nghiệm yếu pt eliptic

PHẦN NỘI DUNG
CHƯƠNG 1: CÁC KÍ HIỆU VÀ GIỚI THIỆU KHƠNG GIAN
SOBOLEV
1.1

Các kí hiệu

1.1.1 Kí hiệu đối với ma trận
(1) Ta viết

) để kí hiệu một ma trận

= (

i, cột j. Ma trận đường chéo

( 2)

×

×

với

,…,

là phần tử hàng

).

= khơng gian các ma trận đối

= vết của ma trận , tức là tổng các phần tử ở trên đường chéo chính.

(3) tr

(4) det

= định thức của ma trận .

= chuyển vị của ma trận .

(6) Nếu

= (

Đặc biệt :
và

) và

:

| |=( : )

(7) Nếu
là

∈

×

= (

) là hai ma trận

:

=

,

× , thì

: tổng tất cả các bình phương của các phần tử của

= ∑

và

(8) Đôi khi ta sẽ viết

∑

=( ,

(

,…,

thay cho

)

được gọi là chuẩn của ma trận .
) ∈ ℝ , khi đó dạng tồn phương tương ứng

=

với

1.1.2 Kí hiệu hình học
(1) ℝ là khơng gian Euclide thực
(2)

× .

× .

xứng thực

( 5)

được kí hiệu là diag(

= khơng gian các ma trận thực

×

dạng

,

∈

chiều, ℝ = ℝ .

×

= (0, … ,0,1,0, … 0) là vectơ tọa độ đơn vị thứ .

7

.

và

∈ℝ .


(3) Một điểm trong ℝ là

=( ,

). Trong trường hợp cụ thể có thể coi

,…,

như là một vectơ hàng hoặc vectơ cột.

(4) ℝ = { = ( , … ,

(5)

ℝ ={
,

)∈ℝ ⁄

> 0} là nửa khơng gian mở phía trên.

∈ ℝ ⁄ > 0}.

thường kí hiệu các tập mở của ℝ . Ta viết

và

⊂⊂

nếu
(6)
(7)
(8)
(9)

⊂

⊂ ,

=

là biên của ,

=

được chứa compact trong .

là compact và ta nói

× (0, ].

là bao đóng của .

∪

( , ) = { ∈ ℝ ⁄| − | < } là hình cầu mở trong ℝ với tâm

và bán kính

> 0.

( , ) = { ∈ ℝ ⁄| − | ≤ } là hình cầu đóng trong ℝ với tâm

kính

và bán

> 0.

1.1.3 Kí hiệu các hàm số
(1) Nếu :
Ta nói

(2) Nếu

→ ℝ, ta viết ( ) = ( , … ,

là trơn nếu
và

Hàm

(1)

→ ℝ , ta viết

( )=

là thành phần thứ
→ ℝ ( ∈ ).

( ) = lim
→

(2) Ta thường viết
(3) Tương tự

đồng nhất bằng . Ta đặt

được định nghĩa bằng . Giá của hàm

của

1.1.4 Kí hiệu đạo hàm
Giả thiết:

( ∈ ).

nghĩa là

≡

là hai hàm, ta viết

để nói rằng

(3) Nếu :

khả vi vơ hạn.

)

(

)

(4) Kí hiệu đa chỉ số:

( )

( = 1, … ,

).

( )

, nếu giới hạn này tồn tại.

thay cho
=

( ), … ,

,

.
, vv…

=

8

kí hiệu là
( ∈ ).

.

≔


a) Một vectơ có dạng

=(

), trong đó mỗi thành phần

,…,

là một số

nguyên không âm, được gọi là đa chỉ số bậc
| |=

+ ⋯+

b) Cho trước một đa chỉ số , kí hiệu

| |

( )≔

c) Nếu

…

là số ngun khơng âm

( )

( )≔{

.

=

…

.

( ) ⁄| | = }

là tập tất cả các đạo hàm riêng bậc . Ta có thể coi
ℝ .

d) |

| = ∑|

|

|

|

.

e) Các trường hợp đặc biệt : Nếu
=

Nếu

= 1, ta coi

là vectơ gradient.

,…,

được sắp xếp trong ma trận

= 2, ta coi các phần tử của
⋯

⎛
=⎜ ⋮

⋱

⎞
⎟

⋮

⋯

⎝

⎠

là ma trận Hessian.
×

(5) Thỉnh thoảng ta dùng chỉ số dưới gắn với các kí hiệu

được lấy đạo hàm. Chẳng hạn như : nếu
=

(6) ∆ = ∑

,…,

,
=

(

1.1.5 Các không gian hàm
(1)

( )={ :

( )={ ∈

Do đó : nếu
(2)

=

,…,

| |≤ .

( )={ :

.

,

, … để ký hiệu các biến

= ( , ) ( ∈ℝ ,

∈ ℝ ), thì

) là tốn tử Laplace của .

→ ℝ⁄ liên tục}.

( ) = { ∈ ( )⁄ liên tục đều}.
( )={ :

( ) là một điểm trong

→ ℝ⁄ là liên tục khả vi

∈

( )⁄

( ) thì

lần}.

liên tục đều với mọi | | ≤ }.

thác triển liên tục tới

→ ℝ⁄ là khả vi vô hạn} = ⋂

9

( ).

với mọi đa chỉ số

,


( )=⋂

( ),

(3)

( )={ ∈

‖ ‖

(6)
(7)

,

,

( ),

= ‖|
,

( ),

sup| |.

