Bai tap lon tam va vo mong
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (127.9 KB, 11 trang )
Page 1 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG
Bài 1: Tấm chữ nhật cạnh 2a x 3a đặt trên nền đàn hồi có hệ số nền K = αD/a
4
chịu tải
trọng phân bố đều q
0
vuông góc mặt trung bình của tấm. Bằng phương pháp sai phân hữu hạn
với bước chia đều ∆, hãy tính gần đúng độ võng và mô men uốn tại điểm K1,2 theo sơ đồ G
như sau: (∆ = a). Hệ số nền α = 16.
Giải
Các bước tiến hành :
Bước 1 : Chọn phương pháp giải : giải bắng phương pháp sai phân hữu hạn
- Lập lưới sai phân với bước chia đều nhau theo cả 2 phương là ∆
- Đánh số thứ tự các nút của lưới sai phân
Bước 2 :
- Biến đổi phương trinh vi phân độ võng trên nền đàn hồi từ phương trình ban đầu
- Viết phương trình vi phân cho điểm cần tìm K
1
và K
2
- Thay thế điều kiện biên vào phương trình vi phân của điểm K
1
và K
2
- Viết tiếp phương trình vi phân cho các điểm còn thiếu của phương trình K
1
và K
2
(nếu thiếu
ẩn)
Bước 3 :
- Giải hệ phương trình tìm được ( là hệ phương trình có số ẩn bằng số phương trình) : sử dụng
phần mềm Mathematica để giải tìm nghiệm của điểm K
1
và K
2
Bước 4 : Từ nghiệm độ võng của điểm K
1
và K
2
tìm được ơ bước 3 , viết biểu thức tính nội lực
tại các điểm cần tính ( ở đây là các điểm K
1
và K
2
)
=====================================================================
K1 K2
x
y
Page 2 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Bước 1 :
- Ta tiến hành lập lưới sai phân và đánh số thứ tự như hình vẽ:
Bước 2 :
- Phương trình vi phân độ võng tấm trên nền đàn hồi như sau:
∇
4
w +
D
k
w =
D
q
0
- Với K = α
4
a
D
thay vào phương trình trên ta được:
∇
4
w +
4
a
α
w =
D
q
0
- Điều kiện biên:
+Tại biên ngàm:
Độ võng = 0 :
13 9 14
0W W W= = =
Góc xoay = 0 :
1 15
1 15
'
9 9
_
8 21
_1
'
8 21 9 19
14 14
19 9
0
0
0
0
0
sai phan
cap
W W
W W
W
a
W W
W W W W
W
W W
a a
ϕ
ϕ
−
=
=
= =
→ ⇒ =
− −
= =
= =
= =
+Tại các biên khớp:
Độ võng = 0 :
13 5 2 6 3 7
0W W W W W W= = = = = =
=====================================================================
Page 3 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Momen = 0 :
'
5 5
16 1
16 5 1 10 2 0
'
2 2
10 11 0
2 2
_ _
_ 2 _ 0
'
11 3 0 20 7 4 3 7 18 3 18
3 3
2 2 2
'
4 20
7 7
0
2 2
0
0
2 2 2 0
0
0
0
sai phan ket hop
cap do vong
M W
W W
W W W W W W
W W WM W
a a
W W W W W W W W W W W
M W
a a a
W W
M W
=
= =
= −
− + − +
= =
= = −= =
→ →
− + − + − + = =
= =
= = =
= −
= =
Vậy , từ điều kiện biên ta có :
2 3 5 6 7 9 13 14 18 19
0 10 11
1 15 16
4 20
8 21
0W W W W W W W W W W
W W W
W W W
W W
W W
= = = = = = = = = =
= − = −
⇒ = = −
= −
=
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 0 ( K
1
) là:
( ) ( ) ( )
4
4
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 0
4
20 8 2 1
a q
W W W W W W W W W W W W W a W
D
a
α
− + + + + + + + + + + + + =
