Sáng kiến kinh nghiệm thpt xây dựng một số dạng toán đếm dựa trên bài toán “chia kẹo euler” nhằm phát triển năng lực giải toán tổ hợp xác suất của học sinh thpt

CỘNG HỊA XàHỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
Độc lập ­ Tự do ­ Hạnh phúc
ĐƠN U CẦU CƠNG NHẬN SÁNG KIẾN
Kính gửi: Hội đồng thâm đinh 
̉
̣ sáng kiến tỉnh Ninh Binh
̀
1. Nhóm tác giả sáng kiến: Chúng tơi gồm:
Trình 
TT

Họ và tên

 1

Doan Huy Tung
̃
̀

2

Đinh Cao Thượng

3

Lê Thị Lan Anh

4

Nguyễn Xn Trường

Nơi

Chức 

độ 

cơng tác

danh

chun

THPT 
Kim Sơn A
THPT 
Kim Sơn A
THPT 
Kim Sơn A
THPT
 n Mơ A

Tỷ lệ % 
đóng góp 
vào việc 
tạo ra 

Ghi 
chú

mơn

sáng kiến

Thư ký 
HĐGD

Đại học

40%

Đồng 
tác giả

Phó hiệu 
trưởng

Thạc sỹ

20%

Đồng 
tác giả

Phó hiệu 
trưởng

Thạc sỹ

20%

Đồng 
tác giả

Phó hiệu 
trưởng

Thạc sỹ

20%

Đồng 
tác giả

Là đồng tác giả đề nghị xét cơng nhận sáng kiến: Xây dựng mơt sơ dang toan
̣ ́ ̣
́ 
đêm d
́ ựa trên bai toan “chia keo Euler” nhăm phat triên năng l
̀ ́
̣
̀
́
̉
ực giai toan Tơ h
̉
́
̉ ợp ­  
Xac st cua hoc sinh THPT
́
́ ̉

̣
.
2. Lĩnh vực và năm áp dụng sáng kiến: 
­ Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Giáo dục và đào tạo.
­ Năm áp dụng sáng kiến: Bắt đầu từ năm học 2019 – 2020. 
3. Các từ viết tắt:
­ THPT: Trung học phổ thơng
­ SGK: Sách giáo khoa
4. Nội dung sáng kiến
1


4.1. Thực trạng và giải pháp cũ thường làm ­ Hạn chế của giải pháp cũ
Trong chương trình tốn THPT các bài tốn đêm va xac st ln là các bài tốn khi
́
̀ ́
́
ến đa sớ 
học sinh gặp nhiều khó khăn và lúng túng. 

Xét bài tốn nổi tiếng trong tốn học Tổ hợp Xác suất “Chia kẹo Euler” 
“Có bao nhiêu cách chia n chiếc kẹo cho k em bé”. 
Kết quả  và cách tư  duy lời giải của bài tốn này được  ứng dụng giải quyết  
một số bài tốn sau: 
+ Trích đề thi đầu vào sinh viên lớp Cơng nghệ thơng tin Chất lượng cao (2021­2022) (ĐHCN­
ĐHQGHN)
Alice vừa đoạt giải qn qn trong một kì thi lập trình danh giá. Ban tổ  chức trao thưởng  
theo cách thức sau: Có n hộp xếp trên một hàng dài và trong n hộp đó có k hộp có q đặc biệt. 
Alice được phép chọn ra đúng k hộp và lấy tất cả q trong k hộp đã chọn. Ban tổ chức cho Alice 
biết rằng, khơng có hai hộp q đặc biệt nào được xếp cạnh nhau. Nhằm tăng xác suất chọn được  

cả k hộp q đặc biệt. Alice quyết định sẽ chọn k hộp q mà khơng có hai hộp nào cạnh nhau.
u cầu: Cho hai số ngun dương n và k. Gọi C là số cách chọn k hộp mà khơng có hai hộp nào 
đứng cạnh nhau trong dãy n hộp, hãy tính C%(10^9+7)(trong đó % là phép tốn chia lấy dư).
+ Trích đề thi học sinh giỏi quốc gia năm học 2020 – 2021 (VMO)
Bài 6: Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số 1, 2, 3, 4, 5 (sau khi chia có 
thể có hộp khơng có viên bi nào).
a. Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp (hai cách chia là khác nhau nếu có một 
hộp có số bi trong hau cách chia là khác nhau).
+ Trích đề tham khảo kì thi tốt nghiệp THPT năm 2020
Câu 39. Có 6 chiếc ghế được kê thành một hàng ngang. Xếp ngẫu nhiên 6 học sinh, gồm 3 
học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 1 học sinh lớp C, ngồi vào hàng ghế  đó, sao cho mỗi ghế  có  
đúng một học sinh. Xác suất để học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B bằng:
A.  

B. 

C. 

D. 

+ Một số bài tốn khác
­ (Bài tốn liên quan vấn đề trồng rừng)  Ơng An trơng 3 cây lim, 4 cây long nao va 5 cây
̀
̃ ̀
 
xa c
̀ ư trên mơt hang mơt cach ngâu nhiên. Tinh xac st đê khơng co 2 cây xa c
̀
̣ ̀
̣ ́

̃
́
́
́ ̉
́
̀ ừ nao đ
̀ ược trơng canh
̀
̣  
nhau?

2


­ (Bài tốn bầu cử): Trong một cuộc bầu cử, ứng cử viên A được a phiếu bầu, ứng cử viên 
B được b phiếu bầu (a > b). Cử tri bỏ phiếu tuần tự từng người. Có bao nhiêu cách sắp xếp việc  
bỏ phiếu để lúc nào A cũng hơn B về số phiếu bầu?
­ (Bài tốn mua vé): Có m + n người đang đứng quanh quầy vé, trong đó có n người chỉ có 
tiền 5.000 và m người chỉ có tiền 10.000. Đầu tiên ở  quầy khơng có tiền, vé giá 5.000. Hỏi có bao  
nhiêu cách xếp m  + n người thành một hàng để khơng một người nào phải chờ tiền trả lại?
Nhìn nhận các vấn đề xung quanh các bài tốn trên, chúng tơi nhận thấy một số vấn đề liên 
quan đến thực trạng dạy và học các vấn đề liên quan đến nội dung Tổ hợp Xác suất, thực trạng 
nội dung các đề thi cũng như ưu, nhược điểm của các giải pháp trong dạy và học để giải quyết 
các bài tốn trong nội dung này.
 Các bài tốn nêu trên đều ở mức vận dụng và vận dụng cao có nội dung thực tiễn, xuất 
phát từ những vấn đề trong thực tế. Điều này phù hợp với cách tiếp cận chương trình PT mới 2018  
nhằm phát triển năng lực giải quyết tình huống.
 Để giải quyết các bài tốn cần sử  dụng tốn nền tảng (kiến thức chương II ĐS> 11 
Tổ hợp – Xác suất theo chương trình hiện tại và cịn được trang bị trong nội dung chương trình cả 
3 khối 10,11,12 theo chương trình GDPT mới 2018) và sử  dụng phương pháp tư  duy được đề  cập  

đến trong bài tốn “Chia kẹo Euler”.
 Sách giáo khoa viết cịn mang tính hàn lâm: các bài tập chỉ  chủ  yếu dừng lại mức nhận  
biết và thơng hiểu;  trong khi nội dung này được đề  cập đến trong các đề  thi đại học ; thi THPT  
Quốc gia trước đây (bây giờ là kì thi tốt nghiệp THPT); thi học sinh giỏi tỉnh, quốc gia ; thi kiểm tra 
đánh giá năng lực của các trường Đại học…có cả  mức vận dụng và vận dụng cao. Mặt khác các  
bài tập được đề cập trong sách giáo khoa cũng khơng được phân chia theo dạng và định hướng các  
phương pháp tư duy cho học sinh. 
 Sách tham khảo; nguồn tài liệu trên mạng Internet…hầu như khơng đề cập đến một cách 
hệ  thống các bài tốn theo phương pháp tư  duy  được trình bày trong lời giải bài tốn “Chia kẹo 
Euler” mà chỉ xuất hiện rải rác.
 Vấn đề dạy học của giáo viên: 
Khi giảng dạy các phần kiến thức thuộc nội dung tơ h
̉ ợp xac st giáo viên g
́
́
ặp phải rất  
nhiều khó khăn trong việc định hướng cũng như hướng dẫn học sinh tiếp cận lời giải cho bài tốn,  
chia cac dang toan sao cho h
́ ̣
́
ợp ly nhât. Thơng th
́ ́
ường đa sơ giao viên chi day sao cho hoc sinh năm
́ ́
̉ ̣
̣
́  
được cang nhiêu bai cang tơt, đê t
̀
̀ ̀ ̀

́ ̉ ừ đo khi đi thi găp bai quen thc la co thê lam đ
́
̣
̀
̣ ̀ ́ ̉ ̀ ược. Hoặc nếu có  
định hình chia dạng để dạy cho học sinh thì cũng chỉ là chia theo đặc điểm của đối tượng tham gia  
vào bài tốn (đếm người; đếm đồ vật; đếm hình học…), mà rõ ràng trong mỗi dạng đó có rất nhiều  
3


cách tư  duy để  giải quyết (đa dạng phương pháp trong cùng một dạng).  Điều này hạn chế  tính  
logic trong việc xâu chuỗi các bài tốn trong cùng một cách tư duy, gây khó khăn cho việc học sinh  
phải ghi nhớ  rất nhiều phương pháp giải trong cùng một dạng tốn. Từ  đó khơng phát huy được  
tính chủ động, sáng tạo của học sinh trong q trình giải tốn.
 Vấn đề học của học sinh: 
Đa số học sinh tiếp thu kiến thức một cách thụ  động, lười tư  duy tìm tịi và sáng tạo; khả 
năng tự học chưa cao. Do đó, khi tiếp cận bài tốn thuộc nội dung này tuy rằng có thể  hiểu được  
lời giải nhưng khả  năng vận dụng để  giải quyết các bài tốn khác cịn hạn chế  do chưa hiểu rõ  
phương pháp tư duy.
4.2. Giải pháp mới:
­ Sáng kiến được hình thành theo dạng một chủ đề dạy học ( Phụ lục 2), cung cấp các dạng 
bài tập (7 dạng) với nội dụng gắn với thực tiễn:
+ Vận dụng kết quả của bài tốn “Chia kẹo Euler” (Dạng 1 đến dạng 6)
+ Vận dụng tư duy của lời giải bài tốn “Chia kẹo Euler” đó là tư duy “vách ngăn”. 
cùng với đó là các phương pháp dạy học đổi mới phát triển năng lực của học sinh.
­ Hệ thống lý thuyết được trình bày một cách cơ đọng và ngắn gọn nhất. 
­ Các dạng bài tập được xây dựng một cách hệ  thống, có phân chia các mức độ, q trình 
hình thành lời giải có sự phân tích về cách tư duy và con đường tìm lời giải trên cơ sở giả thiết từ 
đó giúp học sinh tạo được thói quen tư duy liên kết khi gặp các bài tốn lạ.
­ Bài tập được thiết kế chủ yếu theo hình thức trắc nghiệm để tạo điều kiện cho học sinh 

có khả năng phát huy hết năng lực của bản thân.
* Nội dung giải pháp trong sáng kiến (Phụ lục 1)
Có thể được tóm tắt như sau:
­ Phần thứ nhất: Cung cấp lại một cách có hệ thống các kiến thức cơ bản của đai sơ tơ h
̣ ́ ̉ ợp va xac
̀ ́ 
suât.
́
­ Phần thứ hai: Giơi thiêu nôi dung bai toan “chia keo Euler”, cach giai va cac kêt qua.
́
̣
̣
̀ ́
̣
́
̉ ̀ ́ ́
̉
­ Phần thứ ba: Xây dựng môt sô dang toan th
̣ ́ ̣
́ ương găp vân dung kêt qua va cach t
̀
̣
̣
̣
́
̉ ̀ ́ ư duy cua bai toan
̉
̀ ́ 
“chia keo Euler”, cu thê gôm 7 dang:
̣