=

( )

( )={ :
( )

→ ℝ⁄ ∈
|‖

( ),

‖

( ) với mọi
‖

( )

1.1.6 Hàm véctơ
(1) Nếu

→ℝ ,

và |

> 1 và :

=⎛ ⋮
(3) Nếu

1.2

⎝

,

| = ∑|

(2) Đặc biệt :

( )

, … , ( = 0,1, … ,1 ≤

( = 0 … ,0 ≤

=(

(1 ≤

| |

=

( )

( )

→ ℝ⁄ là đo được Lebesgue, ‖ ‖

:

trong đó ‖ ‖
‖

⊂⊂ }.

→ ℝ⁄ là đo được Lebesgue, ‖ ‖

:

( )=

( )⁄

( ) triệt tiêu (nhận giá trị 0) trên biên

∈

( )=

(5) ‖

( ),…, với giá compact

( ), …, ký hiệu các hàm trong ( ),

Các hàm
(4)

( ).

|

,…,

|

⋱
⋯

⋮ ⎞

div

=

= , ta có

⎠

< ∞ , trong đó

( )

⊂⊂ }.
|‖

< ∞).

<∞ ,

( ).

≤ ∞) ký hiệu các không gian Sobolev.
≤ 1) ký hiệu các không gian H ̈ lder.

,…,

), ( ∈ )

) với mọi đa chỉ số ,

|

= 1 ta có
⋯

=(

= ‖|

của .

.

= ma trận

×

(

)

Giới thiệu khơng gian Sobolev

= tốn tử

.

của.

Trong chương này, chúng tơi trình bày một vài kết quả của lí thuyết khơng gian
Sobolev, làm nền tảng để nghiên cứu các vấn đề của luận văn trong chương sau.
1.2.1 Không gian Sobolev
Định nghĩa 1.1 (Đạo hàm yếu)

,

( ),

∈ [1, +∞)

10


nếu

Khi đó ta đặt:

( ) gọi là đạo hàm yếu của

∈

=

,

( ),

∈ [ , +∞])

,

là một tập mở, bị chặn của ℝ .Khơng gian tuyến tính
,

trên

.

Định nghĩa 1.2 (Khơng gian Sobolev
Cho

bậc

= (−1)| | .

( ).

∈

với mọi

( ). Một hàm

∈

Cho

( )≔{ ∈

( ) ⁄∃

( )}.

∈

(1.1)

( ) cho bởi (1.1) được gọi là khơng gian

,

Vậy khơng gian tuyến tính

, ∀| | ≤ ,

( ) cho bởi:

Sobolev. Nó là một khơng gian Banach với chuẩn

‖ ‖

, ( )

Lưu ý rằng

≔

‖ ‖

Định nghĩa 1.3

Bao đóng của
Ta có :
Vậy ∀ ∈
⇔∀ ∈

,

( )=
,

,

nếu 1 ≤

‖

nếu

( )

≤ +∞
.

=∞

( ) là một khơng gian Hilbert với tích vô hướng :

( )

( ).
∞(

|

‖

| |

〈 , 〉

chuẩn tương ứng :

( )=

|

| |

⎨
⎪
⎩

,

( )=

Kí hiệu :

⎧
⎪

( )

=

( )

〈 , 〉

) trong
, ( )

.

( ), ∀ > 0, ∃ ∈

( ), ∃( ) ⊂

‖ −

=

.

| |

( )

,

=

( ) được ký hiệu là

( ) sao cho

‖ − ‖

, ( )

( ) sao cho
‖

|

| |

, ( )

→0

11

<
ℎ

→ ∞.

|

.

,

( ):

(1.2)


Theo khái niệm vết của hàm
= 0 trên ∂U với mọi | | ≤

Ký hiệu:

Chú ý:
( ). Khi đó

∈

Cho

,

( )=
∈

1.2.2 Các định lý

( )⟺ ế

( )
⁄

Định lý 1.1 (Định lý compact Rellich-Kondrachov)
Giả thiết
đó

với

∗

là một tập mở, bị chặn của ℝ ,
,

≔

( ) ⊂⊂

= 0.

( ) với mỗi 1 ≤

≔ trung bình của

là tập mở bị chặn, liên thơng của ℝ với
chỉ phụ thuộc vào , và

tồn tại hằng số

với mỗi hàm

∈

,

( ).

‖ −( ) ‖

∗

≤

,

là

sao cho

( )

≤ , khi
(1.3).

trên .

Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Poincare)
Cho

( ). Giả sử 1 ≤

là

: số liên hợp Sobolev của .

Kí hiệu : ( ) ≔ ∫

− 1.

≤ ‖

‖

,1≤

≤ ∞. Khi đó
(1.4)

( )

Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Soboblev tổng quát)
Cho
( ) Nếu
thì

∈

là một tập mở bị chặn, trong ℝ , với biên là

( ), sao cho

Chúng ta có đánh giá

với

∈

,

( ).

<
1
‖ ‖

là hằng số chỉ phụ thuộc vào , ,

( ) Nếu

. Giả thiết

=

1

− .

( )

≤ ‖ ‖

và .

12

, ( )

,

(1.5)


,

∈

thì

=

>

( ), sao cho

+ 1 − , nếu

khơng phải là một số nguyên

một số dương nào đó nhỏ hơn 1, nếu

là một số nguyên

Chúng ta có đánh giá

với

‖ ‖

,

≤ ‖ ‖

( )

, ( )

là hằng số chỉ phụ thuộc vào , , , và .

,

(1.6)

Định lý 1.4 (Tỷ sai phân và đạo hàm yếu)
Với:

( ) =

(

( ) Giả sử 1 ≤

)

( )

, ( = 1 … ).

≤ ∞ và
‖

∈

‖

,

( ) Giả thiết 1 <

< ∞,

dist( ,

với tất cả 0 < |ℎ| <
Nhận xét 1.1

‖

∈

‖

( ), … ,

( ). Với mỗi
≤ ‖

( )

và tất cả 0 < |ℎ| <

với một vài hằng số

( )≔
( ,

‖

( )

( )

⊂⊂

(1.7)

).

