Toán học trong sự hình thành và phát triển thế giới quan duy vật

Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức không
gian và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo con người và loài
người nói chung. Quá trình hình thành và phát triển của triết học diễn ra quanh co,
phức tạp và lâu dài. Trong quá trình đó, toán học đã đóng góp một phần rất quan
trọng.
Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xã hội, của
khoa học và công nghệ cũng như trí tuệ của con người, chính bản thân đối tượng
của toán học cũng không ngừng phát triển từ đơn giản đến phức tạp, từ sự trừu
tượng ở trình độ thấp đến sự trừu tượng ở trình độ cao hơn. Như vậy, vấn đề nhận
thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối tượng toán học, tìm hiểu những khía
cạnh triết học trong toán học trên cơ sở phân tích đối tượng của nó là vấn đề có ý
nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự phát triển của khoa học, mà còn cả trong
thực tiễn xã hội.
Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tượng hiện thực của toán học là các
quan hệ số lượng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, chúng ta đi
đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tượng của toán học dù có trừu tượng
đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và mọi tri thức toán học
đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo hiện thực khách quan đó.
Đồng thời, cũng xuất phát từ thực tiễn phát triển của toán học, trong đó đối tượng
trực tiếp của các lý thuyết toán học là các hệ thống những khách thể lý tưởng trừu
tượng, không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trường phái triết học
khác nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn ra không ít các cuộc
tranh luận về bản chất của đối tượng toán học cũng như vai trò của toán học trong
quá trình nhận thức. Vì vậy, vấn đề đặt ra trong luận án luôn luôn là một vấn đề
mang tính thời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà là đối với tất cả các
lĩnh vực khoa học nói chung. Từ đó, việc làm sáng tỏ những vấn đề triết học khi
phân tích đối tượng của toán học sẽ góp phần làm sáng tỏ bản chất, vai trò của sự
phát triển toán học nói riêng và khoa học nói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay
của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại. Đồng thời, việc làm đó cũng
chính là cơ sở chỉ ra sự thống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thực

tại khách quan, từ đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của toán
học thông qua đối tượng của nó. Điều này phù hợp với nhận xét của Lênin: "Tất cả
các trừu tượng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tự
nhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn" [25, tr. 179].
Đó là lý do tôi chọn đề tài: “Vai trò của Toán học trong sự hình thành và phát triển
thế giới quan duy vật”.
PHẦN II
NỘI DUNG
I. MỐI QUAN HỆ GIỮA TOÁN HỌC VÀ TRIẾT HỌC TRONG QUÁ TRÌNH HÌNH
THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN
Ngay buổi bình minh của tư tưởng Tây phương, ích lợi thực tiễn của toán
học đã được Herodotus
(1)
ghi nhận; ông cho rằng nguồn gốc của Hình học xuất
phát từ những người đo đất ở Ai Cập. Thật vậy, chữ hình học theo nguyên ngữ có
nghĩa là “trắc địa”. Nhưng các triết gia Hy Lạp, đặc biệt là Plato, đã tỏ ý khinh bỉ
cái ý tưởng coi toán học có giá trị chỉ vì sự hữu dụng của nó trong việc khảo sát đất
đai hoặc đo lường sự chuyển động của các thiên thể. Theo Plato, học toán là sự
chuẩn bị lý tưởng cho tư tưởng triết lý, bởi vì nó đem trí tuệ vượt xa khỏi những sư
vật thấy được và sờ được dể chú tâm vào những đối tượng trừu tượng thuần túy -
những con số, những hình hình học, và những tỉ lệ.
Lập trường của Plato đã dẫn đến một kiểu bất đồng khác về bản chất của toán học,
còn mãi cho tới ngày nay. Aristote đồng ý với Plato rằng toán học có giá trị như
một tri thức, hoàn toàn không kể tới những ứng dụng thực tiễn, nhưng ông phản
đối mạnh mẽ ý kiến nói toán học được coi là mẫu mực cho tất cả tri thức triết học.
