Chương 4: Nguyên tử pot

1
Chương 4 NGUYÊN TỬ
Ngay khi vừa mời ra đời lý thuyết lượng tử đã
được ứng dụng để giải quyết bài toán nguyên tử, là
lónh vực mà lý thuyết cổ điển (cơ học, điện từ học)
không giải thích được.
Trong chương này chúng ta sẽ khảo sát
phương trình Schroedinger cho electron trong
nguyên tử; xem xét các kết quả chính nhận được khi
giải phương trình này; rút ra những kết luận và so
sánh với kết quả thực nghiệm. Để đơn giản, chúng
ta sẽ chỉ xét trường hợp nguyên tử một electron.
2
Nguyên tử và quang phổ nguyên tử
• Nguyên tử
• Khái niệmHyLạpvề nguyên tử
• Vào năm 440 BC, Leucippus phát biểu đầutiênvề khái niệm
nguyên tử và được, Democritus (c460-371 BC) phát triển
• Các điểmcần chú ý của thuyết nguyên tử.
• Tấtcả các vậtchất đượctạobởi nguyên tử, mà quá nhỏđểcó
thể nhìn thấy. Những nguyên tử này không thể phân chia thành
những phầnnhỏ hơn.
• Giữa các nguyên tử là khoảng trống.
• Nguyên tử rắntuyệt đối.
• Các nguyên tửđồng nhất và không có cấu trúc bên trong.
• Các nguyên tử khác nhau ở kích thước, hình dạng và khối
lượng.
3
Nguyên tử và quang phổ nguyên tử
• Aristotle (384-322 BC)
• John Dalton 1803-1807

• Tấtcả các vậtchất đượctạotừ hạtrấtnhỏ gọilà
nguyên tử
• Tấtcả các nguyên tử của nguyên tố xác định có
cùng tính chất hóa học được quy định bởi nguyên
tốđó
• Các nguyên tử có thể thay đổicon đường mà
chúng kếthợpnhưng không thểđượctạorahoặc
phá vỡ trong phản ứng hóa học.
4
5
QUANG PHỔ NGUYÊN TỬ HIDRO
• Quang phổ nguyên tử
• Khi phóng điện liên tục vào trong hyđro dướiápsuấtthấp
thì thu được quang phổ vạch đơngiản.
• Quang phổ vạch hydro cũng có ba vùng:
• Vùng quang phổ nhìn thấycó4 vạch rõ đó là dãy Balmer
(J.Balmer 1825-1891, ngườiThuỵ Sỉ).
• Vùng tử ngoại và vùng hồng ngoại( xemhình)
• Càng xa vạch H  về phía có bước sóng ngắn khoảng
cách giữa2 vạch kề nhau càng bé dầnnênnhững vạch ở
cuốidãynằm sít nhau khó trông thấy. Trong quang phổ
hyđro ngoài dãy Balmer còn có 4 dãy nữa:
• Dãy Laiman ở trong vùng tử ngoại và 3 dãy nằm trong
vùng hồng ngoại là Paschen, Brackett và Pfund.
6
Phổ nguyên tử Hydro
©The McGraw-Hill Companies. Permission required for reproduction or display
7
Phương trình Schrodinger
• Mụctiêu:Giảiphương trình Schrodinger để tìm ra hàm

ψ, xác định trạng thái củahạtvi mô
•
•
M
M
ỗ
ỗ
i
i


ứ
ứ
ng
ng
v
v
ớ
ớ
i
i
m
m
ộ
ộ
t
t
ORBITAL
ORBITAL
—

—
v
v
ù
ù
ng
ng
không
không
gian
gian
t
t
ì
ì
m
m
th
th
ấ
ấ
y
y
electron
electron
.
.
•
•



kh
kh
ông
ông
mô
mô
t
t
ả
ả
ch
ch
í
í
nh
nh
x
x
á
á
c
c
v
v
ị
ị
tr
tr
í

í
c
c
ủ
ủ
a
a
electron.
electron.
•
•


2
2
cho
cho
bi
bi
ế
ế
t
t
x
x
á
á
c
c
su

su
ấ
ấ
t
t
t
t
ì
ì
m
m
th
th
ấ
ấ
y
y
electron
electron
t
t
ạ
ạ
i
i
m
m
ộ
ộ
t

t
v
v
ị
ị
tr
tr
í
í
x
x
á
á
c
c
đ
đ
ị
ị
nh
nh
.
.
8
HÀM RIÊNG & TRỊ RIÊNG TOÁN TỬ L
DẠNG TOÁN TỬ :
]P
ˆ
.x.r
ˆ

