Logic và sự vận động biện chứng trong toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC
VÀ SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG
TRONG
LỊCH SỬ PHÁT TRIỂN CỦA TOÁN HỌC
(Tiểu luận Triết Học, chương trình Cao Học & Nghiên Cứu Sinh
không chuyên Triết)
Giảng viên hướng dẫn: PGS.TS.VŨ TÌNH
Học viên thực hiện: TRẦN THỊ ÁNH VY
(Học viên cao học K21 2011-2013)

TP. HỒ CHÍ MINH
Tháng 9/2011


Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
LỜI MỞ ĐẦU
Ở trường Đại học, chúng ta đã được học triết học duy vật biện chứng,
nhưng việc ứng dụng có hiệu quả ngay vào việc học, dạy và việc nghiên cứu các bộ
môn còn yếu. Do vậy, người học coi đây là một môn có tính chất lý luận cao xa, chỉ
ứng dụng vào những vấn đề chính trị lớn, những phát minh khoa học lớn, còn việc
ứng dụng vào công việc thân thiết hằng ngày của họ là học, dạy và nghiên cứu khoa
học về bộ môn chuyên môn của mình thì hầu như chẳng thấy đâu, trừ một vài câu
chuyện lịch sử bộ môn liên quan đến những phát minh lớn. Bởi vậy, người học cảm
thấy triết học duy vật biện chứng chỉ như là một công cụ để giải thích phần nào đó
thế giới, đôi khi giải thích khiên cưỡng, chưa cảm nhận đây là công cụ để cải tạo thế
giới mà thiết thực nhất đối với họ là để nâng cao chất lượng dạy, học và ngiên cứu
khoa học về bộ môn. Điều này hiển nhiên hạn chế rất nhiều việc hình thành thế giới
quan của họ do thiếu một sự tác động qua lại giữa triết học duy vật biện chứng và

các môn khoa học.
Bài tiểu luận này cho thấy ít nhiều mối liên hệ của triết học với các khoa
học cụ thể, đặc biệt là toán học. Mục đích chủ yếu là giúp cho người đọc hiểu được
một cách tổng quát cách thức xây dựng và phát triển của toán học. Trong sự phát
triển đó có tính kế thừa, phủ định biện chứng và đầy quanh co. Điều đó thấy rõ qua
những thăng trầm trong lịch sử phát triển triết học toán học để hoàn thiện dần cho
đến ngày nay (tuy vẫn còn nhiều lỗ hổng - và điều đó là tất yếu, phù hợp với quy
luật vận động và phát triển của thế giới).
Cơ sở lý luận chung để viết tiểu luận này nằm trong chuyên đề logic học -
khoa học về tư duy và phép biện chứng duy vật. Trong toán học, khi logic hình thức
chủ yếu tập trung vào sự phân tích những lý luận đã được hình thành (như phương
pháp tiên đề, những phép toán mới được phát sinh trong buổi sơ khai…) thì logic
biện chứng vạch ra những nguyên tắc logic để chuyển lên tri thức mới, nghiên cứu
sự hình thành và phát triển của toán học nói riêng, sự vận động đó có tính biện
chứng.
Kết cấu của tiểu luận gồm ba chương. Chương I chủ yếu tóm lược các kiến
thức cơ bản về logic học, về phép biện chứng duy vật . Tuy nhiên có chú thích để
hướng dẫn cho việc tiếp cận nội dung các chương sau. Chương II trình bày tổng
quát cách thức xây dựng nền toán học theo phương pháp tiên đề, những vấn đề về
logic trong lịch sử phát triển của nó (chủ yếu là quá trình đặt nền tảng cho toán học).
Chương III nêu hai ví dụ minh họa cho những điều đã đề cập ở hai chương trước.
Kết luận chương III cũng là kết luận chung cho bài tiểu luận này.
Trong quá trình làm tiểu luận này, tôi đã tham khảo nhiều tài liệu, xin chân
thành cảm ơn các tác giả.
Tôi cũng xin chân thành cảm ơn sự tận tình giảng dạy, hướng dẫn của
PGS.TS.Vũ Tình trong suốt thời gian học chuyên đề triết học và quá trình làm tiểu
luận.
Chắc chắn tiểu luận này còn nhiều sai sót, rất mong nhận được sự góp ý
của thầy cô, các bạn và tất cả những người đã quan tâm. Một lần nữa, xin chân thành
cảm ơn

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 2
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
MỤC LỤC
Trang
Lời mở đầu 1
Mục lục 2
Chương I: CƠ SỞ LÝ LUẬN 3
Khái lược về phép biện chứng duy vật 4
Logic học – Khoa học về tư duy 5

Logic học nói chung 5
Logic hình thức 5
Logic học biện chứng 6
Chương II: PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ 8
VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TRONG TOÁN HỌC
Toán học nói chung 9
Tính trừu tượng và khái quát 9
Trực giác và hình thức 10
Hệ tiên đề và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề 12
Hệ tiên đề 12
Tính phi mâu thuẫn của hệ tiên đề 13
Cơ sở hay nền tảng của toán học 15
Con cừu một nửa đen trong bầy cừu 16
Hai lối thoát 17
Chương trình của Hilbert về chứng minh tính phi mâu thuẫn 18
Tính không giải được 19
Kết luận chương II 20
Chương III: VÍ DỤ MINH HỌA SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG 21
TRONG LỊCH SỬ CỦA GIẢI TÍCH TOÁN HỌC

Lược sử hình thành khái niệm số 22
Lược sử hình thành phép tính vi tích phân 23
Kết luận chương III 26
Tài liệu tham khảo 27

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 3
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
CHƯƠNG I
CƠ SỞ LÝ LUẬN CHUNG

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 4
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
KHÁI LƯỢC VỀ PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT
NỘI DUNG CƠ BẢN CỦA PHÉP BIỆN CHỨNG DUY VẬT
Phép biện chứng duy vật là phương pháp luận chung nhất cho nhận thức
khoa học và thực tiễn cách mạng (hiểu theo nghĩa triết học). Nó là hệ thống tri thức
lý luận khoa học, trình bày một cách chặt chẽ và có hệ thống tính chất biện
chứng của thế giới thông qua những cặp phạm trù cơ bản và những quy luật chung
nhất của thế giới (tự nhiên, xã hội, tư duy). Phổ quát hơn là hai nguyên lý cơ bản
- Nguyên lý về các mối liên hệ phổ biến: trong thế giới luôn chằn chịt các
mối liên hệ. Sự đa dạng của mọi sự vật hiện tượng cũng được giải thích qua các mối
liên hệ tác động qua lại.
Ví dụ: Trong tự nhiên có mối liên hệ giữa cơ thể sống sinh vật với môi
trường được biểu hiện qua quá trình trao đổi chất. Trong xã hội có các mối liên hệ
giữa người với người, các quan hệ sản xuất. Trong tư duy cũng có sự liên hệ,
chuyển hóa, vận động …vì theo quan điểm duy vật biện chứng thì biện chứng của tư
duy chỉ là phản ánh biện chứng của tự nhiên (sự vật khách quan) một cách năng
động
- Nguyên lý về sự phát triển: thế giới luôn vận động và biến đổi không
ngừng. Bản chất của sự vận động là có khuynh hướng phát triển. Ví dụ: trong tự

nhiên, vật chất luôn chuyển hóa từ dạng này sang dạng khác và không mất đi, sinh
vật có già chết, phản ứng hóa học xảy ra không ngừng … Trong xã hội, sự vận động
phát triển của xã hội luôn xảy ra trong lịch sử đi từ thấp đến cao, đó là sự thay đổi
của các hình thái kinh tế xã hội.
Cụ thể hóa cho hai nguyên lý trên là sáu cặp phạm trù cơ bản và ba quy
luật cơ bản. Sáu cặp phạm trù là cái riêng và cái chung, tất nhiên và ngẫu nhiên, bản
chất và hiện tượng. Ba cặp phạm trù này làm cơ sở phương pháp luận trực tiếp cho
các phương pháp phân tích và tổng hợp, diễn dịch và quy nạp, khái quát và trừu
tượng hóa. Hai cặp phạm trù nguyên nhân - kết quả, khả năng - hiện thực làm cơ sở
phương pháp luận để vạch ra trình tự kế tiếp nhau của các mối liên hệ và vạch ra
tính chất tự nhiên tất yếu của quá trình phát triển. Cặp phạm trù nội dung - hình thức
làm cơ sở phương pháp luận dể xây dựng các hình thức trong sự phụ thuộc vào nội
dung. Một nội dung có thể mang nhiều hình thức, vấn đề là phải tuân theo các mối
liên hệ nội tại của các yếu tố cấu thành nội dung chứ không được tùy tiện.
Ba quy luật cơ bản:
- Quy luật đấu tranh và thống nhất giữa các mặt đối lập (gọi tắt là quy luật
mâu thuẫn), quy luật này vạch ra nguồn gốc và động lực của sự phát triển. Quá trình
đấu tranh giải quyết mâu thuẫn là quá trình tất yếu.
- Quy luật chuyển hóa từ những biến đổi về lượng dẫn tới những biến đổi
về chất (quy luật lượng - chất), vạch ra cách thức và cơ chế của sự phát triển.
- Quy luật phủ định của phủ định vạch ra khuynh hướng của sự phát triển
là theo hình thức xoắn ốc thể hiện tính chu kỳ trong sự phát triển. Đây là sự phủ
định biện chứng, cái cũ mất đi thay vào là cái mới dường như lặp lại cái cũ nhưng
trên cơ sở cao hơn, hoàn thiện hơn.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 5
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
LOGIC HỌC – KHOA HỌC VỀ TƯ DUY
1. LOGIC HỌC NÓI CHUNG
- Logic học là khoa học ngiên cứu các hình thức và quy luật của tư duy

