Bảng tổng hợp các chuyên đề về hàm số lượng giác

GV: Nguyễn Thị Tố Nga
Tổng hợp các chuyên đề về hàm số lượng giác, phương trình lượng giác
Dạng 1) Tìm TXĐ của hàm số lượng giác:
Phương pháp:
 Sử dụng phương pháp đã biết về tìm TXĐ của hàm số
 Sử dụng các kết quả sau:
( )
siny f x=
xác định khi f(x) xác định
( )
cosy f x=
xác định khi f(x) xác định
( )
tany f x=
xác định khi
( )
( )
0
¸c ®inh
cosf x
f x x


≠


( )
coty f x=
xác định khi
( )
( )

0
¸c ®inh
cosf x
f x x


≠


1
tan
y
x
=
xác định khi
cos 0
sin 0
x
x
≠


≠

1
cot
y
x
=
xác định khi

cos 0
sin 0
x
x
≠


≠

Dạng 2) Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác
Phương pháp:
 Xuất phát từ các BĐT:

1 sin 1x− ≤ ≤
Mở rộng
( )
1 sin 1f x− ≤ ≤
1 cos 1x
− ≤ ≤
Mở rộng
( )
1 cos 1f x− ≤ ≤
2
0 sin 1x≤ ≤
Mở rộng
( )
2
0 sin 1f x≤ ≤
0 sin 1x≤ ≤
Mở rộng

( )
0 sin 1f x≤ ≤
0 sin 1x≤ ≤
Mở rộng
( )
0 sin 1f x≤ ≤
 Áp dụng phép biến đổi:
( )
2 2
sin cos siny a x b x a b x
α
= ± = + ±
với
2 2 2 2
cos ,sin
a b
a b a b
α α
= =
+ +
 Lập bảng biến thiên của hàm số bậc hai
( )
2
f t at bt c= + +
( t là các hàm số lượng giác cơ bản)
 Sử dụng định nghĩa tập giá trị của hàm số: Tìm điều kiện của y để phương trình
( )
y f x=
có
nghiệm đối với ẩn x thuộc TXĐ của hàm số.

Dạng 3) Xác định tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác:
 Bước 1.Tìm TXĐ của hàm số: D
 Bước 2. Kiểm tra điều kiện
x D x D∀ ∈ ⇒ − ∈
(1)
- Nếu (1) sai ( Tức là tồn tại
o
x D∈
nhưng
o
x D− ∈
.Kết luận HS không chẵn,không lẻ
- Nếu (1) đúng, chuyển sang bước 3:
 Bước 3. Tính f(-x), so sánh với f(x)
- Nếu
( ) ( )
f x f x− =
. Kết luận hàm số chẵn
- Nếu
( ) ( )
f x f x− = −
. Kết luận hàm số lẻ.
- Nếu
( ) ( )
µ
o o o
x m f x f x∃ − ≠
thì hàm số không là hàm số chẵn;
Nếu
( ) ( )

D µ
o o o
x m f x f x∃ ∈ − ≠ −
thì hàm số không là hàm số lẻ
Dạng 4) Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng, đoạn cho trước
Dựa vào đồ thị hàm sô để suy ra, cụ thể
GV: Nguyễn Thị Tố Nga
 Nếu đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải thì hàm số đồng biến trên khoảng đó
 Nếu đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Dạng 5) Phương trình bậc nhất đối với 1 HSLG
a) Định nghĩa: là pt có dạng
( )
0 0at b a+ = ≠
( t là hàm số lượng giác cơ bản)
b) Cách giải: Chuyển vế b, chia cả hai vế của pt cho a đưa về dạng
b
t
a
= −
Dạng 6) Phương trình bậc hai đối với 1 HSLG:
a) Định nghĩa: Là phương trình có dạng:
2
0at bt c+ + =
( t là 1 trong các HSLG cơ bản)
b) Cách giải:
 Đặt các HSLG bằng ẩn phụ,( điều kiện cho ẩn phụ nếu có)
 Giải phương trình bậc hai theo ẩn phụ
 Đối chiếu với điều kiện
 Thay vào chỗ đặt, giải phương trình theo ẩn x
 Kết luận: Phương trình có các nghiệm ( hoặc pt có ...họ nghiệm) là: .......

Chú ý: Có thể giải theo cách ngắn gọn như sau:
VD:
( )
2
sin 1
sin 3sin 2 0 2
sin 2
2

(Lo¹i)
x
x x x k k Z
x
π
π
=

− + = ⇔ ⇔ = ∈

=

Dạng 7) Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx
a) Định nghĩa: Là pt có dạng:
( )
2 2
sin sin cos cos 1a x b x x c x d+ + =
b) Cách giải:
 Nếu
cos 0
2

x x k
π
π
= ⇔ = +
, khi đó
2
sin 1x =
. Phương trình trở thành a = d
+ Nếu đề bài cho a = d thì
2
x k
π
π
= +
là một họ nghiệm của pt
+ Nếu đề bài cho
a d≠
thì kết luận
2
x k
π
π
= +
không là nghiệm của phương trình.
 Nếu
cos 0x
≠
, chia cả hai vế của pt cho
2
cos x

, ta có pt:
( )
( )
2
tan 1 tan 2
2
atan x b x c d x+ + = +
Giải phương trình (2)
 Kết luận:
Dạng 8) Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
a) Định nghĩa:
( )
( )
2 2
sin cos 1 0a x b x c a b
+ = + ≠
b) Cách giải:
( ) ( )
2 2
1 sina b x c
α
⇔ + + =
Trong đó
2 2 2 2
sin ,cos
a b
a b a b
α α
= =
+ +

