Bài giảng Thống kê kinh doanh Chương 2 Một số phân phối xác suất thường gặp full

Bài giảng
THỐNG KÊ KINH DOANH
Chương 2. MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THƠNG DỤNG

Thạc sĩ Nguyễn Cơng Nhựt
Khoa KHCB
Trường Đại học Văn Lang
Ngày 14 tháng 10 năm 2022
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

1 / 54


THỐNG KÊ KINH DOANH

⋆ Hướng dẫn cách học - chi tiết cách đánh giá môn học
Tài liệu, video bài giảng được đưa lên elearning hàng tuần. Sinh viên tải về, in ra và mang
theo khi học. Điểm tổng kết môn học được đánh giá xuyên suốt quá trình học
⋆ Điểm quá trình: 50%
⋆ Thi cuối kỳ: 50%

⋆ Cán bộ giảng dạy
⋆
⋆
⋆
⋆
⋆

⋆

Thạc sĩ Nguyễn Công Nhựt
ĐT: 0933373432
Email:
Zalo: 0378910071
Facebook: />Website: />Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

2 / 54


Content

1

BIẾN NGẪU NHIÊN

2

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

3

NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

4

TÓM TẮT DỮ LIỆU BẰNG ĐẠI LƯỢNG SỐ

5

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

7

DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

3 / 54


Content

1

BIẾN NGẪU NHIÊN

2

MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT THÔNG DỤNG

3

NGUYÊN LÝ THỐNG KÊ VÀ CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

4

TÓM TẮT DỮ LIỆU BẰNG ĐẠI LƯỢNG SỐ

5

ƯỚC LƯỢNG THAM SỐ THỐNG KÊ

6

KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT CHO MỘT THAM SỐ THỐNG KÊ

7

DỰ BÁO CHUỖI THỜI GIAN

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

4 / 54


MỘT SỐ PHÂN PHỐI XÁC SUẤT
THÔNG DỤNG
NỘI DUNG
Biến ngẫu nhiên rời rạc
2-1 Phân phối nhị thức
2-2 Phân phối siêu bội
2-3 Phân phối Poisson
Biến ngẫu nhiên liên tục
2-4 Phân phối chuẩn
2-5 Phân phối Chi bình phương, Phân phối Student
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

5 / 54


BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC
NỘI DUNG

3-1 Phân phối nhị thức
3-2 Phân phối siêu bội
3-3 Phân phối Poisson

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

6 / 54


2.1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Định nghĩa
Phép thử Bernoulli. Phép thử mà ta chỉ quan tâm đến biến cố A có xảy ra hay không
được gọi là phép thử Bernoulli.
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên Bernoulli. Thực hiện một phép thử Bernoulli, ta quan tâm đến biến cố
A có xảy ra hay khơng. Đặt:
0, nếu biến cố A không xảy ra
X =
1, nếu biến cố A xảy ra
Giả sử P (A) = P (X = 1) = p . Khi đó biến ngẫu nhiên X được gọi là biến ngẫu
nhiên Bernoulli với tham số p, ký hiệu X ∼ B (p )
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

7 / 54

2.1. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

Bảng phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên Bernoulli có dạng
X
P

Nguyen Cong Nhut

0
q = 1−p

Thống kê Kinh doanh

1
p

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

8 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

Định nghĩa
Thực hiện n phép thử Bernoulli độc lập với xác suất xảy ra biến cố A trong mỗi phép thử
là p. Đặt biến ngẫu nhiên
0, nếu biến cố A không xảy ra ở lần thứ i
Xi =
1, nếu biến cố A xảy ra ở lần thứ i
Biến ngẫu nhiên X = X1 + X2 + ... + Xn chỉ số lần A xảy ra trong n lần thực hiện.

Biến ngẫu nhiên X được gọi là có phân phối nhị thức tham số n và p; ký hiệu
X ∼ B (n, p ).

