CHUYÊN ĐỀ : NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN docx
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (281.73 KB, 13 trang )
www.laisac.page.tl
Chuyên Đề:
N U Ê H M V T C P Â
NG Y N HÀ VÀ TÍ H PH N
GU
À
ÍC
HÂ
TS. Lê Thống Nhất
A. MỘT SỐ BÍ QUYẾT TÌM NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
Rất nhiều bạn khá khó khăn khi tìm ngun hàm và tích phân mà ngun nhân chính là
thường khơng biết sử dụng phép biến đổi vi phân. Các bạn hãy đọc bài viết này và tự rèn luyện
theo hướng dẫn, chắc chắn các bạn sẽ thấy: tìm ngun hàm và tích phân thật là khơng đáng
ngại.
Định nghĩa: Vi phân của hàm số y = f(x) là biểu thức f’(x). d(x). Nếu ký hiệu dy hay d[f(x)] là vi
phân của y hay f(x) thì dy = f’(x) .dx hay d[f(x)] = f’(x) . dx.
Chú ý: Nhiều bạn hiểu sai là: để tính vi phân f(x), ta tính f’(x) và viết thêm dx, sẽ có f’(x) dx.
Thực ra khơng phải là “viết thêm” mà là “nhân với”, nghĩa là f’(x) nhân với d(x), viết f’(x) . dx.
Các vi phân cơ bản:
1) d ( u a+1 ) = ( a + 1) a .du
.u
2) d (sin u) = cos u . du
3) d (cos u) = sin u du
4) d (tg u) =
du
sin 2 u
u
u
6) d (e ) = e . du
5) d (cotg u) = -
7) d (ln u ) =
du
;
u
d(ln u) =
du
.
u
8) d ( au + bv ) = adu + b
dv
9)d(u+c)=duviclhngs.
Cỏcphộpbiniviphõncbn:
ổ ua+1 ử
1) u .du = dỗ
ữ
ố a + 1 ø
2) cos u .du = d(sin u)
3) sin u . du = d (cos u)
4)
a
5)
du
= d(-
cotgu)
sin 2 u
7)
du
= d(ln | u |)
u
du
cos 2 u
du
= d(tgu)
cos 2 u
u
u
6) e .du = d(e )
Các thí dụ luyện phép biến đổi vi phân.
Thí dụ 1: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
5
2. (x + 2) . dx
1. x dx
4
3. cosx . sin x . dx
Giải:
ỉ 1 +1 ư
ỉ 2x 3 ư
ỉ 2x3
ử
2
2
ỗ x 2 ữ
ỗ
ữ = dỗ
1. x dx = x .dx = d ỗ
=d
+ Cữ
1 ữ
ỗ 3 ữ
ỗ 3
ữ
ỗ + 1 ÷
è
ø
è
ø
è2
ø
1
2
6
é ( x + 2 )6 ù
é ( x + 2 )
ù
5
5
2. (x + 2) . dx = ( x + 2) .d(x +2) = d ê
+ C
ú =dê
ú
6 ú
6
ê
ê
ú
ë
û
ë
û
é sin 5 x ù
é sin 5 x
ù
3. cosx . sin x . dx = sin x . d(sin x) = d ê
ú = d ê 5 + C
ú
ë 5 û
ë
û
4
4
Thí dụ 2: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
ỉ x + 1 ư
÷ .dx
x ứ
ố
2
2.(2x+1)(x +x+1).dx
ổ cosx ưsinx ử
ữ .dx
ố sinx+cosx ứ
4.