̣ ̉ ̀
̣
+ Dang 1
̣
: Đêm sô nghiêm nguyên cua ph
́
́
̣
̉
ương trinh, bât ph
̀
́ ương trinh.
̀
+ Dang 2
̣
: Đêm sô cach phân phôi đô vât, san phâm.
́
́ ́
́ ̀ ̣
̉
̉
+ Dang 3
̣
: Đêm sô.
́
́
+ Dang 4
̣
: Đêm sô tâp con.
́

́ ̣
+ Dang 5
̣
: Đêm hinh hoc.
́ ̀
̣
4


+ Dang 6
̣
: Lươi toa đơ.
́ ̣
̣
+ Dang 7
̣
: Cac bai toan vân dung “
́ ̀ ́ ̣
̣
tư duy vach ngăn
́
”.
­ Phần thứ tư: Hê thơng bai tâp vân dung d
̣
́
̀ ̣
̣
̣
ưới hinh trăc nghiêm.
̀

́
̣
­ Phâǹ  thứ năm: Thiết kế hệ thống câu hỏi đánh giá, kiểm tra sau nội dung kiến thức giúp học sinh  
nắm được bài và vận dụng kiến thức vào giải quyết các tình huống có liên quan trong q trình học  
tập.
Như vậy: Giải pháp mới đã giúp học sinh giảm bớt gánh nặng trong q trình học tập. Kiến  
thức cần thiết chỉ nằm trong khn khổ  của sách giáo khoa hiện hành, khơng phải nhớ  q nhiều  
dạng bài tập một cách máy móc, khơng phải tốn kém trong q trình mua tài liệu tham khảo.  Khi  
tiếp cận cách học theo giải pháp mới, học sinh có thể tự chủ động tìm lời giải độc lập cho một bài 
tốn dựa trên lượng kiến thức đã có sẵn. Do đó học sinh có thể chủ động và linh hoạt trước một bài 
tốn khơng phải áp đặt theo một khn mẫu định sẵn.
Các giải pháp mới nêu ra đều sử  dụng phần lớn những kiến thức mà học sinh được học  
ngay trên lớp. Sự liên kết giữa các phần kiến thức cùng với những định hướng ban đầu khiến cho  
bài tốn trở nên quen thuộc và dễ tiếp cận. Việc vận dụng một cách phù hợp vào từng bài tốn cụ 
thể ln tạo ra sự mới mẻ nhưng cũng rất quen thuộc với học sinh. Các bài tập vận dụng giải pháp  
mới hầu như là những bài tốn đã xuất hiện trong các tài liệu tham khảo cũng như trong các Đề thi  
đại học trong những năm gần đây nhưng được tiếp cận một cách hồn tồn mới mẻ  nhưng đồng 
thời rất gần gũi với mức độ suy luận của các em học sinh.
5. Hiệu quả kinh tế và xã hội dự kiến đạt được
5.1. Hiệu quả về kinh tế:
+ Tai li
̀ ệu in ấn giá thành thấp.
+ Học sinh có thể tự học và tự nghiên cứu tài liệu do đó tránh được việc học thêm gây lãng  
phí và tốn kém.
5.2. Hiệu quả xã hội
+ Có tính thực tiễn cao: Kiến thức chỉ nằm trong SGK hiện hành. Sáng kiến tập trung vào 
việc phân tích tư duy giúp học sinh tìm lời giải. Hệ thống ví dụ và bài tập mang tính sáng tạo, đáp 
ứng được u cầu về đổi mới. Bài tập được xây dựng kết hợp giữa tự luận và trắc nghiệm; đặc 
biệt bài tập tự  luyện chỉ  xây dựng dưới hình thức trắc nghiệm phù hợp với tình hình thi cử  hiện 
tại. Các bài tốn trong đề thi đại học trước đây; đề thi tốt nghiệp THPT trong những năm gần đây;  

đề thi HSG tỉnh và quốc gia và các đề ĐGNL của các trường ĐH sử dụng cách định hướng tư  duy 
của giải pháp có thể giải quyết một cách dễ dàng.
+  Hình thành các phẩm chất năng lực của học sinh,   phù hợp với các u cầu của 
chương trình giáo dục PT mới: Học sinh chủ động, sáng tạo trong học tập. Phát huy được sự hứng 
thú và niềm đam mê trong học tập. Từ đó tự tin tham gia các kì thi kiểm tra định kì hoặc các cuộc  
thi học sinh giỏi; 
+ Tính kết nối và chia sẻ: Thơng qua trao đổi và chia sẻ  sáng kiến này với các giáo viên  
trong trường cũng như các đơn vị khác đã giúp giáo viên trong việc dạy học theo phương pháp mới, 
5


xác định được các nội dung trọng tâm của bài, giáo viên sử dụng như tài liệu tham khảo, sáng kiến  
giúp cho giáo viên giảm bớt được nhiều cơng sức trong việc soạn bài, chuẩn bị  bài lên lớp. Đặc 
biệt, giúp giáo viên có được một số dạng tốn hay để  có thể  áp dụng trong q trình biên soạn đề 
thi. Trong nhóm tác giả  của sáng kiến, đều từng là thành viên ban soạn thảo đề  thi của Sở; ngân  
hàng đề thi của Sở và có người tham gia ban soạn thảo đề của Bộ.
+ Tính giáo dục định hướng: định hướng cho học sinh khi học tập và nghiên cứu cần đề 
cao phương pháp tư duy và khả năng vận dụng kiến thức để giải quyết các vấn đề thực tiễn.
Đặc biệt, khi ứng dụng sáng kiến trong mơn  Tốn tại trường THPT Kim Sơn A, huyện Kim  
Sơn, tỉnh Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau:
Nội dung

Kết quả  Học sinh giỏi THPT cấp 
tỉnh

Năm 2019­2020

Năm 2020­2021

(Áp dụng sáng kiến)

(Áp dụng sáng kiến)

02/03 giải

02/03 giải

 (02 giải Khuyến khích).

(01 giải Ba, 01 giải Khuyến khích)

03/03 đạt giải
Kết quả  Học sinh giỏi lớp 12 cấp  
 ( 01 giải Nhì, 01 giải Ba, 01 giải Khuyến 
tỉnh
khích)
Số lượng học sinh được nhận giải 
thưởng   Đinh   Bộ   Lĩnh   do   có   kết 
quả  cao trong kỳ  thi THPT Quốc  
gia

Điểm trung bình mơn Tốn trong 
kì thi tốt nghiệp THPT

03/03 đạt giải
(01 giải Nhất, 02 giải Nhì)

23 học sinh

35 học sinh

(Có tổng điểm ba mơn của các khối thi 
truyền thống trên 27,25 điểm).

(Có tổng điểm ba mơn của các khối 
thi truyền thống trên 27,0 điểm).

ĐTB mơn Tốn là 8,32

ĐTB mơn Tốn là 8,15

(ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,22

(ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,06

ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,68)

ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,61)

Khi ứng dụng sáng kiến trong mơn Tốn tại trường THPT  n Mơ  A, huyện n Mơ , tỉnh 
Ninh Bình đã cho kết quả nổi bật như sau:
Nội dung

Kết quả  Học sinh giỏi  THPT 
cấp tỉnh

Kết quả  Học sinh giỏi lớp 12 
cấp tỉnh
Số  lượng học sinh được nhận 
giải  thưởng  Đinh Bộ  Lĩnh do 

có   kết   quả   cao   trong   kỳ   thi  
THPT Quốc gia

6

Năm 2019­2020

Năm 2020­2021

(Áp dụng sáng kiến)

(Áp dụng sáng kiến)

01/03 giải

03/05 giải

(01 giải nhì).

 (02 giải Ba, 01 giải Khuyến khích)

04/06 đạt giải

06/06 đạt giải

( 04 giải Khuyến khích)

(03 giải Nhì, 02 giải Ba và 01 giải 
Khuyến Khích)

08 học sinh 

12 học sinh 

(Có tổng điểm ba mơn của các khối thi 
truyền thống trên 27,25 điểm).

(Có tổng điểm ba mơn của các khối thi 
truyền thống trên 27,00 điểm).


Điểm trung bình mơn Tốn 
trong kì thi tốt nghiệp THPT

ĐTB mơn Tốn là 7,83

ĐTB mơn Tốn là 7,64

(ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,22

(ĐTB mơn Tốn của tỉnh là 7,06

ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,68)

ĐTB mơn Tốn của tồn quốc là 6,61)

Các kết quả nổi bật khác:

­ Trong nhóm tác giả, có thầy Dỗn Huy Tùng giáo viên Tốn THPT Kim Sơn A trong  
hai năm học gần đây dạy đội tuyển HSG Tốn lớp 12 đều có học sinh đạt giải Nhất kì thi chọn  

HSG lớp 12 cấp tỉnh.
­ Các thầy cơ trong nhóm tác giả đều là những người hướng dẫn và giảng dạy trực 
tiếp bộ mơn Tốn cho em Nguyễn Thị Thu Hằng – học sinh lớp 12B1 trường THPT Kim Sơn A đạt  
vịng nguyệt quế chương trình chung kết năm “Đường lên đỉnh Olympia” năm thứ 20.
­ Năm học 2020 – 2021: giảng dạy em Nguyễn Hồng Anh lớp 12B1 trường THPT  
Kim Sơn A đạt điểm 9.8 mơn Tốn, trở thành thủ khoa của tỉnh Ninh Bình ở 2 khối thi là B và D07. 
6. Điều kiện và khả năng áp dụng:
6.1. Điều kiện áp dụng:
­  Học sinh  lớp 11,12 THPT  theo chương trình hiện hành; sau này cả  lớp 10,11,12 
THPT và học sinh THCS (theo chương trình GDPT mới).
­ Kiến thức nền tảng: TỔ HỢP XÁC SUẤT

