Nguyên hàm và tích phân, bài tập ứng dụng

Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứ
CH NG II. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂNƯƠ
BÀI 1. BÀI T P Ậ S D NG CÔNG TH C NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN Ử Ụ Ứ
I. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN B T Ấ Đ NHỊ
1. Đ nh nghĩa:ị
• Giả sử y = f(x) liên t c trên kho ng (ụ ả a, b), khi đó hàm s ố y = F(x) là m tộ
nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) khi và ch khi Fỉ ′ (x) = f(x), ∀x∈(a, b).
• N u ế y = F(x) là m t nguyên hàm c a hàm s ộ ủ ố y = f(x) thì t p h p t t c cácậ ợ ấ ả
nguyên hàm c a hàm s ủ ố y = f(x) là t p h p I ậ ợ =
{ }
+ ∈
F( x ) c c R
và tập hợp
này còn đ c kí hi u d i d u tích phân b t đ nh ượ ệ ướ ấ ấ ị
= = +
∫
I f ( x )dx F( x ) c
2. Vi phân:
2.1 Giả sử y = f(x) xác đ nh trên kho ng (ị ả a, b) và có đ o hàmạ t i đi m ạ ể x∈(a,b).
Cho x m t s gia ộ ố ∆x sao cho (x + ∆ x) ∈ (a,b), khi đó ta có:
• Công thức vi phân theo s giaố :
( )
( ) ( )
′

= ∆


′
= ∆



dy y x x
df x f x x
• Công th c bi n đ i vi phân: ứ ế ổ
Ch n hàm s ọ ố y = x ⇒ dy = dx = x’.∆x = ∆x ⇒ dx = ∆x.
V y ta có: ậ
( )
( ) ( )
′

= ∆


′
= ∆


dy y x x
df x f x x
⇔
( )
( ) ( )
′

=


′
=



dy y x dx
df x f x dx

• N u hàm s ế ố f(x) có vi phân t i đi m ạ ể x thì ta nói f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x.
Do
( ) ( )
df x f x x
′
= ∆
nên f(x) kh vi t i đi m ả ạ ể x ⇔ f(x) có đ o hàm t i đi m ạ ạ ể x
2.2. Tính chất: Gi s u và v là 2 hàm s cùng kh vi t i đi m ả ử ố ả ạ ể x. Khi đó:

( ) ( )
(
)
−
± = ± = + =
2
udv vdu
u
d u v du dv ; d uv udv vdu ; d
v
v
2.3 Vi phân của hàm hợp
Nếu
=


=


y f ( u )
u g( x )
và f, g kh vi thì ả
( ) ( ) ( )
′
′
= =
dy f u du f u u x dx
1
Ch ng II. Nguyên hàm và tích ươ phân
−
Tr n Ph ngầ ươ
3. Quan h gi a đ o hàm ệ ữ ạ − nguyên hàm và vi phân:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′
= + ⇔ = ⇔ =
∫
f x dx F x c F x f x dF x f x dx
4. Các tính ch t c a nguyên hàm và tích phânấ ủ
4.1. N u ế f(x) là hàm s có nguyên hàm thì ố
( )
( )
( )
′
=
∫
f x dx f x
;
( )

( )
( )
=
∫
d f x dx f x dx
4.2. N u F(ế x) có đ o hàm thì: ạ

( )
( )
( )
= +
∫
d F x F x c
4.3. Phép cộng: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
( ) ( ) ( ) ( )
 
+ = +
 
∫ ∫ ∫
f x g x dx f x dx g x dx
4.4. Phép trừ: N u ế f(x) và g(x) có nguyên hàm thì:
( ) ( ) ( ) ( )
 
− = −
 
∫ ∫ ∫
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép nhân với một hằng số thực khác 0: 
( ) ( )
=

∫ ∫
kf x dx k f x dx
, ∀k ≠ 0
4.6. Công thức đổi biến số: Cho y = f(u) và u = g(x).
N u ế
( ) ( )
= +
∫
f x dx F x c
thì
( )
( )
( ) ( ) ( )
′
= = +
∫ ∫
f g x g x dx f u du F u c
5. Nh n xét:ậ N u ế
( ) ( )
= +
∫
f x dx F x c
v i F(ớ x) là hàm s c p thì ta nói tíchơ ấ
phân b t đ nh ấ ị
( )
∫
f x dx
bi u di n đ c d i d ng h u h n. Ta có nh n xét:ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ậ
N u m t tích phân b t đ nh bi u di n đ c d i d ng h u h n thì hàm sế ộ ấ ị ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ố
d i d u tích phân là hàm s c p và đi u ng c l i không đúng, t c là cóướ ấ ơ ấ ề ượ ạ ứ

nhi u hàm s d i d u tích phân là hàm s c p nh ng tích phân b t đ nhề ố ướ ấ ơ ấ ư ấ ị
không bi u di n đ c d i d ng h u h n m c dù nó t n t i. Ch ng h nể ễ ượ ướ ạ ữ ạ ặ ồ ạ ẳ ạ
các tích phân b t đ nh sau t n t iấ ị ồ ạ
2
Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứ
−
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
2
x
dx sin x cos x
e dx ; ; sin x dx ; dx ; dx
ln x x x