1. ỗ
3. ç
x dx
x 2 + 1
Giải:
1
- ư
1 ư
ỉ x + 1 ư
ỉ
ỉ 1
.dx = ỗ x +
.dx = ỗ x 2 + x 2 ữ .dx
ữ
ữ
x ứ
ố x ứ
ố
ố
ứ
1. ỗ
ổ 3 ử
1
2
ỗ 2x ÷ + d ỉ 2x 2 ư
= x dx + x .dx = d
ỗ
ữ
ỗ 3 ữ
ố
ứ
ố
ứ
1
2
1
2
ổ 3
ử
1
2
ỗ 2x + 2x 2 + Cữ
= d
ỗ 3
ữ
ố
ứ
2
2.(2x+1)(x +x+1).dx
2
2
=(x +x+1).d(x +x+1)
ộ ( x 2 + x + 1 2 ù
) ú
= d ê
2
ê
ú
ë
û
é ( x 2 + x + 1 2
) + C ù
= dê
ú
2
ê
ú
ë
û
2
Lưu ý: d (x + x + 1) = (2x +1) . dx
2
) = d éln(x 2 + 1) ù = d é 1 ln(x 2 + 1) + C ù
x.dx 1 d ( x + 1 1
3. 2
=
û
ê2
ú
x + 1 2 x 2 + 1
2 ë
ë
û
1
2
2
2
Lưu ý: d(x + 1) = 2x . dx hay x . dx = d(x + 1)
Thí dụ 3: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
1.
x.dx
(x + 1)3
2.
dx
x - 3x + 2
2
Giải:
1.
x.dx
(x + 1)3
=
( x + 1 - 1) d ( x + 1
)
( x + 1)
3
2
3
= (x + 1) . d(x + 1) – (x + 1) . d(x + 1)
é ( x + 1) -1 ù
é ( x + 1 -2 ù
)
= dê
ú - d ê
ú
ê -1 ú
ê -2 ú
ë
û
ë
û
é
ù
1
1
+ C ú
2
ê 2 ( x + 1) x + 1 ú
ë
û
= dê
2.
dx
x 2 - 3x + 2
1 ư
ỉ 1
÷ dx
è x - 2 x - 1 ứ
= ỗ
=
dx
dx
x - 2 x -1
=
2(x - 2) 2(x - 1)
x-2
x - 1
= d [ ln | x - 2 | - ln | x - 1|]
é
= d ê ln
ë
3.
x - 2
ù
+ C
ú
x -1
û
d ( ln x )
dx
=
= d [ ln(ln x) + C
]
x.ln x
ln x
Thí dụ 4: Biểu thức sau là vi phân của hàm số nào?
1. cos x . cos3x . dx
5
2. sin x .dx
Giải:
1. cos x . cos3x . dx =
1
( cos4x+cos2x ) .dx
2
3.
dx
x.ln x
=
1
[cos4x.dx +cos2x.dx ]
2
1 é1
1
ù
= ê cos4x.d(4x) + cos2x.d(2x)
ú
2 ë4
2
û
1 é1
1
ù
= ê (sin4x) + d(sin 2x)
ú
2 ë4
2
û
é1
ë8
1
4
ù
û
= d ê sin 4x + sin 2x + C
ú
Lưu ý: Các cơng thức biến đổi tích thành tổng khi gặp tích các hàm số lượng giác.
5
4
4
2. sin x . dx = sin x . sin x . dx = sin x . d(cosx)
2 2
= (1 – cos x) . d(cosx)
2
4
= [ 1 + 2cos x – cos x] .d(cosx)
2
4
= d (cosx) + 2cos x .d(cosx) – cos x . d(cosx)
2
3
é
ë
1
5
ù
û
= d ê -cosx + cos3 x cos 5 x +C
ú
Thí dụ dưới đây sẽ sử dụng nhiều sau này:
Thí dụ 5: Tính.
1. d é ln
ë
é
x 2 + k + x ù
û
2. d ê ln
ë
x - a ù
x-b ú
û
Giải:
1. d é ln
ë
d
x + k + xù
û
2
=
=
=
Lưu ý:
dx
x 2 + k
(
)
x 2 + k + x
x 2 + k + x
1
é x
ù
. ê 2
+ 1ú .dx
x + k + x ë x + k û
2
dx
x 2 + k
= d é ln | x 2 + k + x |ù
ë
û
æ x - aử
dỗ
ữ
ộ x-a ự
ố x - bứ = x - b . a - b .dx = (a - b).dx
2. d ê ln
ú = x - a
x - a (x - b)2
(x - a)(x - b)
ë x-b û
x-b
Lưu ý: Nếu a ¹ b thì
dx
1
é x - a ù
=
d êln
(x - a)(x - b) a - b ë x - b ú
û
Thí dụ 6: Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?