( ), và tồn tại một hằng số

( )

≤

). Khi đó:

,

∈

( ), với ‖

‖

Kết luận trong Định lý 1.4 vẫn cịn đúng khi khơng xảy ra
là một nửa quả cầu mở
=

0, 1 2 ∩ {

(0,1) ∩ {

> 0},

> 0}, chúng ta có cận ∫

1, … , − 1. Chứng minh tương tự đúng với điều đã cho.

sao cho

( )

≤ .

(1.8)

⊂⊂ . Ví dụ, nếu

≤∫

với

=

( ) nếu

là

1.2.3 Không gian
Định nghĩa 1.4

Không gian đối ngẫu của

( ) được kí hiệu là

một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên
Định nghĩa 1.5
Nếu

∈

( ),

‖ ‖

( )

( ).

= sup 〈 , 〉⁄ ∈

13

( ) , ‖ u‖

( ):

( )

∈

≤1 .


Ta viết 〈 , 〉 để kí hiệu giá trị của
Định lý 1.5 (Cấu trúc của
( ) Giả thiết
( ) Hơn nữa,
‖ ‖

( )

∈

)

( ) tại

∈

( ). Khi đó tồn tại các hàm

〈 , 〉=

= inf

( ).

∈

+

,

,…,
∈

( ) .

thỏa mãn (1.9) với

∫ ∑

Chú ý: Từ (1.9) chúng ta viết =

−∑

( ) sao cho

trong

( ) .

(1.9)

,

,…,

∈

.

CHƯƠNG 2: NGHIỆM YẾU CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC
CẤP HAI
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu tính giải được của phương trình vi

phân đạo hàm riêng elliptic cấp hai đều với các điều kiện biên. Chúng ta sẽ khai thác
hai kĩ thuật cơ bản khác nhau là: phương pháp năng lượng trong các không gian
Sobolev và phương pháp nguyên lý cực đại.

2.1

Các định nghĩa

Định nghĩa 2.1 (Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai)
Chúng ta sẽ nghiên cứu bài tốn với điều kiện biên

trong đó
:
hoặc

= trong
= 0 trên ,

là một tập mở, bị chặn trong ℝ và :

⟶ ℝ, là hàm đã cho, và
=−

,

=−

với các hàm hệ số đã cho

,

,

⟶ ℝ,

(2.1)

= ( )là ẩn hàm. Ở đây

là tốn tử vi phân đạo hàm riêng có dạng
( )

( )

+

( )

+ ( ) ,

(2.2)

+

( )

+ ( ) ,

(2.3)

, ( , = 1, … , ).

14


Ta nói rằng phương trình vi phân đạo hàm riêng
nếu

được cho bởi (2.2), và có dạng khơng divergence nếu

hỏi

=0

=

có dạng divergence

được cho bởi (2.3). Đòi

ở trong (2.1) được gọi là điều kiện biên Dirichlet.

ê

Nhận xét 2.1
-

Nếu các hệ số ứng với các đạo hàm bậc cao nhất

( , = 1, … , ) là các hàm

( ), thì một tốn tử cho dưới dạng divergence có thể viết lại dưới dạng khơng

divergence và ngược lại. Do vậy, ta có phương trình dạng divergence (2.2) trở thành

với
-

−∑

≔

=−

( )

,

( )

+

+ ( )

(2.2′)

( = 1, … , ) , và (2.2′) hiển nhiên có dạng khơng divergence.

Về sau ta sẽ thấy lợi ích của việc xét hai dạng tách biệt của . Dạng divergence

là dạng tự nhiên nhất đối với phương pháp năng lượng vì nó dựa trên việc tích phân
từng phần. Cịn dạng khơng divergence thích hợp nhất đối với những kĩ thuật nguyên
lý cực đại.
-

Từ nay về sau ta luôn giả thuyết có điều kiện đối xứng
=

Định nghĩa 2.2

( , = 1, … , ).

Ta nói rằng tốn tử vi phân đạo hàm riêng
hằng số

> 0 sao cho

với hầu hết

∈

và với mọi

,

∈ℝ .

( )

 Tính elliptic có nghĩa là, với mỗi

là elliptic (đều) nếu tồn tại một

≥ | |
∈ , ma trận đối xứng cấp

(2.4)
× : ( )=

( ) xác định dương, với giá trị riêng nhỏ nhất lớn hơn hoặc bằng .

 Nếu

≡

,

≡ 0,

≡ 0, thì tốn tử

chính là −∆, do vậy, ta cũng sẽ thấy

rằng, các nghiệm của phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai tổng quát
tương tự, theo nhiều khía cạnh, với các nghiệm của hàm điều hòa.

15

=0


Ý nghĩ vật lý:
Phương trình đạo hàm riêng elliptic cấp hai là sự tổng qt hóa của phương
trình Laplace và Poisson. Từ sự khởi nguồn của phương trình Laplace trong các ứng
dụng,


thường được biểu thị mật độ của một đại lượng nào đó hay nồng độ hóa học,

ở trạng thái cân bằng trong một miền .


Số hạng bậc hai :

hệ số (

tính elliptic suy ra
nơi có nồng độ thấp.


biểu thị sự khuếch tán của

trong , các

) mô tả sự không đẳng hướng, hoặc sự khơng đồng chất của mơi

trường.Nói riêng,



=∑

≔−
.

là mật độ thông lượng khuếch tán, và điều kiện về

≤ 0; tức là , dịng dịch chuyển từ nơi có nồng độ cao tới
=∑

Số hạng bậc nhất :

biểu diễn sự dịch chuyển trong .

miêu tả sự hình thành hoặc mất đi (mang tính địa

Số hạng bậc khơng

phương) của hóa chất (do các phản ứng).
Để phân tích cẩn thận các ý nghĩa này đòi hỏi phải nghiên cứu về các quá trình
khuếch tán.