theo yêu cầu chuyển chúng thành nguyên tắc, phương pháp chung áp dụng cho mọi
quá trình tư duy cụ thể để thực hiện nắm bắt chân lý.
- Các hình thức logic của tư tưởng là cấu trúc nhất định của tư tưởng, là
cách thức liên hệ kết hợp giữa các thành phần tư tưởng. Nó bao gồm khái niệm,
phán đoán và suy luận
- Các quy luật logic do logic học nghiên cứu là những mối liên hệ bản chất,
có tính tất yếu giữa các tư tưởng.
Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì những hình thức
logic và quy luật logic có nguồn gốc từ thế giới khách quan, chúng là sự phản ánh
của cái khách quan vào ý thức chủ quan của con người. Thế giới khách quan tồn tại
độc lập với ý thức con người không những được phản ảnh trong nội dung của tư
tưởng, mà còn quy định cả những hình thức của tư tưởng và những quy luật liên
kết các tư tưởng của con người. Và vì vậy thực tiễn là cơ sở để hình thành những
hình thức và quy luật của logic.
Có hai khoa học logic - đó là logic hình thức và logic biện chứng.
2. LOGIC HÌNH THỨC
Logic hình thức cổ truyền hay truyền thống do Aristote (384-322 TCN)
sáng lập, về sau được Baccon, Leibnitz… phát triển và bổ sung. Việc áp dụng các
phương pháp hình thức của toán học (xem minh họa chương III) vào logic học,
logic toán ra đời là logic hình thức hiện đại.
Đây là khoa học nghiên cứu các hình thức và quy luật của tư duy đúng
đắn; nó nghiên cứu các hình thức logic của tư duy (khái niệm, phán đoán, suy luận)
và quy luật logic đảm bảo tính xác định, chặt chẽ và nhất quán cho tư duy trong
suốt quá trình suy luận, logic hình thức chỉ xét chúng về mặt cấu tạo hình thức.
Các quy luật cơ bản của tư duy:
- Quy luật đồng nhất (A là A): yêu cầu mỗi tư tưởng (khái niệm, phán
đoán…) phải có tính xác định, phải luôn luôn đồng nhất với bản thân nó. Nghĩa là
mỗi tư tưởng phải có cùng một nội dung xác định trong suốt quá trình tư duy.
- Quy luật mâu thuẫn (không thể vừa A vừa không A): yêu cầu phải phi
mâu thuẫn về logic (xem chương II, hệ tiên đề và tính phi mâu thuẫn của hệ tiên

đề, nghịch lý Russels), không cho phép có phi mâu thuẫn trong tư duy. Nghĩa là có
hai phán đoán phủ định nhau thì chúng không thể đồng thời là đúng và do đó
không được cùng có trong một lập luận (tổng quát hơn là trong một lý thuyết).
- Quy luật bài trung hay quy luật loại trừ cái thứ ba (hoặc A hoặc không
A): không cho phép có phán đoán thứ ba đứng giữa hai phán đoán phủ định nhau.
Nghĩa là trong hai phán đoán phủ định nhau, nhất thiết phải có một phán đoán
đúng, phán đoán phủ định của nó là sai, ngoài hai khả năng đúng - sai không còn
khả năng thứ ba (xem chương II, Tên trộm thông minh). Tính đúng - sai trong đại

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 6
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
số mệnh đề gọi là chân trị, cũng phải đảm bảo tính nhất quán trong suốt quá trình
suy luận.
- Quy luật lý do đầy đủ: yêu cầu suy nghĩ phải có căn cứ, có lý do đầy đủ,
một phán đoán muốn khẳng định là đúng phải chứng minh chặt chẽ (xem chương
II, Trực giác và hình thức).
Như vậy logic hình thức cũng là phương pháp để tư duy, cũng là phương
pháp đi tìm tri thức mới. Tuy nhiên nó có những hạn chế. Logic hình thức chỉ mới
phán đoán sự vật trong trạng thái đứng im tương đối, sự ổn định tạm thời về chất,
chỉ nghiên cứu các hình thức tư duy ở bên ngoài sự vận động, phát triển, sự tác
động qua lại, sự phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng, nó không tính đến nội dung của
chúng (xem chương III) . Vì thế logic hình thức mới chỉ là điều kiện cần, chưa là
điều kiện đủ để đạt được chân lý khách quan. Song cần chú ý rằng, đừng vì những
hạn chế này mà đem đồng nhất logic hình thức với phương pháp siêu hình, không
gắn những khuyết điểm của phương pháp siêu hình cho logic hình thức.
Để khắc phục những hạn chế của logic hình thức cần có một logic khác
hơn về nguyên tắc, đó là logic biện chứng.

3. LOGIC BIỆN CHỨNG
Logic biện chứng nghiên cứu những quy luật biện chứng của tư duy nhằm

phản ánh đúng đắn biện chứng khách quan của sự vật. Trên cơ sở những quy luật
phổ biến nhất của thế giới mà phép biện chứng duy vật nghiên cứu, logic biện
chứng vạch ra những đặc điểm, những “thông số” của chúng khi tác động trong
lĩnh vực tư duy và vai trò, ý nghĩa của chúng đối với sự vận động của tư duy đi đến
chân lý, tức là trở thành khoa học về sự phù hợp của nội dung tri thức đối với
khách thể, khoa học và chân lý.
Logic biện chứng quan tâm chủ yếu đến nội dung tư duy, xem xét các hình
thức gắn chặt với nội dung thực tế sinh động. Nó nghiên cứu các khái niệm, phạm
trù không phải trong trạng thái cô lập, tách rời, bất biến (hay nhất quán) mà trong
sự vận động, phát triển, mâu thuẫn của chúng, trong sự liên hệ, chuyển hóa lẫn
nhau giữa chúng
Logic hình thức suy ra từ hình thức này sang hình thức khác, phát triển
những hình thức cao từ những hình thức thấp (xem chương III, ta sẽ hình dung
nôm na các hình thức, khái niệm đặt cơ sở cho giải tích toán học sẽ vận động như
thế nào), xác định mối liên hệ phụ thuộc lẫn nhau giữa chúng, đồng thời quan tâm
đến tính lịch sử - cụ thể của tư duy, đến thực tiễn nhằm phản ánh đúng thế giới
khách quan.
Trên cơ sở các quy luật và phạm trù của mình logic biện chứng đưa ra các
nguyên tắc phương pháp luận cơ bản định hướng cho chủ thể nhận thức và hành
động:
- Nguyên tắc khách quan: phải xem xét sự vật một cách khách quan, xuất
phát từ bản thân sự vật để nhận thức sự vật, phải trung thành trong khi phản ánh sự
vật như nó vốn có, phát huy nỗ lực chủ quan của chủ thể nhận thức.
- Nguyên tắc toàn diện: xét sự vật trong tất cả các mặt và các mối liên hệ
của nó và tìm ra những mặt cơ bản, những mối liên hệ bản chất.
- Nguyên tắc phát triển: đòi hỏi phải xem xét sự vật trong “sự tự vận động”
và phát triển.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 7
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH

- Nguyên tắc lịch sử thể: chân lý luôn luôn là cụ thể nên phải xét sự vật
trong điều kiện không gian, thời gian lịch sử cụ thể.
- Nguyên tắc thực tiễn: xem xét sự vật phải gắn liền với tình hình thực tiễn.
Tóm lại, logic biện chứng đưa ra những nguyên tắc logic để chuyển lên tri
thức mới, nghiên cứu sự hình thành và phát triển của các lý thuyết khoa học. Nó là
logic phát triển của khoa học hiện đại.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 8
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
CHƯƠNG II
PHƯƠNG PHÁP TIÊN ĐỀ
VÀ NHỮNG VẤN ĐỀ VỀ LOGIC
TRONG TOÁN HỌC

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 9
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
TOÁN HỌC NÓI CHUNG
Sự chuyển biến đột ngột sang “Toán học hiện đại” trong nhà trường có thể
gây nên ấn tượng là toán học đã mất tự chủ, đã vứt bỏ tất cả tư tưởng và khái niệm
truyền thống của mình, thay vào đó đã đưa ra những sáng tạo kì quái, lố bịch mà
không biết có ai và khi nào cần đến.
Đây không phải là một cảnh tượng hoàn toàn đúng. Theo đánh giá khiêm
tốn nhất, một phần lớn của “Toán học hiện đại” dạy trong chương trình phổ thông
hiện nay đã có từ hơn một thế kỉ. Vấn đề là trong toán học cũng như trong khoa
học, tư tưởng mới được phát triển tự nhiên từ những cái cũ và được lĩnh hội dần
dần theo thời gian. Hàng loạt khái niệm được đưa ngay vào giáo trình và nói chung
chẳng hề có nói đến các mối quan hệ giữa chúng với các khái niệm truyền thống
(và chính điều này gây nên khó khăn cho những người mới làm quen với toán học
hiện đại). Đây cũng chính là sự vận động biện chứng của quá trình hoạt động nhận
thức trong toán học.

