Tải bản đầy đủ (.pdf) (246 trang)

sách hướng dẫn học môn toán chuyên ngành

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.54 MB, 246 trang )











SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
(Dùng cho sinh viên ngành T-VT h đào to đi hc t xa)
Lu hành ni b









HÀ NI - 2006

=====(=====
HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG



HC VIN CÔNG NGH BU CHÍNH VIN THÔNG








SÁCH HNG DN HC TP
TOÁN CHUYÊN NGÀNH
Biên son : Ts. LÊ BÁ LONG












LI NÓI U
Tip theo chng trình toán hc đi cng bao gm gii tích 1, 2 và toán đi s. Sinh viên
chuyên ngành đin t-vin thông còn cn trang b thêm công c toán xác sut thng kê và toán k
thut.

 đáp ng nhu cu hc tp ca sinh viên chuyên ngành đin t vin thông ca Hc vin,
chúng tôi đã biên son tp bài ging Toán k thut t nm 2000 theo đ cng chi tit môn hc
ca H
c vin. Qua quá trình ging dy chúng tôi thy rng cn hiu chnh và b sung thêm đ

cung cp cho sinh viên nhng công c toán hc tt hn. Trong ln tái bn ln th hai tp bài ging
đc nâng lên thành giáo trình, ni dung bám sát hn na nhng đc thù ca chuyên ngành vin
thông. Chng hn trong ni dung ca phép bin đi Fourier chúng tôi s dng min tn s
f
thay
cho min
ω
. Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent chúng tôi gii thiu phép bin đi
Z

đ biu din các tín hiu ri rc bng các hàm gii tích. Tuy nhiên do đc thù ca phng thc
đào to t xa nên chúng tôi biên son li cho phù hp vi loi hình đào to này.
Tp giáo trình bao gm 7 chng. Mi chng cha đng các ni dung thit yu và đc
coi là các công c toán hc đc lc, hiu qu cho sinh viên, cho k s đi sâu vào lnh vc vin
thông. Ni dung giáo trình đáp ng đ
y đ nhng yêu cu ca đ cng chi tit môn hc đã đc
Hc vin duyt. Trong tng chng chúng tôi c gng trình bày mt cách tng quan đ đi đn các
khái nim và các kt qu. Ch chng minh các đnh lý đòi hi nhng công c va phi không quá
sâu xa hoc chng minh các đnh lý mà trong quá trình chng minh giúp ngi đc hiu sâu hn
bn cht ca đnh lý và giúp ngi đc d
 dàng hn khi vn dng đnh lý. Các đnh lý khó chng
minh s đc ch dn đn các tài liu tham kho khác. Sau mi kt qu đu có ví d minh ho.
Cui cùng tng phn thng có nhng nhn xét bình lun v vic m rng kt qu hoc kh nng
ng dng chúng. Tuy nhiên chúng tôi không đi quá sâu vào các ví d minh ho mang tính chuyên
sâu v vin thông vì s hn ch ca chúng tôi v lãnh vc này và c
ng vì vt ra khi mc đích
ca cun tài liu.
Th t ca tng Ví d, nh lý, nh ngha, đc đánh s theo tng loi và chng. Chng
hn Ví d 3.2, nh ngha 3.1 là ví d th hai và đnh ngha đu tiên ca chng 3… Nu cn
tham kho đn ví d, đnh lý, đnh ngha hay công thc nào đó thì chúng tôi ch rõ s th t c

a ví
d, đnh lý, đnh ngha tng ng. Các công thc đc đánh s th t theo tng chng.
H thng câu hi ôn tp và bài tp ca tng chng có hai loi. Loi trc nghim đúng sai
nhm kim tra trc tip mc đ hiu bài ca hc viên còn loi bài tp tng hp giúp hc viên vn
dng kin thc mt cách sâu sc hn.
Vì nhn thc ca chúng tôi v chuyên ngành in t Vin thông còn hn ch nên không tránh
khi nhiu thiu sót trong vic biên son tài liu này, cng nh cha đa ra ht các công c toán hc
cn thit cn trang b cho các cán b nghiên cu v chuyên ngành đin t vin thông. Chúng tôi rt
mong s đóng góp ca các nhà chuyên môn đ chúng tôi hoàn thin tt hn tp tài liu này.
Tác gi xin bày t li cám n t
i PGS.TS. Lê Trng Vinh, TS Tô Vn Ban, đã đc bn tho
và cho nhng ý kin phn bin quý giá và đc bit ti KS Nguyn Chí Thành ngi đã giúp tôi
biên tp hoàn chnh cun tài liu.
Chng 1: Hàm bin s phc

4
Cui cùng, tác gi xin bày t s cám n đi vi Ban Giám đc Hc vin Công ngh Bu
Chính Vin Thông, Trung tâm ào to Bu Chính Vin Thông 1 và bn bè đng nghip đã
khuyn khích, đng viên, to nhiu điu kin thun li đ chúng tôi hoàn thành tp tài liu này.

Hà Ni 5/2006
Tác gi
Chng 1: Hàm bin s phc

5
CHNG I: HÀM BIN S PHC
PHN GII THIU
Gii tích phc là mt b phn ca toán hc hin đi có nhiu ng dng trong k thut.
Nhiu hin tng vt lý và t nhiên đòi hi phi s dng s phc mi mô t đc. Trong chng
này chúng ta tìm hiu nhng vn đ c bn ca gii tích phc: Lân cn, gii hn, hàm phc liên

tc, gii tích, tích phân phc, chui s ph
c, chui ly tha, chui Laurent…  nghiên cu các
vn đ này chúng ta thng liên h vi nhng kt qu ta đã đt đc đi vi hàm bin thc. Mi
hàm bin phc
() ( ) (, ) (, )wfz fxiy uxyivxy==+= +
tng ng vi hai hàm thc hai bin
(, )uxy, (, )vxy. Hàm phc ()
f
z liên tc khi và ch khi (, )uxy, (, )vxy liên tc. ()
f
z kh vi
khi và ch khi
(, )uxy, (, )vxy có đo hàm riêng cp 1 tha mãn điu kin Cauchy-Riemann. Tích
phân phc tng ng vi hai tích phân đng loi 2 …Mi chui s phc tng ng vi hai
chui s thc có s hng tng quát là phn thc và phn o ca s hng tng quát ca chui s
phc đã cho. S hi t hay phân k đc xác đnh bi s hi t hay phân k
ca hai chui s thc
này.
T nhng tính cht đc thù ca hàm bin phc chúng ta có các công thc tích phân
Cauchy. ó là công thc liên h gia giá tr ca hàm phc ti mt đim vi tích phân dc theo
đng cong kín bao quanh đim này. Trên c s công thc tích phân Cauchy ta có th chng
minh đc các kt qu: Mi hàm phc gii tích thì có đo hàm mi cp, có th khai trin hàm
phc gii tích thành chui Taylor, hàm gi
i tích trong hình vành khn đc khai trin thành chui
Laurent.
Bng cách tính thng d ca hàm s ti đim bt thng cô lp ta có th áp dng đ tính các
tích phân phc và tích phân thc, tính các h s trong khai trin Laurent và phép bin đi Z
ngc.
Da vào tính duy nht ca khai trin Laurent ta có th xây dng phép bin đi Z.Phép bin
đi Z cho phép biu din dãy tín hiu s ri rc bng hàm gii tích.