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

9 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

Ví dụ 1.
Một xạ thủ bắn 3 phát đạn vào một mục tiêu một cách độc lập, xác suất trúng mục tiêu ở
mỗi lần bắn là 0.7. Gọi các biến ngẫu nhiên:
0 nếu phát đạn thứ i không trúng mục tiêu
Xi =
1 nếu phát đạn thứ i trúng mục tiêu
1

Tính xác suất có 2 phát trúng mục tiêu.

2

Tính xác suất cả 3 phát trúng mục tiêu.
Gọi X biến ngẫu nhiên số phát trúng mục tiêu trong 3 phát.
Giá trị có thể của X là 0; 1; 2; 3. Ta thử tính xác suất có 2 phát trúng mục tiêu:
Nếu viên 1,2 trúng: P (X = 2) = 0, 7.0, 7.0, 3; Viên 1,3 trúng: P (X = 2) = 0, 7.0, 3.0, 7

Nếu viên 2,3 trúng: P (X = 2) = 0, 3.0, 7.0, 7
• 1) Xác suất có 2 phát trúng mục tiêu P (X = 2) = 3.0, 72 .0, 3
• 2) Xác suất có 3 phát trúng mục tiêu P (X = 3) = 0, 73
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

10 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

Định lý
⋆ Xét X ∼ B (n, p ). Xác suất có đúng k lần biến cố A xảy ra
P (X = k ) = Cnk p k q n −k ; k = 0, 1, ..., n
⋆ Kỳ vọng: E(X ) = np
⋆ Phương sai: Var (X ) = npq
⋆ Độ lệch chuẩn: σ (X ) =

Var (X ) =

√

npq

⋆ Mod(X): np − q ≤ Mod (X ) ≤ np − q + 1 với q = 1 − p

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

11 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

Ví dụ 2.
Tỷ lệ phế phẩm trong lô sản phẩm là 3%. Lấy ngẫu nhiên 100 sản phẩm ra kiểm tra. Tìm xác
suất để trong đó:
1

Có 3 phế phẩm

2

Có khơng q 3 phế phẩm

3

Có ít nhất 3 phế phẩm

Ta thấy việc lấy ra 100 sp như là n = 100 phép thử với xác xuất lấy ra phế phẩm p = 0.03.
1) Gọi A: biến cố lấy ra 3 phế phẩm. Áp dụng công thức Bernoulli:
3 (0.03)3 (1 − 0.03)97 = 0.2275
P (A) = P (X = 3) = C100
2) B: biến cố lấy ra không quá 3 phế phẩm.

P (B ) = P (0 ≤ X ≤ 3) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
= 0.6472
3) C: biến cố lấy ra ít nhất 3 phế phẩm.
P (C ) = P (X ≥ 3) = 1 − P (X < 3) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)]
= 1 − 0, 4198 = 0, 5802.
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

12 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

Bài tập 1.
Quan sát quyết định mua hàng của 5 khách hàng bước vào một cửa hàng quần áo. Dựa trên
kinh nghiệm từ trước, quản lý cửa hàng ước lượng xác suất khách hàng sẽ mua hàng là 0,3 và
biết các khách hàng mua hàng độc lập với nhau. Các vấn đề liên quan đến số lượng khách
hàng mua hàng gồm:
1

2

Xác suất có 3 khách hàng sẽ mua hàng là bao nhiêu.
P (X = 3) = C53 (0, 3)3 (0, 7)2 = 0, 1323
Trung bình sẽ có bao nhiêu khách hàng sẽ mua hàng. E(X ) = np = 5.0, 3 = 1, 5

3

Độ lệch trung bình xung quanh giá trị trung
√ bình của khách hàng sẽ mua hàng là bao
√
nhiêu. σ (X ) = Var (X ) = npq = 5.0, 3.0, 7 = 1, 0247

4

Số khách hàng chắc chắn nhất sẽ mua hàng là bao nhiêu.
np − q ≤ Mod (X ) ≤ np − q + 1 ⇔ 5.0, 3 − 0, 7 ≤ Mod (X ) ≤ 5.0, 3 − 0, 7 + 1
⇔ 0, 8 ≤ Mod (X ) ≤ 1, 8 ⇔ Mod (X ) = 1
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

13 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

Bài tập 2.
Một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có bốn lựa chọn trong đó chỉ có một lựa
chọn đúng. Một sinh viên trả lời ngẫu nhiên tất cả các câu. Gọi X là số câu trả lời đúng của
sinh viên này. a. Tính xác suất sinh viên trả lời đúng 2 câu. b. Tính giá trị kỳ vọng, phương sai
và Mod của biến ngẫu nhiên X.