1. TÍNH TRỪU TƯỢNG VÀ TÍNH KHÁI QUÁT
Một trong những nét đặc trưng của toán học hiện đại là khuynh hướng trừu
tượng hóa ngày càng cao. Bất luận khái niệm quan trọng nào đều bao hàm không
chỉ một mà nhiều đối tượng khác nhau có chung một tính chất nào đó. Lý thuyết
trừu tượng chắt ra những hệ quả từ những tính chất chung đó rồi đem áp dụng vào
bất kì một đối tượng nào trong các đối tượng đang xét. Ví dụ khái niệm “mêtric”
trong giải tích toán học là khái niệm tổng quát của khái niệm “khoảng cách”. Tính
trừu tượng và tính khái quát có quan hệ mật thiết với nhau. Ưu điểm chính của khái
quát là tiết kiệm công sức. Thật là vô lý nếu phải bốn lần chứng minh chỉ một định
lý trong bốn tình huống, trong khi đó có thể chứng minh nó theo cách: đặt vấn đề
chung không phụ thuộc nội dung cụ thể của đối tượng, tách rời nội dung của đối
tượng. Phương pháp này được thể hiện rất rõ trong môn Giải tích hàm. (Đây cũng
là phương pháp nghiên cứu của logic hình thức, không nên đồng nhất nó với
phương pháp siêu hình)
Nét đặc trưng thứ hai của toán học hiện đại là sử dụng rộng rãi ngôn ngữ
của lý thuyết tập hợp. Thực ra đó chỉ là “ý nghĩa sáng suốt được phủ kín bằng các
ký hiệu hình thức toán học”. Toán học đặc biệt khi nó trở thành tổng quát,
không chỉ quan tâm đến các đối tượng cụ thể mà cả các “đám đông” của chúng.
Đẳng thức 5=4+1 không quan trọng gì lắm. Song số nguyên tố bất kì có dạng
4n+1 là tổng của hai số chính phương lại mang nội dung phong phú hơn nhiều.
Điều khẳng định này đụng chạm đến toàn bộ tập hợp các số nguyên tố chứ không
phải một số nguyên tố riêng lẻ nào. Tập hợp cũng chính là “đám đông”.
Trong toán học, lý thuyết tập hợp giữ vai trò quan trọng hơn là số học, mặc
dù những nguyên lý cơ bản của nó không phải bao giờ cũng là xuất phát điểm tốt
(xem phần nghịch lý Russels). Nhưng để hiểu được toán học hiện đại không thể
không biết lý thuyết tập hợp và nên nhớ rằng lý thuyết tập hợp chỉ là thứ ngôn ngữ
thuận tiện, đánh giá cao vai trò của nó là sai lầm.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 10
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH

2. TRỰC GIÁC VÀ HÌNH THỨC
Khuynh hướng không ngừng tổng quát hóa kéo theo việc gia tăng các yêu
cầu chặt chẽ của logic. Tuy nhiên trong khi băn khoăn về mặt hoàn thiện logic, ta
dễ dàng đi quá đà khi thay những lập luận bằng lời nói bởi loạt các kí hiệu logic và
sử dụng mù quáng các phương pháp tiêu chuẩn. Theo hướng này có thể lạc đường
quá xa và đáng lẽ để hiểu biết sâu hơn ta lại không hiểu gì cả.
Yêu cầu chặt chẽ không phải là sự cầu kì trống rỗng. Đối tượng càng phức
tạp và càng tổng quát bao nhiêu thì việc tạo ra cách tiếp cận nó có phê phán càng
quan trọng bấy nhiêu. Trong khi xem xét đống số liệu thống kê, nhà xã hội học
buộc phải loại bỏ những số liệu thu nhập từ những thử nghiệm thiếu trung thực
hoặc các kết luận mơ hồ. Điều này cũng xảy ra trong toán học. Nhiều khi “sự hiển
nhiên” lại không đúng. Có những hình học không có diện tích. Theo Banach và
Tarxki thì có thể cắt hình tròn ra thành năm phần và xếp thành hai hình tròn có
cùng kích thước với hình tròn ban đầu. Với quan điểm của khái niệm diện tích thì
điều này không thể được, nhưng vấn đề ở chỗ là những phần ấy không có diện tích.
Sự chặt chẽ logic có tác dụng kiềm chế và tác dụng này là vô giá trong
những tình huống nguy hiểm và ngay cả khi đề cập đến những điều tế nhị. Có
những định lý mà phần lớn những nhà toán học đã tin là đúng, thế nhưng khi chưa
có một ai chứng minh được chúng thì đấy chỉ là những mệnh đề vô căn cứ.
Nói một cách nghiêm khắc thì mọi kiến thức của chúng ta ngoài phạm vi
của toán học và logic chứng minh (tức logic hình thức, là một ngành của toán học)
đều bao gồm các giả thuyết
(1)
. Tất nhiên có những giả thuyết này và những giả
thuyết nọ. Có những giả thuyết có giá trị và đáng tin cậy, ví dụ những giả thuyết
được diễn đạt trong nhiều quy luật tổng quát của vật lý. Có những giả thuyết vừa
không đáng tin cậy, vừa không có giá trị. Và giữa giả thuyết này và giả thuyết kia
có một loại giả thuyết, đó là những linh cảm và dự đoán.
Chúng ta củng cố các kiến thức toán học của mình bằng các suy luận
chứng minh, nhưng chúng ta viện trợ các giả thuyết của mình bằng các suy lý. Một

chứng minh toán học là suy luận chứng minh, còn kết luận quy nạp của nhà vật lý,
những bằng chứng gián tiếp của luật gia, những dẫn chứng tài liệu của nhà sử học,
và những kết luận thống kê của nhà kinh tế học đều thuộc về những suy luận có lý.
Sự khác nhau giữa hai loại suy luận này rất lớn và muôn màu muôn vẻ.
Suy luận chứng minh là loại suy luân không chối cãi và dứt khoát. Suy luận có lý
là suy luận còn bấp bênh, phải tranh cãi và có điều kiện. Suy luận chứng minh xâm
nhập vào các khoa học với cùng mức độ như toán học song tự nó (cũng như tự bản
thân toán học) không có khả năng cung cấp những hiểu biết căn bản mới về thế
giới chung quanh ta. Mọi cái mới mà chúng ta hiểu biết được về thế giới đều có
liên hệ với các suy luận có lý là loại suy luận duy nhất mà chúng ta quan tâm trong
công việc hằng ngày, suy luận có lý chỉ dựa vào trực giác, kinh nghiệm. Suy luận
chứng minh có những tiêu chuẩn chặt chẽ được ghi lại thành luật và được giải thích
bằng logic (logic hình thức hay logic chứng minh), logic này là thuyết của các suy
luận chứng minh. Trong khi đó những tiêu chuẩn của suy luận có lý thì rất kinh
động và không có một thuyết nào về các suy luận như vậy lại rõ ràng và có tính
nhất quán như logic chứng minh. Chẳng thấy môn nào dạy ta cách suy luận có lý

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 11
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
những ai đang học toán, tôi muốn nói rằng: “Tất nhiên chúng ta sẽ học chứng
minh, nhưng chúng ta sẽ học cả dự đoán nữa”. Vì sao?
Ví dụ: khi phải chứng minh điều gì đó có tính chất là “không thể được” thì
cần chú ý dặc biệt tới sự chặt chẽ. Có việc không thể làm được bằng phương pháp
này đôi khi làm được bằng phương pháp khác, bởi vậy cần rất cẩn trọng trong mọi
giai đoạn chứng minh loại mệnh đề đó. Có những chứng minh như: “Không giải
được bằng dạng căn thức các phương trình bậc 5 hoặc không thể chia đều một góc
thành 3 phần bằng nhau bởi thước và compa”. Các định lý đó là rất quan trọng vì
giúp chúng ta chấm dứt sự tìm kiếm vô ích. Nhưng nếu chúng ta muốn tin chắc
rằng những tìm kiếm như thế là vô ích thì logic của chúng ta phải thật hoàn hảo.
Tuy nhiên logic học chưa phải là tất cả. Bất kì công thức nào cũng không tự mình

gợi lên điều gì. Có thể dùng logic để giải các bài toán, song logic không gợi cho ta
biết nên giải những bài toán nào cho ý nghĩa. Để hiểu rõ cái gì có ý nghĩa, cái gì
không có ý nghĩa cần phải có kinh nghiệm, còn cần đến thứ phẩm chất trí tuệ khó
được xác định mà được gọi là trực giác.
Khó giải thích rõ trực giác là gì. Nói đơn giản, đó là cái nhờ nó nhà toán
học chân chính (hoặc nhà vật lý, kỹ sư, nhà thơ…) sống. Trực giác cho phép họ
cảm biết đối tượng, thấy được định lý là “có lý”, có vẻ đúng mặc dầu còn chưa biết
cả chứng minh hình thức, rồi sau đó mới nghĩ ra cách chứng minh.
Thực tế mỗi người đều có một trình độ nhất định về trực giác toán học. Em
bé có thể trực giác khi xếp được bức tranh từ các khối lập phương. Bất kì ai cũng
có thể trực giác nếu họ biết xếp gọn đồ đạc vào chỗ để hành lý trong ôtô trước khi
cả nhà đi nghỉ mát. Mục tiêu chính của việc đào tạo các nhà toán học là mài sắc
trực giác của họ đếm mức có thể biến nó thành công cụ nghiên cứu điều khiển
được.
Tóm lại, người ta đã tốn nhiều giấy bút tranh cãi về tính chặt chẽ là ưu việt
hơn trực giác, hay ngược lại. Cả hai ý cực đoan này đều đánh chệch đích: Toàn bộ
sức mạnh của toán học là sự kết hợp đúng đắn giữa trực giác và tính chặt chẽ. Một
tinh thần được kiểm soát và một logic được cổ vũ ! Chúng ta đều biết có những
người với tài năng chói lọi mà ý tưởng của họ không bao giờ được thể hiện ở
những kết quả cụ thể và có những người với tính tổ chức và cẩn thận cũng không
làm nên điều gì đáng kể vì họ quá bận vào việc làm sao cho tất cả đều cẩn thận và
có tổ chức. Nên tránh cả hai thái cực đó.