6.2. Khả năng áp dụng:
+ Đáp  ứng nhu cầu dạy học của giáo viên: đổi mới phương pháp dạy học tích cực nhằm  
phát triển năng lực phẩm chất. (Do giải pháp được trình bày dưới dạng một chủ đề dạy học).
+ Đáp  ứng cho nhiều đối tượng học sinh, phát triển năng lực giải quyết vấn đề  thực tiễn  
của học sinh cũng như nâng cao khả năng tư duy
+ Phù hợp với nội dung chương trình GDPT hiện hành và CT GDPT mới 2018; xu thế ra đề 
thi trong các kì thi quốc gia; kì thi ĐGNL….
+ Trong tình hình dịch bệnh như hiện nay, việc dạy và học có thể  phải tiến hành theo hình  
thức trực tuyến. Khi đó rõ ràng việc tương tác giữa thầy và trị có hạn chế hơn, u cầu với người  
học cũng cao hơn ở tính tự giác và tìm tịi. Vì vậy, càng thấy được tính khả thi của giải pháp được  
đề cập đến.
Ninh Bình, tháng 05 năm 2021
XÁC NHẬN CỦA NHÀ TRƯỜNG

7

ĐẠI DIỆN NHĨM TÁC GIẢ

Doan Huy Tung
̃
̀

8


PHỤ LỤC 1
Phần 1. MƠ TẢ NỘI DUNG SÁNG KIẾN
Sáng kiến được thiết kế theo dạng chủ đề dạy học đã được nhóm tác giả áp dụng trong q  
trình giảng dạy ơn tập cho cac l
́ ơp va ơn thi hoc sinh gioi t
́ ̀
̣
̉ ại  02 nhà trường THPT Kim sơn A và 
THPT n Mơ A. Tùy theo mức độ của học sinh từng lớp mà các tác giả đã đưa vào các phần nội  
dung để giảng dạy cho phù hợp với tình hình thực tiễn.
Nội dung sáng kiến được nhom tac gia xây d
́
́
̉
ựng thanh cac dang toan th
̀
́ ̣
́ ương găp trong đo
̀
̣
́ 
vân dung kêt qua va t

̣
̣
́
̉ ̀ ư duy lơi giai cua bai toan “chia keo Euler”, 
̀ ̉
̉
̀ ́
̣
ở mơi dang đ
̃ ̣
ược thiêt kê theo câu
́ ́
́ 
truc: Vi du – L
́
́ ̣
ời giai – Nhân xet, h
̉
̣
́ ướng suy ln va t
̣
̀ ư duy.
Sáng kiến ngồi là nguồn tài liệu cho các thầy cơ trong q trình giảng dạy cịn là tư liệu để 
các em học sinh tự học một cách tốt nhất. Các em học sinh có thể  đọc lời giải và các hướng dẫn  
suy luận trong các ví dụ từ đó vận dụng vào làm các bài tập trong hệ thống bài tập được trình bày  
trong sáng kiến.
Phần 2. MƠT SƠ DANG TOAN TH
̣
́ ̣
́

ƯƠNG GĂP VÂN DUNG KÊT QUA VA T
̀
̣
̣
̣
́
̉
̀ Ư  DUY 
LƠI GIAI CUA BAI TOAN “CHIA KEO EULER”
̀
̉
̉
̀
́
̣
2.1. KIÊN TH
́
ƯC C
́ Ơ BAN
̉
2.1.1. Hai quy tăc đêm c
́ ́ ơ ban
̉
Sơ phân t
́ ̀ ử cua tâp h
̉ ̣ ợp hưu han 
̃ ̣ A được ki hiêu la  hoăc 
́ ̣ ̀
̣
2.1.1.1. Quy tăc công

́ ̣
Môt công viêc đ
̣
̣ ược hoan thanh b
̀
̀ ởi môt trong hai hanh đông. Nêu hanh đông nay co m
̣
̀
̣
́ ̀
̣
̀ ́  
cach th
́
ực hiên, hanh đông kia co n cach th
̣
̀
̣
́
́
ực hiên không trung v
̣
̀ ơi bât ki cach nao cua hanh đông
́ ́ ̀ ́
̀ ̉
̀
̣  
thứ nhât thi công viêc đo co m + n cach th
́ ̀
̣

́ ́
́
ực hiên.
̣
Chu y
́ ́:
 + Quy tăc công đ
́ ̣
ược phat biêu 
́ ̉ ở trên co thê tông quat cho công viêc đ
́ ̉ ̉
́
̣ ược hoan thanh
̀
̀  
bới nhiêu hanh đông.
̀ ̀
̣
 + Quy tăc công đ
́ ̣
ược phat biêu 
́ ̉ ở trên thực chât la quy tăc đêm sô phân t
́ ̀
́ ́
́ ̀ ử cua hai tâp
̉
̣  
hợp hưu han không giao nhau: 
̃ ̣
Nêu A va B la cac tâp h

́
̀
̀ ́ ̣ ợp hữu han không giao nhau, thi: 
̣
̀
 + Quy tăc công con đ
́ ̣
̀ ược mở rông đôi v
̣
́ ới cac tâp h
́ ̣ ợp hưu han, co giao khac rông. Co
̃ ̣
́
́ ̃
́ 
thê ch
̉ ưng minh đ
́
ược răng, v
̀
ới hai tâp h
̣ ợp hưu han 
̃ ̣ A va ̀B bât ki, ta co:
́ ̀
́
 (quy tăc bao ham va loai tr
́
̀
̀ ̣ ư)̀
Hoăc v

̣ ới 3 tâp h
̣ ợp hưu han
̃ ̣  A,B,C ta co:́
2.1.1.2. Quy tăc nhân
́
Môt công viêc đ
̣
̣ ược hoan thanh b
̀
̀ ởi hai hanh đông liên tiêp. Nêu co m cach th
̀
̣
́
́ ́
́
ực hiên 
̣
hanh đông th
̀
̣
ứ nhât va 
́ ̀ứng với môi cach đo co n cach th
̃ ́
́ ́
́
ực hiên hanh đông th
̣
̀
̣
ứ hai thi co m.n cach 

̀ ́
́
hoan thanh công viêc.
̀
̀
̣
Chu y
́ ́: Quy tăc nhân co thê m
́
́ ̉ ở rông cho công viêc đ
̣
̣ ược hoan thanh b
̀
̀ ởi nhiêu hanh đông liên 
̀ ̀
̣
tiêp.
́
2.1.2. Hoan vi – Chinh h
́ ̣
̉
ợp – Tô h
̉ ợp
9


2.1.2.1. Hoan vi
́ ̣
Cho tâp 
̣ A gôm 

̀ n phân t
̀ ử . Môi kêt qua cua s
̃ ́
̉ ̉ ự săp xêp th
́ ́ ứ tự  n phân t
̀ ử cua tâp h
̉ ̣ ợp A được 
goi la môt 
̣ ̀ ̣ hoan vi cua n phân t
́ ̣ ̉
̀ ử đo. ́
Sô cac hoan vi cua 
́ ́
́ ̣ ̉ n phân t
̀ ử: 
2.1.2.2. Chinh h
̉
ợp
Cho tâp 
̣ A gôm 
̀ n phân t
̀ ử . Kêt qua cua viêc lây 
́
̉ ̉
̣ ́ k phân t
̀ ử khac nhau t
́
ừ n phân t
̀ ử cua tâp h
̉ ̣ ợp 

A va săp xêp chung theo môt th
̀ ́ ́
́
̣ ứ tự nao đo đ
̀ ́ ược goi la môt 
̣ ̀ ̣ chinh h
̉
ợp châp k cua n phân t
̣
̉
̀ ử đa cho.
̃
Sô cac chinh h
́ ́
̉
ơp: 
Chu y
́ ́: 
2.1.2.3. Tô h
̉ ợp
Cho tâp 
̣ A gôm 
̀ n phân t
̀ ử . Môi tâp con gôm 
̃ ̣
̀ k phân t
̀ ử cua 
̉ A được goi la môt 
̣ ̀ ̣ tô h
̉ ợp châp k

̣  
cua n phân t
̉
̀ ử đa cho.
̃
Sô cac tô h
́ ́ ̉ ợp: 
Chu y
́ ́:  
2.1.3. Xac suât cua biên cô
́
́ ̉
́ ́
2.1.3. Đinh nghia
̣
̃
Gia s
̉ ử  A la biên cô liên quan đên môt phep th
̀ ́ ́
́
̣
́ ử  chi co môt sô h
̉ ́ ̣ ́ ữu han kêt qua đông
̣
́
̉ ̀  
kha năng xuât hiên. Ta goi ti sô  la xac suât cua biên cô A, ki hiêu la 
̉
́ ̣
̣ ̉ ́ ̀ ́

́ ̉
́ ́
́ ̣ ̀
Chu y
́ ́:  la sô phân t
̀ ́ ̀ ử cua 
̉ A hay cung la sô cac kêt qua thuân l
̃
̀ ́ ́ ́
̉
̣ ợi cho biên cô 
́ ́A, con  la 
̀ ̀
sô cac kêt qua co thê xay ra cua phep th
́ ́ ́
̉ ́ ̉ ̉
̉
́ ử.
2.1.3. Tinh chât
́
́
Chu y
́ ́: Tinh chât c) la công th
́
́
̀
ức công xac suât va ta co hê qua:
̣
́
́ ̀

́ ̣
̉
 
  la biên cô đôi cua biên cô 
̀ ́ ́ ́ ̉
́ ́A. 
2.2. BAI TOAN “CHIA KEO EULER”
̀
́
̣
2.2.1. Nôi dung bai toan: 
̣
̀
́
Co bao nhiêu cach chia 
́
́
n cai keo giông nhau cho 
́ ̣
́
k em be?́

2.2.2. Lời giai:
̉
Trươc hêt ta xet cac bai toan sau: 
́ ́
́ ́ ̀ ́
Bai toan 1
̀ ́ : “Co bao nhiêu cach chia n cai keo giông nhau cho k em be sao cho em nao cung
́

́
́ ̣
́
́
̀ ̃  
co keo, 
́ ̣ ”.
Đăt 
̣ n cai keo trên môt hang ngang, khi đo gi
́ ̣
̣ ̀
́ ữa n chiêc keo se co 
́ ̣
̃ ́n – 1 khoang trông.
̉
́
Nêu ta đăt 
́
̣ k – 1  chiêc que vao 
́
̀ k – 1  khoang trông bât ki trong sô 
̉
́
́ ̀
́n – 1 khoang trông trên ta
̉
́
 
thây n chiêc keo se đ
́

́ ̣
̃ ược chia thanh 
̀ k phân đê cho 
̀ ̉
k em be theo th
́
ư t
́ ự.
Do đo sô cach chia keo băng sô cach chon 
́ ́ ́
̣
̀
́ ́
̣ k – 1 khoang trông trong sô 
̉
́
́n – 1 khoang trông t
̉
́ ưć  
la ̀
Nhân xet
̣
́:
+ Từ lơi giai trên ta nhân thây, khi xêp cac đôi t
̀ ̉
̣
́
́ ́ ́ ượng trên môt hang thi gi
̣
̀