2.2

Nghiệm yếu
Người ta nghi rằng để là nghiệm của một phương trình đạo hàm riêng cấp k thì

hàm

phải khả vi liên tục k lần trong miền đang xét và thỏa mãn phương trình tại mọi

điểm trong miền đó, nghiệm hiểu theo cách đó được gọi là nghiệm cổ điển.
Tuy nhiên, trên thực tế, nghiệm cổ điển không phải lúc nào cũng tồn tại. Từ đó người
ta cố gắng “tìm” (đề xuất) khái niệm nghiệm yếu hơn hay còn được gọi là nghiệm suy
rộng.

2.2.1 Cơ sở dẫn tới khái niệm nghiệm yếu
Trước hết xét bài tốn biên (2.1) khi

có dạng divergence (2.2). Chúng ta sẽ

định nghĩa và xây dựng một nghiệm yếu thích hợp

của (2.1), sau đó sẽ nghiên cứu

tính trơn và các tính chất khác của .
Ta giả thiết như sau:
và

,

, ∈

( ), , = 1, … ,

16

(2.5)


( ).

∈

là một nghiệm trơn, ta nhân phương trình đạo hàm riêng

Giả sử
dẫn đến

với

( ), rồi lấy tích phân từng phần số hạng thứ nhất ở vế trái trên

∈

một hàm thử

=

(2.6)

+

,

+

= 0 trên

Khơng có tích phân trên biên vì

được một đồng nhất thức tương tự khi hàm trơn
đồng nhất thức đó có nghĩa khi
hợp với điều kiện biên (2.1)

∈

= 0 trên

=

.

(2.7)

. Bằng cách xấp xỉ ta cũng nhận

được thay bởi

( ) tùy ý, và

∈

( ) để phù

( ). Chúng ta chọn khơng gian
.

2.2.2 Nghiệm yếu của bài tốn giá trị biên elliptic
Định nghĩa 2.3
( ) Dạng song tuyến tính
nghĩa trong (2.2) là :

với ,

( ).

∈

( ) Ta nói rằng
với mọi

∈

Nhận xét 2.2

[ , ] liên kết với toán tử elliptic dạng divergence

[ , ]≔
∈

+

,

+

,

( ) là một nghiệm yếu của bài toán biên (2.1) nếu
[ , ]=( , )

( ), trong đó ( , ) kí hiệu tích vơ hướng trong

( ).

định

(2.8)

(2.9)

Đồng nhất thức (2.9) đôi khi được gọi là biểu thức biến phân của (2.1).Thuật
ngữ này sẽ được giải thích sau.
Tổng qt hơn, ta xét bài tốn biên
=

trong đó

cho bởi (2.2) và

định lý 1.5 ta thấy, vế phải
( ).

=0
=

∈

−

trong

trên

,

(2.10)

( ) ( = 0, … , ). Theo lý thuyết thiết lập trong

−∑

thuộc

17

( ), không gian đối ngẫu của


Định nghĩa 2.4
∈

Ta nói

với mọi
( ) và

∈

Nhận xét 2.3

( ) là một nghiệm yếu của bài toán (2.10) nếu
[ , ]=〈 , 〉

( ), trong đó 〈 , 〉 = ∫

( ).

+∑

và 〈 , 〉 là cặp của

Từ nay về sau chúng ta chủ yếu chỉ quan tâm tới trường hợp điều kiện biên
đồng nhất bằng khơng như trên, vì một bài tốn với điều kiện biên khác khơng có thể
dễ dàng đưa về dạng đó.
Thật vậy, giả sử

là

Điều đó có nghĩa là
mọi

và

=

( ) là một nghiệm yếu của

∈

= trong
= trên .

theo nghĩa vết, và đồng nhất thức (2.9) đúng với

trên

( ). Như vậy điều kiện cần là

∈

Nhưng khi đó,

trong đó

≔

≔

−

−

( ).

∈

nào đó.

( ), và là một nghiệm yếu của bài toán biên

thuộc

∈

phải là vết của một hàm

= trong
= 0 trên ,

2.2.3 Sự tồn tại của nghiệm yếu

2.2.3.1 Định lý Lax-Milgram
Mục này ta giới thiệu nguyên lý khá đơn giản của giải tích hàm tuyến tính, một
cơng cụ để chứng minh sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm yếu của bài tốn biên
Ta giả sử

là một khơng gian Hilbert thực, với chuẩn ‖. ‖ và tích vơ hướng (, ). Ta

gọi 〈 , 〉 là cặp đối ngẫu của

và khơng gian đối ngẫu của nó.

Định lý 2.1 (Định lý Lax-Milgram) Cho H là khơng gian Hilbert, giả sử
:

×

→ℝ

là một ánh xạ song tuyến tính, và tồn tại các hằng số ,
và
còn :

| [ , ]| ≤ ‖ ‖‖ ‖, ( ,

> 0 sao cho

‖ ‖ ≤ [ , ] ( ∈

→ ℝ là một phiếm hàm tuyến tính bị chặn trên

18

∈

.

),

)

()
( )


Khi đó tồn tại duy nhất một phần tử
∈

với mọi

∈

sao cho

[ , ]=〈 , 〉

.

