MỘT SỐ TƯ DUY CHỦ ĐẠO ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH pdf

Lương Văn Thiện - GSTT Group


MỘT SỐ TƢ DUY CHỦ ĐẠO ĐỂ GIẢI PHƢƠNG TRÌNH - HỆ PHƢƠNG TRÌNH

Cần thành thạo: Phương trình đẳng cấp, hệ đối xứng loại 1 - 2, các hằng đẳng thức đáng nhớ, bất đẳng thức và bổ
đề bđt cơ bản (được tóm tắt bên dưới), một số phương trình cơ bản,

Giải BPT: cách làm tương tự như PT, HPT.

Luôn nhẩm nghiệm trước khi bắt đầu làm.

1 - Đặt ẩn phụ
- Thấy biểu thức nào xuất hiện nhiều lần, đặt ẩn xong thấy phương trình gọn thì ta đặt nó làm ẩn phụ.
- Có thể dùng nhiều ẩn phụ để giải. Không nhất thiết phải đặt ít ẩn. Biểu thức gọn là sẽ ra được lời giải.
- Dùng các phép toán cộng, trừ, nhân, chia, phá ngoặc, nhóm, thì mới nhìn ra được ẩn phụ. Thường là chia
1.
2 2 2
17
1 13
xy x y
x y xy y
  


  

2.
22
22
14

( ) 2 7 2
x y xy y
y x y x y

   


   


3.
7 2 5
21
x y x y
x y x y

   


   



2 - Phân tích thành nhân tử
- Nhẩm nghiệm, dự đoán nhân tử rồi đi phân tích. VD: nghiệm x=y thì dự đoán nhân tử x-y,
- Kết hợp với ẩn phụ để nhìn nhanh ra nhân tử. Dùng Casio Fx 570MS (Phím CALC) để nhẩm. Hoặc nghiệm của đề
thường là nghiệm đẹp nên ta thử với các số: 1, 2, 0, 1/2, -1, -2 Hãy nhẩm nghiệm thật giỏi.
1.
22
2

2 1 2 2
xy x y x y
x y y x x y

   


   


2.
2 2 3
2 2 2
5 4 3 2( ) 0
( ) 2 ( )
x y xy y x y
xy x y x y

    


   


3.
22
2
2
1
xy

xy
xy
x y x y

  




  


3 - Dùng hằng đẳng thức
- Thấy xuất hiện hằng đẳng thức thì nhóm lại. Có ngoặc thì phá ra. Nhẩm nghiệm để biết cách tách và nhóm thành hằng
đẳng thức. Thường là
23
( ) ,( ) , a b a b

1.
2 3 2
42
5
4
5
(1 2 )
4
x y x y xy xy
x y xy x

     





    


2.
4 2 2
22
2 4 5 0
2 3 15 0
x x y y
x y x y

    


   


2.
22
33
21
22
yx
x y y x





  



4 - Đồng biến, nghịch biến
- Có 2 hướng: f(u)=f(v) mà f đơn điệu thì u=v hoặc f = 0 mà giới hạn được nghiệm của f', f'' nhẩm được full nghiệm
của f = 0 thì suy ra được đó là mọi nghiệm của PT.
- Yêu cầu kĩ năng tính đoán đạo hàm và đánh giá bất đẳng thức tốt. Biết cách phán đoán hàm f qua ẩn phụ, hằng đẳng
thức, hoặc kinh nghiệm. Đôi khi phải biết chia trường hợp để đánh giá bđt.
1.
2
2
2013
1
2013
1
x
y
y
e
y
x
e
x












2.
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0
4 2 3 4 7
x x y y
x y x

    


   


3.
3
2 (1 4 ) 2 1 0x x x x    

5 - Dùng bất đẳng thức giải pt - hpt
- Dùng bđt co-si, bunhiacosky, bđt hình học, các bổ để bđt quen thuộc để giải.
- Thường áp dụng cho hầu hết các bài số biến nhiều hơn số PT. Bài toán có nghiệm duy nhất.
- Mẹo: Dùng máy tính thử để đánh giá các về, so sánh chúng rồi chứng minh kq mình dự đoán.
1.