[L
ˆ




z
i
y
i
x
i
z
ˆ
y
ˆ
x
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
L
ˆ
zyx









 
)
y
z
z
y(i}
y
.zi(
z
yiL
ˆ
x











 
Ta lưuý cáchệ thức không giao hoán:



zyx
L
ˆ
iL
ˆ
,L
ˆ



xzy
L
ˆ
iL
ˆ
,L
ˆ



yxz
L
ˆ
iL
ˆ
,L
ˆ

và các hệ thức giao hóan:



0L
ˆ
,L
ˆ
x
2



0L
ˆ
,L
ˆ
y
2



0L
ˆ
,L
ˆ
z
2

Kếtluận các thành phầncủaL là
không xác định chính xác đồng thời.
Các toán tửđó KHÔNG cùng hàm
riêng

Kếtluận các thành phầncủaL vàL
2
là xác định chính xác đồng thời.
Các toán tửđócùnghàmriêng
9
TOÁN TỬ MÔMEN XUNG LƯỢNG TRONG HỆ TD CẦU
HỆ TỌA ĐỘ CẦU


X
y
Z
O
x = r sin .cos  r
2 =
x
2
+y
2
+z
2
y = r sin .sin  tg= y/x
z = r cos  cos = z/r
CÁC THÀNH PHẦN TOÁN TỬ MÔMEN
XUNG LƯỢNG TRONG HỆ TỌA ĐỘ CẦU
)cosgcot(siniL
ˆ
x






 
)singcot(cosiL
ˆ
y





 


 iL
ˆ
z
)]
sin
1
)(sin
sin
1
[L
ˆ
2
2
2
22











 
2
2
222
2
2
sinr
1
)(sin
sinr
1
)
r
r(
r
.
r
1

















10
3. MỤC ĐÍCH LÀ XÁC ĐỊNH HÀM RIÊNG CHO L
Z
DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN


 iL
ˆ
z
zz
z
U.L
U
i 



 
Chuyểnvế
 d.
iL
U
dU
z
z
z

)
.iLz
exp(.AU
z



 là hàm tuầnhoànchukỳ là 2pi, nên để đảmbảosựđơntrị :
)2(U)(U
zz



)
2.iLz
exp().
.iLz
exp(A)
.iLz
exp(A






1)
2Lz
cos()
2.Lz
.(sin.i)
2.iLz
exp( 






Suy ra:
)2mcos(1)
2.Lz
.(cos 




2m
2Lz




mLm
L
z
z

Trị riêng Lz bằng mộtsố nguyên lần Hs Planck, bị lượng tử
hóa, m phảigiớinộivàphảinhỏ hơnmộtgiớihạnm
m
nào đó.
11
4.1. NGUYÊN TỬ MỘT ELECTRON
• Xét hệ gồm một hạt nhân có điện tích Ze (Z
= 1,2, ) đứng yên và một electron khối
lượng m
e
chuyển động chung quanh nhân.
Thế năng của electron tại khoảng cách r từ
hạt nhân là (trường Coulomb)
U =  Ze
2
/4
o
r.
Phương trình Schroedinger
  
2
4
0
2

2
m
E
Ze
r
e
o

().


