Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 3 một số PHÂN PHỐI xác SUẤT THÔNG DỤNG

Chương 3
MỘT SỐ PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT THÔNG DỤNG


I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC

• Tiến hành n phép thử độc lập.
 A là biến cố cần quan tâm.
P(A) = p đối với mọi phép thử.
P() = 1 – p = q.
 Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong n phép
thử.
X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1,
2,…, n với các xác suất tương ứng:
P(X = k) = Cnk.pk.qn – k (∀x = 0, 1,…, n)
⇒ X đgl có phân phối nhị thức.
Ký hiệu: X ~ B(n; p).


I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 1 : Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia
là 0,7. Người đó bắn 8 viên đạn. Gọi X là số
viên đạn trúng bia. X có phân phối nhị thức
khơng?
Ví dụ 2 : Một xí nghiệp có 3 máy cùng sản
xuất ra 1 loại sp. Xác suất để các máy 1, 2, 3
sản xuất ra sp tốt là 0,9; 0,95; 0,85. Cho cả 3
máy cùng sản xuất, mỗi máy 1 sp. Gọi Y là số
sp tốt thu được. Y có phân phối nhị thức
không?

I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Tính chất : Nếu X ~ B(n,p) thì:
 P(k ≤ X ≤ k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1)
+ … + P(X = k + h)
 E(X) = np
 Var(X) = npq
 np – q ≤ Mod(X) ≤ np + p


I. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Ví dụ 1 : Xác suất để một xạ thủ bắn trúng bia
là 0,7. Người đó bắn 8 viên đạn.
a) Tính xác suất người đó bắn trúng 5 viên
đạn.
b) Tính xác suất người đó bắn trúng từ 3 đến
6 viên đạn.
c) Tìm số viên đạn bắn trúng trung bình.
d) Tìm số viên đạn bắn trúng tin chắc nhất.


II. PHÂN PHỐI POISSON
 Tiến hành giống phân phối nhị thức.
 n lớn.
 p rất nhỏ.
 Gọi X là số lần biến cố A xảy ra trong rất
nhiều phép thử.
X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị 0, 1,
2,… với các xác suất tương ứng:

k
n

k

P(X = k) = C .p .q
⇒ X đgl có Poisson.
Ký hiệu: X ~ P(λ).

n-k

k

λ -λ
≈ .e
k!


II. PHÂN PHỐI POISSON
Tính chất : Nếu X ~ P(λ) thì:
 P(k ≤ X ≤ k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1)
+ … + P(X = k + h)
 E(X) = λ
 Var(X) = λ
 λ - 1 ≤ Mod(X) ≤ λ


II. PHÂN PHỐI POISSON
Ví dụ : Một máy dệt có 800 ống sợi. Xác suất
để trong khoảng thời gian 10p có 1 ống sợi bị

đứt là 0,5%.
a) Tìm xác suất để trong 10p máy làm việc có
3 ống sợi bị đứt.
b) Tìm xác suất để trong 10p máy làm việc có
khơng q 5 ống sợi bị đứt.
c) Tìm số ống sợi bị đứt trung bình trong 10p.
d) Tìm số ống sợi bị đứt tin chắc nhất trong
10p.


III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
 Xét tập hợp có N phần tử.
 Trong tập đó, M phần tử có tính chất A.
 Lấy ngẫu nhiên khơng hồn lại n phần tử.
 Gọi X số phần tử có tính chất A trong n phần
tử lấy ra.
X là ĐLNN rời rạc có thể nhận các giá trị
nguyên trong [n1; n2] với các xác suất tương
k
n-k
ứng: P(X = k) = C M .C N - M (k ∈ [n ; n ])

C

n
N

⇒ X đgl có phân phối siêu bội.
Ký hiệu: X ~ H(N; M; n).

1

2


III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Các số n1, n2 được xác định như sau:
n1 = max{0; M + n – N},
n2 = min{n; M}.
Tính chất : Nếu X ~ H(N; M; n) thì:
 P(k ≤ X ≤ k + h) = P(X = k) + P(X = k + 1)
+ … + P(X = k + h)

M
 E(X) = np, với p =
N
N-n
 Var(X) = npq.
N-1


III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Ví dụ : Một hộp có 10 sản phẩm, trong đó có
6 sp loại A và 4 sp loại B. Lấy ngẫu nhiên
khơng hồn lại từ hộp ra 3 sp.
a) Tìm xác suất có 2 sp loại A trong 3 sản
phẩm lấy ra.
b) Tìm xác suất có khơng q 2 sp loại A
trong 3 sản phẩm lấy ra.
c) Tìm số sp loại A trung bình có trong 3 sp

lấy ra.


III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân
phối siêu bội :
Lấy khơng hồn lại
Lấy có hoàn lại
⇒ Khi n rất nhỏ so với các số N, M, N – M thì
phân phối siêu bội H(N,M,n) được xấp xỉ bằng
phân phối nhị thức B(n; p = M/N).
Khi đó các cơng thức tính xác suất của
phân phối H(N; M; n) sẽ được thay bằng các
cơng thức tính xác suất của phân phối B(n; p).


III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân
phối siêu bội :
Ví dụ : 1 kiện hàng có 10000 sp, trong đó có
7000 sp loại A. Rút từ kiện ra 10 sp để kiểm
tra. Gọi X là số sản phẩm loại A có trong 10
sp lấy ra. Tính P(X < 2)?


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Định nghĩa : ĐLNN liên tục X nhận giá trị
trong khoảng (- ∞; + ∞) đgl là có phân phối
chuẩn nếu hàm mật độ xác suất của nó có
dạng:

0.45

1
f(x) =
.e
σ 2π

(x - μ) 2
2σ 2

0.4

0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0

2

⇒ X đgl có phân phối chuẩn.
Ký hiệu: X ~ N(µ; σ2).