2 2 2
1 1 2x x x x x x       
2.
2
4 2 2
1
log log 16 4
log 2
4 8 16 4
xy
y
x
x x xy x x y

  



   

3.
2 4 32
8
xy
xy






Lương Văn Thiện - GSTT Group
6 - Phƣơng pháp đẳng cấp
- Làm quen với các biểu thức đẳng cấp - Nếu chưa quen, dùng ẩn phụ để phát hiện ra nhanh pt đẳng cấp.
- Thường sẽ gặp pt đẳng cấp bậc 2 nhiều hơn, nhưng cũng lưu ý thêm đẳng cấp bậc 3,4 cao hơn.
- Với HPT thì chỉ cần đếm bậc - nhân chéo là OK.
1.
32
2 1 2 3x x x   
2.
33
22
4 16
1 5(1 )
x y y x
yx

  


  


3.
2 4 2 4 2
2
2 2 1 2(3 2 )
3
x y xy y x y
x y x


      


  



7 - Lƣợng giác hóa
- Nếu thấy biến bị giới hạn [-1;1], [-a;a] - hoặc biểu thức liên quan đến các công thức lượng giác thì thường sẽ đặt biến
x=cos t, sin t, a.cos t, nếu biến tự do, không giới hạn thì đặt tan t, cot t,
- Để biết chắc BT có dùng lượng giác để giải hay ko? ta dùng mẹo nhẩm nghiệm (khó diễn đạt) :)
1.
3
3 1 0xx  
2.

3.


8 - Liên hợp
- Nhẩm nghiệm (thường chẵn) rồi tác nhóm để liên hợp cho ra nhân tử chung x-a với a là nghiệm nhẩm đc.
- Một BT có thể được liên hợp nhiều lần cho ra nhiều nghiệm, hoặc liên hợp 1 phát ra 2 nghiệm.
1.
2
3 1 1x x x x    
2.
10 1 3 5 9 4 2 2x x x x      

9 - Loại trực tiếp

- Nhẩm và dự đoán a là nghiệm duy nhất PT. Dùng bất đẳng thức để chỉ ra x>a và x<a đề vô nghiệm.
- Thường áp dụng với các bài toán nghiệm duy nhất, các vế có độ tăng nhanh chậm khác nhau, hoặc 2 vế có sự đối xứng.
1.
22
sin cos cos2 cos2
2
(2 2) (2 2) (2 2) (1 )
2
x x x x
      
2.
5
3 3 log
x
x

9 - Hệ hoán vị
- Các biến hoán vị kiểu x=f(y), y=f(z), z=f(t), t=f(x).
- Cách làm đặt x=max{x,y,z,t } rồi kiểm tra tính đồng biến nghịch biến của hàm f để đánh giá.
- Lưu ý: Có 1 lớp các bài toán hệ hoán vị dùng lượng giác hóa để giải. Để xét đồng nghịch, cần chia khoảng.
1.
3
3
3
22
22
22
x y y
y z z
z x x


  

  


  

2.
2
2
2
21
21
21
xy
yz
zx








3.
24
24
24

x y z
y z x
z x y









10 - Đƣa về hệ đối xứng, hệ hoán vị (dành riêng cho GPT vô tỉ)
- Đặt ẩn phụ (thường là các căn thức) để đưa về hệ hoán vị
- Thường áp dụng với các bài toán nghiệm duy nhất, các vế có độ tăng nhanh chậm khác nhau, hoặc 2 vế có sự đối xứng.
1.
2
1
21
2
x
x


2.
2
4 8 2 3 1x x x   
3.
22
2

1 ( )
3
xx  
4.
33xx  

11 - Thế khôn ngoan
- Đặt ẩn phụ (thường là các căn thức) để đưa về hệ hoán vị
- Thường áp dụng với các bài toán nghiệm duy nhất, các vế có độ tăng nhanh chậm khác nhau, hoặc 2 vế có sự đối xứng.
1.
2 2 2
22
6 6 3 9 0
6 9 0
x y xy y
x y y x

   


  


2.
2 2 2
22
3 2 6 3 3 7 7 2
3 4 3 3 1 0
y y y x x x
y x y x


       


    



Một số hƣớng tƣ duy khác (Do thời gian có hạn nên anh sẽ cập nhật ở Hệ thống tư duy Toán Version 2.0)
- Bình phương, phân tích bình phương, pp dùng định lý Lagrăng, tam thức bậc 2, pp phức hóa, siêu mò
- Đưa về cùng cơ số, logarit 2 vế, đưa về PT mũ, chia cho thằng to nhất rồi đồng nghịch, đặt ẩn phụ, dùng tam thức bậc
2 (dành cho BT GPT Mũ, logarit, )

Chúc các em học tốt!