12
• Đây là bài toán 3 chiều, nhưng có tính đối
xứng cầu, nên tốt nhất là dùng hệ tọa độ
cầu. Bằng cách viết dạng của toán tử
Laplace theo tọa độ cầu ta được phương
trình Schroedinger có dạng

2
2
22 2222
11 12m
rsin EU(r)0
rr r rsin rsin

  


   
  


  
   
  


22
2222
112m
ˆ
rLEU(r)0
rr r r





 




Dùng phương pháp phân ly biếnsố:
(r, , ) R(r).Y( , )




13
Sau khi thay vào PT schrodinger:

Vì hai phương trình theo hai biếnsố khác nhau
chúng chỉ bằng nhau khi đềubằng mộthằng số.
PT bên vế trái chỉ giải đượcvới ĐK Lagrange:













 ]
Y
sinY
1
)
Y
(sin
sinY
1
[)
r4
ze
E(
m2

)
dr
dR
r(
dr
d
R
1
2
2
2
0
2
2
2

)1()
r4
ze
E(
m2
)
dr
dR
r(
dr
d
R
1
0

2
2
2


 

)().(D),(Y




Tiếptục phân ly hàm bên phảitheohaibiếnsố khác nhau
2
2
2
2
m
)(1
sin)1()
D
(sinsin
)(D
1




















Thay vào PT schrodinger cho ta kếtquả vế phải
)imexp(e)(
im


14
LỜI GIẢI CHO HÀM D() : Có dạng
)(cosP
m


là hàm Legendre liên hệ với đathức Legendre theo CT:
)x(P
dx
d
)x1()x(P
m

2/m
2m








trong đó đathức Lagendre hạng thứ là:






)1x(
dx
d
!2
1
)x(P
2









Quan hệ giữa m và :

m=0, 1, 2, 3. . . (  m  -)


Bài tập: Tính
1)x(P
0

)x(P
1
x)1x(
dx
d
2
1
)x(P
2
1








)1x3(

2
1
)1x(
dx
d
2.4
1
)x(P
222
2
2








)x(P
2
15
Thay đathức Lagendre vào hàm Lagendre
)x(P
dx
d
)x1()x(P
m
2/m
2m









Bài tập: Tính
)x(P
0
0
1)x(P
0
0

)x(P
0
1
x)x(P)x(P
1
0
1

1)x(P
0

x)x(P
1


)1x3(
2
1
)x(P
2
2



)x(P
1
1

22/12
x1x
dx
d
)x1( 









)x(P
1
2

222/12
x1x3)1x3(
2
1
dx
d
)x1( 














)x(P
0
2
22
)1x3(
2
1




)x(P
2
2
)x1(3)1x3(
2
1
dx
d
)x1(
22
2
2
2


















16
2. Chuyểnsang biếncos và sau khi chuẩnhóa
 sin)(cosP
1
1
 cos)(cosP
0
1

22
2
sin3)(cosP
 cossin3)(cosP
1
2
)1cos3(
2
1
)(cosP
20
2

)cos1(sin15)(cosP
23
3

 cossin15)(cosP
22
3

1)(cosP
0
0

2/1
0
0
4
1
)imexp()(cosD),(cosY










 cos4/3),(cosY
2/1
0
1




i
2/1

1
1
e.sin8/3),(cosY

)1cos3(16/5)(cosY
2
2/1
0
2





i
2/1
1
2
ecossin8/15),(cosY




i22
2/1
2
2
esin32/15),(cosY



i222
3
ecossin15),(cosY


i323
3
e)cos1(sin15),(cosY
17
3. Lờigiải cho nghiệmR(r)phụ thuộchaichữ số:
)r(RR
,n 

n là lượng tử chính, là lượng tử quỹđạovàm làlượng tử
từ. Chúng bị chi phốibởiqui luật:

n =1, 2, 3. . .
= 0, 1, 2, 3,. . , n-1 ( < n )


