Cac cong thuc luong giac day du chinh xac

CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. Các hệ thức cơ bản và hệ quả:
1/
2 2
sin cos 1+ =a a
2/
sin
t g
cos
a
=a
a
3/
cos
cot g
sin
a
=a
a
4/
2
2
1
1 t g
cos
+ =a
a
5/
2
2
1

1 cot g
sin
+ =a
a
6/
t g . cot g 1=a a
II. Công thức cộng - trừ:
1/
( )
sin a b sin a. cos b sin b. cos a+ = +
2/
( )
sin a b sin a. cos b sin b. cos a- = -
3/
( )
cos a b cos a. cos b sin a.sin b+ = -
4/
( )
cos a b cos a. cos b sin a. sin b- = +
5/
( )
t ga tgb
t g a b
1 t ga.tgb
+
+ =
-
6/
( )
t ga t gb

t g a b
1 t ga.tgb
-
- =
+
7/
( )
cot ga. cot gb 1
cot g a b
cot ga cot gb
-
+ =
+
( )
cot ga cot gb 1
8 / cot g a b
cot ga cot gb
+
- =
-
III. Công thức góc nhân đôi:
1/
( ) ( )
2 2
sin 2a 2 sin a. cos a sin a cos a 1 1 sin a cos a= = + - = - -
2/
2 2 2 2
cos 2a cos a sin a 2 cos a 1 1 2 sin a= - = - = -
3/
2

2t ga
t g2a
1 t g a
=
-
4/
2
cot g a 1
cot g2a
2 cot ga
-
=
IV. Công thức góc nhân ba:
1/
3
sin 3a 3 sin a 4 sin a= -
2/
3
cos3a 4 cos a 3 cos a= -
a
{
Cosa
}
cot ga
sin
cos
tg
cotg
t
3/

3
3
3t ga tg a
t g3a
1 3tg a
-
=
-
4/
3
2
cot g a 3cot ga
cot g3a
3 cot g a 1
-
=
-
V. Công thức hạ bậc hai:
1/
2
2
2
1 cos 2a t g a
sin a
2
1 t g a
-
= =
+
2/

2
2
2
1 cos 2a cot g a
cos a
2
1 cot g a
+
= =
+
3/
2
1 cos 2a
t g a
1 cos 2a
-
=
+
4/
1
sin a cos a sin 2a
2
=
VI. Công thức hạ bậc ba:
1/
( )
3
1
sin a 3 sin a s in3a
4

= -
2/
( )
3
1
cos a 3 cos a cos 3a
4
= +
VII. Công thức biểu diễn
sin x, cos x, t gx
qua
tgx
t
2
=
:
1/
2
2t
sin x
1 t
=
+
2/
2
2
1 t
cos x
1 t
-

=
+
3/
2
2t
t gx
1 t
=
-
2
1 t
cot gx
2t
-
=
VIII. Công thức biến đổi tích thành tổng:
1/
( ) ( )
1
cos a. cos b cos a b cos a b
2
é ù
= - + +
ê ú
ë û
2/
( ) ( )
1
sin a. sin b cos a b cos a b
2

é ù
= - - +
ê ú
ë û
3/
( ) ( )
1
sin a. cos b sin a b sin a b
2
é ù
= + + -
ê ú
ë û
IX. Công thức biến đổi tổng thành tích:
1/
a b a b
cos a cos b 2 cos .cos
2 2
+ -
+ =
2/
a b a b
cos a cos b 2 sin . sin
2 2
+ -
- = -
3/
a b a b
sin a sin b 2 sin . cos
2 2

+ -
+ =
4/
a b a b
sin a sin b 2 cos . sin
2 2
+ -
- =
5/
( )
sin a b
t ga t gb
cos a. cos b
+
+ =
6/
( )
sin a b
t ga t gb
cos a. cos b
-
- =
7/
( )
sin a b
cot ga cot gb
sin a. sin b
+
+ =
8/