1.
dx
x - 2x - 3
2.
2
dx
x 2 + 2x + 3
Giải.
1.
dx
dx
=
x - 2x -3 (x + 1)(x -3)
2
=
=
1ổ 1
1 ử
ỗ
ữ .dx
4 ố x - 3 x + 1 ø
)
1 é d ( x - 3 2(x + 1) ù
ê x - 3 - x +1 ú
4ë
û
1 é
x - 3 ù
ë
û
= d ê ln
4
x +1 ú
é1
ë4
= d ê ln
2.
dx
x 2 + 2x + 3
x - 3
ù
+ C
ú
x +1
û
dx
=
2
( x + 1)
=
+ 2
d ( x + 2 )
(x + 1)2 + 2
= d é ln
ê
ë
( x + 1) + 2 + (x + 1) + C ù
ú
2
û
Bài tập tự luyện.
Biểu thức sau đây là vi phân của hàm số nào?
2
7
7
1. (2x + 1)(x + x + 5) dx 2. sin x . cos x . dx
3
2
4. sin x . cos x . dx
3.
ln x.dx
x
2
6. tg x . dx
5. tgx . dx
3
7. tg x . dx
2
8. sin x . dx
æ x 2 - x + 1ử
10. ỗ
ữ .dx
x ứ
ố
11.
dx
x. x +1
3
9.cos x.dx
12.
x 2.dx
(x
3
2
+ 1)
13.
x dx
3
x 2 + 1
dx
x - 4
17.
19.
dx
sin x + cos x
20. (1 + tgx).
e x .dx
23. x
e + 1
dx
22.
sin 4 x
dx
cos 2 x
24.
dx
sin x
21.
dx
sin 2x
dx
sin 2 x.cos 2 x
18.
x 2 + 4x
16.
2
15.
dx
14.
dx
cos 4 x
e x .dx
e 2 x + 1
x 3 .dx
25. 4
x + 1
B.TÌM NGUN HÀM CỦA HÀM SỐ
Các bạn xem định nghĩa, các tính chất của ngun hàm và bảng các ngun hàm cơ bản trong
SGK. Ở đây chỉ tổng kết các phương pháp tìm ngun hàm của một hàm số.
1. Sử dụng bảng ngun hàm cơ bản
Nếu f1 (x) , f 2 (x) , ..., f n (x) là các hàm có ngun hàm cơ bản thì
f (x) = a1f1(x) + a2 f 2 (x) + ... + a f n (x) có ngun hàm tìm được nhờ tính chất :
n
ị f (x)dx = a1 ò f1(x)dx + a2 ò f2 (x)dx + ... + an ị fn (x)dx.
Khi sử dụng tính chất này cần lưu ý cách viết :
1
aa
-a
= a
1
k a = a k
;
Thí dụ 1 : Tìm các ngun hàm
1.
x 2 + 1
dx ; 2. 3 x (x + 1)2 dx
x
ị
ị
Giải :
1
5
1
ỉ 3
- ư
x 2 + 1
2 2 2
ỗ 2
ữ
1.
dx = ố x + x 2 ứ dx = x 2x + C
5
x
1
4
1ư
10
7
4
ỉ 7
2
3
3 (x 2 + 2x + 1)dx = ỗ x 3 + 2x 3 + x 3 ÷dx = 3 x 3 + 6 x 3 + 3 x 3 + C
2. x (x + 1) = x
è
ø
10
7
4
ị
ị
ị
ị
ị
2.Sử dụng vi phân để tìm ngun hàm
Bảng ngun hàm cơ bản vẫn đúng nếu thay ký hiệu đối số x, bởi bất cứ ký hiệu nào khác. Kết
hợp với phép tính vi phân, các bạn có thể tìm được ngun hàm của các lớp hàm phong phú hơn.
Thí dụ 2 : Tìm ngun hàm :
x 2 dx
x 2 dx
ị x 2 - 1 .
