268 đề HSG toán 6 lập thạch 2018 2019

PHỊNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
LẬP THẠCH

ĐỀ CHỌN HSG TỐN LỚP 6
Năm học 2018-2019

Bài 1. (2 điểm)
Tính giá trị biểu thức sau:
1 −1 
1
a)4 + .12 − 5 ÷
7 6 
7

b) ( 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2014 ) − ( 3 + 5 + 7 + 9 + ..... + 2011)
1 
1
1 
 1  1 

c) 1 − ÷1 − ÷1 − ÷1 − ÷.......1 −
÷
 3  6  10  15 
 780 

Bài 2. (2 điểm)
a) Tìm số nguyên

a,

−13 a − 1 − 4 = −44.( 24 − 15) + ( −2011)

0

biết:
A = 2010 + 20102 + 20103 + ..... + 20102009 + 2010 2010

b) Cho biểu thức
Chứng minh rằng A chia hết cho 2011
B = 802 − 79.80 + 1601
c) Cho
Chứng minh rằng B là bình phương của một số tự nhiên
Bài 3. (2 điểm)
S=

2011 2012 2013
+
+
2012 2013 2011

a) So sánh S với 3, biết
n
6n + 1 7 n − 1
b) Với số tự nhiên thỏa mãn
và
là hai số tự nhiên không nguyên
6n + 1 7 n − 1
tố cùng nhau thì ước chung lớn nhất của
và
là bao nhiêu ?
Bài 4. (4 điểm)

xy.
Cho điểm O nằm ngoài đường thẳng
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa
· = 1300 , ·yOt = 1000
zOt
xy,
Oz , Ot
đường thẳng
kẻ tia
sao cho


a) Tia

Oz

·yOt

có là phân giác của
khơng ? Tại sao ?
· , On
·
zOt
Om
Ot.
mOn
b) Gọi
là phân giác của
là tia đối của tia

Tính số đo
xy
c) Lấy thêm 19 điểm phân biệt trên đường thẳng (các điểm này không trùng
xy
với điểm O) và một điểm A nằm ngoài đường thẳng . Hỏi vẽ được bao
nhiêu tam giác nhận 3 trong các điểm trên làm đỉnh.


ĐÁP ÁN
Bài 1.
1 −1 
1
1 −1
−1 1
1
1 36
a)4 + .12 − 5 ÷ = 4 + .12 − .5 = 4 − 2 + . = 3
7 6 
7
7 6
6 7
7
6 7

b) ( 2 + 4 + 6 + 8 + ..... + 2014 ) − ( 3 + 5 + 7 + 9 + ..... + 2011)

( 2 + 4 + 6 + 8 + .... + 2014 )

Nhận xét:
( 3 + 5 + 7 + 9 + .... + 2011)

có 1007 số hạng

có 1005 số hạng
= ( 2 − 3) + ( 4 − 5 ) + ( 6 − 7 ) + ( 2010 − 2011) + ( 2012 + 2014 )

= ( −1) + ( −1) + ( −1) + ..... + ( −1) + 4026
= −1005 + 4026 = 3021

có

1005

số hạng

có 1006 nhóm

−1

1
1
1  2 5 9 14 779
 1  1 

c) 1 − ÷.1 − ÷.1 − ÷.1 − ÷......1 −
÷ = . . . .....
 3   6   10   15 
 780  3 6 10 15 780
4 10 18 28 1558 1.4 2.5 3.6
38.41

= . . . ....
=
. . .....
6 12 20 30 1560 2.3 3.4 4.5 39.40
1.2.3....38 4.5.6.....41
1 41 41
=
.
= . =
2.3.4.....39 3.4.5.6....40 39 3 117
Bài 2.
a)
−13 a − 1 − 4 = −44.( 24 − 15 ) + ( −2011) = −44. ( 24 − 15 ) + ( −2011)
0

