295 đề HSG toán 6 trường 2018 2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM 2018-2019
MƠN TỐN LỚP 6
Bài 1. (5 điểm)
50
48
46
44
6
4
2
Cho A  5  5  5  5  .....  5  5  5  1

a) Tính A
n
b) Tìm số tự nhiên n biết 26 A  1  5
c) Tìm số dư trong phép chia A cho 100.
Bài 2. (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x, biết:
a)1  3  5  7  9  .....   2 x  1  225
b)2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  ....  2 x  2015  22019  8
Bài 3. (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37. Chứng minh rằng số cab cũng chia hết cho 37
b) Tìm số x, y nguyên biết xy  12  x  y
Bài 4. (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất sao cho: a chia cho 2 dư 1, a chia
cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3
Bài 5. (4,0 điểm)
1. Cho 30 điểm phân biệt trong đó có a điểm thẳng hàng, cứ qua 2 điểm ta vẽ
được 1 đường thẳng. Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành là 421 đường
thẳng.
2. Vẽ đoạn thẳng AB  6cm. Lấy hai điểm C và D nằm giữa A và B sao cho

AC  BD  9cm.

a) Chứng tỏ D nằm giữa A và C
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?


ĐÁP ÁN
Bài 1.
a) A  550  548  546  544  ....  56  54  52  1

 25 A  52. 550  548  546  544  ....  56  54  52  1
 552  550  548  546  .....  58  56  54  52

552  1
26
n
52
52
n
b) Ta có: 26 A  1  5 mà 26 A  5  1 nên 5  1  1  5  n  52
50
48
46
44
6
4
2
c) A  5  5  5  5  .....  5  5  5  1 (có 26 số hạng)
 25 A  A  552  1  A 

  550  548    546  544   ....   56  54    52  1

 548. 52  1  544. 52  1  ....  54.  52  1   52  1
 548.24  544.24  ......  54.24  24
 546.25.24  542.25.24  .....  52.25.24  24
 6.100. 546  542  .....  52   24

Suy ra A chia cho 100 dư 24.
Bài 2.
a) Với mọi x  ¥ ta có 2 x  1 là số lẻ
Đặt A  1  3  5  7  9  .....   2 x  1  A là tổng của các số lẻ liên tiếp từ
1 đến 2 x  1

Số số hạng của A là:  2 x  1  1 : 2  1  x (số hạng)
 A   2 x  1  1 .x : 2  x 2  225  x  15

b)2 x  2 x 1  2 x  2  2 x 3  .....  2 x 15  22019  8
2 x  1  2  22  23  ......  22015   23. 2 2016  1

2
3
2015
Đặt M  1  2  2  2  .....  2
2
3
2016
2016
Ta được: 2M  2  2  2  ....  2  M  2  1
2 x. 22016  1  23. 2 2016  1  2 x  23  x  3
Vậy ta có:
Bài 3.
37  100.abcM

37  abc00M
37
a) Ta có: abcM






 ab.1000  c00 M
37





  ab.999  c00  ab M
37







 ab.999  cab M
37
37  cabM
37
Mà ab.999  ab.37.27M

37 thì cabM
37
Vậy nếu abcM
b) Ta có xy  12  x  y  xy  x  y  12  0
 x  y  1   y  1  11  0

  x  1  y  1  11  1.11  1.  11  11.  1  11.1

x 1
y 1
x
y
Vậy

11
-1
1
11
10
0
2
12
 x; y    10;2  ;  0;12  ;  2; 10  ;  12;0  

1
-11
2
-10

11

-1
12
0

Bài 4.
Vì a chia cho 2 dư 1, a chia cho 3 dư 1, a chia cho 5 dư 4, a chia cho 7 dư 3
3, a  4M
5; a  3M
7
Nên: a  1M2; a  1M
 a  11M2,3,5,7  a  11 BC  2;3;5;7  , mà a là số tự nhiên nhỏ nhất

 a  11  BCNN  2,3,5,7   210  a  199
Vậy số tự nhiên cần tìm là 199
Bài 5.
1) Giả sử trong 30 điểm phân biệt không có 3 điểm nào thẳng hàng:
+Chọn một điểm bất kỳ trong 30 điểm đã cho. Qua điểm đó và từng điểm trong 29
điểm còn lại ta vẽ được 29 đường thẳng.
Làm như vậy với 30 điểm thì ta vẽ được tất cả là 29.30 đường thẳng.
Nhưng mỗi đường thẳng đã được tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ được
là  29.30  : 2  435 đường thẳng
Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có 3 điểm nào thẳng hàng ta vẽ được 435
đường thẳng.


Tương tự như trên, giả sử trong a điểm phân biệt mà khơng có 3 điểm nào thẳng
hàng ta vẽ được a  a  1 : 2 đường thẳng.
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta chỉ vẽ được 1 đường thẳng nên số đường thẳng bi
giảm đi là a  a  1 : 2  1 đường thẳng
Theo bài ra ta có: a  a  1 : 2  1  435  421  14

 a  a  1  30  6.5
Vì a  1 và a là hai số tự nhiên liên tiếp và a  1  a  a  6
2)

a) Vì D nằm giữa A và B nên: AD  DB  AB
Thay AB  6cm ta có: AD  DB  6cm
Lại có : AC  DB  9cm  AD  DB  AC  DB hay AD  AC
Trên tia AB có: AD  AC  D nằm giữa A và C
b) Vì D nằm giữa A và C suy ra AD  DC  AC
Lại có : AC  DB  9cm  AD  DC  DB  9cm
Hay  AD  DB   DC  9cm

Thay AD  DB  6cm , ta có: 6cm  DC  9cm . Vậy DC  3cm.