1 ư
é 1ỉ 1
1 ửự
1 x - 1
ổ
= ỗ1 +
+ C
ữ ỳdx = x + ln
ữdx = ờ1 + ỗ
2 x + 1
x2 -1
è x 2 - 1 ø
ë 2 è x - 1 x + 1 øû
é1 1
1 ứ
1
1
1
1
Chú ý : ê ỉ
d(x - 1) d(x + 1)
ỗ
ữ ỳdx =
2 x -1
2 x +1
ở 2 è x - 1 x + 1 øû
Giải :
ò
ò
ò
ò
ò
1
1
1 x - 1
= ln x - 1 - ln x + 1 = ln
+ C
2
2
2 x + 1
Thí dụ 3 : Tìm ngun hàm :
ị
1.
x 2 dx
10
ò x 6 - 1 ; 2. ò x(x + 2)
dx
Giải :
x 2dx
1
d(x 3 )
1 1ỉ 1
1 ư
1 x 3 - 1
=
d(x 3 ) = ln
+ C
3 (x 3 )2 - 1 3 2 ỗ x 3 - 1 x 3 + 1 ÷
6 x 3 + 1
è
ø
ò x6 -1 ò
ò
2. x(x + 2)10 dx = [(x + 2) - 2](x + 2)10 .d(x + 2) =
ò
ò
1
2
= [(x + 2)11 - 2(x + 2)10 ]d(x + 2) = (x + 2)12 - (x + 2)11 + C
ị
12
11
1.
=
Thí dụ 4 : Tìm ngun hàm
1.
sin 2xdx
dx
ị 1 + cos2 x ; 2. ò sin 2x
Giải :
sin 2xdx
d(1 + cos 2 x)
2
ò 1 + cos2 x = - ò 1 + cos2 x = - ln(1 + cos x) + C
dx
1
dx
1
dx
1 d(tgx) 1
2.
=
=
=
ò sin 2x 2 ò sin x.cos x 2 ò tgx.cos2 x 2 ị tgx = 2 ln | tgx | + C
1.
Thí dụ 5 : Tìm ngun hàm
(x 2 - 1)dx
ũ
x 4 + 1
.
1 ử
ổ
ỗ1 - 2 ữ dx
(x - 1)dx
Giải :
= è x ø .
4
1
x + 1
x 2 +
x 2
1
1
ổ
1 ử
t u = x+ ịdu= ỗ 1 - 2 ÷ dx và x 2 + 2 = u 2 - 2. Do đó :
x
x
è x ø
2
ị
ị
ị
(x 2 - 1)dx
x4 +1
=
du
ị u2 - 2
=
1
1 ử
1
u - 2
ổ 1
ln
+ C
ỗ
ữ du =
2 2 ốu- 2 u+ 2 ø
2 2 u + 2
ò
1
- 2
1
1 x 2 - 2x + 1
x
=
ln
+ C = ln
+ C
2 x 2 + 2x + 1
2 2 x + 1 + 2
x
x+
3. Phương pháp ngun hàm từng phần
ị
ị
ị
Các bạn sử dụng cơng thức udv = uv - vdu. Như vậy để tìm f (x)dx thì phải nhìn f(x)dx là
udv. Giả sử f(x)dx = f1 (x).f 2 (x)dx với f1 (x) là đa thức thì việc lựa chọn u, dv, hồn tồn phụ
thuộc vào f 2 (x) . Nếu f 2 (x) là các hàm lượng giác ngược, hàm logarit, hàm vơ tỉ thì đặt u = f 2 (x) .
Nếu f 2 (x) là các hàm lượng giác, hàm mũ thì đặt u = f1 (x) . Tuy nhiên, đó chỉ là gợi ý chính,
trong từng bài cụ thể và những tình huống phức tạp hơn các bạn phải thử vận dụng theo nhiều
cách để chọn cách thích hợp.
Thí dụ 6 : Tìm ngun hàm :
1.