Ông lấy làm khó chịu thấy những học trò của Plato đồng nhất hóa toán học với
triết học, và các sinh viên khoa triết sẽ không lắng nghe giảng viên nào không trình
bày tư tưởng của mình bằng hình thức toán học. Theo Aristotle, mỗi khoa học có
một phương pháp riêng thích hợp đối với đối tượng chính yếu của nó, và do đó,
phương pháp toán học không nên áp dụng trong các khoa học khác.

Sự bất đồng từ thời thượng cổ Hy Lạp này lại tiếp tục ở thời hiện đại trong các
quan điểm đối lập nhau của Descartes
(2)
và Kant. Là nhà toán học vĩ đại đồng thời
là một triết gia, Descartes tuyên bố phương pháp toán học là con đường duy nhất
dẫn đến tri thức, kể cả tri thức về vật lý vũ trụ. Đối với ông, cũng như đối
với Newton và các nhà khoa học hiện đại vĩ đại khác, thế giới tự nhiên hình thành
theo cách có thể được hiểu rõ nhất bằng phân tích toán học. Từ cái nhìn này, vũ trụ
vật chất có một cơ cấu có thể diễn tả được bằng các thuật ngữ toán học.
Kant thừa nhận rằng những nguyên lý toán học có thể áp dụng vào việc nghiên cứu
thế giới vật lý, và ông đề cao thiên tài của Newton
(3)
. Nhưng ông cảnh báo các triết
gia coi chừng bị lạc đường vì những thành công sáng chói của toán học trong một
lĩnh vực mà ở đó chỉ cần tri thức đích xác về những quan hệ định lượng. Ông nói,
chúng ta không thể có được một vài tri thức quan trọng nhất bằng cách đi từ những
khái niệm và châm ngôn rõ ràng đến việc chứng minh những kết luận chính xác và
chắc chắn. Điều này đặc biệt đúng đối với tri thức, nơi mà những phân biệt minh
bạch chỉ đạt được ở cuối quá trình truy vấn, chứ không phải ở bước đầu quá trình
này. Hơn nữa phương pháp toán học không đóng một vai trò gì trong đạo đức học,
mà đối với Kant thì đạo đức học là khoa học triết lý hoàn thiện nhất.
Trong nhiều thế kỷ qua, toán học đã có những biến đổi to lớn nhưng cuộc tranh
luận lâu đời này vẫn chưa ngã ngũ giữa các triết gia. Trong số các tư tưởng gia
hiện đại, Bertrand Russell
(4)
, chẳng hạn, tiêu biểu cho chủ trương dùng phương
pháp toán học để tiếp cận mọi vấn đề, trong khi đó thì John Dewey
(5)
thích lối tiếp
cận có tính chất thực chứng và sinh vật học hơn. Nhưng cho dù các triết gia có bất

đồng thế nào đi nữa về giá trị của toán học như là một hình mẫu cho mọi loại tri
thức, họ vẫn phải đồng ý với nhau một điều - toán học đem tới cho con người tri
thức chắc chắn và minh xác thông qua sự suy luận nghiêm ngặt mà không cần đến
sự hỗ trợ của thí nghiệm và nghiên cứu thực nghiệm
Tính chất chính xác, nghiêm ngặt và thuần lý của toán học đã đưa nó lên vị trí cao
trong cái nhìn của các nhà giáo dục mọi thời đại. Như Plato khẳng định, toán học
là môn học hướng dẫn lý trí trong việc nghiên cứu các đối tượng và những mối liên
hệ trừu tượng. Nó cung cấp một bằng chứng về suy luận diễn dịch, là thứ suy luận
đi từ những tiền đề sáng rõ đến những kết luận tất yếu.
“Giá trị thực hành” cao nhất của toán học là trong việc phát triển trí tuệ con
người. Có nhiều ứng dụng hằng ngày của toán học: đo đạc địa hình, thiết kế nhà
cửa và quần áo, vạch quỹ đạo súng pháo binh. Nhưng ngay cả khi các máy tính
điện tử và các phương tiện tối tân khác thay thế cho mọi tính toán của con người,
lý trí chúng ta vẫn phải cần đến nguyên lý toán học để nắm được một phương diện
thiết yếu của thế giới chúng ta đang sống.