 hc tt ch
ng này hc viên cn xem li các kt qu ca gii tích thc.
NI DUNG
1.1. S PHC
1.1.1. Dng tng quát ca s phc
S phc có dng tng quát
zxiy=+ , trong đó ,
x
y là các s thc; 1
2
−=i .
x
là phn thc ca z , ký hiu Re z .
y
là phn o ca z , ký hiu Im z .
Khi
0y = thì zx
=
là s thc; khi 0x
=
thì ziy
=
gi là s thun o.
S phc
x
iy− , ký hiu z , đc gi là s phc liên hp vi s phc zxiy=+ .
Chng 1: Hàm bin s phc

6
Hai s phc

11 1
zxiy
=
+ và
222
zxiy
=
+ bng nhau khi và ch khi phn thc và phn o
ca chúng bng nhau.
12
11 12 2 2 12
12
,;
x
x
zxiyz xiy zz
y
y
=

=+ =+ = ⇔

=

(1.1)
Tp hp tt c các s phc ký hiu .
1.1.2. Các phép toán
Cho hai s phc
11 1
zxiy=+ và

222
zxiy
=
+ , ta đnh ngha:
a) Phép cng: S phc
()
(
)
12 12
zxx iyy=++ + đc gi là tng ca hai s phc
1
z và
2
z
, ký hiu
12
zz z=+.
b) Phép tr: Ta gi s phc
zxiy−=−− là s phc đi ca zxiy
=
+ .
S phc
()
(
)
1212 12
()zz z x x iy y=+− = − + − đc gi là hiu ca hai s phc
1
z và
2

z ,
ký hiu
12
zz z=−.
c) Phép nhân: Tích ca hai s phc
1
z và
2
z là s phc đc ký hiu và đnh ngha bi
biu thc:

()
(
)
(
)
(
)
12 1 1 2 2 12 12 12 12
zzz xiy x iy xx yy ixy yx==+ += − + + . (1.2)
d) Phép chia: Nghch đo ca s phc
0zxiy
=
+≠ là s phc ký hiu
1
z
hay
1
z


, tha
mãn điu kin
1
1zz

= . Vy nu
1
''zxiy

=
+ thì

22 22
''1
','
''0
xx yy
x
y
xy
yx xy
x
yxy
−=


⇒= =

+=
++


. (1.3)
S phc
1
12 12 12 12
12
22 22
22 22
x
xyy yxxy
zzz i
x
yxy

+−
== +
++
đc gi là thng ca hai s phc
1
z và
2
z , ký hiu
1
2
z
z
z
=
(
2

0z ≠ ).
Ví d 1.1: Cho
zxiy=+ , tính
2
,zzz.
Gii:
()
()
()
2
222
2zxiy xyixy=+ = − +
,
22
zz x y
=
+
.
Ví d 1.2: Tìm các s thc
,
x
y là nghim ca phng trình

(
)
(
)
(
)
(

)
51 23311
x
yixii i++−+ +=−.
Gii: Khai trin và đng nht phn thc, phn o hai v ta đc

2523
7
3,
456 11
5
xy
xy
xy
++=

⇒=− =

+−=−

.
Chng 1: Hàm bin s phc

7
Ví d 1.3: Gii h phng trình
1
21
ziw
zw i
+=



+
=+

.
Gii: Nhân
i vào phng trình th nht và cng vào phng trình th hai ta đc
()
(
)
(
)
12 2
12 43
212
255
ii
ii
iz i z
i
+−
++
+=+⇒= = =
+
,
()
13 3
1
55

ii
wiz i
−+ +
⎛⎞
⇒= −= =−
⎜⎟
⎝⎠
.
Ví d 1.4: Gii phng trình
2
250zz++=.
Gii:
() ()()( )( )
222
2
25 1 4 1 2 12 12zz z z i z iz i++=+ +=+ − =+− ++ .
Vy phng trình có hai nghim
12
12, 12ziz i
=
−+ =−− .
1.1.3. Biu din hình hc ca s phc, mt phng phc
Xét mt phng vi h ta đ trc chun
Oxy
, có véc t đn v trên hai trc tng ng là
i


j


. Mi đim M trong mt phng này hoàn
toàn đc xác đnh bi ta đ
(; )
x
y
ca nó tha
mãn
OM x i y j=+

.
S phc
zxiy=+ cng hoàn toàn đc
xác đnh bi phn thc
x
và phn o y ca nó.
Vì vy ngi ta đng nht mi đim có ta đ
(; )
x
y vi s phc zxiy
=
+ , lúc đó mt phng
này đc gi là mt phng phc.
1.1.4. Dng lng giác ca s phc
Trong mt phng vi h ta đ trc chun
Oxy
, nu ta chn Ox


làm trc cc thì đim
(; )

M
xy có ta đ cc
()
;r
ϕ
xác đnh bi
(
)
,,rOM OxOM
ϕ
==
 

tha mãn
cos
sin
xr
yr
ϕ
ϕ
=


=


Ta ký hiu và gi

22
zrOM x y== = +

(1.4)

Argz 2 ,k  k
ϕ
=
+∈

 (1.5)
là mô đun và argument ca s phc
zxiy
=
+ .
x
x
M
y

y

O
i


j


r

ϕ


x

x

M

y
y

O

i



j



Chng 1: Hàm bin s phc

8
Góc ϕ ca s phc 0zxiy=+ ≠ đc xác đnh theo công thc sau





+=ϕ


22
cos
tg
yxx/
y/x
(1.6)
Giá tr ca
Argz nm gia π− và
π
đc gi là argument chính, ký hiu arg z . Vy
arg z
π
π

<≤.
T công thc (1.4) ta có
(
)
cos sinzxiyr i
ϕ
ϕ
=+ = + (1.7)
gi là dng lng giác ca s phc.
S dng khai trin Maclaurin có th chng minh đc công thc Euler

cos sin
i
ei
ϕ
ϕ

ϕ
=+ (1.8)
Do đó
cos , sin
22
ii ii
ee ee
i
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ


+−
==
. (1.9)
T (1.7)-(1.8) ta có th vit s phc di dng m
i
zze
ϕ
= (1.10)
Các tính cht ca s phc
̇
11
1212 1212
2
2
;;
zz
zz zz zz zz

z
z
⎛⎞
+=+ = =
⎜⎟
⎝⎠
. (1.11)
̇
Re ; Im
22
zz zz
zz
i
+−
==
.
zzz

⇔=
. (1.12)
̇
12 12
12
12 12
arg arg Arg Arg 2
zz zz
zz
zz zzk
π
⎧⎧

==
⎪⎪
=⇔ ⇔
⎨⎨
==+
⎪⎪
⎩⎩
(1.13)
̇
2
zz z= ,
2
1
z
z
zz
z
z
==
,
112
2
2
2
zzz
z
z
=
. (1.14)
̇

1
1
12 1 2 1 2 1 2
22
,,
z
z
zz z z z z z z
zz
==+≤+
. (1.15)
̇
()
1
12 1 2 1 2
2
Arg Arg Arg , Arg Arg Arg
z
zz z z z z
z
⎛⎞
=+ =−
⎜⎟
⎝⎠
(1.16)
̇
iy
x
z
+

=








zy
zx

yxz +≤ (1.17)
Chng 1: Hàm bin s phc

9
Ví d 1.5: a) Tp các s phc z tha mãn
23z

= tng ng vi tp các đim có khong
cách đn
(2;0)I bng 3, tp hp này là đng tròn tâm
I
bán kính 3.
b) Tp các s phc
z
tha mãn
24zz

=+ tng ng vi tp các đim cách đu

(2;0)A và (4;0)B − đó là đng trung trc ca đon
A
B có phng trình 1x =− .
1.1.5. Phép nâng ly tha, công thc Moivre
Ly tha bc
n ca s phc z là s phc
n
n
zzzz=



lÇn

T công thc (1.15)-(1.16) ta có công thc Moivre:
()
cos sin , Arg 2
n
n
zz nin z k
ϕ
ϕϕπ
=+ =+. (1.18)
c bit, khi
1z
=
ta có
()
(
)

cos sin cos sin
n
inin
ϕϕ ϕ ϕ
+=+
(1.18)'
Ví d 1.6: Tính
()
10
13i−+ .
Gii:
()
10
10
10
2 2 20 20
13 2cos sin 2cos sin
33 3 3
ii i
π
πππ
⎡⎤
⎛⎞⎛ ⎞
−+ = + = +
⎜⎟⎜ ⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝ ⎠
⎣⎦



10 10 9 9
22 13
2cos sin 2 2 32
33 22
iii
ππ
⎛⎞
⎛⎞
=+=−+=−+
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
.
1.1.6. Phép khai cn
S phc
ω
đc gi là cn bc
n
ca z , ký hiu
n
z=ω , nu z
n
=ω .
Nu vit di dng lng giác:
)sin(cos,)sin(cos θ
+
θ
ρ

=
ω
ϕ
+
ϕ
=
iirz thì






π+ϕ








∈π+ϕ=θ

⇔ω=
n
k
r
kkn
r

z
n
n
n
2
,2

. (1.19)
Vì Argument ca mt s phc xác đnh sai khác mt bi s nguyên ca
π2 nên vi mi s
phc
0≠z có đúng n cn bc n . Các cn bc n này có cùng mô đun là
n
r , Argument nhn
các giá tr
n
k
n
π
+
ϕ

2
ng vi 1, ,1,0

=
nk , vì vy nm trên đnh ca n-giác đu ni tip
trong đng tròn tâm O bán kính
n
r .

Ví d 1.7: Gii phng trình
01
4
=+z
Gii: Nghim ca phng trình là cn bc 4
ca
π
+
π=− sincos1 i
tng ng là:
x

y
0
z
1
z
2
z
3
z
O
1
i
4
π

Chng 1: Hàm bin s phc

10

2
1
4
sin
4
cos
0
i
iz
+
=
π
+
π
=
,
2
1
01
i
izz
+

==
,

2
1
02
i

zz


=−=
,
2
1
03
i
izz

=−= .
1.1.7. Các khái nim c bn ca gii tích phc
1.1.7.1. Mt cu phc
Trong 1.1.3 ta đã có mt biu din hình hc ca tp các s phc
 bng cách đng nht
mi s phc
iy
x
z += vi đim
M
có ta đ );( yx trong mt phng vi h ta đ Oxy . Mt
khác nu ta dng mt cu
)(
S
có cc nam tip xúc vi mt phng
Oxy
ti O, khi đó mi đim
z


thuc mt phng
Oxy
s tng ng duy nht vi đim
ω
là giao đim ca tia
Pz
và mt cu
)(
S
, P là đim cc bc ca )(
S
.
Vy mi đim trên mt phng
Oxy đc xác đnh bi mt đim trên mt cu
)(
S
ngoi tr
đim cc bc P.
Ta gán cho đim cc bc này s phc vô cùng

. Tp hp s phc  thêm s phc vô
cùng đc gi là tp s phc m rng
 . Nh vy toàn b mt cu )(
S
là mt biu din hình
hc ca tp s phc m rng.
Quy c:
∞=−∞∞=∞+≠∞=∞≠∞= zzzzz
z
,,)0(,)0(

0
.
1.1.7.2. Lân cn, min
a. Lân cn
Khái nim
−ε lân cn ca 

0
z đc đnh ngha hoàn toàn tng t vi −ε lân cn
trong
2
 , đó là hình tròn có tâm ti đim này và bán kính bng
ε
.

(
)
{
}
ε<−∈=
ε 00
zzzzB  (1.23)
−N
lân cn
∈∞
:
(
)
{
}

{
}
∞∪>∈=∞ NzzB
N
 (1.23)’
b. im trong, tp m
Gi s
E
là mt tp các đim ca mt phng phc hoc mt cu phc. im
0
z đc gi
là đim trong ca
E
nu tn ti mt lân cn ca
0
z nm hoàn toàn trong
E
.
Tp ch gm các đim trong đc gi là tp m.