(1)
Thực tế cả trong logic chứng minh, chúng ta cũng không thể thiếu giả thuyết. Ví dụ, chúng ta
giả thuyết rằng các đối tượng cá biệt, mà suy luận của chúng ta có liên quan tới, sẽ hoàn toàn không thay đổi
trong suốt quá trình suy luận (tính nhất quán); rằng hai mệnh đề bất kì, dù có dài thế nào đi chăng nữa, bao
giờ cũng có thể hợp nhất thành một mệnh đề mới - chẳng hạn, nhờ các liên từ “và”, “hoặc”, “nếu…thì” (là
các phép toán trong đại số mệnh đề); rằng trong các suy luận như thế có thể tự do dùng luật “bài
trung”,v.v Tuy nhiên từ đó không nên suy ra là hầu như mọi kiến thức của chúng ta chỉ là các giả thuyết. Vì

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 12
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
ngay trong mọi chân lý tương đối bao giờ cũng có yếu tố của chân lý tuyệt đối.Và một giả thuyết đáng tin
cậy nếu như không được xác nhận trong thực tiễn thì nó là một cái gì khác, nghĩa là rút cuộc nó không dẫn
đến chân lý
HỆ TIÊN ĐỀ
VÀ TÍNH PHI MÂU THUẪN CỦA HỆ TIÊN ĐỀ
Chỉ có cá voi và cá voi mới đẻ ra
những con vật sơ sinh nặng trên 70 kg,
Ngài tổng thống nặng 75kg, có nghĩa là…
mẹ của ngài là cá voi hoặc là cá voi (!!)
Stê-phan Te-mecsơn
1. HỆ TIÊN ĐỀ
Toán học có nhiều mức. Em bé học giải toán có một vài con số. Sau đó
em học tính chất chung của tất cả con số (theo nghĩa nào đó đối tượng học của em
đã bị thay đổi, đây không phải là số mà là “vành Z” của tất cả các số nguyên – một
khái niệm trong đại số cấu trúc ). Hơn nữa trong lý thuyết vành thay cho một vành
cụ thể, em học các lớp của vành. Toàn bộ mọi lĩnh vực toán học trở thành một đối
tượng, đối tượng này đến lượt nó lại chỉ là một trong nhiều đối tượng của một lĩnh
vực khác, và có thể như thế mãi…
Các định nghĩa của chúng ta về nhóm, vành, trường là khá tổng quát. Các
khái niệm cơ bản được đưa vào mà chưa hề được định nghĩa (vì nếu định nghĩa
khái niệm này lại phải định nghĩa khái niệm khác, cứ thế không có điểm dừng).
Thay vào đó người ta liệt kê ra một loạt các quy tắc buộc chúng (các khái niệm)
phải thỏa mãn. Các quy tắc này thực chất chính là các tiên đề , còn toàn bộ hệ
thống là hệ tiên đề.
Không yêu cầu phải tin vào các tiên đề. Ngay cả việc nêu vấn đề cũng là vô
ích và vô nghĩa, và đằng sau chúng không có gì là hiện thực cả.
Mỗi lần gặp một hệ tiên đề nào đó, thì có ai nói cho chúng ta biết rằng họ

đã gán cho hệ này những tính chất gì? Các hệ tiên đề giống như những quy tắc trò
chơi. Nếu thay đổi quy tắc, chúng ta sẽ chơi một trò chơi khác.
Dựa vào một hệ tiên đề nào đó, người ta có thể xây dựng tiếp các kết luận
logic. Tất cả (rõ hoặc không rõ) có dạng như sau: nếu các tiên đề đã cho được thực
hiện thì sẽ thực hiện được một điều gì nữa. Sự kiện này giống như việc đế quốc La
Mã bị suy tàn không liên quan đến việc thảo luận nếu nó không bị suy sụp thì nó
diễn ra như thế nào. Chỉ có tính đúng đắn của kết luận là phải thảo luận.
Trong mỗi trường hợp cụ thể cũng có thể bàn về tính tiện dụng của các tiên
đề. Hiện tượng xảy ra trong thế giới hiện thực có phù hợp với điều mà tiên đề
khẳng định hay không là câu hỏi đúng chỗ khi đề cập tới việc áp dụng lý thuyết
vào thực tiễn, nhưng vấn đề này không phải là bộ phận của lý thuyết đang xét. Để
trả lời vấn đề này chỉ có thể dựa vào thực nghiệm. Giống như để áp dụng lý thuyết
trường vào một ngành toán học nào đó phải kiểm tra xem các đối tượng tương ứng
có là trường hay không. Nếu không, lý thuyết trường không thể áp dụng được.
Nhưng điều này không ảnh hưởng chút nào đến chính lý thuyết trường. Các tiên đề
của lý thuyết trường có đúng hay không là một câu hỏi vô nghĩa. Các tiên đề không

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 13
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
đúng theo ý nghĩa tuyệt đối, song chúng có thể đúng trong trường hợp cụ thể nào
đó.
Sức mạnh của phương pháp tiên đề là ở chỗ, từ một số không nhiều giả
thiết (tức các tiên đề), cho phép xây dựng lâu đài lý thuyết to lớn. Cái gì đó thỏa
mãn các giả thiết thì nó phải thỏa mãn tất cả các kết luận rút ra từ giả thiết. Chúng
ta có thể sử dụng tất cả kết luận của lý thuyết để nhận được các tính chất khác
nhau: Đối với từng ứng dụng, chúng ta không phải làm lại toàn bộ.
Quan niệm tiên đề như một cái gì xa rời thực tế có mới cách đây không
lâu: người Hy Lạp cổ đã thiết lập hệ tiên đề hình học đã cho rằng chúng phản ánh
chân thật bản nguyên tự nhiên, mặc dù có đôi chút lý tưởng hóa. Từ đó hệ tiên đề
được xác lập như một chân lý hiển nhiên không chứng minh, và trong từ điển cũng

định nghĩa tiên đề như thế. Tuy nhiên trong toán học hiện đại thì từ “hiển nhiên” lại
mang một ý nghĩa khác, đó là việc không bàn cãi về “tính chân lý ” (của các tiên
đề) và cũng không yêu cầu phải “tin” (vào các tiên đề) – như đã trình bày ở trên.
2. TÍNH PHI MÂU THUẪN CỦA HỆ TIÊN ĐỀ
Khi bắt tay nghiên cứu lý thuyết tiên đề, chúng ta chỉ có trong tay các
tiên đề ( ở mức các kết luận logic, về mặt tâm lý bạn có thể hiểu trực giác về lý
thuyết này phải được phát triển như thế nào). Chúng ta sử dụng chúng để chứng
minh những định lý nào đó, sau đó chúng ta sử dụng những định lý này để chứng
minh những định lý khác. Các tiên đề trở thành nguồn lan truyền rộng làn sóng
định lý, và mỗi định lý rốt cuộc phụ thuộc vào các tiên đề.
Sự việc diễn ra tốt lành chừng nào trên bước đường này ta không nhận
được hai định lý mâu thuẫn nhau. Nhưng nếu trong lý thuyết của chúng ta có thể
chứng minh hai định lý mâu thuẫn nhau thì toàn bộ lý thuyết là vô dụng. Chính khi
đó người ta có thể chứng minh một cách tự do bất kì điều gì ở trong lý thuyết đó.
Có một lần trong bữa ăn trưa, nhà toán học nổi tiếng J.Cardi đã đưa ra nhận
xét tương tự như ở trên khi một người khách dự tiệc yêu cầu ông lý giải: giả sử
rằng 2+2=5, rằng Mac Taga là giáo hoàng La Mã. Cardi suy nghĩ giây lát rồi trả
lời “Tôi cũng đã biết rằng 2+2=4, có nghĩa là 5=4. Trừ đi 3 chúng ta có 2=1. Mac
Taga và giáo hoàng La Mã, đây là hai con người, cho nên Mac Taga và giáo hoàng
La Mã là một con người”.
Để chuyển sang tình thế tổng quát hơn, trước hết chúng ta nhớ lại phương
pháp chứng minh bằng phản chứng. Chúng ta muốn chứng minh khẳng định p. Ta
bắt đầu giả thiết rằng p là sai, từ đó ta dẫn đến hai khẳng định trái ngược nhau.
Không thể như vậy được, có nghĩa là giả thiết “p sai” là sai lầm. Tính quy luật của
phương pháp này dựa trên cơ sở của logic toán học hiện đại. Bây giờ giả sử rằng
chúng ta đang có một hệ tiên đề nào đó mà từ hệ này ta có thế rút ra hai định lý r và
s mâu thuẫn nhau (ví dụ: r là “vật giá rẻ”, còn s là “vật giá đắt”). Có thể sử dụng hệ
tiên đề đó để suy ra mâu thuẫn trong phép chứng minh phản chứng đối với bất kì
loại khẳng định p nào. Và xảy ra điều sau: bằng phản chứng, ta chứng minh được
phát triển và cũng cách đó ta chứng minh được không-p.