̀ ữa cac đôi
́ ́ 
tượng luôn hinh thanh khoang trông (hay con goi 
̀
̀
̉
́
̀ ̣ vach ngăn
́
), va dê thây răng đê hai đôi t
̀ ̃ ́ ̀
̉
́ ượng trên 
10


hang đo không đ
̀
́
ứng canh nhau ta chi cân xêp môt đôi t
̣
̉ ̀ ́
̣
́ ượng khac vao khoang trông đo. Đê cho đ
́ ̀
̉
́
́ ̉
ơn  
gian ta goi đây la “

̉
̣
̀ tư duy vach ngăn
́
”.
+ Nêu goi sô keo nhân đ
́ ̣ ́ ̣
̣ ược cua 
̉ k em be ́ưng v
́ ơi môi cach chia lân l
́
̃ ́
̀ ượt la  thi . Va
̀ ̀
̀ 
hiên nhiên, sô nghiêm cua ph
̉
́
̣
̉
ương trinh đo băng chinh sô cach chia. T
̀
́ ̀
́
́ ́
ừ đo ta co kêt qua bai toan sau.
́
́ ́
̉ ̀ ́
Bai toan 2

̀ ́ : “Tim sô nghiêm nguyên d
̀
́
̣
ương cua ph
̉
ương trinh 
̀
”
Đap sô: 
́ ́
Bai toan 3
̀ ́ : “Tim sô nghiêm nguyên không âm cua ph
̀
́
̣
̉
ương trinh 
̀
”
Đăt  va ph
̣
̀ ương trinh đa cho tr
̀
̃
ở thanh: 
̀
 (*)
Sô nghiêm ph
́

̣
ương trinh đa cho băng sô nghiêm nguyên d
̀
̃
̀
́
̣
ương cua ph
̉
ương trinh (*), ap dung 
̀
́ ̣
bai toan 2, ta đ
̀ ́
ược sô nghiêm đo băng: 
́
̣
́ ̀
Nhân xet
̣
́: Đên đây, theo s
́
ự tương ưng gi
́
ưa sơ cach chia keo va sơ nghiêm cua ph
̃ ́ ́
̣
̀ ́
̣
̉

ương trinh 
̀
thi đap sơ cua bai toan “
̀ ́ ́ ̉
̀ ́ chia keo Euler
̣
” la: 
̀
2.3. MƠT SƠ DANG TOAN LIÊN QUAN
̣
́ ̣
́
Từ kêt qua cua bai toan chia keo Euler cung nh
́
̉ ̉
̀ ́
̣
̃
ư cach t
́ ư duy đê tim ra kêt qua đo, ta rut ra 
̉ ̀
́
̉ ́
́
được môt sô kêt luân quan trong sau:
̣ ́ ́ ̣
̣
* KÊT LUÂN 1
́
̣ : Sô cach chia (

́ ́
phân phôí) n cai keo (
́ ̣ san phâm
̉
̉ ) cho k em be (
́ đôi t
́ ượng) sao 
cho em nao cung co keo (
̀ ̃
́ ̣ đôi t
́ ượng nao cung co san phâm
̀ ̃
́ ̉
̉ ) hay sô nghiêm nguyên d
́
̣
ương cua ph
̉
ương 
trinh  la: 
̀
̀
* KÊT LUÂN 2
́
̣ : Sô cach chia (
́ ́
phân phôí) n cai keo (
́ ̣ san phâm
̉
̉ ) cho k em be (

́ đôi t
́ ượng) hay 
sô nghiêm nguyên không âm cua ph
́
̣
̉
ương trinh  la: 
̀
̀
* KÊT LUÂN 3
́
̣ : Hinh thanh “
̀
̀ tư duy vach ngăn
́
” trong viêc giai quyêt cac bai toan đêm co gia
̣
̉
́ ́ ̀ ́ ́
́ ̉ 
thiêt yêu câu cac đôi t
́
̀ ́ ́ ượng được xêp hoăc không xêp canh nhau.
́
̣
́ ̣
Sau đây ta se xet môt sô dang toan đêm th
̃ ́ ̣ ́ ̣
́ ́ ường găp vân dung cac kêt luân trên đây.
̣

̣
̣
́ ́ ̣
2.3.1.DANG 1:
̣
 Đêm sô nghiêm nguyên cua ph
́
́
̣
̉
ương trinh, bât ph
̀
́ ương trinh
̀
Vi du 1
́ ̣ : Cho phương trinh:  Tim sô nghiêm nguyên cua ph
̀
̀
́
̣
̉
ương trinh thoa man:
̀
̉
̃
            1. 
            2. 
3. 
            4.  la cac sô t
̀ ́ ́ ự nhiên chia 4 dư 1, vơi 

́
            5. 

LƠI GIAI
̀
̉
1. Sô nghiêm nguyên không âm cua ph
́
̣
̉
ương trinh: 
̀
2. Sô nghiêm nguyên d
́
̣
ương cua ph
̉
ương trinh: 
̀
3. Đăt: . Sô nghiêm ph
̣
́
̣
ương trinh thoa man điêu kiên băng sô nghiêm nguyên d
̀
̉
̃
̀
̣
̀

́
̣
ương cuả  
phương trinh: 
̀
Sô nghiêm la: 
́
̣
̀
4. Đăt  Sô nghiêm ph
̣
́
̣
ương trinh thoa man điêu kiên băng sô nghiêm ph
̀
̉
̃
̀
̣
̀
́
̣
ương trinh: 
̀
Sô nghiêm la: 
́
̣
̀
5.Cach 1
́ : Xet cac tr

́ ́ ường hợp  Sô nghiêm ph
́
̣
ương trinh thoa man điêu kiên la: 
̀
̉
̃
̀
̣ ̀
Cach 2
́ : (Sử dung biên cô đôi)
̣
́ ́ ́
11


+ Sô nghiêm nguyên không âm cua ph
́
̣
̉
ương trinh la: 
̀
̀
+ Sô nghiêm nguyên không âm cua ph
́
̣
̉
ương trinh thoa man : Đăt 
̀
̉

̃
̣
Sô nghiêm la: .
́
̣
̀
Suy ra: sô nghiêm ph
́
̣
ương trinh thoa man điêu kiên: 
̀
̉
̃
̀
̣
Nhân xet: 
̣
́
Khi đêm sô nghiêm co điêu rang buôc:
́
́
̣
́ ̀ ̀
̣
+ Điêu kiên rang buôc dang:  đăt ân phu.
̀
̣
̀
̣
̣

̣ ̉
̣
+ Điêu kiên rang buôc dang: 
̀
̣
̀
̣
̣
­ Nêu chi co 1 biên co điêu kiên đo thi ap dung 2 cach trên.
́
̉ ́
́ ́ ̀
̣
́ ̀ ́ ̣
́
­ Nêu co nhiêu biên co điêu kiên rang buôc ta ap dung cach giai 2 nh
́ ́
̀
́ ́ ̀
̣
̀
̣
́ ̣
́
̉
ưng cân
̀ 
chu y quy tăc bao ham va loai tr
́́
́

̀
̀ ̣ ừ. Cu thê ta xet trong vi du tiêp theo.
̣ ̉
́
́ ̣ ́
Vi du 2
́ ̣ : Cho phương trinh:  Tim sô nghiêm nguyên  cua ph
̀
̀
́
̣
̉
ương trinh thoa man:
̀
̉
̃
            1. 
            2. 

LƠI GIAI
̀
̉
1. + Sô nghiêm nguyên không âm cua ph
́
̣
̉
ương trinh la: 
̀
̀
+ Goi  lân l

̣
̀ ượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua ph
̀ ̣
́
̣
̉
ương trinh thoa man điêu kiên: .
̀
̉
̃
̀
̣  
Khi đo: sô nghiêm thoa man điêu kiên la: 
́ ́
̣
̉
̃
̀
̣ ̀
­ Ta co: 
́
­ Suy ra: 
­ Do đo sô nghiêm thoa man điêu kiên: 
́ ́
̣
̉
̃
̀
̣
2. * Đăt 

̣
Sô nghiêm ph
́
̣
ương trinh thoa man điêu kiên băng sô nghiêm nguyên không âm ph
̀
̉
̃
̀
̣
̀
́
̣
ương trinh
̀  
với điêu kiên 
̀
̣
    * Goi 
̣ Y la tâp tât ca cac nghiêm nguyên không âm cua ph
̀ ̣ ́ ̉ ́
̣
̉
ương trinh (*), suy ra: 
̀
* Goi  lân l
̣
̀ ượt la tâp cac nghiêm nguyên không âm cua ph
̀ ̣
́

̣
̉
ương trinh (*) thoa man lân l
̀
̉
̃ ̀ ượt  
cac điêu kiên: 
́
̀
̣

* Khi đo sô nghiêm ph
́ ́
̣
ương trinh thoa man điêu kiên bai toan la:
̀
̉
̃
̀
̣
̀ ́ ̀
Vi du 3
́ ̣ :  Tim sô nghiêm nguyên không âm cua bât ph
̀
́
̣
̉
́ ương trinh :
̀

LƠI GIAI
̀
̉
+  Cach 1
́ : Sô nghiêm nguyên không âm cua bât ph
́
̣
̉
́ ương trinh băng tông sô nghiêm nguyên
̀
̀
̉
́
̣
 
không âm cua 12 ph
̉
ương trinh: 
̀
Sô nghiêm la: 
́
̣
̀
+ Cach 2
́ : Đăt  Khi đo sô nghiêm thoa man điêu kiên bai toan băng sô nghiêm nguyên không
̣
́ ́
̣
̉
̃

̀
̣
̀ ́ ̀
́
̣
 
âm cua ph
̉
ương trinh: 
̀
Sô nghiêm la: 
́
̣
̀
Vi du 4
́ ̣ :  Tim sô nghiêm nguyên không âm cua bât ph
̀
́
̣
̉
́ ương trinh : thoa man 
̀
̉
̃

12


LƠI GIAI
̀

̉
Lân l
̀ ượt cho  va vân dung cach giai cua bai 3 ta đ
̀ ̣
̣
́
̉ ̉
̀
ược kêt qua sô nghiêm thoa man điêu kiên: 
́
̉ ́
̣
̉
̃
̀
̣
2.3.2.DANG 2:Đêm sô cach phân phôi đô vât, san phâm.
̣
́
́ ́
́ ̀ ̣
̉
̉
Vi du 1
́ ̣ :  Co bao nhiêu cach xêp (phân phôi) 4 viên bi giông nhau vao 3 chia hôp 
́
́
́
́
́

̀
̣ A, B, C.  

