Bài giảng lý thuyết xác suất và thông kê toán chương 3 một số phân phối xác suất thông dụng

Chương 3

MỘT SỐ PHÂN PHỐI
XÁC SUẤT THÔNG DỤNG
I - Phân phối nhò thức
a- Bài toán tổng quát dẫn đến
phân phối nhò thức


ª Tiến hành n phép thử độc lập.
ª P(A) = p đối với mọi phép thử.
ª X là số lần A xảy ra trong n
phép thử, thì X là đ.l.n.n rời rạc
có thể nhận các giá trò:
0, 1, 2. . . . , n
X có phân phối nhò thức với các
tham số : n, p.


Đại lượng ngẫu nhiên X có phân
phối nhò thức với các tham số n
và p được ký hiệu là: X ∼ B(n, p).


Thí dụ 1: Xác suất để một máy
sản xuất được sản phẩm loại I là
0,8. Cho máy sản xuất 5 sản
phẩm. Gọi X là số sản phẩm loại
I có trong 5 sản phẩm do máy
sản xuất thì X ∼ B(5; 0,8).

Thí dụ 2: Xác suất để một xạ thủ
bắn trúng bia trong mỗi lần bắn
như nhau và đều bằng 0,9. Xạ thủ
này bắn 10 viên. Gọi X là số viên
trúng bia của xạ thủ này thì
X ∼ B(10; 0,9).


Thí dụ 3: Có 3 cầu thủ ném bóng
vào rổ (mỗi người ném một quả).
Xác suất ném trúng rổ của cầu
thủ thứ nhất, thứ hai, thứ ba
tương ứng là: 0,9; 0,8; 0,6. Gọi X
là số lần ném trúng rổ của 3 cầu
thủ này. X có phân phối nhò thức
hay không?


Khái niệm các phép thử độc lập
τ 1 và τ 2 là hai phép thử độc lập
nếu như xác suất xảy ra một biến
cố nào đó của phép thử τ 1 không
phụ thuộc vào kết quả của phép
thử τ 2 và ngược lại.


b- Coâng thöùc tính xaùc suaát
Neáu X ∼ B(n, p)

Px = P( X = x ) = C p q
x
n

x

n− x

(∀x = 0,1,2,...., n )
(3.1)


Thí duï: X ∼ B(5; 0,8)
P( X = 0) = (0,2) = 0,00032
5

P( X = 1) = C (0,8)(0,2) = 0,0064
1
5

4

P( X = 2) = C (0,8) (0,2) = 0,0512
2
5

2

3

P( X = 3) = C (0,8) (0,2) = 0,2048
3
5

3

2

P( X = 4) = C (0,8) (0,2) = 0,4096
4
5

4

P( X = 5) = (0,8) = 0,32768
5


Neỏu X B(n, p), thỡ:
P(x X x+h) = P(X = x) +
P(X = x+ 1) + . . . . + P(X =
x+h)
Trong ủoự:
(3.2)
P(X = x), P(X = x+1),. . . , P(X = x+h)
ủửụùc tớnh theo coõng thửực (3.1)


Thí duï: X ∼ B(5; 0,8)
P(1 ≤ X ≤ 3) = P(X = 1)

+ P(X = 2) + P(X = 3)
= 0,0064 + 0,0512 + 0,2048
= 0,2624


c- Các tham số đặc trưng:
Kỳ vọng toán: Nếu X ∼ B(n , p) thì:
 
E(X) = np
Phương sai: Nếu X ∼ B(n , p) thì:
 
Var(X) = npq


Giaù trò tin chaéc nhaát:
Neáu X ∼ B(n , p) thì:
np + p - 1 ≤ Mod(X) ≤ np + p


II- Phân phối Poisson
a- Bài toán tổng quát dẫn đến
phân phối Poisson
X ∼ B(n, p) nhưng n lớn, p nhỏ
(p < 0,1), np = λ không đổi thì ta
có thể coi X có phân phối Poisson
với tham số λ .


X có phân phối Poisson với tham
số λ được ký hiệu là:

X ∼ P (λ )
Thí dụ: Xác suất để một máy sản
xuất ra phế phẩm là 0,001. Cho
máy sản xuất 2000 sản phẩm.


Gọi X là số phế phẩm có trong
2000 sản phẩm do máy sản xuất
thì X ∼ B(2000; 0,001).
Khi đó ta có thể coi X ∼ P (2)

b- Công thức tính xác suất


Neáu X ∼ P (λ ) thì:
k
λ -λ
Pk = P(X = k) =
e
k!
(k = 0, 1, 2, . . .)
e - haèng soá neâpe:

e=

1

Lim 1 + 
n→∞
n



n

;

e ≈ 2,71828


Neáu X ∼ P (λ ) thì:
P(k ≤ X ≤ k+h) = Pk+ Pk+1+. . .+Pk+h
(3.9)


Thí dụ: Một máy dệt có 500 ống
sợi. Xác suất để một ống sợi bò
đứt trong khoảng thời gian 1 giờ
máy hoạt động là 0,004. Tìm xác
suất để trong một giờ có không
quá 2 ống sợi bò đứt.


Giải: Nếu coi việc quan sát 1 ống
sợi xem có bò đứt hay không
trong khoảng thời gian 1 giờ là
một phép thử thì ta có 500 phép
thử độc lập. Trong mỗi phép thử
biến cố A (ống sợi bò đứt) xảy ra
với xác suất là p = 0,004.

Nếu gọi X là số ống sợi bò đứt
trong khoảng thời gian 1 giờ thì
X ~ B(500; 0,004)
Vì n = 500 khá lớn, p = 0,004 rất
nhỏ; np = 500×0,004 = 2 không
đổi nên ta có thể coi X ~ P (2)


Xác suất để có không quá 2 ống
sợi bò đứt trong khoảng thời gian
1 giờ là:
P(0 ≤ X ≤ 2) = P0 + P1 + P2
0

2 −2
−2
P0 = P( X = 0) =
e =e
0!


1

2 −2
−2
P1 = P( X = 1) = e = 2e
1!
2
2 −2

−2
P2 = P( X = 2) = e = 2e
2!

P(0 ≤ X ≤ 2) = e + 2e + 2e
−2

= 5e

−2

−2

= 0,6767

−2


c- Các tham số đặc trưng:
Có thể chứng minh được rằng:
Nếu X ∼ P (λ ) thì:

E(X) = Var(X) = λ
λ − 1 ≤ Mod(X) ≤ λ


III- Phân phối Siêu bội

a- Bài toán tổng quát dẫn đến
phân phối siêu bội

Từ một tập hợp gồm N phần tử
(trong đó có M phần tử có tính
chất A) lấy ngẫu nhiên không
hoàn lại ra n phần tử.