ị x2 -1dx 2. ò x(ln x)2 dx
Giải :
1. Đặt u = x 2 - 1 Þ du =
xdx
x 2 - 1
; dv = dx Ü v = x (chú ý chiều mũi tên này, hiện nay đang bị
viết ngược rất nhiều !). Ta có :
I =
ị
2
2
x - 1dx = x x - 1 -
Lưu ý : d (
I=
x
2
x 2 dx
ò
x2 -1
= x x2 -1 -
ò
x 2 - 1dx -
dx
ị x2 - 1
ư
dx
d( x 2 - 1 + x)
+ 1 ÷ dx Þ
=
, ta có
÷
2
x2 -1
x 2 - 1 + x
è x -1 ứ
ổ
- 1 + x )= ỗ
ỗ
1
1
x x2 -1 2
2
x
d( x 2 - 1 + x)
ò
2
=
1
1
x x 2 - 1 - ln
2
2
x 2 - 1 + x + C
x -1 + x
2 ln xdx
1
2. Đặt u = (ln x)2 Þ du =
; dv = xdx Ü v = x 2 . Khi đó :
x
2
1
I = x(ln x) 2 dx = (x ln x) 2 - x ln xdx.
2
dx
1
Lại đặt u = lnx Þ du = ; dv = xdx Ü v = x 2 , ta có :
x
2
1
1
1
1
x ln xdx = x 2 ln x xdx = x 2 ln x - x 2 + C
2
2
2
4
1
1 2
1 2
Vậy I = (x ln x) 2 - x ln x + x - C .
2
2
4
ị
ị
ị
ị
Bài tập tương tự
Tìm các ngun hàm của các hàm số :
1. f (x) =
2. f (x) =
3. f (x) =
5
x
x 6 + 1
;
x 2 + 1
x 4 - 2x 3 - x 2 + 2x + 1
sin x cos x
;
a sin 2 x - b cos2 x
4. f(x) = sin( x ) ;
5. f (x) =
6. f (x) =
7. f (x) =
3
x
x 2 - 4x + 3
.
1999
x
x 2000 - 2x1000 - 3
1
cos4 x
;
.
C.CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây.
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton Leibnitz)
Ÿ Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x) là một ngun hàm của f(x)
thì
b
ị
b
f (x)dx = F(x) a = F(b) - F(a)
a
Ÿ Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt buộc phải có để được sử dụng định
lý. Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết :
3
p
4
dx
ị cos2 x
I=
3
p
4
= tgx 0 = -1 (?)
0
Lưu ý : f (x) =
1
p
é
3 ù
p
không xác định tại x = Ỵ ê0; ú nên I khơng tồn tại.
2 ë 4 û
cos x
2
7
3
Thí dụ 1 : Tính I =
(x + 1)dx
ò 3 3x + 1
(Đề ĐH Ngoại ngữ HN 1999)
0
Giải :
7
3
7
3
ò
ò
0
0
2
1
1 [(3x + 1) + 2]dx 1
I=
=
[(3x + 1) 3 + 2(3x + 1) 3 ]d(3x + 1)
3 3x + 1
3
9
7
5
2 ù
é
1 ê3
3 46
=
(3x + 1) 3 + 3(3x + 1) 3 ú =
ê5
ú 0 15
9ë
û
1
Thí dụ 2 : Tính I =
dx
ị (x 2 + 3x + 2)2 (Đề ĐH Ngoại thương HN 1999)
0
Giải :
1
I=
ò
1 ù
é 1
ê x + 1 - x + 2 ú dx =
ë
û
0
1
1
dx
ò (x + 1) ò
2
+
0
0
1
dx
1 ù
é 1
-2 ê
dx
ë x + 1 x + 2 ú
û
(x + 2)
2
ò
0
é
x + 1 ù 1 2
3
= ê -(x + 1)-1 - (x + 2)-1 - 2ln
ú 0 = 3 + 2ln 4 .
x + 2 û
ë
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách cận tích phân để khử dấu trị
tuyệt đối.