Ví dụ: để chứng minh “đất nước bị bần cùng hóa”, chúng ta hãy giả sử
ngược lại “đất nước không bị bần cùng hóa”. Từ đó với loại hệ tiên đề trên, ta rút
ra được hai khẳng định trái ngược nhau “vật giá đắt” và “vật giá rẻ”. Vậy điều giả
sử của chúng ta là sai, và “đất nước bị bần cùng hóa”.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 14
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
Hoàn toàn có thể chứng minh “đất nước không bị bần cùng hóa” bằng
chính giả thiết ngược lại là “đất nước bị bần cùng hóa”, rồi cũng dẫn đến lập luận
ấy.
Đây là một tai họa hoàn toàn. Có thể và có khả năng dung hòa với nhà tiên
tri, lúc đó ông ta cũng cho hai câu trả lời “có” và “không” cho cùng một vấn đề.
Hệ tiên đề không dẫn đến các khẳng định mâu thuẫn nhau gọi là phi mâu
thuẫn. Tính phi mâu thuẫn là tính quan trọng nhất trong hệ tiên đề. Hibert (nhà toán
học rất quen thuộc trong môn Giải tích hàm) là người đầu tiên nêu ra tầm quan
trọng của tính chất này, và là người sáng lập ra tiên-đề-học-hình-thức hiện đại.
Tính mâu thuẫn của lý thuyết tiên đề không phải bao giờ cũng rõ ràng. Đây
là một ví dụ rất tinh vi. Các tiên đề trường là phi mâu thuẫn. Hệ tiên đề này gồm 10
tiên đề sau:
1) Phép cộng kết hợp (a+b)+c = a+(b+c)
2) Phép cộng giao hoán a+b = b+a
3) Tồn tại phần tử trung hòa của phép cộng
Nghĩa là tồn tại số 0 sao cho a+0= 0+a= a đối với mọi số a bất kì
4) Tồn tại phần tử ngược của phép cộng
Đối với mọi số a bất kì, đều tìm được số -a sao cho a+(-a)= (-a)+a= 0
5) Phép nhân kết hợp (a.b).c = a.(b.c)
6) Phép nhân giao hoán a.b = b.a
7) Tồn tại đơn vị: Có số 1 thỏa 1.a= a.1= a
8) Quy tắc nhân phân phối bên trái và bên phải
a.(b+c)= a.b+a.c

(a+b).c= a.c+b.c
9) Tồn tại phần tử ngược của phép toán nhân. Với mọi số a khác 0, sẽ có số
a
-1
thỏa a.a
-1
=a
-1
.a=1
10)Số 1 khác số 0
Tiên đề (10) có vẻ vô duyên đối với những ai chưa học môn Đại số cấu
trúc. Chúng ta nên hiểu rằng số 1 và số 0 là khái niệm tổng quát trừu tượng chứ
không phải là những con số thông thường trong cuộc sống. Dùng tất cả các tiên đề,
ngoại trừ tiên đề (9) ra, người ta chứng minh được 0.a=0 với mọi số a.
Trở lại vấn đề phi mâu thuẫn của lý thuyết trường, nếu ta thay đổi tiên đề
(9) trong hệ tiên đề trên bởi tiên đề sau :
“Với mọi số a (không cần khác 0), sẽ có số a
-1
thỏa a.a
-1
=a
-1
.a=1 ”
thì hệ tiên đề mới sẽ trở thành mâu thuẫn. Thật vậy, với tiên đề mới này ta sẽ có số
0
-1
thỏa mãn
(0.0).0
-1
= 0.0

-1
= 1
0.(0.0
-1
) = 0.1 = 0
từ tiên đề (5) (tính kết hợp của phép nhân) với các đẳng thức trên suy ra 0 = 1, điều
này mâu thuẩn với tiên đề (10).

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 15
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
CƠ SỞ HAY NỀN TẢNG CỦA TOÁN HỌC
Chuyện kể rằng có một lần nhà thiên văn học, nhà vật lý học và nhà toán
học đi nghỉ, hành trình qua Scotland. Nhìn qua cửa sổ toa tàu, họ thấy một con cừu
đen trên đồng cỏ. Nhà thiên văn nhận xét: “Hay thật, hóa ra mọi con cừu ở
Scotland đều màu đen !”. Nhà vật lý phản đối: “ Đâu phải! Ở Scotland có một số
con cừu màu đen ”. Nhà toán học buồn rầu ngồi ngước nhìn trời và tuyên bố với
giọng của nhà truyền giáo “ Ở Scotland có ít nhất một đồng cỏ trên đó nuôi ít nhất
một con cừu, nó có ít nhất một bên là màu đen ”.
Khi nói một cách nghiêm túc, các nhà toán học thích phát biểu một cách
thận trọng. Trong mắt nhà toán học là một định lý, theo mọi dấu hiệu nó phải đúng.
Anh ta nhớ lại rất nhiều các trường hợp rất “hiển nhiên” lại không phải là đúng, và
anh ta thấy sợ sệt. Chưa có ai chất vấn anh ta về việc “Trong khoa học của anh ta
có thể dựng được (bằng thước và compa) hình 17 cạnh đều và không dựng được
hình 19 cạnh đều; số hữu tỉ cũng “nhiều”
(2)
bằng số nguyên ”. Dẫu vậy, tốt hơn hết
là anh ta đợi đến khi nào định lý được chứng minh.
Tuy nhiên không phải tất cả các nhà toán học đều hay phòng xa như thế và
những người khác ít phòng xa lại là một vài người trong số những người vĩ đại nhất
trong quá khứ hiện nay. Nhưng ngay cả những người đó, họ cũng thừa biết rằng họ

đang đứng trên một cơ sở chông chênh. Mỗi nhà toán học đều sẵn sàng nói “ Tôi
hoàn toàn không biết vì sao lại như thế, nhưng chúng ta giả sử là như vậy và ta xem
xét nó dẫn đến đâu”. Người đòi hỏi phải hiểu biết cặn kẽ ở mỗi bước suy luận tế
nhị và không muốn đi xa hơn nữa nếu chưa có điều đó, thì đành chịu ở vào trạng
thái của một người quá chăm chú phân tích xem mình đã bước được tới đâu và
không nhận thấy được rằng mình đang đi không đúng hướng. Vì vậy, thoạt tiên ta
luôn có thể bỏ qua những khó khăn cục bộ: Như thế nhận biết chiến lược tiến công
toàn cục dễ dàng hơn. Sau khi đã rõ ràng chiến lược chung đúng, ta có thể trở lại
nghiên cứu các chi tiết.
Ngày nay đã đến lúc người ta phải thảo luận chi tiết của một số biện luận
trước đây. Con cừu có một bên trắng, bên kia đen là rất hiếm, nhưng việc con cừu
đã cho (ý muốn nói đến nền tảng ban đầu, các tiên đề…) là như thế nào hoàn toàn
không quan trọng đến thế. Tuy nhiên toán học có xu hướng đáng sợ là chồng chất
kết luận này lên kết luận khác, xây dựng lên một cái gì giống như những ngôi nhà
bằng bìa.Rút ra một tấm bìa, cả công trình sụp đổ. Ở Mỹ khi người ta bắt đầu khởi
thảo chương trình nghiên cứu vũ trụ đã xảy ra trường hợp: một tên lửa trị giá vài
triệu đôla, theo kết quả kiểm tra, cần phải phá hủy ngay sau khi vừa mới phóng đi.
Người ta tìm thấy là trong chương trình điều khiển chuyến bay ghi lại trên băng từ
đã bỏ sót dấu chấm phẩy. Trang bị càng phức tạp, hậu quả của những sai lầm, dù là
bé nhỏ nhất, lại càng khủng khiếp.
Các nhà toán học giữa thế kỷ XIX và XX đã hồ nghi tính chất vững chắc

(2)
Đối với những tập hợp chỉ có hữu hạn phần tử thì số phần tử của “tập hợp mẹ” nhiều hơn số
phần tử của “tập hợp con”, vì tập mẹ chứa tập con. Nhưng tập các số hữu tỉ chứa tập các số nguyên – là
những tập hợp có vô hạn phần tử - lại có số phần tử “nhiều như nhau” . Khái niệm “nhiều như nhau” có
định nghĩa trong lý thuyết toán hiện đại, người ta gọi hai tập như thế là hai tập có “cùng lực lượng”

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 16
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH

của nền móng toán học. Bây giờ người ta hay thảo luận nhất về cấu trúc “kim tự
tháp của toán học”, đó là kim tự tháp đứng trên đỉnh của mình. Hầu hết các kết quả
toán học dựa trên một số ít giả thiết ban đầu. Sự thận trọng thông thường đòi hỏi
phải xem xét chúng một cách cặn kẽ hơn, tạo cho chúng một cơ sở càng vững chắc
càng tốt.
1. CON CỪU MỘT NỬA ĐEN TRONG BẦY CỪU
Tên trộm thông minh
Để dẫn dắt cho người đọc dễ hiểu, tôi xin kể một câu chuyện vui rất gần
gũi và đầy ý nghĩa cho nội dung phần này. Câu chuyện như sau:
Ngày xưa có một ông vua rất nghiêm khắc, chặt chẽ và không biết khoan
dung độ lượng. Bất cứ phạm nhân nào bị bắt, ông đều tìm cách gán cho tội chết.
Vào một ngày nọ, người ta bắt được một thiếu niên phạm tội trộm cắp và giải đến
vua. Cậu ta xin tha mạng rối rít. Nhưng nhà vua tuyên bố rằng “ nếu nhà ngươi biết
được chuyện gì xảy ra đối với ngươi thì hãy nói ta nghe. Nói sai ta bắt đem chém
đầu. Nói đúng thì ta cho chết một cách nhẹ nhàng bằng thuốc độc. Còn ngươi
không nói gì cả thì đừng trách ta”. Ông vua muốn dồn cậu ta vào chỗ chết. Cậu ta
sợ hãi ấp a ấp úng không nói được nên lời. Nếu im lặng mãi thì…khỏi phải nói với
bản tính ông vua này. Nhưng sau khi bình tĩnh lại, nét mặt cậu ta sáng lên vì vừa
nghĩ ra điều gì đó. Cậu ta tuyên bố “tôi biết rằng tôi sẽ bị chém chết”. Sau vài phút
bất ngờ, nhà vua cùng quần thần bắt đầu suy xét câu nói đó theo hai trường hợp:
- Nếu câu này sai thì theo lời vua, hắn sẽ bị chết chém, và như thế sẽ phù
hợp với câu nói của hắn (trở thành đúng), thế thì hắn phải được chết bằng thuốc
độc, mà trong trường hợp này hóa ra hắn lại nói sai…, cứ thế mãi.
- Nếu câu này đúng thì trở lại đoạn giữa của lập luận trên và cứ suy diễn
mãi rốt cuộc không biết rằng câu nói của hắn đúng hay là sai.
Nhà vua không biết làm thế nào đành phải tha mạng cho cậu ta, và nhà vua
cũng không hiểu tại sao tình thế lại trở nên như vậy.
Nghịch lý Russels
Chúng ta thấy rằng dựa vào tiên đề mà nhà vua đưa ra, người ăn trộm đã
đưa ra khẳng định chẳng có tính chất đúng-sai gì cả. Điều này cho thấy có khi