(2.11)

Chứng minh

1. Với mỗi phần tử cố định

→ [ , ] là một phiếm hàm tuyến

, ánh xạ

, nên theo định lý biểu diễn Riesz, suy ra tồn tại một phần tử

tính bị chặn trên
∈

∈

thỏa mãn

Khi đó đặt

=

ta có

[ , ]=(

2. Trước hết ta chỉ ra :
Thật vậy, nếu

,

[ , ]=(

→

, ), ( ,

+

,

∈

=

=(

(

đẳng thức này nhận được với mỗi
Vậy ‖

‖ =(

,

)= [ ,

‖ ≤ ‖ ‖ với mọi

3. Tiếp theo ta khẳng định

(2.12)

).

(2.13)

, tâ nhận thấy với mỗi

), ) = [
=

‖

∈

).

là một toán tử tuyến tính bị chặn.

∈ ℝ và

( (

, ), ( ∈

∈

[

∈

+

, ]+

, )+
+

(

, do đó

, ]

, ),

(2.13)

, ) ạ

(2.13)

là tuyến tính. Hơn nữa

] ≤ ‖ ‖‖

, hay

[

, ]

∈

là bị chặn.

‖( ∈

).

à1−1 à
( ), tập giá trị của , là đóng trong .

Thật vậy, ta có

‖ ‖ ≤ [ , ]=(

tức là ‖ ‖ ≤ ‖

4. Dễ dàng thấy rằng

, )≤‖

‖‖ ‖ ( ∈

‖. Bất đẳng thức này suy ra (2.14).

(2.14)

),

( )=

(2.15)

vì nếu trái lại thì, do ( ) là đóng, nên sẽ tồn tại một phần tử khác không
với

[

,

∈ ( ) . Nhưng điều này lại dẫn đến sự mâu thuẫn

]=(

,

) = 0.

5. Theo định lý biểu diễn Riesz ta có

19

‖

∈

‖ ≤

∈

với phần tử

, ) với mọi

∈

. Lúc này, sử dụng (2.14) và (2.15) để tìm được

. Khi đó

=

mãn

〈 , 〉=(

[ , ]=(

, )=(

và đây chính là (2.11).

, ) = 〈 , 〉,

( ∈
∈

6. Cuối cùng, ta chỉ ra rằng, có nhiều nhất một phần tử

∈

thỏa

),
thỏa mãn (2.11)

Vì từ [ , ] = 〈 , 〉 và [ , ] = 〈 , 〉, ta sẽ suy ra [ − , ] = 0, ( ∈
). Chọn

=

Nhận xét 2.4

−

để có ‖ − ‖ ≤ [ − , − ] = 0. Hay

Nếu dạng song tuyến tính [ , ] là đối xứng, tức là nếu
[ , ] = [ , ],

( ,

∈

= .□

),

thì ta chứng minh đơn giản hơn rất nhiều nhờ chú ý rằng ( , ) = [ , ] là một tích
vơ hướng mới trên

và sử dụng trực tiếp Định lý biểu diễn Riesz. Từ đây ta cũng

nhận thấy ý nghĩa quan trọng của Định lý Lax-Milgram vì nó khơng địi hỏi tính đối
xứng của [ , ].

2.2.3.2 Đánh giá năng lượng
Xét dạng song tuyến tính [ , ] xác định bởi công thức:
với ,

[ , ]≔

+

,

+

( ), và ta sẽ kiểm tra các giả thiết của Định lý Lax-Milgram.

∈

Định lý 2.2 (Đánh giá năng lượng)
Tồn tại các hằng số ,

> 0 và

và

với mọi ,

∈

Chứng minh

( ).

‖ ‖

> 0 sao cho

| [ , ]| ≤ ‖ ‖ ‖ ‖

()

≤ [ , ]+ ‖ ‖

( )

( )

1. Ta dễ dàng kiểm tra
| [ , ]| ≤

,

|

||

|

20

( )


+

với một hằng số

thích hợp.

|

|| |

+‖ ‖

| || |

≤ ‖ ‖ ‖ ‖ ,

2. Hơn nữa, từ điều kiện (2.4) về tính elliptic ta có
|

|

≤

,

= [ , ]−

+

≤ [ , ]+

|

(2.16)
|| |

Bây giờ từ Bất đẳng thức Cauchy với , ta nhận được
|

|| |

|

≤

|

+

+‖ ‖

1
4

,

.

( > 0).

Thế đánh giá này vào (2.16) sau đó chọn ( > 0) đủ nhỏ sao cho
< .
2

Khi đó

với một hằng số

2

|

≤ [ , ]+

|

thích hợp. Thêm nữa, từ Bất đẳng thức Poincare ở Định lý

1.2
‖ ‖

suy ra

‖ ‖

với các hằng số thích hợp ,

( )

( )

≤ ‖

‖

( ),

≤ [ , ]+ ‖ ‖

>0,

> 0.□

 Bây giờ để ý rằng, nếu trong đánh giá năng lượng mà

( )

> 0, thì

[ , ] chưa chắc đã

thỏa mãn giả thiết của Định lý Lax-Milgram. Khẳng định sau đây về sự tồn tại của
nghiệm yếu sẽ phải đối mặt với khả năng này.

Định lý 2.3 (Định lý tồn tại nghiệm yếu thứ nhất)
21


> 0 sao cho với mỗi

Tồn tại một số
và với mỗi hàm

∈

( ), có một nghiệm duy nhất
+
=0

Chứng minh
từ Định lý 2.2,

1. Lấy

≥

=

trong
trên .

2. Cố định

∈

bị chặn trên

(2.18)

≥ , và định nghĩa dạng song tuyến tính

tương ứng tốn tử

( ). Khi đó

( ) của bài tốn biên

∈

[ , ] ≔ [ , ] + ( , ),

trong

(2.17)

≔

,

∈

( ) ,

. Trong đó ( , ) vẫn kí hiệu tích vơ hướng

+

[ , ] thỏa mãn các giả thiết của Định lý Lax-Milgram.