ω

z
x

O y

P


)(
S

Chng 1: Hàm bin s phc

11
c. im biên
im
1
z , có th thuc hoc không thuc
E
, đc gi là đim biên ca
E
nu mi lân cn
ca
1
z
đu có cha các đim thuc
E
và các đim không thuc
E
.
Tp hp các đim biên ca
E
đc gi là biên
E
, ký hiu
E


.
Hình tròn m
{
}
rzzz <−∈
0
 và phn bù ca hình tròn m
{
}
rzzz >−∈
0
 là các
tp m có biên ln lt là
{
}
rzzz =−∈
0
 và
{
}
{
}
∞∪=−∈ rzzz
0
 .
Hình tròn đóng
{
}
rzzz ≤−∈
0

 không phi là tp m vì các đim biên
rzz =−
0

không phi là đim trong.
d. Tp liên thông, min
Tp con
D ca mt phng phc hay mt cu phc đc gi là tp liên thông nu vi bt k
2 đim nào ca
D cng có th ni chúng bng mt đng cong liên tc nm hoàn toàn trong D .
Mt tp m và liên thông đc gi là min.
Min
D
cùng biên
D
∂ ca nó đc gi là min đóng, ký hiu DDD ∂∪= . Min ch có
mt biên đc gi là min đn liên, trng hp ngc li gi là min đa liên.
Ta qui c hng dng trên biên ca min là hng mà khi ta đi trên biên theo hng đó
thì min
D
 bên tay trái.
Min
D
đc gi là b chn nu tn ti 0>R sao cho
DzRz ∈∀≤ ,
.
1.2. HÀM BIN PHC
1.2.1. nh ngha hàm bin phc
nh ngha 1.1: Mt hàm bin phc xác đnh trên tp con
D

ca  hoc  là mt quy
lut cho tng ng mi s phc
Dz ∈
vi mt hoc nhiu s phc w , ký hiu
()
Dzzfw

= , .
Nu vi mi
z ch cho tng ng duy nht mt giá tr
w
thì
(
)
zf đc gi là hàm đn tr.
Trng hp ngc li
f
đc gi là hàm đa tr.
Hàm s
(
)
3
2
+== zzfw là mt hàm đn tr, còn hàm s
(
)
zzfw == là mt hàm đa
tr.
Tp
D trong đnh ngha trên đc gi là tp xác đnh. Ta ch xét tp xác đnh D là mt

min, vì vy
D đc gi là min xác đnh.
Thông thng ngi ta cho hàm phc bng công thc xác đnh nh
()
zf
, khi đó min xác
đnh
D là tp các s phc
z

()
zf có ngha.
Hàm s
()
1
2
+
==
z
z
zfw
có min xác đnh là
{
}
Dzz i
=
≠± .
Ta có th biu din mt hàm phc bi hai hàm thc ca hai bin
),( yx nh sau:
Chng 1: Hàm bin s phc


12
iy
x
z += và
(
)
ivuzfw
+
=
=
thì
(
)
()



=
=
yxvv
yxuu
,
,
(1.24)
Gi
()
yxu , là phn thc,
()
yxv , là phn o ca hàm )(zf .

Hàm s xyiyxiyxzw 2)3(3)(3
2222
++−=++=+= có





=
+−=
xyv
yxu
2
3
22
.
Trng hp min xác đnh
⊂D thì ta có hàm phc bin s thc, ta ký hiu
(
)
tfw = có
bin s là
t thay cho z .
Trng hp min xác đnh D là tp s t nhiên  thì ta có dãy s phc
()

= nnfz
n
, ,
ta thng ký hiu dãy s là

()
∈n
n
z

hay
(
)

=1n
n
z .
1.2.2. Gii hn
nh ngha 1.2: Dãy s
()

=1n
n
z hi t v
000
yxz
+
=
, ký hiu
0
lim zz
n
n
=
∞→

, nu
ε<−⇒≥>∃>ε∀
0
:0,0 zzNnN
n
(1.25)
Dãy s
()

=
1n
n
z có gii hn là

, ký hiu

=
∞→
n
n
zlim , nu
ε>⇒≥>∃>ε∀
n
zNnN :0,0 (1.26)
T (1.17) suy ra rng







=
=
⇔+==
∞→
∞→
∞→
0
0
000
lim
lim
lim
yy
xx
iyxzz
n
n
n
n
n
n
(1.27)
nh ngha 1.3: Ta nói hàm phc
(
)
zfw
=
xác đnh trong mt lân cn ca
0

z có gii hn

L khi
z
tin đn
0
z , ký hiu
(
)
Lzf
zz
=

0
lim , nu vi mi lân cn
()
LB
ε
tn ti lân cn
()
0
zB
δ
sao cho vi mi
()
00
, zzzBz


δ

thì
(
)
(
)
LBzf
ε

.
Trng hp
∈Lz ,
0
đnh ngha trên đc vit di dng c th sau:
(
) ()
ε<−⇒δ<−<∀>δ∃>ε∀⇔=

LzfzzzLzf
zz
0
0,:0,0lim
0
(1.28)
T (1.17), (1.24), tng t (1.27) ta có:
()






=
=
⇔=



0
),(),(
0
),(),(
),(lim
),(lim
lim
00
00
0
vyxv
uyxu
Lzf
yxyx
yxyx
zz
(1.29)
trong đó
00000
, ivuLiyxz +=+= .
Chng 1: Hàm bin s phc

13
1.2.3. Liên tc

nh ngha 1.4: Hàm phc
(
)
zfw
=
xác đnh trong min cha đim
0
z đc gi là liên
tc ti
0
z nu
() ( )
0
0
lim zfzf
zz
=

. Hàm phc
(
)
zfw
=
liên tc ti mi đim ca min
D
đc
gi là liên tc trong
D
.
T (1.29) suy ra rng mt hàm phc liên tc khi và ch khi hai hàm thc hai bin (phn

thc, phn o) xác đnh bi (1.24) là liên tc. Do đó ta có th áp dng các tính cht liên tc ca
hàm thc hai bin cho hàm phc.
1.2.4. Hàm kh vi, điu kin Cauchy-Riemann
nh ngha 1.5: Gi s
iy
x
z
+
= là mt đim thuc min xác đnh D ca hàm phc đn
tr
()
zfw = . Nu tn ti gii hn

(
)
(
)
z
zfzzf
z
Δ

Δ
+
→Δ 0
lim (1.33)
thì ta nói hàm
(
)
zfw = kh vi (hay có đo hàm) ti

z
, còn gii hn đó đc gi là đo hàm ti
z
, ký hiu
()
zf ' hoc
()
zw' .
Ví d 1.8: Cho
2
zw = , tính
()
zw' .
Gii:
()
zz
z
w
zzzzzzw
Δ+=
Δ
Δ
⇒Δ+Δ=−Δ+=Δ 22
22
2
,
Do đó
() ()
zzz
z

w
zw
zz
22limlim'
00
=Δ+=
Δ
Δ
=
→Δ→Δ
.
nh lý 1.1: Nu hàm phc
(
)
(
)
(
)
yxivyxuzfw ,,
+
=
=
kh vi ti iy
x
z += thì phn thc
()
yxu , và phn o
()
yxv , có các đo hàm riêng ti ),( yx và tha mãn điu kin Cauchy-
Riemann