không ổn chăng trong luật bài trung và luật phi mâu thuẫn của logic hình thức toán
học. Ngay sau khi Frêge vừa hoàn thành công trình tuyệt tác của mình thì
B.Russels đã chỉ cho Frêge một nghịch lý tương tự như vậy trong lý thuyết của
ông. Để đặt cơ sở vững chắc cho khái niệm số ( xem sách tham khảo [2], chương
9), Frêge đã xây dựng lý thuyết tập hợp một cách ngây thơ và chia tập hợp thành
những nhóm có cùng lực lượng ( xem phần chú thích
(2)
về lực lượng ở trang 19) và
các nhóm này biểu hiện như là các số, coi chúng chính là số.
Tuy nhiên người ta không chấp nhận tình hình đó và thích xem sự tồn tại
của các số bằng các tiên đề hơn. Vì rằng xem xét tập hợp B gồm các tập hợp (các
tập hợp này là những phần tử của B) có một tính chất xác định sẽ dẫn đến nghịch lý
sau đây: Xét B là một tập hợp gồm các tập hợp có tính chất là “không tự chứa mình
như một phần tử của tập hợp”. Hỏi rằng tập hợp B có tự chứa mình như một phần
tử hay không? Viết theo biểu thức toán học thì B có dạng :
B = { những tập hợp C / C không tự chứa mình}

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 17
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
Nếu B tự chứa mình thì B là phần tử của chính nó, các phần tử của B phải
có tính chất “không tự chứa mình”, mâu thuẫn. Nếu B không tự chứa mình thì B lại
có tính chất của các phần tử thuộc B, có nghĩa là B tự chứa mình, cũng mâu thuẫn.
Rốt cuộc không trả lời được câu hỏi trên. Như vậy lý thuyết tập hợp mà Frêge đã
sử dụng là có mâu thuẫn, một số phận tồi tệ không thể nào hiểu được đối với một
số lý thuyết! (Tội nghiệp cho Frêge. Tôi nghe thầy giáo cũ hồi cấp III kể lại rằng
chính vì nghĩ mãi điều này mà Frêge đã vào nhà thương điên. Cụ thể ông đã suy
nghĩ rằng trong lý thuyết tập hợp của ông thì có tồn tại một tập hợp nào bao gồm
tất cả các tập hợp không?).
Chúng ta chỉ còn biết khước từ lý thuyết tập hợp ngây thơ do Frêge đưa ra
và tìm cách thay thế phi mâu thuẫn. Trong lý thuyết ngây thơ chúng ta đã tùy tiện

quá nhiều và chúng ta được trả công như thế đó.
2. HAI LỐI THOÁT
Để tránh nghịch lý Russels, chúng ta phải thay đổi cách lý luận, sao cho
không thể đưa tới những kết luận tương tự. Tuy nhiên những quy tắc mới của
chúng ta không được đưa ra quá nhiều hạn chế, nếu không sẽ có nguy cơ đe dọa là
vứt bỏ cả chú bé toán học cùng với các nghịch lý.
Trong lý luận đưa ra trước đây có ít nhất hai chỗ có logic hơi đáng nghi
ngờ:
a. Thứ nhât, có thể rằng việc chứng minh dựa vào những tính chất phi mâu
thuẫn không đáng tin cậy hoàn toàn như chúng ta tưởng. Chính vì phủ định kép
không–không p lại không trùng với p nên việc chứng minh dựa vào tính phi mâu
thuẫn bị phá vỡ: trong trường hợp này chúng ta mới chỉ chứng minh rằng B không
là phần tử của B và không–không là phần tử của B, và điều thứ hai chẳng có gì
mâu thuẫn với điều thứ nhất.
Những người ủng hộ thuyết này được gọi là những người theo chủ nghĩa
trực quan; đặc biệt cất cao giọng vào những năm 31. Lối thoát do họ đề nghị rất
triệt để, vứt bỏ phép chứng minh bằng phi mâu thuẫn, toán học sẽ mất mát nhiều.
Các nhà trực quan đã cố gắng xây dựng lại toán học mà không sử dụng phép chứng
minh bằng tính phi mâu thuẫn và có thể ngạc nhiên là họ đã cứu vớt được khá
nhiều. Tuy vậy vẫn còn mất mát. Chẳng hạn, trong toán học đó, tất cả các hàm số
đều liên tục (trong khi toán học giải tích ngày nay lại không như vậy).
b. Thứ hai, có thể chúng ta quá tự do khi xây dựng lý thuyết tập hợp. Chính
ra nếu B không là tập hợp, thì vấn đề B “thuộc về” B mất ý nghĩa và lý luận không
thể tiếp tục được.
Tư tưởng này ít có vẻ triệt để hơn. Người ta sẽ hạn chế sự tự do thành lập
các tập hợp. Trong nhiều loại hình lý thuyết tập hợp khác nhau, người ta phân biệt
hai dạng đối tượng là “lớp” và “tập hợp”. Lớp cũng có các phần tử và đa số các lớp
giống như các tập hợp ngây thơ. Tuy nhiên một lớp không nhất thiết có thể là phần
tử của lớp khác. Những lớp nào có khả năng này, người ta gọi là các tập hợp. Nếu
ta viết

B= {những tập hợp X/ X có tính chất p}
cần hình dung như sau: B là lớp các tập logic có tính chất phát triển nếu logic nào
đã có tính chất p, thì vẫn chưa suy được là logic thuộc B, trừ phi logic là tập hợp
mà không phải là lớp.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 18
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
Như vậy thay cho nghịch lý Russels, ta phát biểu: lập luận chỉ chứng minh
rằng B không là tập hợp. Thật vậy, nếu B là tập hợp thì nghịch lý bắt đầu tác động,
và chúng ta đi đến mâu thuẫn.
Các lớp không là tập hợp được gọi là lớp kì dị, nghịch lý Russels đã khẳng
định rằng tồn tại lớp đó. Mặt khác chúng ta chưa biết gì cả về sự tồn tại các tập
hợp. Phương pháp duy nhất để tin rằng nó tồn tại là viết các tiên đề khẳng định
điều đó.
Frêge đã xây dựng lý thuyết tập hợp ngây thơ của mình theo hình thức biểu
hiện của tập hợp các đối tượng hiện thực. Chúng ta không trông mong thế giới hiện
thực sẽ mâu thuẫn với chính mình (niềm tin này là thiếu căn cứ, cũng như nhiều
nguyên lý khác mà nhân loại hằng nâng niu ấp ủ) vì vậy chúng ta đã hy vọng rằng
lý thuyết của Frêge là phi mâu thuẫn. Thật là vô ích, vấn đề lại không như thế. Sự
thật, điều đó cuối cùng lại xảy ra, vì rằng lý thuyết đã lạc đường và ra khỏi giới hạn
của hiện thực
Mặt khác lý thuyết tập-hợp-tiên-đề-hóa, không có tham vọng liên hệ gì với
thế giới hiện thực. Trước khi nó có thể trở thành chấp nhận được đối với các nhà
toán học, cần phải tin chắc rằng nó phi mâu thuẫn. Thế giới hiện thực vật lý không
cho phép chúng ta tin vào điều này. Cần phải chứng minh tính phi mâu thuẫn.
3. CHƯƠNG TRÌNH CỦA HIBERT VỀ CHỨNG MINH TÍNH PHI
MÂU THUẪN
Trước hết phải quyết định những phương pháp nào chứng minh tính phi
mâu thuẫn có thể chấp nhận được. Rõ ràng không thể dùng những phương pháp
gây ra mối nghi ngờ.