÷
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 1 (K
2
) là:
( ) ( ) ( )
4
4
0
1 9 5 0 8 13 7 4 14 15 16 3 17 1
4
20 8 2 2
a q
W W W W W W W W W W W W W a W
D
a
α
− + + + + + + + + + + + + =
÷
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 4 là:
( ) ( ) ( )
4
4
0
4 8 0 7 12 1 3 18 17 14 2 20 22 4
4
20 8 2 3
a q
W W W W W W W W W W W W W a W
D
a
α
− + + + + + + + + + + + + =
÷
- Phương trình sai phân của hàm độ võng tại điểm 8 là:
( ) ( ) ( )
4
4
0
8 14 1 4 17 9 0 12 19 21 5 7 23 8
4
20 8 2 4
a q
W W W W W W W W W W W W W a W
a D
α
− + + + + + + + + + + + + =
÷
- Thay các điều kiện biên và α=16 ta được hệ pt :
( )
( )
( )
( )
4
0
0 1 4 8 12
4
0
0 1 4 8 17
4
0
0 1 4 8 12 17 22
4
0
0 1 4 8 12 17 23
34 8 8 2 1'
8 36 2 8 2'
8 2 35 8 8 2 3'
2 8 8 37 2 8 4'
a q
W W W W W
D
a q
W W W W W
D
a q
W W W W W W W
D
a q
W W W W W W W
D
− − + + =
− + + − + =
− + + − − + + =
− + − + + − + =
- Thêm phương trình từ điều kiện biên tự do:
2 2
2 2
3 3
3 2
W W
M 0
W W
Q (2 ) 0
y
td
y
y x
y y x
µ
µ
∂ ∂
= + =
∂ ∂
∂ ∂
= + − =
∂ ∂ ∂
=====================================================================
Page 4 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
+ Phương trình Momen và lực cắt tại điểm 4 :
( )
( ) ( )
0 4 12 8 4 7
4
2 2
2 0 12 22 0 12 1 3 18 17
2 2
2 2
0 5
2 2 2 2
2 0 6
2 2
y
td
y
W W W W W W
M
a a
W W W W W W W W W W
Q
a a
µ
µ
− + − +
= + =
− + − − + + + − −
= + − =
+ Phương trình Momen và lực cắt tại điểm 8 :
( )
( ) ( )
1 8 17 14 8 4
8
2 2
5 1 17 23 1 17 9 0 12 19
2 2
2 2
0 7
2 2 2 2
2 0 8
2 2
y
td
y
W W W W W W
M
a a
W W W W W W W W W W
Q
a a
µ
µ
− + − +
= + =
− + − − + + + − −
= + − =
- Rút gọn ta thu được 4 ptrình sau :
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 4 8 12
0 1 12 17 22
1 4 8 17
0 1 12 17 23
2 1 0 5'
2 3 2 2 3 2 0 6'
2 1 0 7 '
2 2 3 2 2 3 0 8'
W W W W
W W W W W
W W W W
W W W W W
µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ
µ µ µ µ
− + + + =
− − + − + − − − − =
⇒
+ − + + =
− − − + − + − − =
- Giải hệ ptrình (1’ ,2’…,7’,8’) 8 ẩn số : W
0
, W
1
, W
4
, W
8
, W
12
, W
17
, W
22
, W
23
ta thu được kết quả :
4
2 3 4
0
0
2 3 4
4
2 3 4
0
1
2 3 4
2 3 4
4
50941 24363 7260 1537 225
1080510 522931 161753 35419 4699
43830 21273 7002 1411 217
1080510 522931 161753 35419 4699
59284 21479 7057 1026 225
1080
q a
W
D
q a
W
D
W
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
− − + +
= ×
− − + +
− − + +
= ×
− − + +
− − + +
=
⇒
4
0
2 3 4
4
2 3 4
0
8
2 3 4
4
2 3 4
0
12
2 3 4
510 522931 161753 35419 4699
27430 16922 5799 830 225
1080510 522931 161753 35419 4699
118568 2761 15787 997 135
1080510 522931 161753 35419 4699
q a
D
q a
W
D
q a
W
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
×
− − + +
− − + +
= ×
− − + +
− − + +
= ×
− − + +
4
2 3 4
0
17
2 3 4
4
2 3 4
0
22
2 3 4
2 3
23
11030 44425 39 1507 37