() ()
() ()









−=




=


yx
x
v
yx
y
u
yx
y
v
yx

x
u
,,
,,
(1.34)
Ngc li, nu phn thc
()
yxu ,
, phn o
(
)
yxv ,
kh vi ti ),( yx và tha mãn điu kin
Cauchy-Riemann thì
()
zfw = kh vi ti iy
x
z
+
=


() () () () ()
yx
y
u
iyx
y
v
yx

x
v
iyx
x
u
zf ,,,,'





=


+


= . (1.35)
Ví d 1.8: Hàm
xyiyxzw 2
222
+−==  Ví d 1.7 có










−=−=




==


x
v
y
y
u
y
v
x
x
u
2
2
, do đó hàm kh vi
ti mi đim và
()
zyixzw 222' =+
=
.
Chng 1: Hàm bin s phc

14

Ví d 1.9: Hàm
iyxzw −==

1,1 −=


=


y
v
x
u
không tha mãn điu kin Cauchy-Riemann,
do đó hàm không kh vi ti bt k đim nào.
1.2.5. Hàm gii tích
nh ngha 1.6: Hàm đn tr
(
)
zfw
=
kh vi trong mt lân cn ca z đc gi là gii
tích ti
z
. Nu
()
zf kh vi ti mi đim ca D thì ta nói
(
)
zf gii tích trong D.

()
zf gii tích
trong
D
nu nó gii tích trong mt min cha
D
.
Khái nim kh vi và đo hàm ca hàm phc đc đnh ngha tng t nh trng hp hàm
thc. Vì vy các tính cht và quy tc tính đo hàm đã bit đi vi hàm thc vn còn đúng đi vi
hàm phc.

()
() ()' '() '()
f
zgz fzgz±=±.

()
() ()' '()() () '()
f
zgz f zgz f zg z=+. (1.38)

()
'
2
() '()() () '()
,()0
()
()
fz f zgz fzgz
gz

gz
gz
⎛⎞

=

⎜⎟
⎝⎠
.

()()
)(').(')(
'
zuufzuf = .
1.2.6. Các hàm phc s cp c bn
1.2.6.1. Hàm ly tha
n
zw = ,
n
nguyên dng

2.
Hàm s xác đnh và gii tích vi mi
z , đo hàm
1−
=
n
nzw .
Nu
()

ϕ+
ϕ
= sincos irz thì
(
)
ϕ+ϕ= ninrw
n
sincos .
Vy nh ca đng tròn
Rz = là đng tròn
n
Rw = . nh cúa tia
π
+ϕ= 2Arg kz là
tia
π
+ϕ= 2'Arg knw . nh cúa hình qut
n

z
2
arg0 <<
là mt phng
w
b đi trc thc dng.











n
π
2

x

y

O
Z

u
v

w
Chng 1: Hàm bin s phc

15
1.2.6.2. Hàm cn
n
zw =
Hàm cn bc
n
:
n

zw = là hàm ngc ca hàm ly tha bc
n
.
Mi s phc khác 0 đu có đúng n cn bc n, vì vy hàm cn là mt hàm đa tr.
1.2.6.3. Hàm m
z
ew =
M rng công thc Euler (1.12) ta có đnh ngha ca hàm m
(
)
yiyeeew
xiyxz
sincos +===
+
(1.39)

π+== 2Arg, kywew
x
.
♦ Hàm m gii tích ti mi đim và
(
)
'
zz
ee
=


2121
zzzz

eee
+
= ,
21
2
1
zz
z
z
e
e
e

= ,
(
)
n
znz
ee
=
,
zikz
ee =
π+ 2
. (1.40)

1,,1
2
0
−===

π
π
i
i
eiee .
♦ Qua phép bin hình
z
ew = , nh ca đng thng a
x
=
là đng tròn
a
ew =
, nh
ca đng thng
by = là tia
π
+
=
2Arg kbw .
nh ca bng
π<< 20 y là mt phng w b đi na trc thc dng.











1.2.6.4. Hàm lôgarit
Hàm ngc ca hàm m đc gi là hàm lôgarit.
w
ezzw =⇔= Ln

(
)
viveeezivuzw
uivuw
sincosLn +===⇔+==
+

Vy



π+=
=
⇔=
2argIm
lnRe
Ln
kzw
zw
zw
(1.41)
x


y
O
a
x
=

by =
O
a
e
u
v

b
Z

W

Chng 1: Hàm bin s phc

16
iu này chng t hàm lôgarit phc là hàm đa tr. ng vi mi
z
có vô s giá tr ca
w
,
nhng giá tr này có phn thc bng nhau còn phn o hn kém nhau bi s nguyên ca
π
2 . Vi
mi

0
kk = c đnh ta đc mt nhánh đn ta tr ca hàm zw Ln
=
.

(
)
π++= 2argln
0
kzizw
Nhánh đn tr ng vi
0=k đc gi là nhánh đn tr chính và đc ký hiu zln .

zizz arglnln +=

trong đó
ln  v trái là hàm bin phc, còn  v phi là hàm bin thc.
Mt s tính cht ca hàm lôgarit.
̇
() ()
(
)
(
)
π=−⇒π+=π+−+−=− iikki 1ln122)1arg(1ln1Ln
̇
() () () () ()
znzzz
z
z

zzzz
n
LnLn,LnLnLn,LnLnLn
21
2
1
2121
=−=








+=
.
Các nhánh đn tr ca hàm lôgarit gii tích trên na mt phng phc Z b đi na trc thc
âm
)0( <x .
1.2.6.5. Các hàm lng giác phc
M rng công thc (1.12) cho các đi s phc ta đc các hàm lng giác phc

∈∀

=
+
=
−−

z
i
ee
z
ee
z
iziziziz
;
2
sin,
2
cos (1.42)

()
π≠=
π
+≠= kz
z
z
zkz
z
z
z
;
sin
cos
cotg;
2
12,
cos

sin
tg .
Các hàm lng giác phc còn gi đc nhiu tính cht ca hàm lng giác thc.
̇ Hàm
zz sin,cos
tun hoàn chu k
π
2 , hàm zz cotg,tg tun hoàn chu k π.
̇ Các hàm lng giác phc gii tích trong min xác đnh

() () () ()
z
z
z
zzzzz
2
'
2
'''
sin
1
cotg,
cos
1
tg,sincos,cossin

==−==
.
̇
∈∀=+ zzz ;1sincos

22

̇ Các công thc cng góc, h bc, tng thành tích, tích thành tng vn còn đúng.
Tuy nhiên có nhng tính cht ca hàm lng giác thc không còn đúng đi vi hàm lng
giác phc. Chng hn hàm lng giác thc b chn nhng hàm lng giác phc không b chn (ta
có th chng minh điu này bng cách áp dng đnh lý Louville):

∈∀≤≤ xxx ,1sin,1cos
nhng
1
2
sin,1
2
cos >

=>
+
=
−−
i
ee
ni
ee
ni
nnnn
.