Toán học chứa đựng trong nó những những đặc điểm của lý trí, của lập luận trừu
tượng và hướng tới sự hoàn thiện về thẩm mỹ. Những yếu tố cơ bản và đối lập lẫn
nhau của nó là lôgic và trực giác, giải tích và phép dựng hình, tính khái quát và
tính cụ thể. Với mọi quan điểm khác nhau bắt nguồn từ truyền thống này hay
truyền thống khác, sự tác động đồng thời của những thái cực đó và sự đấu tranh để
tổng hợp chúng lại sẽ đảm bảo cho sức sống, sự bổ ích và giá trị cao của khoa học
toán học.
Sự tiến lên trong phạm vi toán học được quy định bởi sự phát sinh những nhu cầu
có tính chất thực tiễn nhất định. Nhưng, tất yếu phải có một cái đà nội tại vượt ra
ngoài giớ hạn của lợi ích trực tiếp. Sự biến đổi từ một khoa học ứng dụng sang
một khoa học lý thuyết như vậy đã diễn ra trong lịch sử xa xưa, song ngày nay
cũng vẫn còn như thế: chỉ cần để ý đến sự đóng góp của các kỹ sư và các nhà vật
lý trong toán học hiện đại cũng đủ rõ. Những phong cánh tư duy toán học cổ xưa
nhất đã xuất hiện ở phương Đông khoảng hai nghìn năm trước công nguyên:
người Babilon đã tập hợp được chất liệu phong phú, cái mà ngày nay ta có xu

hướng xếp vào đại số sơ cấp. Nhưng từ “toán học” được xem như một khoa học
theo một ý nghĩa hiện nay, đã phát sinh chậm hơn ở trên mảnh đất Hy Lạp vào
khoảng thế kỷ thứ tư và thứ năm trước công nguyên. Mọi sự tiếp xúc ngày càng
tăng giữa phương Đông và Hy Lạp bắt đầu từ đế quốc Ba Tư và đạt tới đỉnh trong
thời kỳ tiếp ngay sau cuộc du lịch của Alecxăngđrơ đã bảo đảm cho người Hy Lạp
đuổi kịp những thành tựa của người Babilon trong lĩnh vực toán học và thiên văn
học. Toán học đã nhanh chóng trở thành đối tượng của các cuộc thảo luận về triết
học thông thường tại các Nhà nước – thành phố Hy Lạp. Như vậy, các nhà tư
tưởng Hy Lạp đã nhận thức được những khó khăn đặc biệt có liên quan với những
khái miệm toán học cơ bản – sự liên tục, sự chuyển động, cái vô hạn – và bài toán
đo các đại lượng tùy ý bằng các đơn vị cho trước. Nhưng đã có quyết tâm vượt
khó khăn: nảy sinh do kết quả của một sự cố gắng tuyệt vời của tư tưởng
Evđôkxôp, lý thuyết continum hình học là một thành tựu có thể sánh ngang hàng
với lý thuyết số vô tỉ hiện đại. Phương hướng tiên đề suy diễn trong toán học, bắt
đầu từ Evđôkxôp, đã được thể hiện rất rõ trong tác phẩm “khởi đầu” Ơclit.
Mặc dù xu hướng tiên đề – lý thuyết vẫn là một trong những đặc điểm nổi bật nhất
của toán học Hy Lạp và tự nó đã ảnh hưởng đến sự phát triển sau này của khoa
học. Nhưng cũng cần phải kiên quyết chỉ rõ rằng vai trò của các nhu cầu thực tiễn
và mối liên hệ với thực tại vật lý không hề bị hạ thấp chút nào trong việc sáng tạo
ra toán học cổ xưa và rằng việc trình bày toán học không theo phong cánh chặt
chẽ của Ơclit vẫn được ưa thích hơn.