1080510 522931 161753 35419 4699
471362 7862 131444 20585 996
1080510 522931 161753 35419 4699
142218 297069 69112 14765 30
D
q a
W
D
q a
W
D
W
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ
− − + +
= ×
− − + +
− − + +
= ×
− − + +
− − + +
=
4
4
0
2 3 4
86
1080510 522931 161753 35419 4699
q a
D
µ
µ µ µ µ
×
− − + +
- Vậy : độ võng tại điểm K
1
và K
2
là:
=====================================================================
Page 5 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
4
2 3 4
0
1 0
2 3 4
4
2 3 4
0
2 1
2 3 4
50941 24363 7260 1537 225
1080510 522931 161753 35419 4699
43830 21273 7002 1411 217
1080510 522931 161753 35419 4699
K
K
q a
W W
D
q a
W W
D
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ
− − + +
= = ×
− − + +
− − + +
= = ×
− − + +
- Mômen tại điểm K
1
và K
2
là : Đặt :
1
x
y
a
a
α
∆
= = =
∆
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1 0 3 2 0 4 0 1 4
2 2
1
2 0 4 1 0 3 0 1 4
2 2
2
9 1 0 5 1 8 0 1 8
2 2
2
5 1 8 9 1
2
. 2 2 . 2 1
. 2 2 2 1
. 2 2 2 1
. 2 2
K
x
x
K
y
y
K
x
x
K
y
y
D D
M W W W W W W W W W
a
D D
M W W W W W W W W W
a
D D
M W W W W W W W W W
a
D
M W W W W W
αµ µ µ
αµ µ µ
αµ µ µ
αµ
= − + + − + = − + + +
∆
= − + + − + = − + + +
∆
= − + + − + = − + +
∆
= − + + − +
∆
( ) ( )
0 0 1 8
2
2 1
D
W W W W
a
µ µ
= − + +
\
- Thay W
0
, W
1
, W
4
, W
8
ta thu được kết quá sau :
4 3 2
1 2
0
4 3 2
5 4 3 2
1 2
0
4 3 2
5 4 3
2
744 2730 10402 23488 58052
11079 46224 241788 377584 916605
8 351 1790 10553 20136 42598
11079 46224 241788 377584 916605
209 2201 6920 32368
K
x
K
y
K
x
M q a
M q a
M
µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ
− − + − −
=
+ − − +
− − − + − −
=
+ − − +
⇒
− − − +
=
2
2
0
4 3 2
5 4 3 2
2 2
0
4 3 2
133273 36719
11079 46224 241788 377584 916605
209 1494 4752 54930 138601 60230
11079 46224 241788 377584 916605
K
y
q a
M q a
µ µ
µ µ µ µ
µ µ µ µ µ
µ µ µ µ
− −
+ − − +
− − − + − −
=
+ − − +
=====================================================================
Page 6 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Bài 2:
Vỏ cầu thoải có mặt bằng hình chữ nhật kích thước 5a x 9a liên kết khớp tựa chịu tải
trọng pháp tuyến với mặt trung bình trong trường hợp
lực tập trung hoán vị đặt tại điểm 6.
Yêu cầu: 1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép.
2. Tính chuyển vị W
max
.
1. Chọn hàm độ võng thỏa mãn điều kiện biên theo chuỗi lượng giác kép:
- Phương trình hàm độ võng đối với vỏ cầu thoải bán kính R có dạng như sau:
∇
4
w + 4λ
4
w =
D
q
(1)
Trong đó
( ) ( ) ( )
2
4
2 2
4 4 4
4
4 2 2 4
12(1 )
4
, , ,
2
h R
w x y w x y w x y
w
x x y y
µ
λ
−
=
∂ ∂ ∂
∇ = + +
∂ ∂ ∂ ∂
- Nghiệm của (1) được chọn dưới dạng chuỗi như sau:
a
yn
a
xm
AyxW
m n
mn
5
sin
9
sin),(
1 1
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(2)
Trong đó A
mn
là hệ số của chuỗi (m, n = 1, 2, 3, ).