LƠI GIAI
̀
̉
Goi 
̣ x, y, z lân l
̀ ượt la sô viên bi đ
̀ ́
ược xêp (phân phôi) vao cac hôp 
́
́ ̀ ́ ̣ A, B, C.
Khi đo: 
́
Môi nghiêm cua ph
̃
̣
̉
ương trinh nay la môt cach phân phôi 4 viên bi vao 3 chiêc hôp, do đo sô 
̀
̀ ̀ ̣ ́
́
̀
́ ̣
́ ́
cach phân phôi la: 
́
́ ̀
Nhân xet:

̣
́
+ Ta co thê hiêu đ
́ ̉ ̉ ơn gian h
̉ ơn răng, viêc phân phôi 4 viên bi cho 3 hôp cung la công viêc chia
̀
̣
́
̣
̃
̀
̣
 
4 cai keo cho 3 em be.  Do đo co thê suy ra ngay đap an bai toan.
́ ̣
́
́ ́ ̉
́ ́ ̀ ́
+ Từ đo, môt cach khac ta co thê phat biêu bai toan chia keo Euler theo “
́ ̣ ́
́
́ ̉
́ ̉
̀ ́
̣
ngôn ngư” khac nh
̃
́ ư 
sau: Sô cach phân phôi 
́ ́

́ n san phâm cho 
̉
̉
k đôi t
́ ượng la:  (trong toan hoc đây chinh la sô tô h
̀
́
̣
́
̀ ́ ̉ ợp lăp
̣  
châp 
̣ n cua 
̉ k phân t
̀ ử). Do đo, khi giai cac bai toan t
́
̉ ́ ̀ ́ ương tự ta co thê s
́ ̉ ử dung ngay “ngôn ng
̣
ữ” nay
̀ 
đê giai quyêt rât nhanh gon.
̉ ̉
́ ́
̣
Vi du 2
́ ̣ : Môt c
̣ ửa hang co 6 loai kem khac nhau. Môt ng
̀
́

̣
́
̣
ười khach muôn mua 9 que kem. Hoi ng
́
́
̉
ươì 
khach đo co bao nhiêu s
́
́ ́
ự lựa chon?   
̣

LƠI GIAI
̀
̉
Sô cach l
́ ́ ựa chon cua ng
̣
̉
ười khach chinh la sô cach phân phôi 9 que kem mua đ
́
́
̀ ́ ́
́
ươc cho 6 loai 
̣
kem, do đo sô cach l
́ ́ ́ ựa chon la: 

̣ ̀
Vi du 3
́ ̣ : Co bao nhiêu cach xêp (phân phôi) 30 viên bi giông nhau vao 5 chiêc hôp khac nhau sao cho:
́
́
́
́
́
̀
́ ̣
́
1. Cach xêp la bât ki vê sô l
́
́ ̀ ́ ̀ ̀ ́ ượng viên bi trong môi hôp.
̃ ̣
2. Hôp 1 co it nhât 5 viên bi.
̣
́́
́
3. Hôp 1 co it nhât 5 viên bi; hôp 2 va hôp 3 co không qua 6 viên bi.
̣
́́
́
̣
̀ ̣
́
́

LƠI GIAI
̀

̉
1. Ta co ngay sô cach xêp (phân phôi) la:
́
́ ́
́
́ ̀
2. Do hôp 1 cân it nhât 5 viên bi nên ta lây luôn 5 viên bi cho hôp 1, con lai 25 viên bi ta phân
̣
̀ ́
́
́
̣
̀ ̣
 
phôi cho 5 hôp. Sô cach phân phôi la: 
́
̣
́ ́
́ ̀
3. Sô cach phân phôi thoa man băng sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp va thoa man điêu
́ ́
́
̉
̃ ̀
́ ́
́
̣
̀ ̉
̃
̀ 

kiên hôp 2 va 3 đêu co sô bi nho h
̣
̣
̀
̀ ́ ́
̉ ơn hoăc băng 6.
̣
̀
+ Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp la: 
́ ́
́
̣ ̀
+ Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 2 ch
́ ́
́
̣
̣
ứa sô bi l
́ ớn hơn hoăc băng 7 la:.
̣
̀
̀
Tương tự: Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp sao cho hôp 3 ch
́ ́
́
̣
̣
ứa sô bi l
́ ớn hơn hoăc băng 7 la: .
̣

̀
̀
Sô cach phân phôi 25 viên bi cho 5 hôp sao cho ca hôp 2 va 3 ch
́ ́
́
̣
̉ ̣
̀
ứa sô bi l
́ ớn hơn hoăc băng 7
̣
̀
 
la: 
̀
Do đo, sô cach phân phôi thoa man điêu kiên la: 
́ ́ ́
́ ̉
̃
̀
̣ ̀

13


Vi du 4
́ ̣ :  Co bao nhiêu cach chon ra 6 sô (co thê giông nhau) t
́
́
̣

́ ́ ̉
́
ừ 9 chữ sô t
́ ự nhiên 1,2...,9?   

LƠI GIAI
̀
̉
Sô cach chon ra 6 sô băng sô cach phân phôi 6 sô đo cho 9 ch
́ ́
̣
́ ̀
́ ́
́
́ ́
ữ sô t
́ ừ 1 đên 9, t
́
ức la co: 
̀ ́ cach
́  
chon.
̣
2.3.3.DANG 3: Đêm sô.
̣
́
́
Vi du 1
́ ̣ :  Co bao nhiêu sô t
́

́ ự nhiên co 5 ch
́
ữ sô dang  thoa man:
́ ̣
̉
̃
1. 
2. 

LƠI GIAI
̀
̉
1.Cach 1
́ : + Ta viêt cac ch
́ ́ ư sô 1,2,3,...,9 theo th
̃ ́
ứ tự tăng dân.
̀
   + Ta chon 5 sô day 9 sô đo đ
̣
́ ̃
́ ́ ược 1 sô thoa man.
́ ̉
̃
Do đo sô cac sô thoa man la: 
́ ́ ́ ́ ̉
̃ ̀
Cach 2
́ : + Tư tô h
̀ ̉ ợp 9 chư sô t

̃ ́ ự nhiên ta chon ra 5 ch
̣
ư sô khac nhau:  (
̃ ́ ́
Chon thanh phân
̣
̀
̀ ).
    + Môi cach chon đo ta săp xêp chi dc môt sô thoa man điêu kiên. (
̃ ́
̣
́
́ ́
̉
̣ ́ ̉
̃
̀
̣ Săp xêp
́ ́)
Do đo sô cac sô thoa man la: 
́ ́ ́ ́ ̉
̃ ̀
Nhân xet
̣
́: cach lâp luân th
́
̣
̣
ứ 2 la cach lâp luân thông th
̀ ́

̣
̣
ường với cac bai toan lâp sô, t
́ ̀
́ ̣
́ ức là 
trai qua 2 b
̉
ươc: 
́ Chon thanh phân
̣
̀
̀  va ̀săp xêp
́ ́.
2.+ Chon thanh phân : chon 5 sô t
̣
̀
̀
̣
́ ừ 9 sô (cac ch
́ ́ ữ sô co thê lăp lai) băng cach phân phôi 5 sô
́ ́ ̉ ̣
̣
̀
́
́
́ 
chon đ
̣ ược cho 9 chư sô t
̃ ́ ự nhiên, do đo sô cach chon la: 

́ ́ ́
̣ ̀
+ Săp xêp: Môi cach chon đo chi co duy nhât môt sô thoa man điêu kiên.
́ ́
̃ ́
̣
́ ̉ ́
́ ̣ ́ ̉
̃
̀
̣
Do đo, sô cac sô thoa man la: 
́ ́ ́ ́ ̉
̃ ̀
Vi du 2
́ ̣ :  Co bao nhiêu sô t
́
́ ự nhiên co 5 ch
́
ữ sô dang  thoa man:
́ ̣
̉
̃
               1. 
               2. 

LƠI GIAI
̀
̉
1. + Chon thanh phân: chon 5 sô t

̣
̀
̀
̣
́ ự  nhiên đôi môt khac nhau t
̣
́
ừ 10 chữ sô t
́ ự  nhiên, cocach
́ ́  
chon.
̣
+ Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhât môt cach xêp đê cac ch
́ ́
̃ ́
̣
̀
̀
̉ ́
́
̣ ́
́ ̉ ́ ữ sô giam dân.
́ ̉
̀  
Do đosô cac sô thoa man la:
́ ́ ́ ́ ̉
̃ ̀
2. + Chon thanh phân: chon 5 sô t
̣
̀

̀
̣
́ ự  nhiên (co thê giông nhau) t
́ ̉
́
ừ 10 chữ sô t
́ ự  nhiên băng sô
̀
́ 
cach phân phôi 5 ch
́
́
ư sô đo vê cho 10 ch
̃ ́ ́ ̀
ữ sô t
́ ự nhiên từ 0 đên 9, co cach chon.
́
́ ́
̣
+ Săp xêp: môi cach chon thanh phân chi co duy nhât môt cach xêp đê cac ch
́ ́
̃ ́
̣
̀
̀
̉ ́
́
̣ ́
́ ̉ ́ ữ sô giam dân
́ ̉

̀ 
(trong đo co cach xêp 00000 không la sô t
́ ́ ́
́
̀ ́ ự nhiên co 5 ch
́
ữ sô).
́
Do đo, sô cac sô thoa man la: 
́ ́ ́ ́ ̉
̃ ̀
Vi du 3
́ ̣ :  Co bao nhiêu sô t
́
́ ự nhiên co 5 ch
́
ữ sô dang  thoa man:
́ ̣
̉
̃

LƠI GIAI
̀
̉
Đăt 
̣
Ap dung cach giai 
́ ̣
́
̉ Vi du 1

́ ̣  ta được kêt qua: 
́
̉
14


Vi du 4
́ ̣ : (Ve hanh phuc
́ ̣
́ ) Môi ve xe co môt day 6 ch
̃ ́
́ ̣ ̃
ữ sô đ
́ ược goi la 
̣ ̀ve hanh phuc
́ ̣
́  nêu tông 3 ch
́ ̉
ữ sô đâu
́ ̀ 
băng tông 3 ch
̀
̉
ư sô cuôi. Hoi co tât ca bao nhiêu ve hanh phuc?
̃ ́ ́
̉ ́ ́ ̉
́ ̣
́

LƠI GIAI

̀
̉
+ Nhân xet: nêu 
̣
́ ́
+ Goi day 6 ch
̣ ̃
ữ sô cua môt ve xe la: .
́ ̉
̣ ́
̀
+ Ve xe hanh phuc thi:
́
̣
́ ̀
Do đo: sô ve xe hanh phuc băng sô nghiêm nguyên không âm cua ph
́ ́ ́
̣
́ ̀
́
̣
̉
ương trinh (*) thoa man
̀
̉
̃ 
điêu kiên 
̀
̣
+ Sô nghiêm nguyên không âm cua ph

́
̣
̉
ương trinh (*): 
̀
+ Goi 
̣ Mi la tâp h
̀ ̣ ợp cac nghiêm nguyên không âm cua ph
́
̣
̉
ương trinh (*) ma 
̀
̀
Ta cân tinh: 
̀ ́
+ Tinh 
́
+ Tinh 
́
+ Giao từ 3 tâp 
̣ Mi trở lên đêu co phân t
̀ ́ ̀ ừ băng 0.
̀
Do đo sô ve hanh phuc la: 
́ ́ ́ ̣
́ ̀
2.3.4. DANG 4:
̣
 Đêm sô tâp con.