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

14 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

1 nếu trả lời đúng câu i.
0 nếu trả lời sai câu i.
Trong đó P (Xi = 1) = 0.25; i = 1, . . . 10.
Biến ngẫu nhiên số câu đúng X = X1 + X2 + . . . + X10 ∼ B (10; 0.25)
a. Xác suất sinh viên trả lời đúng 2 câu :

Gọi biến ngẫu nhiên Xi =

2
P (X = 2) = C10
(0.25)2 · (0.75)8 = 0.2816

b. Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên X : EX = np = 10 × 0.25 = 2.5 và phương sai :
Var X = npq = 10 × 0.25 × 0.75 = 1.875
số lần xuất hiện chắc nhất (ModX) thỏa điều kiện :
np − q ≤ Mod X ≤ np − q + 1
thay số vào ta được:
Vậy Mod X = 3
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

15 / 54


2.1. Phân phối nhị thức

Bài tập 3.
Có 9% sinh viên đại học nợ thẻ tín dụng lớn hơn 7000 USD (Reader Digest, tháng 7, 2002).
Giả sử chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên đại học để phỏng vấn về việc sử dụng thẻ tín dụng. Giả
sử số sinh viên có mức dư nợ thẻ tín dụng cao hơn 7000 USD, X, là biến ngẫu nhiên có phân
phối nhị thức..

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

16 / 54


2.1. Phân phối nhị thức
Giải

a. Tính xác suất có 2 sinh viên có mức dư nợ thẻ tín dụng cao hơn 7000 USD.
Cần tính P (X = 2)
2
P (X = 2) = C10

(0.09)2 (1 − 0.09)8 = 0.1714

b. Tính xác suất khơng có sinh viên nào có mức dư nợ thẻ tín dụng cao hơn 7000 USD.
0
P (X = 0) = C10
(0.09)0 (1 − 0.09)10 = 0.3894

c. Tính xác suất có ít nhất 3 sinh viên có mức dư nợ thẻ tín dụng cao hơn 7000 USD.
P (X ≥ 3) = P (3 ≤ X ≤ 10) = 1 − [P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)] = 0.9460
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

17 / 54


2.2. Phân phối siêu bội

Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên X có phân phối siêu bội với tham số N, NA , n, kí hiệu X ∼ H (N, NA , n ),
nếu X nhận giá trị nguyên từ max{0, n − (N − NA )} đến min{n, NA } và
P (X = k ) =

Nguyen Cong Nhut

k
CNk A CNn −
− NA

CNn

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

18 / 54


2.2. Phân phối siêu bội

Ví dụ 3.
Bộ phận marketing của một doanh nghiệp có 50 nhân viên trong đó có 30 nhân viên nữ. Cần
chọn 10 nhân viên tiếp thị cho một sản phẩm mới, giả sử khả năng được chọn của các nhân
viên là như nhau. Gọi X là số nhân viên nữ được chọn. Tính xác suất có
1

Khơng quá 3 nhân viên nữ được chọn.

2

Ít nhất một nhân viên nữ được chọn

Giải. X là số nhân viên nữ được chọn, khi đó X ∼ H (50; 30; 10)
P (X ≤ 3) =P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2) + P (X = 3)
1

2

=

0 C 10
1 C9
2 C8
3 C7
C30
C30
C30
C30
20
20
20
20
+
+
+
≈ 0.03648
10
10
10
10
C50
C50
C50
C50

P (X ≥ 1) = 1 − P (X < 1) = 1 − P (X = 0) = 1 −
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