- Thế (2) vào (1), sau khi rút gọn ta được:
=====================================================================
a
a
X
Y
1 2
3
4
5
6
7
8
9 10
11
12
13
14
15
16
17 18
19
20
21
22
23
24
25 26
27
28
P
29
30
31
32
Page 7 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
+
∑∑
∞
=
∞
=
a
yn
a
xm
a
n
a
m
A
n
mn
m
5
sin
9
sin
59
1
2
22
1
ππππ
∑∑
∞
=
∞
=
+
11
4
5
sin
9
sin4
n
mn
m
a
yn
a
xm
A
ππ
λ
=
D
q
⇔
+
+
∑∑
∞
=
∞
=
a
yn
a
xm
a
n
a
m
DA
n
mn
m
5
sin
9
sin4
59
1
4
2
22
1
ππ
λ
ππ
= q (3)
- Phân tích hàm q(x,y) dưới dạng chuỗi kép Fourier trong miền 0 ≤ x ≤ 9a; 0 ≤ y ≤ 5a.
a
yn
a
xm
Cyxq
m n
mn
5
sin
9
sin),(
1 1
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(4)
Ở đây:
dxdy
a
yn
a
xm
yxq
aa
C
aa
mn
∫∫
=
5
0
9
0
5
sin
9
sin),(
5.9
4
ππ
- Do tải trọng tập trung q đặt tại điểm 6 nên x
0
= 6a, y
0
= a. Vậy:
dxdy
a
an
a
am
dydx
q
aa
C
aa
mn
∫∫
=
5
0
00
9
0
5
sin
9
6
sin
5.9
4
ππ
⇔
=
5
sin
9
6
sin
5.9
4
ππ
nm
aa
q
C
mn
- Thay C
mn
vừa tìm được ở trên vào (4) ta được:
a
yn
a
xmnm
aa
q
yxq
m n
5
sin
9
sin
5
sin
9
6
sin
5.9
4
),(
1 1
ππππ
∑∑
∞
=
∞
=
=
(5)
- Từ (3) và (5) tiến hành cân bằng hệ số ta có:
=
+
+
5
sin
9
6
sin
5.9
4
4
59
4
2
22
ππ
λ
ππ
nm
aa
q
a
n
a
m
DA
mn
⇒
+
+
×=
4
2
22
4
59
5
sin
9
6
sin
5.9
4
λ
ππ
ππ
a
n
a
m
D
nm
aa
q
A
mn
- Vậy hàm độ võng cần tìm là:
a
yn
a
xm
a
n
a
m
Da
nm
q
yxW
m n
5
sin
9
sin
4
59
45
5
sin
9
6
sin4
),(
1 1
4
2
22
2
ππ
λ
ππ
ππ
∑∑
∞
=
∞
=
+
+
=
=====================================================================
Page 8 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
Nhận xét :
1) Từ hàm độ võng giả thiết , ta đi tìm công thức tính tổng quát A
mn
.
2) Để tìm A
mn
ta sử dụng tính chất đồng nhất hệ số trong toán bằng cách giả thiết q(x,y) cũng
được khai triển dưới dạng chuỗi để tìm mối quan hệ giữa hàm chuyển vị và tải trọng
2. Tính chuyển vị W
max
:
- Khi đó:
2
2 2
1 1
2 4
6
4 sin sin
9 5
( , ) sin sin
9 5
45. . . 4
9 5
m n
m n
q
m x n y
W x y
a a
m n
a D
a a
π π
π π
π π
λ
∞ ∞
= =
=
+ +
÷ ÷
∑∑
- Sử dụng chương trình Mathematica ta tính được độ võng, ta nhận thấy sự lặp lại của các số
hạng trong chuỗi số.Dễ dàng, nhận thấy chuỗi đạt giá trị độ võng lớn nhất khi
sin 1
9
m x
a
π
=
,
sin 1
5
m y
a
π
=
đạt khi x=9a/2, y=5a/2
- Ta có hàm độ võng max như sau:
2
2 2
1 1
2 4
11
4 sin sin sin sin
9 5 2 2
( , )
45. . . 4
9 5
m n
m n m n
q
W x y
m n
a D
a a
π π π π
π π
λ
∞ ∞
= =
=
+ +
÷ ÷
∑∑
- Sử dụng phần mềm tính toán Mathematica ta thu được W
max
như sau
( )
2
4
3
5 5
2
ax =
106
4 4
2025
Wm C
π
λ
−
+
+
, trong đó C là một số vô cùng bé
=====================================================================
Page 9 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
=====================================================================
Page 10 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
=====================================================================
Page 11 of 11
BÀI TẬP LỚN TẤM VÀ VỎ MỎNG PHÙNG QUYẾT THẮNG - LỚP CAO HỌC XD09
==========================================================
=====================================================================