Số m
HGFDPSTT
PONMLKn (mức)
6543210Trị

18
D. Dưới đây là một vài dạng cụ thể Tổng quát:
)
a
r

exp()
a
1
(2R
2
3
0,1

)
a2
r
exp(]
a2
r
1[)
a
1
(
2
1
R
2
3
0,2

)
a2
r
exp()
a

r
()
a
1
(
24
1
R
2
3
1,2

)
a3
r
exp(]
a
r
27
2
a3
r2
1[)
a
1
(
27
2
R
2

2
3
0,3








)
a3
r
exp(
a
r
]
a6
r
1[)
a
1
(
627
8
R
2
2
3

1,3








m10.529,0
em
4
a
10
2
e
2
0





A là bán kính quỹđạo Bohr có dạng
1zif
eZm
4
a
2
e

2
0




),.(Y).r(AR)z,y,x(
m,,nm,,n





)
a
r
exp()
a
1
(2.4Y.AR
2
3
0,00,10,0,1

19
KẾT QUẢ VỀ NĂNG LƯỢNG CỦA NT HYDROGEN
Rh
n
Z
n

E
)4(
e
2
m
n
Z
E
2
2
2
1
2
0
2
2
e
2
2
n













115
32
0
4
e
s10.27,3
)4(4
em
R





R là hằng số Ritber:
KẾT LUẬN QUAN TRỌNG
1- MứcE bị lượng tử hóa, có giá trị âm
2- Phụ thuộcvàon, tăng lên khi n tăng
3- Cực đạilàgiátrị zero. CựctiểulàE
1
4- Năng lượng ion hóa - E
1
=
5- Số trạng thái thay đổitheomứcn
Mỗigiátrị n có n
2
số trạng thái khác nhau
18

2,185.10 J 13,6eV


20
IV GIẢI THÍCH QUANG PHỔ H
2
1. Khi cung cấpnăng lượng electron nhậnnăng lượng và
chuyểnmứckíchthíchmứcE
n’
. Electron ở (10
-8
s) nó trở
về mứcthấpE
n
(E
n’
> E
n
)và bứcxạđiệntừ.
n' n
22
11
EERh[ ]
nn'
 
Cho n=1. Ta có dãy phổ Lymann
n' 1
2
11
E E Rh[ ] n ' 2,3,4,5,6

1n'
  
Cho n=2. Ta có dãy phổ Panme
Khả kiến
n' 2
2
11
EERh[ ]n'3,4,5,6
4n'
  
Cho n=3. Ta có dãy phổ Passel
n' 3
2
11
EERh[ ]j4,5,6
9n'
  
Cho n=4. Ta có dãy phổ Bracket
n' 4
2
11
EERh[ ]n'5,6
16 n '
  
21
Số trạng thái có cùng mức năng lượng
• Vậy ứng với một giá trò n, xác đònh một mức
năng lượng E
n
, có thể có: hàm trạng

thái khác nhau. Số hàm trạng thái khác nhau
này được gọi là bậc suy biến của mức năng
lượng E
n
.
• Để phân biệt các trạng thái khác nhau này,
người ta gọi tên trạng thái có l = 0 là trạng
thái s; l = 1 là trạng thái p; l = 2 là trạng thái
d; l=3 là trạng thái f sau đó lần lượt theo thứ
tự chữ cái g,h,…
n1
2
l0
(2l 1) n





22
Xác suấttìmthấy electron
Dựavàotínhchấtcủacácmứcnăng lượng và
trạng thái tứclàphụ thuộc vào hàm R(r).
0m,0 
1m,1




0m,1




1m,1




2m,2 
1m,2




0m,2



1m,2



2m,2



23
• Cụ thể, như khi điện tử ở trạng thái thì
mật độ xác suất tìm hạt ở khoảng cách r là:
3

2
22
10 10 0
1
(r) R (r) r 4 exp( 2r / a ) r
a


 


100 10 00
RY


24
Moment động lượng q đạo
• Hình chiếu của moment q đạo trên một
phương Oz nào đó diễn đạt bằng toán tử ,
trò riêng được xác đònh bởi:
22
n,l,m n,l,m
ˆ
L (r, , ) l(l 1) (r, , )



L l(l 1) (l 0,1,2,3, ,n 1)  
z
ˆ

L
l
l l
n,l,m
z n,l,m l n,l,m
(r, , )
ˆ
L (r, , ) i m (r, , )








 


zl
Lm 
sự lượng tử hóa không gian.
25
Các giá trò cho phép của Lz
Trong cổ điển, ta đã có hệ thức liên hệ giữa moment từ và moment góc q đạo
zl
ee e
ee e
ˆ
ˆ

Ll(l1);m
2m 2m 2m
 

 

28 9
B
e
e
9,27.10 J / Gauss 5,79.10 eV / Gauss
2m


 

zl
m



Số lượng tử m
l
bây giờ đặc trưng cho độ lớn của moment từ,
nên được gọi là số lượng tử từ.