0 C 10
C30
20
10
C50

≈ 0.99998
Ngày 14 tháng 10 năm 2022

19 / 54


2.2. Phân phối siêu bội

Định lý (Các đặc trưng của Phân phối siêu bội)
Nếu biến ngẫu nhiên X ∼ H (N, NA , n ) thì

⋆ Kỳ vọng: EX = np với p =

NA
N

−n
⋆ Phương sai: Var X = npq N
N −1 với q = 1 − p

⋆ Giá trị Mod:

(n +1)(NA +1)
N +2

Nguyen Cong Nhut

− 1 ≤ Mod X ≤

(n +1)(NA +1)
N +2

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

20 / 54


2.2. Phân phối siêu bội

Bài tập 4.
Có một cái hộp chứa 8 quả cầu trắng và 3 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại 4 quả
cầu. Gọi X là số quả cầu trắng lấy được. Tính xác suất
a. Lấy được ít nhất 1 quả cầu trắng.
b. Lấy được 2 quả cầu trắng.
c. Tính EX và Var X .
Giải. X là số quả cầu trắng lẫn trong 4 quả cầu lấy ra, X ∼ H (11; 8; 4).
a. P (X ≥ 1) = 1
C 2C 2
b. P (X = 2) = C8 4 3 = 14
15

11

8
32
c. Kỳ vọng EX = np = 4 · 11
= 11
−n
Phương sai Var X = npq N
N −1 = 4 ·

Nguyen Cong Nhut

8
11

·

3
11

·

7
10

=

336
605

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

21 / 54


2.2. Phân phối siêu bội

Bài tập 5.
Trong một cuộc khảo sát được thực hiện bởi Tổ chức Gallup, người tham gia được hỏi: “Bạn
thích mơn thể thao nào?” Bóng đã Mỹ và bóng rổ xếp hạng nhất và hạng hai về sở thích
(www.gallup.com, ngày 03/01/2004). Giả sử rằng trong một nhóm 10 người, bảy người thích
bóng đá và ba người thích bóng rổ. Xét một mẫu ngẫu nhiên gồm 3 trong số 10 người trên.
a. Xác suất có đúng 2 người thích bóng đá là bao nhiêu?
P (X = 2) =

C72 C31
= 0.525
3
C10

b. Xác suất mà phần lớn (hai hay ba người) thích bóng đá là bao nhiêu?
P (X ≥ 2) = P (x = 2) + P (X = 3) =
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

C72 C31
C73 C30

+
= 0.8176
3
3
C10
C10
Ngày 14 tháng 10 năm 2022

22 / 54


2.3. Phân phối Poisson

Số các biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian cho trước.
Số các biến cố trung bình trên một đơn vị là λ.

Ví dụ 4.
Số người xếp hàng tính tiền ở siêu thị, số cuộc điện thoại đến bưu điện trong 1 ngày, số máy
tính hư trong 1 ngày ở 1 khu vực,...
Định nghĩa
Biến ngẫu nhiên rời rạc X nhận giá trị nguyên dương k = 0, 1, 2... với xác suất
P (X = k ) =

e − λ λk
k! ,

k = 0, 1, 2, ...

được gọi là có phân phối Poisson với tham số λ, ký hiệu X ∼ P (λ).
Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

23 / 54


3. Phân phối Poisson

Các số đặc trưng của phân phối Poisson
⋆
E(X ) = Var (X ) = λ

⋆
λ − 1 ≤ Mod (X ) ≤ λ

Nguyen Cong Nhut

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

24 / 54


2.3. Phân phối Poisson

Ví dụ 5.
Tại một nhà máy dệt, trung bình có 8 ống sợi bị đứt trong hai giờ. Tìm xác suất để trong một

giờ có khơng q 2 ống sợi bị đứt.
Giải.
Gọi X là số ống sợi bị đứt trong một giờ, X ∼ P (4). Ta cần tìm xác suất
P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1) + P (X = 2)

=

Nguyen Cong Nhut

e −4 .41
e −4 .42
e −4 .40
+
+
= 13e −4
0!
1!
2!

Thống kê Kinh doanh

Ngày 14 tháng 10 năm 2022

25 / 54