3
Thí dụ 3 : Tính I =
ị x x
2
- 2x .dx
-1
3
Giải : I =
0
ịxx
2
- 2x .dx =
-1
ò x (x
-1
ò
)
ò (
2
ò
0
2
2
3
- 2x .dx + x x - 2x .dx + x x 2 - 2x .dx
-1
0
=
òx x
2
2
2
3
)
ò (
)
- 2x .dx + x - x 2 + 2x .dx + x x 2 - 2x .dx
0
2
3
æ x 4 2x 3 ư 0 ỉ x 4 2x 3 ử 2 ổ x 4 2x ử 3
=ỗ
+
ữ +ỗữ +ỗ
ữ = 4
ỗ 4
3 ữ -1 ỗ 4
3 ữ0 ỗ 4
3 ÷ 2
è
ø
è
ø
è
ø
2. Phương pháp biến đổi số :
u(b)
b
ị
ị f (t)dt
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì f[u(x)].u'(x)dx =
a
4
dx
ị x
Thí dụ 4 : Tính I =
u(a)
(Đề Học viện KTQS 1999)
2
x +9
7
dt
1
1
Û x = Þ dx = - 2 .
x
t
t
1
1
Đổi cận : x = 7 Þ t =
; x = 4 Þ t = .
4
7
Giải : Đặt t =
Do đó :
1
1
4
- dt
ị
1
I=
9t 2 + 1
=
1
7
1
3
d(3t)
7 1
1
7 1 7
= ln é (3t)2 + 1 + 3t ù
ë
û 1 = 3 ln 2 = 6 ln 4
(3t)2 + 1 3
ị
1
4
4
7
1
x 4 dx
ị 1 + 2x (Đề Học viện BCVT 1999)
Thí dụ 5 : Tính I =
-1
Giải : Đặt t = -x Û x = -t Þ dx = -dt.
Đổi cận : x = -1 Þ t = 1 ; x = 1 Þ t = -1 ta có :
-1
ị
I=
1
( - t) 4 .(- dt)
1
1+ 2
1
1 4
t dt
4
1 5 1
2
1
- I = - I Þ I = .
-1
5
5
ò 1 + 2t = ò t dt - ò 1 + 2t = 5 t
=
4
2 t .t 4 dt
-1
b
-1
-1
ị
Chú ý : Để tính f (x)dx khơng nhất thiết phải tìm ngun hàm F(x) của f(x).
a
a
Cách tích phân dạng
g(x)dx
ị a x + 1
với a > 0 và g(x) là hàm số chẵn, đều làm như trên.
-a
1
ị
Thí dụ 6 : Tính ln
2 - x
dx
2+ x
-1
Giải : Đặt t = x thì dx = dt. Với x = 1 thì t = 1, với x = 1 thì t = 1.Do đó :
1
I=
ị
-1
1
=
ị
-1
2- x
ln
dx =
2+x
-1
ị
2+t
ln
(-dt) =
2-t
1
-1
1
ị
ln
2 + t
dt
2 - t
-1
1
ỉ 2-t ử
ổ 2 - tử
ln ỗ
ữ dt = - ln ç 2 + t ÷dt = - I.
è 2+ t ø
è
ø
ị
-1
Suy ra : I = 0.
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ ln bằng 0.
+ Tích phân khơng phụ thuộc ký hiệu đối số :
b
b
b
ò f (x)dx = ò f (u)du = ò f (t)dt = ...
a
a
a
p
Thí dụ 7 : Tính
x
ị 1 + s inx dx
0
Giải : Đổi biến số u = p - x Û x = p - u . Ta có : x = 0 Þ u = p; x = p Þ u = 0.
Mặt khác : dx = du.
p
0
ị
ị (p - u )
x
I=
dx =
1 + s inx
0
p
=
p
p
p
1
(-du)
1 + sin ( p - u )
u
ò 1 + s inu du -ò 1 + s inu du
0
0
p
= 2p
1
ũổ
0 ỗ sin
ố
p
=p
ổ uử
d
-I
2 ỗ ữ
uử ố 2ứ
u
+ cos ữ
2
2ứ
1
ổ u p ử
ũcos2ổ u- p ử d ỗố 2 - 4ữứ -I
0
ỗ
ố2
ữ
4ứ
u p p
Doú:I= = ptg ổ - ử = 2 .
p
ỗ
ữ
ố2
4 ứ 0
b
ũ
Chỳý:Nugptớchphõn f (x)dx mtớnhmóikhụngc,cỏcbnnờnnghnphộpibin
a
su=a+bư x.Cỏcthớdtrờncngchngtphộpibinnykhỏcútỏcdng.
