de thi TS toan 10 chuyen tin quang nam 2021 2022

thuvienhoclieu.com

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
NĂM HỌC 2021-2022
Mơn thi: TỐN (Chun Tin)
Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề)
Khóa thi ngày: 03-05/6/2021

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu 1. (1,5 điểm)

1
4
+
x + 2 x − 4 (với x ≥ 0, x ≠ 4 ) .
Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho P = 1.
P=

1
+
x −2

Câu 2. (1,0 điểm)
4
3
2

Cho phương trình x − 7 x + (m + 2) x − 2021x + m = 0 (*) , với m là tham số
nguyên.
Chứng minh rằng x = 1 không phải là nghiệm của phương trình (*) và phương trình
này có khơng q một nghiệm nguyên.

Câu 3. (1,0 điểm)
2
Cho parabol (P) : y = x và đường thẳng (d) : y = 2 x + m (m là tham số). Tìm m để

đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
x1 x2 + y1 y2 = 6.

A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 )

thỏa mãn

Câu 4. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình

x + 2 = 2 x + 1.

 x 2 − y 2 = 3

2
b) Giải hệ phương trình  xy − 3 y = −1 .
Câu 5. (3,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F lần lượt là trung điểm của AB và AC.
Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Gọi

( I2 )

( I1 ) và OQ của ( I 2 ) .

tam giác ABO và

( I1 )

là đường tròn ngoại tiếp

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ACO. Kẻ các đường kính OP của

a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh hai tam giác OEF và OQP đồng dạng.
c) Cạnh AC cắt đường tròn
tuyến của

( I2 )

( I1 )

tại D (D khác A). Tiếp tuyến của

( I1 )

tại P và tiếp

tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh ba điểm O, D, T thẳng hàng.

Câu 6. (1,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn
của biểu thức P = ab + bc + ca.

a+b+c =

1 1 1
+ + ×
a b c Tìm giá trị nhỏ nhất

--------------- HẾT ---------------

thuvienhoclieu.com

Trang 1


thuvienhoclieu.com

Họ và tên thí sinh:............................................................................................. Số báo danh: .........................
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUN
QUẢNG NAM
NĂM HỌC 2021-2022
HDC CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN CHUYÊN TIN
(Bản hướng dẫn này gồm 04 trang)

* Lưu ý:
Nếu thí sinh làm bài khơng theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ số điểm
từng phần như hướng dẫn quy định.

Câu

Nội Dung
1
1
4
P=
+
+
x −2
x + 2 x − 4 (với x ≥ 0, x ≠ 4 ) .
Cho biểu thức
Rút gọn biểu thức P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho P = 1.
1
+
x −2

Tính được
Câu 1 Suy ra

2 x +4
x−4

P=
=

Kết quả:

1
2 x

=
x +2 x−4

2

(

P=

(

x −2

x +2

)(

1,5

0,25

0,25

)

x +2

0,25

)

2
x −2

0,25

2
=1
( x ≥ 0, x ≠ 4 )
x −2
⇔ x = 4 ⇔ x = 16.

P =1⇔

0,25
0,25

Cho phương trình x − 7 x + ( m + 2) x − 2021x + m = 0 (*) , với m là tham
số nguyên. Chứng minh rằng x = 1 khơng phải là nghiệm của phương trình
(*) và phương trình này có khơng q một nghiệm ngun.
4
3
2
Đặt f ( x ) = x − 7 x + (2 + m ) x − 2021x + m
4

Câu 2

Điểm

3

2

Tính f (1) = 2m − 2025
Vì m là số nguyên nên f (1) = 2m − 2025 ≠ 0
Vậy x = 1 khơng phải là nghiệm của phương trình (*).

0,25
0,25

Giả sử x0 là nghiệm nguyên của phương trình (*), ta có f ( x0 ) = 0
Khi đó f ( x0 ) − f (1) = −2m + 2025 chia hết cho x0 − 1 , suy ra ( x0 − 1 ) là số
thuvienhoclieu.com

1,0

Trang 2

0,25


thuvienhoclieu.com

lẻ, suy ra x0 là số chẵn.
x1 , x2
Giả sử PT (*) có 2 nghiệm nguyên phân biệt
Suy ra: x1 , x2 là các số chẵn và f ( x1 ) − f ( x2 ) = 0 .

Ta có f ( x1 ) − f ( x2 ) = 0

⇔ ( x13 + x12 x2 + x1 x2 2 + x2 2 ) − 7( x12 + x1 x2 + x2 2 ) + ( m + 2)( x1 + x2 ) − 2021 = 0 ( x1 ≠ x2 )

Do vế trái là số lẻ nên mâu thuẩn. Vậy bài toán được chứng minh.
2
Cho parabol (P) : y = x và đường thẳng (d) : y = 2 x + m (m là tham số).
Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
A ( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 )
thỏa mãn x1 x2 + y1 y2 = 6.
2
Phương trình hồnh độ giao điểm của ( P ) và d là x = 2 x + m
2
Hay x − 2 x − m = 0 (1)

Tính được ∆ ' = 1 + m và suy ra được ∆ ' > 0 ⇔ m > −1

0,25

1,0

0,25
0,25

Câu 3 Theo hệ thức Viet x1 x2 = −m
Ta có:
x1 x2 + y1 y2 = 6

⇔ x1 x2 + ( x1 x2 ) 2 = 6

0,25

⇔ m2 − m − 6 = 0
m = 3
⇔
 m = −2

0,25

So điều kiện, suy ra m=3.
a) Giải phương trình

Câu 4
( 2,0 )

x + 2 = 2 x + 1.