́
́ ̣
Vi du 1
́ ̣ :  Cho tâp h
̣ ợp A gôm 100 sô nguyên d
̀
́
ương đâu tiên. Tim sô tâp con cua tâp h
̀
̀
́ ̣
̉ ̣ ợp  A co 3 phân t
́
̀ ử sao 
cho không co 2 phân t
́
̀ ử nao cua môi tâp con đo la hai sô t
̀ ̉
̃ ̣
́ ̀
́ ự nhiên liên tiêp?
́

LƠI GIAI
̀
̉
Cach 1:
́
 + Goi 
̣ a, b, c la 3 phân t

̀
̀ ử cua 1 tâp con thoa man, gia s
̉
̣
̉
̃
̉ ử a < b < c.
+ Ta co : 1,2,3,...
́
a,...,b,...,c,...,100.
+ Gia s
̉ ử  lân l
̀ ượt sô cac sô nguyên trong tâp 
́ ́ ́
̣
Khi đo: 
́
+ Sô tâp con thoa man băng sô nghiêm nguyên cua ph
́ ̣
̉
̃ ̀
́
̣
̉
ương trinh (*) thoa man (1).
̀
̉
̃
+ Dê dang tinh đ
̃ ̀ ́ ược sô nghiêm băng: 

́
̣
̀
Cach 2:
́
 + Ta đăt 3 phân t
̣
̀ ử cua tâp con đ
̉ ̣
ược chon vao 98 khoang trông đ
̣
̀
̉
́ ược tao ra t
̣
ừ 97 sô ́
không được chon trong tâp con, sô cach đăt la:  Đo cung chinh la sô tâp con thoa man điêu kiên.
̣
̣
́ ́
̣ ̀
́ ̃
́
̀ ́ ̣
̉
̃
̀
̣
Nhân xet: 
̣

́ Ro rang cach đêm sô 2 co ve ngăn va nhanh h
̃ ̀
́
́
́
́ ̉
́ ̀
ơn, cach lam đo vân dung t
́
̀
́ ̣
̣
ư duy 
vach ngăn đê giai quyêt. Tuy nhiên, cach lam đo chi ap dung v
́
̉
̉
́
́
̀
́ ̉ ́ ̣
ới bai co yêu tô không liên tiêp. Con 
̀ ́ ́ ́
́
̀
cach lam sô 1 ap dung ngay ca khi khoang cach gi
́
̀
́ ́ ̣
̉

̉
́
ữa cac phân t
́
̀ ử cua tâp con tuy y
̉
̣
̀ ́.
Vi du 2
́ ̣ :  Môt thang lam viêc tai công ty, Lan đ
̣
́
̀
̣ ̣
ược nghi phep 4 ngay. Hoi Lan co bao nhiêu cach chon 4
̉
́
̀
̉
́
́
̣  
ngay nghi phep trong thang 1 năm 2021 sao cho không co 2 ngay nghi phep nao liên tiêp?
̀
̉
́
́
́
̀
̉

́ ̀
́

LƠI GIAI
̀
̉

15


Thang 1 năm 2021 co 30 ngay, khi chon đ
́
́
̀
̣ ược 4 ngay nghi thi se con lai 26 ngay không đ
̀
̉ ̀ ̃ ̀ ̣
̀
ược 
nghi.̉
Ta đăt 4 ngay nghi vao 27 khoang trông đ
̣
̀
̉ ̀
̉
́ ược tao ra t
̣
ư 26 ngay không đ
̀
̀

ược nghi, môi cach 
̉
̃ ́
đăt đo cho ta môt cach chon thoa man yêu câu. Do đo, sô cach chon thoa man:
̣
́
̣ ́
̣
̉
̃
̀
́ ́ ́
̣
̉
̃
Vi du 3
́ ̣ : Cho tâp h
̣ ợp A gôm 2021 sô nguyên d
̀
́
ương đâu tiên. Co bao nhiêu tâp con cua 
̀
́
̣
̉ A co 3 phân t
́
̀ ử sao 
cho tông cac phân t
̉
́

̀ ử cua tâp con đo băng 2019?
̉ ̣
́ ̀

LƠI GIAI
̀
̉
+ Goi 
̣ a, b, c la 3 phân t
̀
̀ ử cua môt tâp con cua A.
̉
̣ ̣
̉
+  Khi đo: 
́
+ Tưc la ta cân đêm sô nghiêm nguyên d
́ ̀
̀ ́
́
̣
ương cua ph
̉
ương trinh (*) ma 
̀
̀a, b, c đôi môt phân 
̣
biêt.
̣
+ Sô nghiêm nguyên d

́
̣
ương cua ph
̉
ương trinh (*) la: 
̀
̀
+ Sô nghiêm nguyên d
́
̣
ương ma ̀a = b = c la: 1 nghiêm la (673;673;673).
̀
̣
̀
+ Sô nghiêm nguyên d
́
̣
ương ma  Ph
̀ ương trinh (*)le.
̀
̉
Suy ra sô nghiêm la: , (tr
́
̣
̀
ư đi 
̀ c nhân gia tri 673 va 2019).
̣
́ ̣
̀

+ Tương tự vơi 2 tr
́
ương h
̀ ợp  cung co sô nghiêm la 1008.
̃
́ ́
̣
̀
Do đo sô nghiêm thoa man yêu câu: 
́ ́
̣
̉
̃
̀
+ Vi môi tâp con co 3 phân t
̀ ̃ ̣
́
̀ ử cua A thoa man yêu câu sinh ra 3! nghiêm đa tinh đ
̉
̉
̃
̀
̣
̃ ́ ược. 
Do đo sô tâp con thoa man la: 
́ ́ ̣
̉
̃ ̀
2.3.5. DANG 5: Đêm hinh hoc.
̣

́
̀
̣
Vi du 1
́ ̣ : Cho đa giac đêu co 2021 đinh. Co bao nhiêu tam giac, t
́ ̀ ́
̉
́
́ ứ giac co đinh la đinh cua đa giac đêu đa
́ ́ ̉
̀ ̉
̉
́ ̀ ̃ 
cho sao cho không co canh nao la canh cua đa giac đêu đa cho?
́ ̣
̀ ̀ ̣
̉
́ ̀ ̃

LƠI GIAI
̀
̉
Từ gia thiêt suy ra cac đinh cua tam giac, t
̉
́
́ ̉
̉
́ ứ giac không la cac đinh kê nhau cua cac đinh đa
́
̀ ́ ̉

̀
̉
́ ̉
 
giac ban đâu, t
́
̀ ừ đo cho ta y t
́
́ ưởng cach giai nh
́
̉
ư dang toan tâp con. Nh
̣
́ ̣
ưng do cac đinh cua đa giac
́ ̉
̉
́ 
được xêp trên đ
́
ường tron nên khi đêm ta cân cô đinh môt đinh tr
̀
́
̀ ́ ̣
̣ ̉
ước, tức la chon 1 đinh cua tam giac,
̀ ̣
̉
̉
́  

tứ giac thoa man tr
́
̉
̃ ước.
+ Đêm sô tam giac thoa man
́
́
́
̉
̃ : Gia s
̉ ử tam giac 
́ ABC la tam giac co 3 đinh la cac đinh cua đa
̀
́ ́
̉
̀ ́ ̉
̉
 
giac đêu đa cho ma không canh nao la canh cua đa giac.
́ ̀ ̃
̀
̣
̀ ̀ ̣
̉
́
­ Chon đinh 
̣
̉ A co 2021 cach chon.
́
́

̣
­ Chon 2 đinh con lai: Goi  la sô đinh gi
̣
̉
̀ ̣
̣ ̀ ́ ̉
ưa 
̃ A va ̀B; B va ̀C; C va ̀A. 
Khi đo: 
́
Sô cach chon 2 đinh con lai chinh la sô nghiêm nguyên d
́ ́
̣
̉
̀ ̣
́
̀ ́
̣
ương cua ph
̉
ương trinh (*) va băng: 
̀
̀ ̀
­ Do môi tam giac đ
̃
́ ược đêm 3 lân nên sô tam giac cân đêm la: 
́
̀
́
́ ̀ ́ ̀

+ Tương tự vơi sô t
́ ́ ứ giac thoa man: 
́
̉
̃
Nhân xet:
̣
́  Dê dang co thê suy ra bai toan tông quat: đêm sô 
̃ ̀
́ ̉
̀ ́ ̉
́ ́
́k – giac t
́ ư ̀n – giac đêu sao cho 
́ ̀
không co canh nao cua 
́ ̣
̀ ̉ k – giac la canh cua 
́ ̀ ̣
̉ n – giac. Đap sô la:
́
́ ́ ̀
16


Vi du 2
́ ̣ : Cho đa giac đêu co 2013 đinh. Ng
́ ̀ ́
̉
ươi ta tô mau đo cho 100 đinh cua đa giac đêu đo. Hoi co bao

̀
̀ ̉
̉
̉
́ ̀ ́ ̉
́  
nhiêu cach tô mau sao cho gi
́
̀
ữa 2 đinh đ
̉
ược tô co it nhât 3 đinh không đ
́́
́
̉
ược tô mau?
̀

LƠI GIAI
̀
̉
+ Chon đinh tô đâu tiên : co 2013 cach chon.
̣
̉
̀
́
́
̣
+ Chon 99 đinh con lai: Goi  la sô đinh gi
̣

̉
̀ ̣
̣
̀ ́ ̉
ữa 100 đinh v
̉
ới nhau.
Khi đo: 
́
Dê dang đêm đ
̃ ̀
́ ược sô nghiêm ph
́
̣
ương trinh (*) thoa man (1) la: 
̀
̉
̃
̀
Đo cung chinh la sô cach chon 99 đinh con lai.
́ ̃
́
̀ ́ ́
̣
̉
̀ ̣
+ Do môi 100 – giac đo đ
̃
́ ́ ược đêm 100 lân, nên sô cach tô mau la: 
́

̀
́ ́
̀ ̀
Vi du 3
́ ̣ : Cho tam giac co diên tich băng 27. Môt điêm P năm trong tam giac đ
́ ́ ̣ ́
̀
̣
̉
̀
́ ược goi la “
̣ ̀ điêm tôt
̉
́” nêu co
́ ́ 
thê tim đ
̉ ̀ ược 27 tia chung gôc P chia tam giac thanh 27 tam giac con co cung diên tich? Đêm sô điêm P?
́
́
̀
́
́ ̀
̣ ́
́
́ ̉