( ) và đặt 〈 , 〉 ≔ ( , )

( ), đặt biệt là trên

( ).

( )

đay là một phiếm hàm tuyến tính

Áp dụng Định lý Lax-Milgram ta tìm được một hàm duy nhất
mãn

với tất cả
Nhận xét 2.5

∈

là nghiệm yếu duy nhất của (2.18).□

Tương tự ta cũng chứng minh được rằng, với mọi

=

=0

−
+∑

Thực vậy, chỉ cần chú ý rằng : ∫
chặn trên

∈

của bài toán

+

( ).

trong

trên

.

là một đẳng cấu.

+

:

( )→

2.2.3.3 Thế vị Fredholm

22

( ), ( = 0, … , ),
(2.19)

là một phiếm hàm tuyến tính bị

Nói riêng, ta suy ra ánh xạ
≔

( ) thỏa

[ , ]=〈 , 〉

( ). Do đó

tồn tại duy nhất một nghiệm yếu

∈

( )

( ≥ )


Tiếp theo chúng ta sử dụng lý thuyết Fredholm về các tốn tử compact để điểm

qua những thơng tin chi tiết liên quan đến tính giải được của phương trình đạo hàm
riêng elliptic cấp hai.
Định nghĩa 2.5
( ) Toán tử
với

∗

, liên hợp hình thức của , được xác định bởi

∗

≔

∈ C (U ),

=−

−

,

= 1, … , .

( ) Dạng song tuyến tính liên hợp
với mọi ,

∈

( ) Ta nói rằng

( ).
∈

∈

∗[

∶

−

,

→ ℝ được định nghĩa bởi

×

, ]= [ , ]

( ) là một nghiệm yếu của bài toán liên hợp
∗

=
=0

nếu
với mọi

∗

+

∗[

( ).

trong
trên ,

, ]=( , )

Định lý 2.4 (Định lý tồn tại nghiệm yếu thứ hai)
( ) Có đúng một trong các khẳng định sau đây là đúng
( )
hoặc
( )

Với mỗi ∈ ( ) ó duy nhất một nghiệm yếu
của bài toán giá trị biên
= trong
= 0 trên

Tồn tại một nghiệm yếu
của bài toán thuần nhất
= 0 trong
= 0 trên

≢0

( ) Hơn nữa, khi ( ) đúng thì khơng gian các nghiệm yếu của (2.21),
số chiều hữu hạn và bằng với số chiều của không gian con
yếu của
∗

=0
=0

trong
trên .

23

(2.20)

∗

⊂

⊂

(2.21)

( ) có

( ) các nghiệm
(2.22)


( ) Cuối cùng, bài tốn biên (2.20) có nghiệm yếu khi và chỉ khi

( , ) = 0 với mọi

∗

∈

.

Sự phân chia thành hai khả năng ( ), ( ) được gọi là thế vị Fredholm.
Chứng minh
1. Chọn

=

như trong Định lý 2.3 và xác định dạng song tuyến tính
[ , ] ≔ [ , ] + ( , ),

tương ứng với tốn tử

. Khi đó với mỗi

+

( ) thỏa mãn

∈

hàm duy nhất

≔

[ , ] = ( , ) với mọi

2. Tiếp đến ta để ý rằng

=

∈

[ , ]=(

( ) tồn tại một

( )

∈

Khi (2.23) thỏa mãn thì ta viết

∈

(2.23)

.

(2.24)

( ) là một nghiệm yếu của (2.20) khi và chỉ khi
+ , ) với mọi

tức là khi và chỉ khi

(

=

với

( );

(2.25)

+ ).

Chúng ta viết lại đẳng thức này thành
−

∈

(2.26)

= ℎ,

(2.27)

≔

và

3. Bây giờ chúng ta sẽ chứng tỏ

:

bị chặn. Thực vậy, từ cách chọn

(2.28)

ℎ≔

.

( )→

(2.29)

( ) là toán tử compact, tuyến tính,

và từ đánh giá năng lượng trong phương

trình hyperbolic cấp 2, ta thấy rằng, nếu (2.23) thỏa mãn thì
‖ ‖

( )

≤

vì vậy từ (2.28) suy ra

với một hằng số

‖

[ , ]=( , )≤‖ ‖
‖

( )

≤ ‖ ‖

thích hợp. Nhưng từ

( ),

24

‖

( ∈

( ) ⊂⊂

tính compact Rellich-Kondrachov), ta suy ra
4. Theo thế vị Fredholm thì :

( )‖

( )

≤‖ ‖

( )‖

( ))

‖

( );

( ) ( theo Định lý 1.1 về

là một toán tử compact.


Hoặc

hoặc

( )
( )

Với mỗi ℎ ∈ ( ) phương trình
có nghiệm duy nhất ∈ ( ),
Phương trình −
=0
có nghiệm khác khơng thuộc

−

=ℎ

(2.30)
(2.31)

( ).

Khi khẳng định ( ) đúng thì theo (2.25)-(2.29) tồn tại duy nhất một nghiệm yếu
của bài toán (2.20). Mặt khác, khi khẳng định ( ) xảy ra thì điều kiện cần là
≠ 0 đồng thời từ §D.5 trong [4] ta có số chiều của khơng gian

của (2.31) là hữu hạn và bằng với số chiều của không gian
∗

−

= 0.