1,0

2 x + 1 ≥ 0
⇔
2
x + 2 = 2x + 1
 x + 2 = (2 x + 1)
1

x ≥ −
⇔
2
 4 x 2 + 3x − 1 = 0 (*)

Giải PT (*) ta được x = −1 hoặc
x=

x=

0,25
0,25
1
4

0,25

1
4.

0,25

So điều kiện, kết luận
( HS có thể bình phương rồi thử lại).
 x 2 − y 2 = 3 (1)

2
b) Giải hệ phương trình  xy − 3 y = −1 (2) .
thuvienhoclieu.com

1,0

Trang 3

thuvienhoclieu.com

Nhận thấy y = 0 không phải là nghiệm của (2) nên rút

x=

3y2 −1
y

2

 3y − 1 
2
 y ÷ −y =3

Thay vào phương trình (1) được: 
2

Đưa về phương trình:

8 y 4 − 9 y 2 + 1 = 0 ⇔ y 2 = 1, y 2 =

1
8

0,25

2
Với y = 1 ⇒ x = ±2 , suy ra hai nghiệm ( −2; −1),(2;1) .

0,25

1
5
5
1
5
1
⇒x=±
(−
;
), (
;−
)
8
2 2 , suy ra hai nghiệm 2 2 2 2 2 2 2 2 .
Với
( Khơng lí luận y ≠ 0 thì trừ 0,25 và chấm tiếp)
Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có E, F lần lượt là trung điểm của AB
và AC. Hai đường trung trực của hai cạnh AB, AC cắt nhau tại O. Gọi
( I1 ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABO và ( I 2 ) là đường tròn ngoại
I
I
tiếp tam giác ACO. Kẻ các đường kính OP của ( 1 ) và OQ của ( 2 )
Câu 5
a) Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh hai tam giác OEF và OQP đồng dạng.
I
c) Cạnh AC cắt đường tròn ( 1 ) tại D (D khác A). Tiếp tuyến của
( I1 ) tại P và tiếp tuyến của ( I 2 ) tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh ba

điểm O, D, T thẳng hàng.
y2 =

thuvienhoclieu.com

0,25

Trang 4

0,25

3.5


thuvienhoclieu.com

5a

5b

a. Chứng minh tứ giác AEOF nội tiếp trong đường trịn.
Hình vẽ phục vụ câu a.
Nêu được OE ⊥ AB , OF ⊥ AC (mỗi ý cho 0,25)
Suy ra tứ giác AEOF nội tiếp.
b. Chứng minh ∆OFE đồng dạng với ∆OPQ .
Hình vẽ
·

·

0

0

1,0
0,25
0,5
0,25
1,5
0,25

0

Ta có OAP + OAQ = 90 + 90 = 180 . Suy ra 3 điểm P, A, Q thẳng hàng.
Xét hai tam giác ∆OFE và ∆OPQ có:
µ
Góc O chung (1)

0,25
0,25
0,25

·
·
·
OFE
= OAE
= ABO

·

·
·
QPO
= APO
= ABO
·
·
OFE
= QPO

Suy ra
(2)
Từ (1) và (2) suy ra hai tam giác ∆OFE và ∆OPQ đồng dạng.
( I1 )
( I1 )
Cạnh AC cắt đường tròn
tiếp tuyến của

5c

( I2 )

tại D (D khác A). Tiếp tuyến của

0,25
tại P và

tại Q cắt nhau tại T. Chứng minh O, D, T thẳng hàng.

0 ·

0 ·
·
·
Lập luận: DOQ = DOF = 90 − FDO = 90 − ABO (1)

·
·
TOQ
= TPQ

·
·
·
= PAB
= 90 − APO
= 90 − ABO
0

0,25
0,25

(2)

·
·
Từ (1) và (2) suy ra TOQ = DOQ và kết luận O, D, T thẳng hàng.

Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn

a + b + c=

thuvienhoclieu.com

1,0
0,25

(Tứ giác TPOQ nội tiếp)
0

Câu 6

0,25

1 1 1
+ +
a b c.
Trang 5

0,25
1,0


thuvienhoclieu.com

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = ab + bc + ca .
Cách 1:
1 1 1
abc ( + + ) 2
1 1 1
a b c

P = ab + bc + ca = abc( + + ) =
a b c
a +b+c
Có
1 1 1
1 1 1
abc ( 2 + 2 + 2 ) + 2(a + b + c) abc( 2 + 2 + 2 )
a b c
a b c +2
=
=
a+b+c
a+b+c
1
1
1
abc( + + )
ab bc ca + 2 = 1 + 2 = 3
≥
a+b+c
.

0,25
0,25
0,25

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c = 1 . Vậy Min P=3.

0,25

Cách 2:
Biến đổi giả thiết
CM được BĐT
Áp dụng:

a + b + c=

( x + y + z)

2

1 1 1
+ + ⇔ a 2 bc + b2 ac + c 2 ab = ab + bc + ca = P
a b c

≥ 3 ( xy + yz + zx )

x = ab, y = bc, z = ca

thu được

0,25

P 2 ≥ 3P ⇔ P ≥ 3 ( P > 0 )

0,25

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1. Vậy Min P=3.

thuvienhoclieu.com

0,25

0,25

Trang 6