Sự phát hiện quá sớm những khó khăn có liên quan đến các đại lượng “vô ước” đã
cản cản trở những người Hy Lạp phát triển nghệ thuật tính toán bằng số mà trong
những thời kỳ trước đây đã tạo ra những thành tựu đáng kể ở phương Đông. Thay
thế vào đó, họ đi tìm những con đường trong rừng rậm của hình học tiên đề thuần
túy. Thế là bắt đầu một trong những cuộc phiêu lưu lạ lùng trong lịch sử khoa học
mà trong đó có thể bỏ lỡ những khẳ năng sáng lạn. Gần như trong suốt hai nghìn
năm, sự thống trị của truyền thống hình học Hy Lạp đã ngăn cản sự tiến hóa của tư
tưởng về số và của phép tính về số và của phép tính bằng chữ mà sau này đã được
đặt làm cơ sở của các khoa học chính xác.

Sau một tập trung sức lực chậm chạp, một thời kỳ cách mạng bão táp trong sự
phát triển của toán học và vật lý học đã được mở ra cùng với sự nảy sinh hình học
giải tích và phép tính vi tích phân trong thế kỷ XVII. Trong các thế kỷ XVII và
XVIII, lý tưởng kết tinh tiên đề hóa và suy diễn hệ thống đã tàn lụi đi và đã mất
ảnh hưởng, tuy rằng hình học cổ xưa vẫn tiếp tục được đánh giá cao. Sự tư duy
logic hoàn hảo xuất phát từ những định nghĩa rành mạch và những tiên đề “hiển
nhiên” không mâu thuẫn với nhau đã không còn làm vừa lòng những người khai
phá kiến thức toán học mới. Đắm mình trong những dự định trực giác, bằng cách
pha trộn những kết luận hiển nhiên với những với những khẳng định huyền bí phi
lý, bằng cánh tin tưởng mù quáng vào lực lượng siêu đẳng của các quy trình hình
thức, họ đã phát hiện ra một thế giới toán học mới vô cùng phong phú. Song dần
dà, trạng thái phấn trấn cao độ của tư tưởng được cổ vũ bởi những thắng lợi oanh
liệt, đã nhường chỗ cho thái độ thận trọng và ý thức phê bình.Trong thế kỷ XIX, ý
thức về sự cần thiết phải củng cố khoa học, đặc biệt có liên quan tới những nhu
cầu của giáo dục cao đẳng, được phát triển rộng rãi sau cách mạng Pháp, đã dẫn
tới sự xét lại cơ sở của toán học mới. Họ đã đặc biệt chú ý tới phép tính vi tích
phân và việc làm sáng tỏ khái liệm giới hạn. Như vậy, thế kỷ XIX không những đã
trở nên một kỷ nguyên của những thắng lợi mới mà còn được đánh dấu bởi sự trở
lại có kết quả lý tưởng cổ điển về sự chính xác và chặt chẽ của các chứng minh.
Về mặt này thì khuôn mẫu Hy Lạp đã bị vượt qua. Một lần nữa, con lắc đã
nghiêng về sự hoàn hảo lôgic và sự trừu tượng. Hiện nay, chúng ta còn chưa vượt
ra khỏi thời kỳ đó, dẫu rằng có cơ sở để hy vọng sự gián đoạn đáng buồn được tạo
nên giữa toán học thuần túy và những ứng dụng thuần túy của nó có thể được thay
thế bởi sự thống nhất chặt chẽ hơn trong thời kỳ xét lại có phê phán. Ngày nay,
một khối lượng những lực nội tại sáng tạo và sự đơn giản hóa cao độ đạt được trên
cơ sở của sự thấu hiểu đã cho phép ta sử dụng một lý thuyết toán học sao cho
những ứng dụng không bị bỏ qua. Việc thiết lập lại mối liên hệ hữu cơ giữa tri
thức thuần túy và tri thức ứng dụng, sự cân bằng lành mạnh giữa tính khái quát
trừu tượng và tính cụ thể phong phú chính là nhiệm vụ toán học trong một tương
lai gần đây.