nh ng chúng không th bi u di n đ c d i d ng h u h n.ư ể ể ễ ượ ướ ạ ữ ạ
3
Ch ng II. Nguyên hàm và tích ươ phân
−
Tr n Ph ngầ ươ
II. TÍCH PHÂN XÁC Đ NHỊ
1. Đ nh nghĩa:ị
Gi s hàm s ả ử ố f(x) xác đ nh và b ch n trên đo n [ị ị ặ ạ a, b]. Xét m t phân ho chộ ạ
π b t kì c a đo n [ấ ủ ạ a, b], t c là chia đo n [ứ ạ a, b] thành n ph n tuỳ ý b i cácầ ở
đi m chia: ể
−
= < < < < =
0 1 n 1 n
a x x ... x x b
. Trên m i đo n ỗ ạ
[ ]
−k 1 k

x ,x
l y b t kìấ ấ
đi m ể
[ ]
1k k k
x , x
−
ξ ∈
và g i ọ
1k k k
x x
−
∆ = −
là đ dài c a ộ ủ
[ ]
1k k
x , x
−
. Khi đó:
( )
( ) ( )
( )
=
= + + +
∑
n
k k 1 1 2 2 n n
k 1
f f f ... f
ξ ∆ ξ ∆ ξ ∆ ξ ∆

g i là t ng tích phân c a hàmọ ổ ủ
f(x) trên đo n [ạ a, b]. T ng tích phân này ph thu c vào phân ho ch ổ ụ ộ ạ π, số
kho ng chia n và ph thu c vào cách ch n đi m ả ụ ộ ọ ể ξ
k
.
N u t n t i ế ồ ạ
( )
→
=
∑
k
n
k k
Max 0
k 1
lim f
∆
ξ ∆
(là m t s xác đ nh) thì gi i h n này g i làộ ố ị ớ ạ ọ
tích phân xác đ nh c a hàm s ị ủ ố f(x) trên đo n [ạ a, b] và kí hi u là: ệ
( )
∫
b
a
f x dx

Khi đó hàm s ố y = f(x) đ c g i là kh tích trên đo n [ượ ọ ả ạ a, b]
2. Đi u ki n kh tích:ề ệ ả
Các hàm liên t c trên [ụ a, b], các hàm b ch n có h u h n đi m gián đo n trênị ặ ữ ạ ể ạ
[a, b] và các hàm đ n đi u b ch n trên [ơ ệ ị ặ a, b] đ u kh tích trên [ề ả a, b].

3. Ý nghĩa hình h c:ọ
N u ế f(x) > 0 trên đo n [ạ a, b] thì
( )
∫
b
a
f x dx
là di n tích c a hình thang congệ ủ
gi i h n b i các đ ng: ớ ạ ở ườ y = f(x), x = a, x = b, y = 0
4
O
y
x
0
a=x
1
ξ
1
x
2
ξ
x
2
......
k­1
x x
k
x
n
x

n­1
=b... ...
k­1
ξ ξ
k n­1
ξ ξ
n
C
1
2
C
3
C
k­1
N
k
N
n­1
C
n
C
n
N
N
1
C
k
B
1
2

B
B
k
B
n
B
k+1
......
Bài 1. Bài t p s d ng công th c nguyên hàm, tích phânậ ử ụ ứ
4. Các đ nh lý, tính ch t và công th c c a tích phân xác đ nh:ị ấ ứ ủ ị
4.1. Định lý 1: N u ế f(x) liên t c trên đo n [ụ ạ a, b] thì nó kh tích trên đo n [ả ạ a, b]
4.2. Định lý 2: N u ế f(x), g(x) liên t c trên ụ đo n [ạ a, b] và f(x) ≤ g(x),∀x∈[a, b]
thì
( ) ( )
≤
∫ ∫
b b
a a
f x dx g x dx
. D u b ng x y ra ấ ằ ả ⇔ f(x) ≡ g(x), ∀x∈[a, b]
4.3. Công thức Newton ­ Leipnitz:
N u ế
( ) ( )
= +
∫
f x dx F x c
thì
( ) ( ) ( ) ( )
= = −
∫

b
b
a
a
f x dx F x F b F a
4.4. Phép cộng:
( ) ( ) ( ) ( )
 
+ = +
 
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.5. Phép trừ:
( ) ( ) ( ) ( )
 
− = −
 
∫ ∫ ∫
b b b
a a a
f x g x dx f x dx g x dx
4.6. Phép nhân với một hằng số khác 0: 
( ) ( )
=
∫ ∫
b b
a a
kf x dx k f x dx

, ∀k ≠ 0
4.7. Công thức đảo cận tích phân: 
( ) ( )
= −
∫ ∫
b a
a b
f x dx f x dx
;
( )
=
∫
a
a
f x dx 0
4.8. Công thức tách cận tích phân:
( ) ( ) ( )
= +
∫ ∫ ∫
b c b
a a c
f x dx f x dx f x dx
4.9. Công thức đổi biến số:
Cho y = f(x) liên t c trên đo n [ụ ạ a, b] và hàm x = ϕ(t) kh vi, liên t c trênả ụ
đo n [ạ m, M] và
[ ]
( )
[ ]
( )
∈ ∈

= =
t m ,M t m,M
Min t a; Max t b
ϕ ϕ
;
( )
( )
= =m a; M b
ϕ ϕ
.
Khi đó ta có:
( ) ( )
[ ]
( )
′
=
∫ ∫
b M
a m
f x dx f t t dt
ϕ ϕ
4.10. Công thức tích phân từng phần:
Gi s hàm s ả ử ố u(x), v(x) kh vi, liên t c trên [ả ụ a, b], khi đó:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
′ ′
= −
∫ ∫
b b
b
a

a a
u x v x dx u x v x v x u x dx
5