(Chọn giá trị cho
α
nếu
sin ,cos
α α
rơi vào trường hợp đặc biệt )
Khi đó pt
( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ + =
+
(2)
Giải (2) và kết luận
c) Chú ý : Với phương trình
( )
( )
2 2
sin cos 1 0a x b x c a b
− = + ≠
d) Cách giải:
( ) ( )
2 2
1 sina b x c
α
⇔ + − =

Trong đó
2 2 2 2
sin ,cos
a b
a b a b
α α
= =
+ +
(Chọn giá trị cho
α
nếu
sin ,cos
α α
rơi vào trường hợp đặc biệt )
GV: Nguyễn Thị Tố Nga
Khi đó pt
( )
2 2
sin
c
x
a b
α
⇔ − =
+
(2)
Dạng 9) Phương trình đối xứng với sinx và cosx:
a) Định nghĩa:
( )
sin cos sin osx + c = 0a x x b xc+ +

(1)
b) Cách giải:
 Đặt
sin cost x x= +
( Điều kiện:
2t ≤
)
2 2 2
2
sin 2sin cos cos 1 2sin cos
1
sin cos
2
t x x x x x x
t
x x
⇒ = + + = +
−
⇒ =
Thay
sin cos , sin osxx x xc+
vào pt tacó:
2
1
. 0
2
t
at b c
−
+ + =

(2)
 Giải phương trình (2) theo t, đối chiếu với điều kiện
 Thay vào chỗ đặt, giải phương trình
sin cosx x t+ =
 Kết luận:
Dạng 10) Phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu:
a) Phương pháp: Phân tích đồng thời điều kiện của pt, giá trị của x tìm được thành hợp của những
nghiệm thành phần và đối chiếu
Một số giá trị của x và các nghiệm thành phần của nó:
1)
( )
2
2 1
x k
x k
x k
π
π
π
=

= ⇔

= +

2)
2
2
x k
k

x
x k
π
π
π
π
=


= ⇔

= +

3)
3 3
2
3
x k
k
x x k
x k
π
π π
π
π
π


=



= ⇔ = +



= +

4)
4
2
4
4
3
4
x k
x k
k
x
x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π
=




= +


= ⇔
= +



= +


5)
6
2
6
3
6
6
4
6
5
6
x k
x k
x k
k
x
x k

x k
x k
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
π
=



= +


= +


= ⇔

= +




= +



= +


b) Chú ý: Có thể đưa về cùng đuôi
k
π
hoặc cùng đuôi
2k
π
tuỳ thuộc vào điều kiện, giá trị của x tìm
được
Dạng 11) Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích, tích thành tổng để giải PTLG:
Các công thức áp dụng:
sin sin 2sin cos
2 2
cos cos 2cos cos
2 2
cos cos 2sin sin
2 2
sin sin 2sin cos
2 2
x y x y
x y
x y x y
x y
x y x y

x y
x y x y
x y
+ −
+ =
+ −
+ =
+ −
− = −
− +
− =
Dạng 12) Áp dụng công thức nhân đôi, nhân 3, hạ bậc để giải PTLG:
Các công thức áp dụng:
GV: Nguyễn Thị Tố Nga
2
sin
1
2
2
2
sin2x = 2 sinxcosx
cos2x=cos
= 2cos
=1- 2cos
x x
x
x
−
−

2
2
1 cos2
cos
2
1 cos2
sin
2
x
x
x
x
+
=
−
=

3
3
sin3 3sin 4sin
cos3 4cos 3cos
x x x
x x x
= +
= −
Dạng 13) Sử dụng phương pháp đưa về phương trình tích để giải PTLG
a) Phương pháp: Biến đổi pt đã cho về dạng
( ) ( ) ( )
( )
( )

1 2
1
. ... 0
0
...
0
n
n
f x f x f x
f x
f x
=
 =

⇔


=

b) Chú ý: Sử dụng một số kĩ năng biến đổi sau:
( ) ( )
2 2
cos2 cos sin cos sin cos sinx x x x x x x= − = + −
( ) ( )
4 4 2 2 2 2 2
cos sin cos sin cos sin cos sin
2
x x x x x x x x
− = − + = −
( )

2
2 2
1 sin 2 sin 2sin cos cos sin cosx x x x x x x± = ± + = ±
( ) ( )
2 2
sin 1 cos 1 cos 1 cosx x x x= − = + −
( ) ( )
2 2
cos 1 sin 1 sin 1 sinx x x x= − = + −
2
at bt c+ +
có hai nghịêm là
1 2
,t t
thì phận tích
( ) ( )
2
1 2
at bt c t t t t+ + = − −
sin cos sin
1 tan 1
cos cos
x x x
x
x x
±
± = ± =
Dạng 14) Giải PTLG với điều kiện x cho trước:
a) Phương pháp:
 Giải phương trình tìm được các giá trị của x

 Cho x thoả mãn điều kiện cho trước
 Giải bất phương trình tìm k ( chú ý k nguyên ). Suy ra giá trị của x tương ứng
 Kết luận: Các nghiệm của phương trình thoả mãn điều kiện là: ......
a) Ví dụ
( )
;x x
π π π π
∈ − ⇔ < <
Với
x k
π
=
ta có
1 1k k
π π π
− < < ⇔ − < <
Vì
k Z∈
nên k = 0
0x
⇒ =
Một số phương trình có nghiệm gọn:
sin 0x x k
π
= ⇔ =
cosx = 1 x=k2
π
⇔
cosx=0 x=
2

k
π
π
⇔ +
cosx = 1 x= +k2
π π
⇔
sin 1 2
2
x x k
π
π
= ⇔ = +
tan 0 sin 0x x x k
π
= ⇔ = ⇔ =
sin 1 2
2
x x k
π
π
= − ⇔ = − + cot 0 cos 0
2
x x x k
π
π
= ⇔ = ⇔ = +