( )
sin a b
cot ga cot gb
sin a. sin b
- -
- =
9/
( )
sin a b
t ga cot gb
cos a. sin b
-
+ =
9/
2
t ga cot ga
sin 2a
+ =
10/
( )
cos a b
cot ga tgb
sin a. cos b
+
- =
11/
cot ga tga 2 cot g2a- =
X. Công thức liên hệ của các góc (cung) liên quan đặc biệt:
1/ Góc đối:
( )

( )
( )
( )
sin sin
cos cos
tg t g
cot g cot g
ì
ï
- = -a a
ï
ï
ï
ï - =a a
ï
í
ï
- = -a a
ï
ï
ï
- = -a a
ï
ï
î
2/ Góc bù:
( )
( )
( )
( )

sin sin
cos cos
tg tg
cot g cot g
ì
ï
- =p a a
ï
ï
ï
ï - = -p a a
ï
í
ï
- = -p a a
ï
ï
ï
- = -p a a
ï
ï
î
3/ Góc sai kém
p
:
( )
( )
( )
( )
sin sin

cos cos
tg t g
cot g cot g
ì
ï
+ = -p a a
ï
ï
ï
ï + = -p a a
ï
í
ï
+ =p a a
ï
ï
ï
+ =p a a
ï
ï
î
4/ Góc phụ:
sin cos
2
cos sin
2
tg cot g
2
cot g t g
2

ì
æ ö
ï
p
÷
ï
ç
÷
- =a a
ï ç
÷
ç
ï
÷
ç
è ø
ï
ï
ï
æ ö
p
ï
÷
ç
ï
÷
- =a a
ç
ï
÷

ç
÷
ç
ï
è ø
ï
í
æ ö
ï
p
÷
ç
ï
÷
- =a a
ç
ï
÷
ç
ï
÷
ç
è ø
ï
ï
ï
æ ö
p
ï
÷

ç
ï
÷
- =a a
ç
ï
÷
ç
÷
ç
ï
è ø
ï
î
XI. Công thức bổ sung:
1/
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ = - = +a a a a
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

2/
cos sin 2 cos 2 sin
4 4
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = + = -a a a a
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
3/
sin cos 2 sin a 2 cos a
4 4
æ ö æ ö
p p
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
- = - = +a a
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø

4/
( ) ( )
( )
2 2 2 2 2 2
A sin a B cos a A B sin a A B cos a , A B 0+ = + + = + - + >a b
5/
( )
2
1 sin cos sin+ = +a a a
XII. Bảng giá trị của hàm số lượng giác của các góc cung đặc biệt:
Góc
Hàm số
0
0
0
/ 6p
0
30
/ 4p
0
45
/ 3p
0
60
/ 2p
0
90
sin 0
1 / 2
2 / 2

3 / 2
1
cos 1
3 / 2
2 / 2
1 / 2
0
tg 0
3 / 3
1
3
||
cotg ||
3
1
3 / 3
0
XIII. Định lý hàm số cosin:
1/
2 2 2
a b c 2bc. cos A= + -
2/
2 2 2
b c a 2ca. cos B= + -
3/
2 2 2
c a b 2bc.cos C= + -
A
B
C

a
b
c
XIV. Định lý hàm số sin:
a b c
2R
sin A sin B sin C
= = =
Với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABCV
Hay
a 2R sin A
b 2R sin B
c 2R sin B
ì
ï
=
ï
ï
ï
=
í
ï
ï
=
ï
ï
î
XV. Công thức tính diện tích tma giác:
Gọi

h
V
là đường cao thuộc cạnh trong
ABCV
.
a b c
p
2
+ +
=
là phân nửa chu vi
ABCV
.
S là diện tích
ABCV
.
R là bán kinh đường tròn ngoại tiếp
ABCV
.
R là bán kính đường tròn nội tiếp
ABCV
.
1/
a b c
1 1 1
S a.h b.h c.h
2 2 2
= = =
2/
1 1 1

S ab. sin C bc. sin A ca. sin B
2 2 2
= = =
3/
abc
S
4R
=
; 4/
S p.r=
5/
( ) ( ) ( )
S p p a p b p c= - - -
(Công thức Héron)