−13 a − 1 − 4 = −44.1 + 1 ⇒ −13 a − 1 = −39
 a − 1 = 3 ⇒ a = 4 (tm)
⇒ a −1 = 3 ⇒ 
 a − 1 = −3 ⇒ a = −2 (tm)
b) A = 2010 + 2010 2 + 20103 + 2010 4 + ...... + 20102009 + 2010 2010
A = 2010.( 1 + 2010 ) + 20103.( 1 + 2010 ) + ...... + 2010 2009. ( 1 + 2010 )
A = 2011.( 2010 + 20103 + ...... + 20102009 ) M2011 ⇒ AM2011

c) B = 802 − 79.80 + 1601 = 80.( 80 − 79 ) + 1601 = 80.1 + 1601 = 1681 = 412


Vậy B là bình phương của một số tự nhiên là 41.
Bài 3.
2011 2012 2013 
1  

1  
1
1 
a) S =
+
+
= 1 −
+
÷+  1 −
÷+  1 +
÷
2012 2013 2011  2012   2013   2011 2011 
1   1
1 
 1
=3+
−
−
÷+ 
÷
 2011 2012   2011 2013 
1
1
1
1
Do
>
;
>
2011 2012 2011 2013

1
1
1
1
1   1
1 
 1
−
> 0,
−
> 0⇒ 3+
−
−
÷+ 
÷> 3
2011 2012
2011 2013
 2011 2012   2011 2013 

Nên:
Vậy S>3
d
6n + 1 7n − 1( d ∈ ¥ *)
b) Gọi là UCLN của
và
ta có:
6n + 1∈ d 7.( 6n + 1) ∈ d
⇒
⇒ 7 ( 6n + 1) − 6 ( 7n − 1) ∈ d ⇒ 42n + 7 − 42n + 6 ∈ d


7n − 1∈ d 6.( 7 n − 1) ∈ d

⇒ d ∈ { 1;13}
Nên

6n + 1,7 n − 1

. Mà
d ≠ 1 ⇒ d = 13

Vậy ước chung lớn nhất của
Bài 4.

là hai số tự nhiên không nguyên tố cùng nhau

6n + 1,7 n − 3

là 13.


xy

Ox, Oy

a) Vì điểm O nằm trên đường thẳng nên hai tia
là hai tia đối nhau
· , ·yOz
·
xOy

⇒ xOy
+ ·yOz = 1800 ⇒ ·yOz = 500
Nên
là hai góc kề bù
·
xOy
< ·yOz ( 500 < 1000 )
Oy
Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ chứa tia
có:
nên tia
·
¶ = ·yOt ⇒ zOy
·
⇒ zOy
+ tOz
= 500
Oz
nằm giữa tia Oy, Ot (1)
(2)
·yOt
Oz
Từ (1) và (2) suy ra
là phân giác của
1
· ⇒ zOm
·
·
zOt
+ tOm

= .500 = 250
Om
2
b) Vì
là phân giác của
·
·
On
Ot.
nOm
& tOm
Vì
là tia đối của tia
Nên
là hai góc kề bù
·
·
·
⇒ nOm
+ tOm
= 1800 ⇒ nOm
= 1800 − 250 = 1550

xy
c) Xét 20 điểm trên đường thẳng
Chọn một điểm nối điểm đó với lần lượt 19 điểm còn lại ta vẽ được 19 đoạn thẳng.
Làm như vậy với 20 điểm ta được 19.20 đường thẳng.
19.20 : 2
Như vậy mỗi đường thẳng đã được tính 2 lần, do đó chỉ có
đoạn thẳng

Vì qua ba điểm khơng thẳng hàng ta vẽ được một tam giác


xy
Nên cứ nối hai điểm đầu của một đoạn thẳng nằm trên đường thẳng
xy
nằm ngoài đường thẳng ta sẽ vẽ được một tam giác.
Vậy số tam giác vẽ được bằng số đoạn thẳng nằm trên đường thẳng
Như vậy ta có 190 tam giác.

với điểm A

xy
.