∗

các nghiệm

các nghiệm của
(2.32)

Tuy nhiên chúng ta cũng dễ dàng kiểm tra được rằng, (2.31) thỏa mãn nếu và
chỉ nếu

là một nghiệm yếu của (2.31) và (2.32) xảy ra khi và chỉ khi

là một

nghiệm yếu của (2.22).
5. Cuối cùng nhớ rằng,(2.30) có một nghiệm khi và chỉ khi
với mọi

(ℎ, ) = 0

(2.33)

là nghiệm của (2.32). Nhưng từ (2.28), (2.29) và (2.32) ta tính được
(ℎ, ) =

1

(

, )=

1

( ,

∗

)=

1

( , ).

Suy ra bài tốn biên (2.20) có một nghiệm nếu và chỉ nếu ( , ) = 0 với mọi

nghiệm yếu

của (2.22).□

Định nghĩa 2.6
Ta gọi ∑ là phổ (thực) của bài tốn .

Đặc biệt, bài tốn biên

=
=0

Có ngiệm khơng tầm thường
=

≢ 0 khi và chỉ khi

∈ ∑, lúc đó

được gọi là

là hàm riêng tương ứng với giá trị riêng . Phương trình

một giá trị riêng của ,
đạo hàm riêng

trong
trên .

với

= −Δ cịn được gọi là phương trình Helmholtz.

Định lý 2.5 (Định lý tồn tại nghiệm yếu thứ ba)

( ) Tồn tại nhiều nhất một tập đếm được ∑ ⊂ ℝ sao cho bài toán biên

25


=
=0

trong
(2.34)
trên .
có một nghiệm yếu duy nhất với mỗi
∈ ( ) khi và chỉ khi
∉ ∑.
( ) Nếu ∑ ô hạn, thì ∑ = { }

+

, các giá trị của dãy không giảm, với
→ +∞.

Chứng minh
1. Giả sử

là hằng số trong Định lý (2.2) và giả thiết

>− .

Khơng mất tính tổng quát, ta giả sử thêm là

(2.35)

> 0.

2. Theo thế vị Fredholm, bài tốn biên (2.34) có một nghiệm yếu duy nhất với mỗi
∈

( ) nếu và chỉ nếu

≡ 0 là một nghiệm yếu duy nhất của

+
=0

=( + )

ê

Bây giờ ta lại thấy (2.36) thỏa mãn khi

( + ) =

=

+

(2.36)

.
,

ở đó, như trong chứng minh của Định lý (2.4), ta đặt
:

( )→

Do vậy, nếu

( ) là một toán tử tuyến tính, compact và bị chặn.

(2.37)

=

, và

≡ 0 là nghiệm duy nhất của (2.37), ta có :

khơng là giá trị riêng của .

+

Như vậy là, bài tốn (2.34) có một nghiệm yếu duy nhất, với mỗi
khi và chỉ khi (2.38) đúng.

∈

(2.38)
( ),

3. Theo định lý về phổ của toán tử compact, tập hợp tất cả các giá trị riêng của
là một tập hữu hạn hoặc là các giá trị của một dãy hội tụ tới không. Trong
trường hợp thứ hai, theo (2.35) và (2.37), bài tốn (2.34) có một nghiệm duy
nhất với mỗi

∈

( ), trừ ra một dãy

Cuối cùng, chúng ta chú ý :

→ +∞.□

Định lý 2.6 (Tính bị chặn của ánh xạ ngược)
Nếu

∉ ∑, tồn tại một hằng số

‖ ‖

sao cho
( )

≤ ‖ ‖

26

( ),

(2.39)


trong đó

( ) và

∈

( ) là một nghiệm yếu duy nhất của

∈

chỉ sự phụ thuộc vào ,

Hằng số

Hằng số này sẽ tăng vô hạng nếu

=
=0

+

trong
trên .

và các hệ số của .

tiến tới một giá trị riêng.

Chứng minh
Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp phản chứng. Giả sử tồn tại một dãy
{ }

⊂

( ) và {

}

( ) sao cho

⊂

=
=0

theo nghĩa yếu, nhưng
‖

Ta có thể sử dụng rằng ‖

‖

‖

( )

+

> ‖ ‖

( )

Khi đó

Do

⊂{

}

}

sao cho

→

=
=0

trong
trên .

≡ 0. Tuy nhiên, từ (2.40) thì ‖ ‖

( )

( ). Theo

( ). Do đó tồn tại

( ),

( ).

là một nghiệm yếu của

→ 0 trong

là bị chặn trong

theo nghĩa yếu trong

thuẫn và định lý được chứng minh.□

2.3

( = 1, … ).

( )

→ 0 trong

∉ ∑, nên

.

= 1, khi đó nhận được

đánh giá năng lượng thơng thường, dãy {
một dãy con

ê

(2.40)

= 1, điều này dẫn tới mâu

Tính chính quy
Một số vấn đề được quan tâm là: liệu nghiệm yếu

của phương trình đạo hàm

riêng
=

trong

,

có trơn hay khơng? Đây là bài tốn về tính chính quy đối với nghiệm yếu.

2.3.1 Mơ tả: đạo hàm hình thức các đánh giá

(2.41)

Để nhận thấy rằng, một nghiệm yếu có thể tốt hơn một hàm “đúng” trong
( ), ta xét bài tốn điển hình sau:

−∆ =

27

trong ℝ .

(2.42)


trơn và triệt tiêu nhanh khi | | → ∞. Khi đó

Ta giả thiế rằng hàm

=

ℝ

ℝ

(∆ )

=−
=

Như vậy ta thấy, chuẩn trong

ℝ

,

(2.43)

ℝ

,

,

=

ℝ

=

ℝ

|

của đạo hàm bậc hai của

|

.

có thể được đánh

của . Tương tự, ta có thể lấy đạo hàm phương

giá bởi (thực tế là hằng) chuẩn trong

trình đạo hàm riêng (2.12) và nhận được
với
trong

≔

nhất của

và

≔

−∆ = ,

( = 1, … , ). Áp dụng phương pháp trên ta thấy chuẩn

của đạo hàm bậc ba của

có thể được đánh giá bởi chuẩn của đạo hàm bậc

. Tiếp tục lập luận trên ta có, chuẩn trong

có thể được đánh giá bởi chuẩn của đạo hàm bậc

của đạo hàm bậc (

của , với

Những tính tốn đó gợi cho ta thấy, có thể nghiệm yếu
trình Poisson (2.42) thuộc

( ) khi dữ liệu khơng thuần nhất

1, … ). Điều đó đặc biệt thú vị khi
đó nó thuộc

∈

( ).