4

6

8

10

12

14


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Tính chất hàm mật độ xác suất của phân
phối chuẩn :
• f(x) > 0, ∀x.
• Khi x → ± ∞ thì f(x) → 0.
• Đạt cực đại ti im x = à.
ã th cú dng hỡnh chng, đối xứng qua
đường thẳng x = µ.
0.45
0.4

⇒ E(X) = µ
Mod(X) = µ
Var(X) = σ2

0.35
0.3
0.25
0.2
0.15

0.1
0.05
0
0

2

4

6

8

10

12

14


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
•Phân phối chuẩn chính tắc :
Xét X ~ N(µ; σ2).
Đặt
Khi đó Z là ĐLNN liên tục nhận giá trị trong
khoảng (- ∞; + ∞) và có hàm mật độ có dạng:

f(z) =

1

.e
2π

z2
2

⇒ Z ~ N(0; 1)
Z đgl có phân phối chuẩn chính tắc.


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Phân phối chuẩn chính tắc :
Ta ký hiệu zα là giá trị của Z thỏa mãn điều
kiện:  z α > 0


P(Z > z α ) = α
0.45
0.4
0.35
0.3
0.25

α

0.2
0.15
0.1
0.05
0

0

2

4

6

8

zα

10

12


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Các cơng thức tính xác suất :
Nếu X ~ N(µ; σ2) thì:

x2 - μ 
 x1 - μ
P(x1 ≤ X ≤ x 2 ) = P 
≤Z≤
÷
σ 
 σ
 x2 - μ 
 x1 - μ 

= Φ
÷ - Φ
÷
 σ 
 σ 
Φ(z)

0.45
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0

2

4

6

8

z

10

12

Với Φ(z) là tích phân
của f(z) trên khoảng
(0;z) và có giá trị
được cho trong bảng
phụ lục.


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Các cơng thức tính xác suất :
Nếu X ~ N(µ; σ2) thì:

ε
P( X - μ ≤ ε) = 2 ữ


Lu ý:
ã (z) l hm n iu tăng.
• Φ(z) = - Φ(- z), ∀z.
• Φ(z) ≈ 0,5; ∀z ≥ 4.

Φ(z)

0.45

0.4

0.35

0.3

0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
0
0

2

4

6

8

z

10

12


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Ví dụ 1 : Trọng lượng của 1 loại trái cây là
ĐLNN X có phân phối chuẩn với trung bình là
200g và độ lệch chuẩn là 6g.

a) Tính tỉ lệ những trái có khối lượng từ 194g
đến 212g.
b) Trái có khối lượng khơng dưới 209g là trái
loại I. Tính tỉ lệ trái loại I.
c) Xác định a để P(X ≤ a) = 0,98.


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Ví dụ 2 : Đường kính của một loại trục máy
do một nhà máy sản xuất là ĐLNN có phân
phối chuẩn với đường kính trung bình (theo
thiết kế) là µ = 20mm và độ lệch tiêu chuẩn σ
= 0,04mm. Trục máy được coi là đạt tiêu
chuẩn kỹ thuật nếu đường kính của nó sai
lệch so với đường kính thiết kế khơng q
0,072mm. Tìm tỷ lệ trục máy đạt tiêu chuẩn
kỹ thuật của nhà máy.


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Tính chất của phân phối chuẩn :
 Nếu X1 ~ N(µ1; σ12); X2 ~ N(µ2; σ22) và
X1, X2 độc lập thì:
X1 + X2 ~ N(µ1 + µ1; σ12 + σ22)
 Mở rộng: Nếu : X1 ~ N(µ1; σ12);
X2 ~ N(µ2; σ22);
………
Xn ~ N(µn; σn2);
và X1,…, Xn độc lập thì:
n

∑X
i=1

n

i

~ N( μ∑,
i=1

n

i

σ∑)
i=1

2
i


IV. PHÂN PHỐI CHUẨN
Tính chất của phân phối chuẩn :
 Mở rộng: Nếu X1,…, Xn độc lập, có cùng
quy luật phân phối và E(Xi) = µ; Var(Xi) =
σ2 thì với
n
đủ
lớn

(n
>
30),
ta
có
xấp
xỉ:
n

∑X

2

i

~ N( nμ; nσ )

i=1

(Định lý giới hạn trung tâm)
 Nếu X ~ N(µ; σ2) và a là hằng số thì:
aX ~ N(aµ; a2σ2)


III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân
phối siêu bội :
Nếu X ~ B(n; p) thì khi n lớn, p khơng q gần
0 cũng khơng quá gần 1 (0,1 < p < 0,9) thì ta
xấp xỉ X ~ N(np; npq).

B(n; p); n lớn; 0,1 < p < 0,9

N(np; npq)

Khi đó các cơng thức tính xác suất của phân
phối B(n; p) sẽ được thay bằng các cơng thức
tính xác suất của phân phối N(np; npq).


III. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Liên hệ giữa phân phối nhị thức và phân
B(n;
phối siêu bội
: p); n lớn; 0,1 < p < 0,9
N(np; npq)

1
k - np
* P(X = k) =
.f(z); z =
npq
npq
 k 2 - np 
 k1 - np 
* P(k1 ≤ X ≤ k 2 ) = Φ
-
ữ
npq ữ
npq ữ
ữ

Lu ý :
ã Giỏ tr của f(z) được cho trong bảng phụ lục.
• Khi dùng cơng thức xấp xỉ để tính P(k1 ≤ X ≤
k2) cần phải có các dấu “=“