David Hibert, người đầu tiên xem xét vấn đề này, đã đi tới kết luận rằng
chỉ có thể chấp nhận được với cách chứng minh trải qua một số hữu hạn bước (như
hiện nay chúng ta nói, là có thể làm được bằng máy tính) không được có sự mơ hồ
nào cả, mỗi bước cần phải hoàn toàn rõ ràng và tất cả các khả năng cần được cân
nhắc.
Ngoài ra Hibert hiểu rằng để nhận được cách chứng minh đó, không được
phép gán cho các kí hiệu toán học một nội dung ý nghĩa và chỉ thực hiện một cách
hoàn toàn hình thức như một trò chơi theo những quy tắc đã định trước. Chẳng
hạn, quy tắc có thể nói với chúng ta rằng dãy kí hiệu 1+1 được thay thế bằng kí
hiệu 2 (không cần biết nội dung của chúng là gì). Nếu chứng minh được rằng
không bao giờ có dãy các quá trình cho phép nào lại dẫn tới được tổ hợp kí hiệu có
dạng 0≠0, và nếu có thể khẳng định được điều đó bằng một số hữu hạn bước xây
dựng thì như vậy ta đã có được một chứng minh tính phi mâu thuẫn .
Còn nếu ta gặp tổ hợp 0≠0 trong trò chơi của chúng ta, và những quá trình
dẫn tới tổ hợp đó có thể diễn giải như các bước của chứng minh rằng 0≠0, thì khi
đó lý thuyết tập-hợp-tiên-đề-hóa là có mâu thuẫn. Mặt khác, nếu lý thuyết này có
mâu thuẫn thì tồn tại phép chứng minh rằng 0≠0; các bước của chứng minh này
cho ta quá trình dẫn tới tổ hợp kí hiệu đó trong trò chơi của chúng ta.
Trên cơ sở suy nghĩ đó, Hibert đã lập một chương trình đầy đủ để tiến hành
chứng minh tính phi mâu thuẫn. Sau đó để toán học có một cơ sở logic vững chắc
như mong muốn, chỉ còn thực hiện chương trình này.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 19
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
Hibert còn quan tâm đến một câu hỏi khác: phải chăng mọi bài toán về
nguyên tắc là giải được? Câu hỏi này xuất phát do các nhà trực quan tin rằng không
phải như thế. Chương trình của Hibert cũng đoán trước việc trả lời cho câu hỏi này.
Ông cho rằng tồn tại một thủ tục hoàn toàn xác định cho phép biết trước một bài
toán đã cho là có thể giải được hay không và hi vọng có thể tìm ra thủ tục đó.
Lúc này Hibert đã được thừa nhận là lãnh tụ của giới toán học. Nhưng một

chàng trai chưa ai biết đến là Cuốc- Gơđen (một kỹ sư) đã đi tới kết luận rằng
Hibert không đúng. Vào năm 1930, anh ta xuất bản một công trình làm đổ nát
chương trình của Hibert. Một nhà toán học vĩ đại khác là J.F.Neumann hồi đó đang
đọc bài giảng của Hibert, sau khi đã tham khảo công trình của Gơđen, ông xây
dựng lại ngay lập tức bài giảng của mình và dành phần bài giảng còn lại cho công
trình đó.
Gơđen đã chứng minh được hai điều ( xem trong [2], chương 20):
- Thứ nhất, nếu lý thuyết tập hợp tiên đề hóa là phi mâu thuẫn thì tồn tại
những định lý không thể chứng minh cũng không thể bác bỏ? (giống như truyện
tên trộm thông minh. Định lý này chẳng đúng mà cũng chẳng sai, hoặc là vừa đúng
cũng vừa sai).
- Thứ hai, không tồn tại thủ tục xây dựng nào mà nhờ nó có thể chứng
minh tính phi mâu thẫn của lý thuyết tập hợp tiên đề hóa.
Kết quả thứ nhất chỉ ra rằng không phải mọi bài toán đều giải được ngay cả
về nguyên tắc, kết quả thứ hai hoàn toàn gạt bỏ chương trình chứng minh tính phi
mâu thuẫn do Hibert đề nghị. Người ta kể rằng khi nghe được công trình của
Gơđen, Hibert “rất bực mình”. (bực mình của nhà khoa học).
Sau này người ta thấy rõ ràng tổn thất còn lớn hơn cả điều mà Gơđen đã
hình dung. Bất kì hệ thống tiên đề nào đủ rộng để chứa được số học hình thức hóa
đều chịu cùng nhược điểm, và nghĩa là, không phải hệ tiên đề hóa cụ thể này hay
hệ khác có lỗi trong việc đó, mà chính là số học!
4. TÍNH KHÔNG GIẢI ĐƯỢC
Chứng minh đầy đủ định lý Gơđen, bao gồm việc mô tả chi tiết cái gọi là
“thủ tục xây dựng”, thỏa mãn những yêu cầu cao nhất về tính chặt chẽ. Mặc dù
định lý thứ hai biểu thị sự phá sản của chương trình Hibert, nhưng định lý thứ nhất
vẫn hấp dẫn hơn. Nó chỉ ra rằng trong môn số học thông thường nhất cũng có
khẳng định P mà không thể chứng minh được P lẫn không–P. Những khẳng định
đó được gọi là không giải được.
Theo nghĩa nào đó, điều này khẳng định sự đúng đắn của các nhà trực
quan. Và chứng minh định lý Gơđen vẫn còn nguyên hiệu lực cả đối với toán học

trực quan.
Từ vấn đề phi mâu thuẫn của số học, người ta tách ra một số bài toán khác
trong các bài toán do Hibert đề xuất, thí dụ bài toán về tính giải được của phương
trình Diofant (nhà toán học cổ Hy Lạp), là phương trình đại số tương tự phương
trình sau:
x
2
+ y
2
=z
3
t
3
và người ta đi tìm các nghiệm số nguyên logic x, y, z, t thỏa mãn đẳng thức trên.
Hibert đặt ra nhiệm vụ đi tìm phương pháp cho phép xác định xem một phương
trình Diofant cho trước là có nghiệm hay không; gần đây Machiaxêvitch đã chứng

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 20
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
minh (tiếp theo công trình trước đó của Đêvit, Putnam và Robinson) rằng không
tồn tại phương pháp như thế; vấn đề phương trình Diofant cho trước là có nghiệm
hay không, có lẽ không giải được.
Những ai học toán giải tích đều biết đến giả thiết continum. Hibert đã ghi
nhận vấn đề: giả thiết continum là đúng hay sai vào một danh mục nổi tiếng 23 vấn
đề toán học cấp bách nhất, theo ý kiến của ông (mặc dù Kantor, thầy của Russels,
là người đầu tiên đã đặt ra vấn đề này). Năm 1963, P.Côen đã tìm ra câu trả lời như
sau: nó đúng và cũng không đúng (!!). Giả thiết continum không phụ thuộc vào các
tiên đề của lý thuyết tập hợp. Ta có thể thêm vào tiên đề khẳng định giả thiết
continum là đúng và lý thuyết không vì thế mà trở nên mâu thuẫn (nếu như ngay từ
đầu nó đã là phi mâu thuẫn). Còn nếu thêm vào hệ tiên đề khẳng định giả thiết

continum là sai thì cũng chẳng phá hoại tính phi mâu thuẫn của hệ. Cũng như việc
có được một dạng hình học phi Euclide vào thế kỉ XX, khi bác bỏ giả thiết
continum, ta có thể xây dựng được lý thuyết tập hợp phi Kantor.
KẾT LUẬN CHƯƠNG II
Ngay từ đầu có lẽ nên hiểu rằng chương trình của Hilbert đã không gặp
may mắn. Nó hoàn toàn giống như ý định treo cổ bằng sợi dây buộc giầy! Nói
chung có tồn tại những kiến thức tuyệt đối đúng hay không? Tuy nhiên vấn đề là ở
chỗ ý nghĩa công trình Gơđen vượt ra ngoài phạm vi các suy luận trừu tượng: Nó
chứng minh việc không thể dùng các chứng minh của số học để chứng minh tính
phi mâu thuẫn của chính số học.
Điều này không có ý nghĩa là không tìm được những cách chứng minh
khác để chứng minh tính phi mâu thuẫn của số học. Thật vậy, Hentxen đã chứng
minh được, tuy rằng phương pháp của ông dựa trên quy-nạp-siêu-hạn, và oái ăm
thay tính phi mâu thuẫn của chính quy nạp siêu hạn vẫn còn đang được khám phá.
Như thế toán học đang đứng trên một nền tảng ọp ẹp, dù đã cho nhiều nổ
lực củng cố. Có thể vào một ngày tuyệt đẹp, một người nào đó sẽ tìm ra mâu thuẫn
không thể giải quyết được, nó sẽ phá vỡ toàn bộ một công trình toán học. Nhưng
ngay cả lúc đó vẫn còn những nhà toán học không nản lòng đào bới trong đống
hoang tàn đó, tìm ra những cái gì có thể công nhận được và sẽ làm sống lại những
gì có thể được.
Chân lý là ở chỗ trực quan luôn mạnh mẽ hơn cả logic. Nếu các định lý rất
phù hợp với nhau, đào sâu nhận thức và nuôi dưỡng tính hiếu học thì không ai dám
vứt bỏ chúng đi chỉ vì chúng phạm chút ít sai lầm về logic. Trong những trường
hợp như thế, thường xảy ra cảm giác rằng có thể thay đổi chính bản thân logic, còn
các định lý đã xây dựng thì tốt hơn là đừng có đụng đến-nhưng toán học trực quan
đã làm (logic đang đề cập ở đây là logic hình thức).
Lúc mà Gauss gọi toán học là “vua của các khoa học”, thì người ta đã
muốn tặng ngay cho môn học này một cái vương miện. Và ngay cho lúc nào đó
người ta thấy ông vua này trần truồng thì dù thế nào đi nữa ông cũng sẽ được mặc
đẹp hơn các triều thần của mình.