= ∞, lúc đó

∈

+ 2) của

= 0,1 …

( ) của phương

∈

( ) với mọi

( ), (

=

= 1, …, và do

Tuy nhiên, để ý rằng, các tính tốn ở trên không phải là một chứng minh thật
sự. Ta đã giả thiết

trơn, hoặc ít nhất cũng là

∈

( ), để thực hiện các tính tốn

trong (2.43) ; trong khi đó nếu chúng ta chỉ bắt đầu từ nghiệm yếu trong

( ) thì

chúng ta khơng kiểm tra ngay được (2.43). Thay vào đó chúng ta sẽ phải phân tích các
tỉ số sai phân.

Các tính tốn sau đây thường khó về mặt kĩ thuật, nhưng nó lại dẫn đến những
khẳng định mạnh, thực sự hữu ích về độ trơn của nghiệm yếu. Vẫn như trong các mục
trước, mỗi tính tốn đều dựa chủ yếu vào tính elliptic : cơ sở dẫn đến những đánh giá
giải tích bắt nguồn từ giả thiết về cấu trúc đại số của tính elliptic.

2.3.2 Tính chính quy trong miền
28


Giả sử rằng

⊂ ℝ là một tập mở bị chặn,

phương trình đạo hàm riêng (2.41) trong đó
=−

( )

,

( ) là một nghiệm yếu của

∈

có dạng divergence
( )

+

+ ( ) .

(2.44)

Ta cũng địi thêm về tính elliptic đều và những giả thiết bổ sung về tính trơn của các hệ
số

,

, .

Định lý 2.7 (Tính

-chính quy trong miền)

Giả thiết
∈

và
Giả sử

( ),

, ∈

∈

( ).

( ) ( , = 1, … , )

(2.45)
(2.46)

( ) là một nghiệm của phương trình đạo hàm riêng elliptic

∈

=

Khi đó

và với mỗi tập mở

⊂⊂

.

( );

∈

ta có đánh giá
‖ ‖

( )

≤

‖ ‖

(2.47)
( )

chỉ phụ thuộc vào , , và các hệ số của .

với hằng số
Nhận xét 2.6

( ) Ở đây ta khơng u cầu
theo nghĩa vết.

( ), ta có

+‖ ‖

( )

,

( ), tức là không cần điều kiện biên

∈

(2.48)
= 0 trên

( ) Từ

∈

Vì vậy

thực sự là nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, ít nhất là tại hầu hết các

=

hầu khắp nơi trong .

điểm trong . Để nhận thấy điều này, ta cần để ý là với mỗi
Vì

∈

Như vậy (

[ , ] = ( , ).

∈

( ), ta có

( ), nên ta có thể lấy tích phân từng phần :

Chứng minh

− , ) = 0 với mọi

[ , ]=(
∈

, ).

( ), suy ra

29

=

hầu khắp nơi.

1. Cố định một tập mở tùy ý

⊂⊂ , và chọn một tập mở

. Khi đó chọn một hàm trơn

⊂

thỏa mãn

≡ 1 trên ,
0≤ ≤1

, có khoảng cách dương

. Điều đó là cần thiết khi chúng ta khơng có thơng tin gì về dáng điệu
ở gần

2. Bây giờ, vì
∈

⊂

≡ 0 trên ℝ \ ,

chúng ta sẽ hạn chế tất cả các biểu thức trên tập con
của

⊂⊂

là hàm cắt. Mục đích của ta là, trong các tính tốn sau đây,

chúng ta gọi
đến

sao cho

.
là một nghiệm yếu của (2.41) nên ta có

( ), suy ra

=

,

trong đó

:=

−

3. Bây giờ giả sử |ℎ| > 0 đủ nhỏ, chọn
vào (2.49) ở đó

≔−

−

(

và

4. Đánh giá A : Ta có

.

)

( +ℎ )− ( )
ℎ

Chúng ta viết biểu thức nhận được dưới dạng
với

,

∈ {1, … , }, và thế

kí hiệu tỉ số sai phân
( )=

[ , ] = ( , ) với mọi
(2.49)
(2.50)
(2.51)

(ℎ ∈ ℝ, ℎ ≠ 0).

= ,

(2.52)

≔

(2.53)

,

≔

.

30

(2.54)


=−
=

[

,
,

=

,

,

(

)]

(

)
(

(2.55)
) +(

)

Ở đây chúng ta đã sử dụng các công thức

)

.

=−

và
với

(

(

( ) ≔ ( + ℎ ).

)=

(2.56)
+

,

(2.57)

Bây giờ trở lại (2.55) ta nhận được
=

,

+

+(

≔

+

,

.

)

[

,

2

+(

2

]

)

(2.58)

.

(2.59)

Từ giả thiết về tính elliptic đều suy ra

Hơn nữa,từ (2.45) ta thấy
|

|≤

với một hằng số

Ta chọn

|

≥
|

+

|+

|

thích hợp. Nhưng nhờ bất đẳng thức Cauchy với

|≤

+

= và sử dụng ước lượng ở Định lý 2.4, (i)

31

+|

|

|
.

,

ta có