu
4.Giáo viên quan sát hoạt động của học sinh và hướng dẫn cho học sinh nếu học sinh
gặp khó khăn.
5. Đại diện các nhóm trình bày kết quả trước lớp
6. Giáo viên chữa bài và rút kinh nghiệm, tổng kết bài học
Phụ lục : Bảng nguyên hàm các hàm thường gặp và hàm mở rộng
Hàm thường gặp

Hàm mở rộng
6


 dx  x  C

x 1
 x dx    1  C,(  1)
1
 x dx  ln x  C
x
x
 e dx  e  C

1 (ax  b) 1
 (ax  b) dx  a .   1  C, (  1)
1
1
 ax  b dx  a ln ax  b  C
1 ax b
ax  b

 e dx  a e  C
1 a kx m
kx  m
 a dx  k . ln a  C
1
s
in(ax+b)dx


cos (ax+b)  C

a
1
 cos(ax  b)dx  a s in(ax+b)  C
1
1
 cos2 (ax  b) dx  a tan(a x  b)  C
1
 sin 2 (ax  b) dx   cot(a x  b)  C





ax
 a dx  ln a  C
 s inxdx   cosx  C
x

 cosx dx  s inx  C

1

 cos

2

x

1

 sin

2

x

dx  tan x  C
dx   cot x  C

Phụ lục: Bài tập
Bài 1: Tính các nguyên hàm sau
a)

 4xdx

2x  1
 x dx
d)

2

(2x
b) 

7

 1) xdx

2x  3x  4
 2x  1 dx
e)

 (x  2 x
3

c)

2

f)



2

)dx

dx
(1 x2)3

Bài 2: Tính các nguyên hàm sau
7


a) 

4

sin xcos xdx



sin x

5
d) cos x

)

h

dx

b)

 xcosxdx

f)

 (x

2

 5)sin xdx

1


i) cos

 sin xdx

2

t

ds

k)

i)





c)

 sin  2x  4  dx

g)

 e .cos xdx

x

h)
l)

h)

Bài 3: Tính các nguyên hàm sau
ln3 x
 x dx
a)

b)



d)

e)

ln(1 x)
x2

2

 ln(x

 1)dx

c)

 ln xdx

dx

Bài 4: Tính các nguyên hàm sau
x

xe dx
a) 

x.e
b) 

x 2 1

dx

8