Chng 1: Hàm bin s phc


17
1.2.6.6. Các hàm lng giác hyperbolic phc

z
z
z
z
z
z
ee
z
ee
z
zzzz
sh
ch
coth,
ch
sh
th,
2
sh,
2
ch ==

=
+
=
−−
(1.43)

̇ Các hàm lng giác hyperbolic phc gii tích trong min xác đnh

() () () ()
z
z
z
zzzzz
2
'
2
'''
sh
1
coth,
ch
1
th,shch,chsh

==== .
̇
zizziizezzezz
zz
chcos,shsin,shch,shch ===−=+

.
̇
zzzzzzzz
2222
shch2ch,shch22sh,1shch +===− .
1.3. PHÉP BIN HÌNH BO GIÁC

Nhiu vn đ trong khoa hc và thc tin (ví d bài toàn n mìn, bài toán thit k cánh máy
bay…) đa đn bài toán: Tìm phép bin hình bo giác bin min D thành min
Δ nào đó mà ta đã
bit hoc d dàng kho sát hn. Trong mc này ta đa ra vài nguyên lý và phng pháp tìm phép
bin hình trong nhng trng hp đn gin.
1.3.1. nh ngha phép bin hình bo giác
nh ngha 1.7: Phép bin hình
(
)
zfw
=
đc gi là bo giác ti z nu tho mãn hai
điu kin sau:
i. Bo toàn góc gia hai đng cong bt k qua đim
z ( k c đ ln và hng).
ii. Có h s co dãn không đi ti
z , ngha là mi đng cong đi qua đim này đu có h
s co dãn nh nhau qua phép bin hình.
Phép bin hình
()
zfw = đc gi là bo giác trong min D nu nó bo giác ti mi đim
ca min này.
nh lý sau đây cho điu kin đ ca phép bin hình bo giác.
nh lý 1.2: Nu hàm
()
zfw = kh vi ti z và
(
)
0'


zf thì phép bin hình thc hin bi
hàm
()
zfw = bo giác ti đim
z
, đng thi
(
)
zf 'arg là góc quay và
()
zf ' là h s co giãn ti
đim
z ca phép bin hình đó.
T đnh lý này ta suy ra rng nu
(
)
zfw
=
gii tích trong D và
(
)
Dzzf ∈∀≠ ,0'
thì nó là
mt phép bin hình bo giác trong D.
1.3.2. Phép bin hình tuyn tính 0,

+
=
abazw
Phép bin hình này bo giác trong toàn min

 vì
(
)
zazw


=
,0'
.
Nu
ϕ
=
i
eaa thì
bzeaw
i
+=
ϕ
. iu này chng t phép bin hình tuyn tính là hp ca
ba phép bin hình sau:
̇ Phép v t tâm O t s
ak =
,
̇ Phép quay tâm O, góc quay
ϕ
,
Chng 1: Hàm bin s phc

18
̇ Phép tnh tin theo véc t b .

Vy phép bin hình tuyn tính là mt phép bin hình đng dng (hp ca mt phép v t,
phép quay, phép tnh tin). Nó bin mt hình bt k thành mt hình đng dng vi nó. c bit
bin mt đng tròn thành mt đng tròn, bin mt đng thng thành mt đng thng, mt đa
giác thành mt đa giác đng dng.
Ví d 1.10: Tìm phép bin hình bo giác bin tam giác vuông cân có các đnh
()
iA 27
+

,
()
iB 23 +− ,
()
iC 45 +− thành tam giác vuông cân có các đnh
(
)
iA 2
1
,
()
0
1
B ,
()
iC +1
1
.
Gii: Hai tam giác vuông cân bt k đu đng dng vi nhau nên tn ti mt phép đng
dng
0,


+= abazw bin ABCΔ thành
111
CBA
Δ
. Phép bin hình này bin
A
thành
1
A ,
bin
B
thành
1
B , do đó
ba,
tha mãn h phng trình

()
()
iz
i
w
ib
i
a
bia
biai
2
3

1
2
2
3
1
2
230
272
−−−=⇒







−−=
−=




++−=
++−=
.
Thay
54zi=− + ta có
3
(5 4) 1 1
22

i
wiii
=− − + − − = + .









1.3.3. Phép nghch đo
z
w
1
=

Phép bin hình
z
w
1
= có th m rng lên mt phng phc m rng
 bng cách cho nh
ca
0=z là ∞ và nh ca ∞=z là 0
=
w .
o hàm
()

∞≠∀≠

= ,0,0
1
'
2
z
z
zw nên phép bin hình bo giác ti mi đim

≠ ,0z .
Hai đim A, B nm trên mt tia xut phát t tâm I ca đng tròn
(
)
C bán kính R đc gi
là liên hp hay đi xng qua
()
C nu
2
RIA.IB = .
v

u
1
C
1
B
1
A
i2

i
1
x

y
A

B

C

7−
3−
i2
i4
Z

W

Chng 1: Hàm bin s phc

19

zz
z
ArgArg
1
Arg =−= nên
z


z
w
1
=
cùng nm trên mt tia xut phát t O.
Ngoài ra
1
1
. =
z
z
, do đó z và
z
w
1
=
đi xng nhau qua đng tròn đn v.
Vy phép bin hình nghch đo
z
w
1
= là hp ca phép đi xng qua đng tròn đn v và
phép đi xng qua trc thc. Phép bin hình này bin:
̇ Mt đng tròn đi qua O thành mt đng thng.
̇ Mt đng tròn không đi qua O thành mt đng tròn.
̇ Mt đng thng đi qua O thành mt đng thng qua O.
̇ Mt đng thng không đi qua O thành mt đng tròn đi qua O.
Nu ta xem đng thng là mt đng tròn (có bán kính vô h
n) thì phép bin hình
z

w
1
=
bin mt đng tròn thành mt đng tròn.
nh ca đng tròn
R=z là đng tròn
R
1
=w , nh ca hình tròn
R<z là phn ngoài
ca hình tròn
R
1
>w . nh ca M trên tia OB là N trên tia OB', B' là đi xng ca B qua trc
thc và
1OM.ON = .