LƠI GIAI
̀
̉
+ Nhân xet:  ­ Cac tia 

̣
́
́
PA, PB, PC đêu thuôc 27 tia chung gôc 
̀
̣
́ P cua điêm tôt 
̉
̉
́ P.
­  đêu la cac sô nguyên d
̀ ̀ ́ ́
ương.
+ Vơi môi điêm tôt 
́ ̃ ̉
́ P , đăt 
̣
Dê thây sô nghiêm nguyên d
̃ ́ ́
̣
ương cua ph
̉
ương trinh (*) la 
̀
̀
Bô đê: “V
̉ ̀ ơi môi điêm 
́ ̃ ̉ P năm trong tam giac 
̀
́ ABC, ta luôn co:́

 ”
Từ hê th
̣ ưc nay ta dê dang ch
́ ̀
̃ ̀
ưng minh đ
́
ược răng v
̀ ới môi bô (
̃ ̣ x; y; z) chi tôn tai duy nhât môt
̉ ̀ ̣
́ ̣ 
điêm 
̉ P.
Do đo, sô điêm tôt 
́ ́ ̉
́ P la: 325. 
̀
2.3.6. DANG 6: L
̣
ươi toa đô.
́ ̣
̣
Vi du 1
́ ̣ : Cho 1 lươi gôm cac ô vuông, cac nut đ
́ ̀
́
́ ́ ược đanh sô t
́
́ ừ 0 đên 

́ m theo chiêu t
̀ ư trai sang phai va  t
̀ ́
̉ ̀ ừ 0 
đên 
́ n theo chiêu t
̀ ư d
̀ ươi lên trên (nh
́
ư hinh ve):
̀
̃

Hoi co bao nhiêu đ
̉ ́
ường đi khac nhau t
́
ư nut (0; 0) đên nut (
̀ ́
́ ́ m; n) nêu chi cho phep đi trên canh cac ô
́
̉
́
̣
́  
vuông theo chiêu t
̀ ư trai sang phai hoăc t
̀ ́
̉
̣ ừ dưới lên trên. 

LƠI GIAI
̀
̉
17


+ Môt con đ
̣
ương đi thoa man yêu câu bai toan trên trai qua 
̀
̉
̃
̀ ̀ ́
̉
m + n  bươc do môi b
́
̃ ươc chi co 2
́
̉ ́  
cach di chuyên (đây cung chinh la con đ
́
̉
̃
́
̀
ường ngăn nhât đê di chuyên t
́
́ ̉
̉ ừ nut (0;0) đên nut (

́
́ ́ m; n)).
+ Trong m + n bươc đo, ta chon ra 
́ ́
̣
m bươc đê đê di chuyên sang phai, con 
́ ̉ ̉
̉
̉
̀ n bươc con lai ta di
́ ̀ ̣
 
chuyên lên trên. Khi đo sô con đ
̉
́ ́
ường di chuyên la: 
̉ ̀
Vi du 2
́ ̣ : Trên ban c
̀ ờ 5x4 ô vuông như  hinh ve d
̀
̃ ươi đây, ng
́
ười chơi chi đ
̉ ược di chuyên quân theo cac
̉
́ 
canh cua hinh vuông, môi b
̣
̉

̀
̃ ươc đi đ
́
ược môt canh. Co bao nhiêu cach di chuyên quân t
̣ ̣
́
́
̉
ừ điêm A đên điêm
̉
́
̉  
B băng 9 b
̀
ước?

LƠI GIAI
̀
̉
Di chuyên quân t
̉
ừ A đên B băng 9 b
́
̀
ươc do đo đây chinh la con đ
́
́
́
̀
ường di chuyên ngăn nhât,

̉
́
́ 
tưc la 
́ ̀ở môi b
̃ ước di chuyên chi đ
̉
̉ ược phep lên trên hoăc sang phai. Do đo theo y trên ta suy ra sô
́
̣
̉
́
́
́ 
cach di chuyên la: 
́
̉ ̀
2.3.7. DANG 7: Vân dung t
̣
̣
̣
ư duy vach ngăn.
́
Vi du 1
́ ̣ : Thây Binh trông 3 cây lim, 4 cây long nao va 5 cây xa c
̀ ̀
̀
̃ ̀
̀ ừ trên môt hang môt cach ngâu nhiên. Tinh
̣ ̀

̣ ́
̃
́  
xac suât đê không co 2 cây xa c
́
́ ̉
́
̀ ừ nao đ
̀ ược trông canh nhau? 
̀
̣

LƠI GIAI
̀
̉
+ Ta co: 
́
+ Biên cô 
́ ́A: “Không co 2 cây xa c
́
̀ ừ nao đ
̀ ược trông canh nhau”
̀
̣
­ Trông 7 cây gôm lim va long nao co 7! cach.
̀
̀
̀
̃ ́
́

­ Môi cach trông 7 cây đo, gi
̃ ́
̀
́ ữa 7 cây co 8 khoang trông, ta chon 5 khoang trông trong
́
̉
́
̣
̉
́
 
8 khoang trông đo đê trông cac cây xa c
̉
́
́ ̉ ̀
́
̀ ừ, sô cach chon vi tri la: 
́ ́
̣
̣ ́ ̀
­ Môi cach chon vi tri đo co 5! cach trông cac cây xa c
̃ ́
̣
̣ ́ ́ ́
́
̀
́
̀ ừ.
Do đo: 
́

Vi du 2
́ ̣ : Trong môt giai bong đa co 10 trân đâu đ
̣
̉
́
́ ́
̣
́ ược diên ra trong vong 30 ngay. Hoi ban tô ch
̃
̀
̀
̉
̉ ức co bao
́  
nhiêu cach săp xêp lich thi đâu cac trân đâu sao cho 2 trân đâu kê nhau phai cach nhau it nhât môt ngay?
́
́ ́ ̣
́ ́ ̣
́
̣
́ ̀
̉ ́
́
́ ̣
̀

LƠI GIAI
̀
̉
18

Dựa theo gia thiêt ta suy ra ngay th
̉
́
̀ ứ 1 va ngay th
̀ ̀ ứ 30 môi ngay co 1 trân. Do đo sô cach săp 
̃
̀ ́
̣
́ ́ ́
́
xêp cac trân băng sô cach đăt 8 trân con lai vao 19 khoang trông gi
́ ́ ̣
̀
́ ́
̣
̣
̀ ̣ ̀
̉
́
ữa 20 ngay ma không co trân đâu 
̀
̀
́ ̣
́
diên ra. Do đo, sô cach săp xêp lich thi đâu la: 
̃
́ ́ ́
́ ́ ̣

́ ̀
Vi du 3
́ ̣ : Môt l
̣ ơp co 36 hoc sinh đ
́ ́
̣
ược xêp theo môt hang ngang sao cho khoang cach gi
́
̣ ̀
̉
́
ưa hai ng
̃
ươi canh
̀ ̣  
nhau la 0,5 met. Co bao nhiêu cach chon ra 10 hoc sinh trong hang đo đê sau khi chon ra không tôn tai
̀
́
́
́
̣
̣
̀
́ ̉
̣
̀ ̣ 
khoang trông l
̉
́ ớn hơn 1 met gi
́ ưa hai hoc sinh canh nhau trong sô cac hoc sinh con lai trong hang? 

̃
̣
̣
́ ́ ̣
̀ ̣
̀

LƠI GIAI
̀
̉
Yêu câu bai toan chinh la sô cach chon ra 10 ng
̀ ̀ ́
́
̀ ́ ́
̣
ười trong hang sao cho không co 2 ng
̀
́
ười nao
̀ 
đứng canh nhau. Gi
̣
ưa 26 ng
̃
ươi không đ
̀
ược chon co 27 khoang trông, sô cach đăt 10 ng
̣
́
̉

́
́ ́
̣
ười được  
chon vao 27 khoang trông cung chinh la sô cach chon thoa man yêu câu.
̣
̀
̉
́
̃
́
̀ ́ ́
̣
̉
̃
̀
Do đo, sô cach chon la: 
́ ́ ́
̣ ̀
Vi du 4
́ ̣ : Co bao nhiêu cach xêp 4 ban n
́
́
́
̣ ữ va 6 ban nam vao 10 ghê ngôi ma không co hai ban n
̀
̣
̀
́ ̀ ̀
́

̣ ữ nao đ
̀ ược  
xêp canh nhau, nêu:
́ ̣
́
1. Ghê xêp thanh hang ngang.
́ ́
̀
̀
2. Ghê xêp quanh ban tron.
́ ́
̀
̀

LƠI GIAI
̀
̉
1. Sô cach xêp 6 ban nam: 6!
́ ́
́
̣
Giưa 6 ban nam co 7 khoang trông, chon 4 khoang trông trong sô đo va xêp 4 ban n
̃
̣
́
̉
́
̣
̉
́

́ ́ ̀ ́
̣ ữ, sô cach
́ ́  
xêp la: 
́ ̀
Do đo sô cach xêp thoa man la: 
́ ́ ́
́
̉
̃ ̀
2. Sô cach xêp 6 ban nam quanh ban tron la: 5!
́ ́
́
̣
̀
̀ ̀
Giưa 6 ban nam co 6 khoang trông, chon 4 khoang trông trong sô đo va xêp 4 ban n
̃
̣
́
̉
́
̣
̉
́
́ ́ ̀ ́
̣ ữ, sơ cach
́ ́  
xêp la: 
́ ̀

Do đo, sơ cach xêp la: 
́ ́ ́
́ ̀
2.4. BAI TÂP TRĂC NGHIÊM T
̀
̣
́
̣
Ự LUN
̣
DANG 1: ĐÊM SƠ NGHI
̣
́
́
ỆM NGUN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1: Tìm số nghiệm ngun dương của bất phương trình: 
A. 126

B.84

C.

D.

Câu 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ngun khơng âm thỏa mãn ?
A.

B.

C.

D. 

Câu 3:Một nhóm học sinh gồm 4 bạn, mỗi bạn mang một số thứ  tự   .Cơ giáo có bao nhiêu cách  
chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấy số kẹo của mỗi bạn trừ đi số thứ  tự  của bạn đó ta 
ln được một số khơng âm?
A. B.C.
D.
Câu 4:Gọi  là tập các số tự nhiên có 4 chữ số . Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một  
số từ . Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số  mà tổng các chữ số  chia hết cho  
9 và  chia hết cho 4042?
A.
B.
C.
D. 
19


DANG 2: ĐÊM SƠ CACH PHÂN PH
̣
́
́ ́
ỐI ĐƠ VÂT, SAN PHÂM
̀ ̣
̉
̉
Câu 1: Xét tập . Số tập con của tập  là:
A.

B.

C.

D. 

Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số  1,2,3,4,5 (sau  
khi chia có thể có hộp khơng có viên bi nào). Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp?
A. B.
C.
D. 
Câu 3:Phân phối 60 thùng hàng giống hệt nhau cho 6 cửa hàng. Tính số cách chia để mỗi cửa hàng 
nhận được ít nhất 6 thùng hàng?
A. B.
C.
D. 
Câu 4:Có bao nhiêu cách chia 30 chiếc bánh cho An, Bình, Chi (có thể  có bạn khơng được chiếc 
bánh nào) sao cho An ln hơn Bình ít nhất 5 cái bánh và số bánh của Chi ln là 1 số lẻ ?
A. B.
C.
D. 
DANG 3: ĐÊM S
̣
́ Ố
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn 
A.