Thớd8:Chngminhrng:Nuf(x)lhmsliờntc,tunhonvichukTthỡvimiata
cú:
a +T
ò
T
ò
f (x)dx = f (x)dx
a
0
a +T
T
a + T
ò
f (x)dx = f (x)dx +
ị
ị f (x)dx (*)
a
Giải : Ta có
a
T
a + T
Xét J =
ị f (x)dx , đặt u = x T Û x = u + T Þ dx = du.
T
Đổi cận : x = T Þ u = 0 ; x = a + T Þ u = a, do đó :
a
a
a
ị
ị
ị
0
0
0
J = f (u + T).du = f (u)du = f (x)dx .
Thay vào (*) ta có đpcm.
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của hàm số tuần hồn.
2007 p
ị s inx dx
Thí dụ 9 : Tính
0
Giải : Chứng minh dễ dàng hàm số y = s inx là hàm số tuần hồn với chu kỳ là p .Do đó :
2007 p
ị
p
s inx dx =
0
2p
2007
p
ị s inx dx + ị s inx dx +... + ò
0
p
p
ò
0
2006
p
p
ò
s inx dx
0
= 2007 s inx dx = 2007 s inx.dx = - 2007cosx
p
= 5014
0
3. Sử dụng cơng thức tích phân từng phần :
b
Ta có :
ị
b
b
udv = u.v a -
a
ị vdu
a
Ngun tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp ngun hàm từng phần, chỉ
lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến :
p 2
Thí dụ 10 : Tính I =
ị sin
xdx (Đề ĐH Đà Lạt 1999)
0
Giải : Đặt t = x Û x = t 2 Þ dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 Þ t = 0 ; x = p2 Þ t = p nên :
p
p
p
é
ù
p
p
I = 2 t sin tdt = -2 t.d(cos t) = -2 ê t cos t 0 - cos tdt ú = -2 é -p - sin t 0 ù = 2 p .
ë
û
ê
ú
ê
ú
0
0
0
ë
û
ị
ị
ị
1
Thí dụ 11 : Tính I = x 5 .e x .dx
ị
0
1
Giải : Xét I n = x n .e x .dx . Đặt u = x n Þ du = nu n -1; dv = e x dx Ü v = e x .
ị
0
Theo cơng thức tích phân từng phần ta có :
1
1
1
ị
ị
ị
0
0
0
1
In = x n .e x .dx = udv = uv - vdu
0
1
= x n .e x
1
- n x n -1e x dx = e - nI -1
n
0
ị
0
với mọi n ngun và n >1.
1
ị
x
Ta có : I1 = x.e .dx = xe
0
x 1
1
1
- e x dx = e -e x = 1 .
0
0
ò
0
I2 = e - 2I1 = e - 2; I3 = e - 3I2 = e - 3(e - 2) = 6 - 2e;
I4 = e - 4I3 = e - 4(6 - 2e) = 9e - 24; I = I5 = e - 5I4 = e - 5(9e - 24) = 120 - 44e
Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương tự nhau, ta làm một lần tổng qt
rồi áp dụng lần lượt cho n = 2;3;4;5.
Bài tập :
0
1.
(1 + x 2 )dx
ị x 2 - 4x + 3
-1
p
2
2.
sin x sin 2x cos 5x dx
ò
p
e x + 1
-
2
1
2
3. (2x - 1)1999 .e x - x .dx
ò
0
3
4.
(x 2 + 1)dx
ò x 4 + x 2 + 1 ;
1
p
3
5.
(cos x + sin x)dx
;
3 + sin 2x
ị
p
4
1
6.
ị x
dx
;
2
(x + 1)
0
2008
p
7*.
ị sin
2007
x.dx
0
1
8. ln 3 ỉ x 2 + 1 - x ử .dx
ỗ
ữ
ũ
-1
1
9.
ố
ứ
x
ũex + 1 .dx
-1
BinylaisacsutmtrờnngunInternetvtnghpli