3.4. Phép bin hình phân tuyn tính
0,0; ≠−≠
+

+
= bcadc
dcz
baz
w

Ta có th m rng hàm phân tuyn tính
dcz
baz
w
+
+
=
lên mt phng phc m rng
 bng
cách cho nh ca
c
d
z
−= là ∞ và nh ca

=
z là
c
a
w
= .
B
M


B'

x

y

O
u
v
O
W

Z

N
Chng 1: Hàm bin s phc

20
o hàm
()
()
∞−≠∀≠
+

= ,,0'
2
c
d
z
dcz

bcad
zw
nên phép bin hình bo giác ti mi đim
∞−≠ ,
c
d
z
.

()
()
()
dczc
adbc
c
a
dczc
adbcdcza
dczc
bcacz
dcz
baz
w
+


+=
+

+

+
=
+
+
=
+
+
=
1
.
Do đó phép bin hình phân tuyn tính là hp ca 3 phép bin hình:
♦ Phép bin hình tuyn tính:
dczz
+

,
♦ Phép nghch đo:
dcz
dcz
+
+
1
 ,
♦ Phép bin hình tuyn tính:
c
a
dczc
adbc
dcz
+

+


+
11

.
Vì các phép bin hình tuyn tính và nghch đo bin mt đng tròn thành mt đng tròn
và bo toàn tính đi xng ca 2 đim đi xng qua đng tròn, nên phép bin hình phân tuyn
tính cng có tính cht đó.
Phép bin hình
0, ≠
+
+
= c
dcz
baz
w
có th vit li
1
11
dz
bza
c
d
z
c
b
z
c

a
w
+
+
=
+
+
=
hoc
2
2
dz
bz
kw
+
+
=
(1.44)
vì vy ch ph thuc 3 tham s. Do đó mt hàm phân tuyn tính hoàn toàn đc xác đnh
khi bit nh
321
,, www ca 3 đim khác nhau bt k
321
,, zzz .  xác đnh 3 tham s
111
,, dba ta gii h phng trình sau đây.

13
131
3

12
121
2
11
111
1
,,
dz
bza
w
dz
bza
w
dz
bza
w
+
+
=
+
+
=
+
+
=
(1.45)
Hoc hàm phi tìm có th xác đnh bi phng trình

32
12

3
1
32
12
3
1
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww





=





(1.46)
c bit nu
(
)
0

0
=zw và
()

=
1
zw , theo (1.44) ta có

1
0
zz
zz
kw


= (1.47)
Chng 1: Hàm bin s phc

21
1.3.5. Các nguyên lý tng quát ca phép bin hình bo giác
a. S tn ti ca phép bin hình
nh lý 1.3 (nh lý Riemann): Nu D và
Δ
là hai min đn liên (không phi là mt phng
phc m rng hay mt phng phc m rng b đi mt đim) thì tn ti phép bin hình
(
)
zfw
=


gii tích, bo giác đn tr hai chiu bin D thành
Δ
.
Hn na nu cho trc
Δ


00
D, wz và 

θ
0
thì ch có duy nht
()
zfw = tho mãn
()
00
zfw = ,
(
)
00
'Arg θ=zf .
nh lý Riemann ch cho ta bit s tn ti ca phép bin hình ch không cho ta cách tìm c
th phép bin hình này. Trong thc hành, đ tìm phép bin hình bin min D thành min
Δ
ngi
ta tìm phép bin hình bin D, Δ v hình tròn đn v
1<z hay na mt phng trên. (Các phép
bin hình này có th tìm trong các s tay toán hc).
♦ Nu

()
zf=
ζ
bin hình đn tr hai chiu bin D lên hình tròn 1<ζ ,
♦ Nu
()
wg=
ζ
bin hình đn tr hai chiu bin
Δ
lên hình tròn 1<ζ ,
thì
(
)
zfgw 
1−
= bin D thành
Δ
.
b. S tng ng biên
nh lý 1.4: Cho hai min đn liên D và
Δ
có biên là
Δ


,D
. Gi s
Δ∂∂ ,D
là đng

trn tng khúc,
Δ
b chn. Nu
(
)
zfw
=
gii tích trong D và liên tc trong D , bin hình 1-1
D∂ lên Δ∂ sao cho khi z chy trên D

theo chiu dng, tng ng w chy trên Δ∂ cng theo
chiu dng, thì hàm
()
zfw = bin hình bo giác đn tr hai chiu t D lên Δ .
c. S bo toàn min
nh lý 1.5: Nu hàm
()
zfw = gii tích, khác hng s trên min D thì nh
()
Df=Δ cng
là mt min.
Mt vài chú ý khi tìm phép bin hình bo giác trong các trng hp thng gp sau:
1. i vi hai min đng dng ta dùng phép bin hình tuyn tính
0, ≠+= abazw .
2. Bin mt cung tròn thành mt cung tròn hay đng thng ta dùng hàm phân tuyn tính
0,0; ≠−≠
+
+
= bcadc
dcz

baz
w
.
3. Bin mt góc thành na mt phng, ta xét
n
zw = .
4. Bin mt bng song song vi trc thc lên na mt phng ta dùng
z
ew = .
Ví d 1.11: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin na mt phng trên 0Im >z
thành hình tròn
1<w sao cho
()
0
0
=
zw , vi 0Im
0
>z .
Chng 1: Hàm bin s phc

22
Gii: Vì
0
z

đi xng vi
0
z qua
Ox
,

đi xng vi
0
qua 1=w , do đó theo nguyên
lý tng ng biên ta ch cn tìm hàm phân tuyn tính bin trc thc
0Im =z lên
1=w và bo
toàn chiu.
Hai min đã cho không đng dng nên
0

c
. Mt khác
(
)
0
0
=
zw và tính cht bo toàn
tính đi xng nên
(
)
∞=
0
zw , do đó theo (1.47) ta có th xét hàm phân tuyn tính dng

0
0
zz
zz
kw


=
. Khi ∈
=
xz thì
(
)
1=xw 11
0
0
0
0
=⇒=


=


⇒ k
zx
zx
k
zx
zx

k
.
ϕ
=⇒
i
ek
. Vy
0
0
zz
zz
ew
i


=
ϕ
.
Ví d 1.12: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin hình tròn 1<z thành hình tròn
1<w sao cho
()
0
0
=
zw , vi 10

0
<< z .
Gii: Vì
0
z đi xng vi
0
1
z
qua
1=z , do đó nh ca
0
z là 0 thì nh ca
0
1
z



∞,0 đi xng nhau qua
1=w . Tng t ví d 1.11 và công thc (1.47) ta có th xét hàm phân
tuyn tính dng
1
1
0
0
0
0
0