B..

C. .

D. .

Câu 2:Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn 
A.

B.

C.

D. 

Câu 3:Cho tập hợp . Gọi là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 6 chữ số đơi một khác nhau thuộc tập  
A. Chọn ngẫu nhiên một số thuộc . Tính xác suất để chọn được số có tổng ba chữ số đầu nhỏ hơn  
tổng ba chữ số cuối 3 đơn vị .
A. B. C.
D. 
Câu 4: Lấy ngẫu nhiên một số tự  nhiên có 5 chữ  số. Tính xác suất để  chọn được số  tự  nhiên có  
dạng mà 
A. B.
C.
D. 
DANG 4: ĐÊM S
̣
́ Ố TẬP CON CỦA TẬP HỢP:
Câu 1: Từ  2021 số tự nhiên đầu tiên có bao nhiêu cách chọn ra 3 số tự nhiên sao cho khơng có hai  
số liên tiếp nào được chọn?
A. B. .
C..
D. .
Câu 2:Mỗi tháng Minh được chọn 5 ngày để nghỉ ngơi, nhưng khơng được phép chọn hai ngày nghỉ 

liên tiếp. Hỏi Minh có bao nhiêu cách chọn ngày nghỉ cho mình?
A. . B. .
C..
D. 
Câu 3: (AIME 1986) Cho xâu nhị phân: 001101001111011 có 4 cặp 01, 3 cặp 10, 5 cặp 11 và 2 cặp 00 
đứng cạnh nhau. Hỏi có tất cả bao nhiêu xâu nhị phân cùng tính chất như thế?
A..
B. .C.540
D. 420
Câu 4: (VMO 2012) Có bao nhiêu cách xếp 5 chàng trai và 2 cơ gái vào 1 dãy có 7 ghế mà:
Mỗi ghế có một người ngồi.
Các cơ gái khơng ngồi ở hai đầu dãy.
Ở giữa hai cơ gái khơng có q hai người.
A.2160
B. 2400
DANG 5: ĐÊM HÌNH H
̣
́
ỌC 
20

C.5040

D. 2520


Câu 1: Cho đa giác lồi n cạnh. Xét tứ  giác có 4 đỉnh là đỉnh của đa giác. Có bao nhiêu tứ  giác có 
đúng một cạnh chung với đa giác?
A. . B. .
C..

D. .
Câu 2: (HSG Tỉnh Quảng Trị 2014). Có 17 cây cau trồng xung quanh một cái ao hình trịn. Người ta  
muốn chặt đi 4 cây. Hỏi có mấy cách chặt sao cho khơng có 2 cây kề nhau bị chặt?
A. 935
B. .
C. .
D. 
Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độcho hình chữ nhật với Gọi S là tập hợp tất cả điểm và x, y là các  
số ngun nằm bên trong kể cả cạnh của hình chữ  nhật .Có bao nhiêu điểm A nằm trong phần tơ 
đâm (kể cả các đoạn chắn )

A. . B..C. .

D. .

Câu 4: Trong khơng gian Oxyz, gọi S là tập hợp các điểm ngun nằm phía trong hoặc ở trên đỉnh, 
cạnh và mặt của hình lập phương cạnh 999, trong đó các cạnh song song hoặc vng góc với trục 
tọa độ, một đỉnh là gốc tọa độ và một đỉnh đối với nó là . Hỏi mặt phẳng đi qua bao nhiêu điểm 
trong tập hợp S?

A. 2030153

B. 482653

C.2031120

D. 

DANG 6:L
̣

ƯỚI TỌA ĐỘ :
Câu 1: Tìm đẳng thức đúng?
A. . B. .
C. .

D. .

Câu 2: Trong bàn cơ 5x4 như hình vẽ, người chơi chỉ được di chuyển qn trên các cạnh của hình  
vng, mỗi bước đi được một cạnh của ơ vng đơn vị. Có bao nhiêu cách di chuyển từ  điểm A  
đến điểm B bằng 9 bước?

21


A. . B..

C. .

D. 

Câu 3: Một con thỏ di chuyển tử địa điểm A đến nhà tại địa điểm B bằng cách đi qua các điểm nút  
( trong lưới như  hình vẽ) biết nếu thỏ  di chuyển đến nút C thì sẽ  bị  cáo ăn thịt. Hỏi thỏ  có bao  
nhiêu cách về nhà nhanh nhất mà khơng bị cáo ăn thịt.

A..

B. .C. .

D. .

Câu 4: Trong một cuộc bầu cử,  ứng cử  viên A được 5 phiếu bầu,  ứng cử  viên B được 4 phiếu  
bầuCử  tri bỏ  phiếu tuần tự  từng người. Có bao nhiêu cách sắp xếp việc bỏ  phiếu để  lúc nào A 
cũng hơn B về số phiếu bầu?
A.  B. 
C.
D. 
DANG 7: T
̣
Ư DUY VÁCH NGĂN:
Câu 1: Xếp 35 học sinh lớp 12B1 thành một hàng dọc, Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 12 người sao  
cho trong 12 người được chọn khơng có hai người nào đứng cạnh nhau ?
A. . B..
C. .
D. .
Câu 2: Có bao nhiêu cách xếp 10 bạn nam và 9 bạn nữ vào 1 bàn trịn sao cho khơng có bạn nữ nào  
đứng cạnh nhau ? 
A. . B. .
C..
D. 
Câu 3:Chị  Lan có 10 cây hoa hồng, 7 cây hoa màu trắng và 3 cây hoa màu hồng. Hỏi chị  có bao 
nhiêu cách trồng 10 cây hoa xung quanh ao sao cho 3 bơng màu hồng khơng được trồng cạnh nhau?
A. . B. .C..
D. .
Câu 4: Trong một giải cơ  vua giữa các trường THPT gồm 5 đội thi đấu, hai đội bất kỳ  nào cũng  
phải đấu với nhau 1 trận  . Mỗi trận diễn ra trong 1 buổi. Có bao nhiêu cách sắp xếp để đội trường 
A khơng phải đấu hai buổi nào liên tiếp ?
A.  B. 
C.
D. 

22


ĐÁP ÁN VA H
̀ ƯƠNG DÂN GIAI
́
̃
̉
DANG 
̣
1: ĐÊM SƠ NGHI
́
́
ỆM NGUN CỦA PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH
Câu 1: Tìm số nghiệm ngun dương của bất phương trình: 
A. 126

B.84

C.

D.

Giải:
Bài tốn quy về tìm số nghiệm ngun dương của phương trình (1) .
Số nghiệm ngun dương của phương trình (1) là 
Câu 2: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm ngun khơng âm thỏa mãn ?
A.

B.

C.

D. 

Giải:
Bài tốn quy về tìm số nghiệm khơng âm của phương trình (1) 
Số nghiệm khơng âm của phương trình (1) là :
23


Câu 3: Một nhóm học sinh gồm 4 bạn, mỗi bạn mang một số thứ tự  .Cơ giáo có bao nhiêu cách  
chia 18 cái kẹo cho 4 bạn học sinh sao cho lấy số kẹo của mỗi bạn trừ đi số thứ  tự  của bạn đó ta 
ln được một số khơng âm?
A.

B.

C.

D.

Giải:
Gọi lần lượt số kẹo mà các bạn mang số thứ tự 1;2;3;4 nhận được :
Bài tốn quy về tìm số nghiệm khơng âm của phương trình(1)
Số nghiệm khơng âm của phương trình (1) là:
Câu 4:Gọi  là tập các số tự nhiên có 4 chữ số . Bốn bạn An, Bình, Chi ,Dũng chọn mỗi người một  
số từ . Tính xác suất để 4 số chọn được của 4 bạn có tổng là 1 số  mà tổng các chữ số  chia hết cho  
9 và  chia hết cho 4042? 
A.

B.

C.

D. 

Giải:
Gọi S là tập các số tự nhiên có 4 chữ số. Bốn bạn An, Bình, Chi, Dũng chọn mỗi người 1 số từ S  
lần lượt là .Khơng gian mẫu =

Vì (8999>3618) nên bài tốn quy về tìm số nghiệm khơng âm của phương trình (1)
Số nghiệm khơng âm của phương trình (1) là :
DANG 
̣
2: PHÂN PHỐI NHĨM
Câu 1: Xét tập . Số tập con của tập  là:
A.

B.

C.

D. 

Giải:
Mỗi phần tử có hai cách chọn “có mặt” hoặc “khơng có mặt” trong tập con của A.
Số tập con của A là 
Câu 2: (VMO 2021) Một học sinh chia tất cả 30 viên bi vào 5 cái hộp được đánh số  1,2,3,4,5 (sau  
khi chia có thể có hộp khơng có viên bi nào). Hỏi có bao nhiêu cách chia các viên bi vào các hộp?

A.

B.

C.

D. 

Giải:
Gọi lần lượt là số bi có trong hộp được đánh số 1,2,3,4,5 
Bài tốn quy về tìm số nghiệm ngun khơng âm của phương trình (1).
Số nghiệm ngun khơng âm của phương trình (1) là :
24


Câu 3: Phân phối 60 thùng hàng giống hệt nhau cho 6 cửa hàng. Tính số  cách chia để  mỗi cửa 
hàng nhận được ít nhất 6 thùng hàng?
A.

B.

C.

D. 

Giải:
Gọi số thùng hàng được phân phối cho 6 cửa hàng lần lượt là 
Đặt 
Bài tốn quy về tìm số nghiệm khơng âm của phương trình (1).
Số nghiệm khơng âm của phương trình (1) là :

Câu 4: Có bao nhiêu cách chia 30 chiếc bánh cho An, Bình, Chi (có thể  có bạn khơng được chiếc 
bánh nào) sao cho An ln hơn Bình ít nhất 5 cái bánh và số bánh của Chi ln là 1 số lẻ ?
A.

B.

C.

D. 

Giải:
Gọi số bánh mà mỗi bạn An, Bình, Chi nhận được là 
Ta có :
Bài tốn quy về tìm số nghiệm khơng âm của bất phương trình (1).
Số nghiệm khơng âm của bất phương trình (1) là 
DANG 
̣
3:ĐÊM S
́ Ố
Câu 1: Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn 
A.

B..

C. .

D. .

Giải:
Chọn 5 số từ cách chọn thành phần.

Có duy nhất một cách sắp xếp Số các số tự nhiên thỏa mãn là 
Câu 2:Có bao nhiêu số tự nhiên thỏa mãn 
A.

B.

C.

D. 

Giải:
Vì các phần tử có thể lặp lại nên số cách chọn thành phần là số tổ hợp lặp chập 5 của 10: 
Số cách sắp xếp là 1.
Vì có thể tồn tại số 00000 nên số các số được tạo thành là 

25