Qua những vấn đề của chương II về những thăng trầm và bi kịch trong toán
học, ta thấy rằng sự vận động của tư duy theo các quy luật của logic hình thức có
những hạn chế của nó.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 21
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
CHƯƠNG III
VÍ DỤ MINH HỌA
SỰ VẬN ĐỘNG BIỆN CHỨNG
TRONG LỊCH SỬ
CỦA GIẢI TÍCH TOÁN HỌC

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 22
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
LƯỢC SỬ HÌNH THÀNH KHÁI NIỆM HÀM SỐ
1.ĐẠI LƯỢNG BIẾN ĐỔI:
Khi nghiên cứu các hiện tượng thiên nhiên và trong hoạt động thực tiễn của
mình, con người gặp nhiều đại lượng vật lý khác nhau chẳng hạn: thời gian, độ dài,
thể tích, vận tốc, khối lượng, lực,…Mỗi đại lượng đó tùy theo điều kiện của vấn đề
mà nó được xét, sẽ nhận được nhiều giá trị khác nhau hoặc chỉ một. Trong trường
hợp đầu ta có đại lượng biến đổi, trường hợp thứ hai ta có đại lượng không biến
đổi.
Nếu ta chọn một đơn vị đo nhất định (ví dụ như mét, giây…) thì mỗi giá trị
của đại lượng có thể biểu diễn bằng con số. Toán học thường không để ý đến ý
nghĩa vật lý của đại lượng đang xét mà chỉ quan tâm đến giá trị bằng số của chúng.
Chính F.Angels
(3)
đã nói như vậy về quá trình trừu tượng hóa theo quy luật. Bằng
cách quan niệm rằng “Toán học có đối tượng nghiên cứu là các hình dáng không
gian và các quan hệ số lượng của thế giới thực tại”. Angels nói tiếp:

“Nhưng để có thể nghiên cứu thuần túy các hình dáng và quan hệ đó thì
phải tách hoàn toàn chúng ra khỏi nội dung, gác nội dung lại một bên không xét;
bằng cách đó ta được điểm là cái mà không thể đo được, đường là cái không có
chiều dày và chiều rộng, các đại lượng không đổi và biến đổi khác nhau a và b, x
và y…”
Việc đưa vào các đại lượng biến thiên thì điều đó thường gắn liền với tên
của Descartes-là một sự kiện cực kì quan trọng. Do đó toán học có khả năng không
phải chỉ thiết lập các quan hệ số lượng giữa các đại lượng bằng số, mà còn nghiên
cứu các quá trình diễn biến trong tự nhiên mà trong đó có cả các đại lượng biến đổi
tham gia. Angels
(4)
đã nhấn mạnh điều đó bằng những lời sau đây:
“Một bước ngoặc trong toán học là đại lượng biến đổi Descartes. Nhờ đó
trong toán học đã nói đến vận động và biện chứng và nhờ đó chẳng bao lâu phép
tính vi tích phân trở nên cần thiết…”
3. SỰ PHỤ THUỘC HÀM GIỮA CÁC BIẾN. MỘT VÍ DỤ:
Trong giải tích toán học, nếu không nói đến các ứng dụng của nó, ta hiểu
đại lượng biến đổi (hay nói tắt là biến) là biến trừu tượng hay biến lấy giá trị số.
Nó được chỉ rõ bởi kí hiệu nào đấy (chẳng hạn là chữ logic s, t,… ) mà lấy các giá
trị số, và tập hợp các giá trị số mà nó lấy gọi là miền biến thiên của biến.
Đại lượng không đổi (gọi tắt là hằng) có thể xem là trường hợp đặc biệt
của biến: điều này ứng với giả thiết miền biến thiên chỉ có một giá trị số.
Đối tượng nghiên cứu trong giải tích toán học không phải là sự biến thiên
của một biến mà nghiên cứu mối liên hệ biến thiên (hay quy luật biến thiên) giữa
hai hay nhiều biến, chúng biến thiên phụ thuộc vào nhau như thế nào (như vậy
trong toán học cũng có nói đến mối liên hệ phổ biến). Ví dụ sau đây chỉ xét mối
liên hệ giữa hai biến:
Biến t (nội dung vật lý của nó là đại lượng thời gian) có miền biến thiên là
tập hợp các số dương (t≥0, ví dụ thời điểm 1,5 giây thì t lấy giá trị 1,5; thời điểm

(3)
F.Angels ,tác phẩm “Chống During”, xuất bản năm 1952,trang 37 (bản tiếng Nga)
(4)
F.Angels, tác phẩm “Phép biện chứng tự nhiên”, xuất bản năm 1952, trang 206 (bản tiếng Nga)

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 23
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
ban đầu ứng với t=0,…), và biến s (nội dung vật lý của nó là đại lượng độ dài, biểu
thị quãng đường chuyển động theo thời gian của một vật rơi tự do không có lực
cản) có miền biến thiên giống như biến t.
Thế thì mối liên hệ biến đổi của hai đại lượng này theo hệ thức
2
.
2
g t
s
=
trong đó g=9,81m/s
2
(m/s
2
là đơn vị vật lý của gia tốc). Giá trị của g không thay đổi
trong hệ thức trên, giá trị đó là gia tốc của trọng lực. Như vậy biến s biến đổi phụ
thuộc vào biến t theo hệ thức trên, và ta có khái niệm hàm số s theo biến t. Giá trị
của biến s vào thời điếm t
1
được ghi là s(t
1
), ví dụ s(0)=0 nói rằng vào thời điểm
ban đầu vật chưa rời chỗ;

2
.1
(1) 4,905
2
g
s
= =
nói rằng vào thời điểm 1 giây,
vật rơi được đoạn đường dài 4,905 mét so với vị trí ban đầu…
Tóm lại, hiểu một cách nôm na thì “Hàm số s theo biến t là quy luật biến
thiên của biến s phụ thuộc vào sự biến thiên của biến t”. Mỗi hàm nói lên một quy
luật riêng. Trong ví dụ trên, hệ thức
2
.
2
g t
s
=
cũng là quy luật của chuyển động
rơi tự do trong vật lý.
LƯỢC SỬ HÌNH THÀNH PHÉP TÍNH VI PHÂN
Newton và Leibnitz là hai nhà toán học có công đầu tiên xây dựng nên
phép tính vi phân và tích phân, hai ông đã có thời gian dài tốn nhiều giấy mực vô
ích cho cuộc bút chiến để giành tác quyền, tuy nhiên nhân loại ngày nay đều ghi
nhận công lao của hai ông. Nói về việc hình thành các phép tính này đó là quá trình
phức tạp, quanh co. Tôi sẽ minh họa một ý tưởng đi từ trực quan sinh động đến
trừu tượng hóa thành lập nên phép tính đạo hàm, là phép tính anh em sinh đôi của
phép tính vi phân. Ta đã biết Descartes (nhà toán học vĩ đại người Pháp, đồng thời
là nhà triết học) là người đẻ ra khái niệm tọa độ Descartes, mở đường cho giải tích
toán học phát triển. Các biểu đồ, đồ thị trong mọi lĩnh vực khoa học, kinh tế ngày

nay cũng bắt nguồn từ hệ tọa độ này. Trở lại ví dụ hàm s theo biến t ở trên, mối
liên hệ của hai đại lượng này được biểu diễn bằng đồ thị trên hệ trục tọa độ vuông
góc, đó là đường cong như hình 1. Trục đứng biểu diễn các giá trị số cho biết
quãng đường vật đã rơi đến đâu (miền biến thiên của s), trục ngang biểu diễn thời
gian, khái niệm đạo hàm gắn liền với bài toán tính vận tốc tức thời. Ta biết rằng
trong tự nhiên, một vật thường chyển động không đều, lúc nhanh lúc chậm. Vật rơi
thì nhanh dần theo thời gian. Như vậy vận tốc của vật thay đổi theo từng thời điểm.
Vấn đề đặt ra là phải tính được vận tốc tại thời điểm t
0
nào đó (t
0
là giá trị số cố
định mà ta xét chứ không phải là biến). Vận tốc đó gọi là vận tốc tức thời.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 24
Logic và sự vận động biện chứng trong toán học GVHD:PGS.TS.VŨ TÌNH
Nhìn vào đồ thị, vào thời điểm ban đầu t=0, vật chưa dời chỗ. Vào thời
điểm t= t
0
, vật đã rơi quãng đường là s(t
0
) mét (s(t
0
) là giá trị số), vào thời điểm t
nào đó tiếp theo, vật rơi quãng đường s(t) mét so với vị trí ban đầu. Và như vậy,
trong khoảng thời gian từ thời điểm t
0
đến thời điểm t đó thì vật đi được đoạn
đường dài s(t)-s(t
0

) mét, suy ra vận tốc trung bình trên đoạn đường này là
Vận tốc trung bình =
0
0
( ) ( )s t s t
t t
−
−
Ai cũng biết rằng vận tốc trung bình bằng quãng đường chia cho thời gian. Nhìn
vào đồ thị, về trực quan hình học ta có
Vận tốc trung bình =
DB
BA
Thế nhưng khi B “rất gần” với A (từ “rất gần” bắt đầu dính dáng đến chữ “vi phân”
tức là chia nhỏ), nghĩa là thời điểm t “rất sát” với thời điểm t
0
, thì tỉ số
DB
BA

“dường như có vẻ” mang ý nghĩa của vận tốc tức thời tại thời điểm t
0
Đó chỉ là trực quan sinh động. Nhưng toán học muốn xác định khái niệm vận tốc
tức thời một cách rõ ràng. Nhìn vào hình 1, ta kẻ đường thẳng tiếp xúc với đường
cong tại điểm A (cố định), khi điểm B tiến dần đến điểm A thì độ dài đoạn thẳng
DB tiến dần tiến dần đến đoạn thẳng CB (C nằm trên đường tiếp tuyến), do đó tỉ
số
DB
BA
tiến dần đến tỉ số

CB
BA
.Mặt khác trong quá trình tiến dần như thế thì tỉ số
CB
BA
không thay đổi giá trị (vì “dạng” của tam giác vuông ABC không thay đổi,
hình học gọi là “đồng dạng”). Giá trị không đổi đó vật lý gọi là vận tốc tức thời tại
thời điểm t
0
.
Bây giờ tách rời nội dung vật lý, toán học trừu tượng hóa theo quy luật và
gọi giá trị không đổi là đạo hàm của hàm số s xác định tại thời điểm t
0
.

HVTH : Trần Thị Ánh Vy Trang 25
t
0
t Thời gian (giây)
Quãng đường (mét)
s(t)
s(t
0
)
O
A
B
C
D
Hình 1