=


=
zz
zz
kz
z
z
zz
kw
.
Vì nh ca
1=z là 1=w và
z
zz
1
1 =⇒=
.
ϕ
=⇒=


=


=


==⇒

i
ekzkz
zz
zzz
kz
z
z
zz
kz
zz
zz
kzw
00
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
.
Vy
1
0
0



=
ϕ
zz
zz
ew
i
.
Ví d 1.13: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin hình qut
3
arg0
π
<< z
thành
hình tròn
1<w sao cho
(
)
0
6/
=
πi
ew và
(

)
iw
=
0 .
Gii: Phép bin hình
3
z=ξ bin hình qut
3
arg0
π
<< z
thành na mt phng trên
0Im >ξ và
(
)
(
)
00,
2/6/
=ξ==ξ
ππ
iee
ii
. Theo Ví d 1.11, phép bin hình
i
i
ew
i



ξ
=
ϕ
bin
0Im >ξ thành
1<w tha mãn
()
0
=
iw ,
(
)

=

iw .
Chng 1: Hàm bin s phc

23
Nu ta thêm điu kin
()
iw =0 thì ie
i
i
ei
ii
−=⇒
+

=

ϕϕ
0
0
.
Vy phép bin hình cn tìm là
iz
iz
iw
+

−=
3
3
.
Ví d 1.14: Tìm phép bin hình bo giác
(
)
zfw
=
bin min





>−
<
2
1
2

1
:D
i
z
z
thành bng
1Re1 <<− w
.
Gii: Phép bin hình phân tuyn tính
iz
baz

+
=ξ bin ii

,0, ln lt thành ii

∞ ,, , do
đó
ξ bin min D thành bng 1Im1
<
ξ
<− .
Phép quay
ξ
= iw bin bng 1Im1
<
ξ
<
− thành bng 1Re1

<
<

w .
Vy phép bin hình cn tìm là
iz
iz
iz
iz
iw

+
=

+

=
313
.










1.4. TÍCH PHÂN PHC, CÔNG THC TÍCH PHÂN CAUCHY

Trong mc này ta nghiên cu các tính cht và các biu din ca hàm phc gii tích, vì vy
ta ch xét các hàm đn tr.
1.4.1. nh ngha và các tính cht ca tích phân phc
Khái nim tích phân phc dc theo mt đng cong đc đnh ngha tng t tích phân
đng loi 2.
Gi s
() ( )
(
)
yxivyxuzfw ,, +== xác đnh đn tr trong min D. L là đng cong (có th
đóng kín) nm trong D có đim mút đu là A mút cui là B.
Chia L thành n đon bi các đim
BzzzzA
n


, ,,,
210
nm trên L theo th t tng
dn ca các ch s.

i
1
i

i


31iz
zi

ξ
−+
=


wi
ξ
=

Chng 1: Hàm bin s phc

24








Chn trên mi cung con
kk
zz ,
1−
ca đng cong L mt đim bt k
kkk
iη+ξ=
ζ
.
t

,
kk k
zxiy=+
11 1
, , ; 1,2, , .
kkk kkk k kk
zzz xxx yyy k n
−− −
Δ= − Δ= − Δ= − =

()

=
Δζ=
n
k
kkn
zfS
1
(1.48)
đc gi là tng tích phân ca hàm
(
)
zf trên L ng vi phân hoch và cách chn các đim đi
din trên. Tng này nói chung ph thuc vào hàm
(
)
zf , đng L, cách chia L bi các đim
k
z và

cách chn các đim
k
ζ
.
Nu khi
0max
1
→Δ
≤≤
k
nk
z tng
n
S tin ti gii hn 

I không ph thuc cách chia đng
L và chn các đim
k
ζ
thì I đc gi là tích phân ca hàm
(
)
zf dc theo đng cong L t A đn
B, ký hiu
()

AB
f
zdz


. Vy

()

()
1
max 0
1
lim
k
kn
n
kk
z
k
AB
I
fzdz f z
ζ
≤≤
Δ→
=
== Δ


(1.49)
Tng tích phân (1.48) có th phân tích thành tng ca 2 tng tích phân đng loi 2.
() ( ) ( )( )
11
,,

nn
kk kk kk k k
kk
f
zu iv xiy
ζξηξη
==
Δ= + Δ+Δ⎡⎤
⎣⎦
∑∑

() () () ()
11
,, ,,
nn
kk k kk k kk k kk k
kk
uxvyivxuy
ξη ξη ξη ξη
==
⎡⎤⎡⎤
=Δ−Δ+ Δ+Δ
⎣⎦⎣⎦
∑∑
(1.50)
Tng t (1.27), áp dng (1.17) ta có

1
1
1

max 0
max 0
max 0
k
kn
k
kn
k
kn
x
z
y
≤≤
≤≤
≤≤

Δ


Δ→ ⇔

Δ




Vì vy tích phân phc (1.49) tn ti khi và ch khi hai tích phân đng loi 2 có tng tích
phân (1.50) tn ti và có đng thc
x
y


0
zA


n
zB


1

k
z
k
z



k
ζ

O
Chng 1: Hàm bin s phc

25

(
)
 
AB AB AB

f
z dz udx vdy i vdx udy=−+ +
∫∫ ∫
(1.51)
Nu hàm
() ( )
(
)
yxivyxuzfw ,, +== liên tc trên D và cung

AB trn tng khúc thì tn
ti hai tích phân đng loi 2  v phi ca (1.51) do đó tn ti tích phân phc tng ng.
ng thc (1.51) suy ra rng tích phân phc có các tính cht nh các tính cht ca tích phân
đng loi 2.
̇
() ()
()

(
)

(
)

AB AB AB
f
zgzdz fzdz gzdz+= +
∫∫∫
.
̇

()

()

AB AB
kf z dz k f z dz=
∫∫
; constk

.
̇
()

()

AB BA
f
zdz f zdz=−
∫∫
.
̇
() ()
∫∫

LL
dszfdzzf
,
v phi ca bt đng thc là tích phân đng loi 1 trên cung L có vi phân cung là
22
ds dz dx dy== +

. c bit, nu
(
)
L, ∈∀≤ zMzf và l là đ dài ca đng cong L thì
()
L
f
zdz Ml≤

. (1.52)
Khi A trùng vi B thì L là đng cong kín (ta ch xét các đng cong kín không t ct, gi
là đng Jordan). Tích phân trên đng cong kín L đc quy c ly theo chiu dng, ký hiu là
()
L
f
zdz
∫
.
Ví d 1.15: Tính tích phân

2
AB
I
zdz=

; iBiA 42,1
+
=
+
=


1. Dc theo parabol 21,
2
≤≤= xxy .
2. Dc theo đng thng ni A và B.
Gii:






x

y

A
B
O
1
2
i
i4

×