Dù ta dừng trên một quan điểm triết học nào thì mọi nhiệm vụ nghiên cứu khoa
học đều được quy về thái độ của ta đối với sự vật được cảm thụ và đối với các
công cụ nghiên cứu. Tất nhiên, bản thân sự cảm thụ chưa phải là trí thức, chưa
phải là sự thông hiểu; còn phải phù hợp chúng với nhau và cắt nghĩa bằng thuật
ngữ một số nội dung cơ bản đằng sau chúng. “Vật tự thân” (*) không phải là đối
tượng trực tiếp của một nghiên cứu vật lý mà thuộc về lĩnh vực siêu hình. Nhưng
đối với một phương pháp khoa học thì điều quan trọng là sự từ bỏ các suy luận
siêu hình, chung quy là sự biểu thị mọi sự kiện quan sát được dưới dạng các khái
niệm và các phép dựng. Sự từ bỏ tham vọng nhận thức bản chất của “vật tự thân”.
Nhận thức tính chân lý cuối cùng cũng như sự giải đáp bản chất nội tại của thế
giới, có thể sẽ là một gánh nặng về tâm lý đối với những người nhiệt tâm ngây
thơ; nhưng sự từ bỏ đó lại có hiệu quả cao đối với sự phát triển của khoa học hiện
đại.
Một số phát minh vĩ đại nhất về vật lý đã bắt ta phải tuân theo nguyên tắc thủ tiêu
duy tâm siêu hình. Khi Einstein định đưa khái niệm “những sự kiện đồng thời,
phát sinh từ những địa điểm khác nhau” vào số những hiện tượng quan sát và khi
ông hiểu rằng niềm tin bản thân khái niệm này tất phải có một ý nghĩa chính xác
nào đó mới chỉ là một tiên đoán siêu hình thì trong phát minh đó đã chứa đựng
mầm mống của lý tương đối của ông. Khi Niels Bohr và các học trò của ông cân
nhắc kỹ sự kiện một quan sát vật lý tùy ý có liên quan đến tác dụng tương hỗ giữa
dụng cụ và vật được quan sát thì ông đã thấy rõ rằng không thể một định nghĩa vị
trí và vận tốc của phân tử đồng thời chính xác theo nghĩa mà nó được hiểu trong
vật lý. Những hệ quả hiện đại mà ngày nay mỗi nhà vật lý học đều biết. Trong thế
kỷ XIX đã có một tư tưởng thống trị, đó là tư tưởng cho rằng các lực cơ học và
chuyển động của các phân tử trong không gian là các vật tự thân; còn điện, ánh
sáng và từ có thể quy về các hiện tượng cơ học (hoặc “giải thích” bằng thuật ngữ
cơ học) tương tự như đã làm với lý thuyết nhiệt. Khái niệm về một môi trường có
tính chất giả định – gọi là môi trường “ête” - đã được đề xuất cho thích hợp với
những chuyển động cơ học không hoàn toàn chính đáng mà ta gọi là ánh sáng và
điện. Dần dà đã thấy rõ ê-te này không quan sát được, tức là khái niệm này thuộc

về siêu hình nhiều hơn là thuộc về vật lý. Sau đó thì tưởng giải thích một cách cơ
học các hiện tượng điện và ánh sáng và cùng với nó khái niệm về ê-te đã bị rứt
khoát loại bỏ.
Trong toán học cũng có một tình huống tương tự như thế, thậm chí còn rõ ràng
hơn.
Trong nhiều thế kỷ, các nhà toán học đã xem những sự vật mà họ quan tâm – số,
đường thẳng v.v như là những vật tự thân. Song, vì những bản thể đó không
thích hợp với ý định mô tả chính xác về bản chất của chúng, trong các nhà toán
học thế kỷ XIX đã hình thành một tư tưởng cho rằng vấn đề về giá trị của những
khái niệm đó xem như những thực thể trong phạm vi toán học (và cả ở bất kỳ đâu)
cũng đều không có ý nghĩa. Những khẳng định toán học mà những thuật ngữ đó
thâm nhập vào toán học không thuộc về thực tại vật lý; chúng chỉ thiết lập mối
liên hệ tương hỗ giữa các “sự vật không xác định” và những quy tắc thao tác với
những sự vật ấy. Không thể và không nên thảo luận trong toán học vấn đề điểm,
đường thẳng và số, thực chất là gì. Điều thực sự quan trọng và có liên quan trực
tiếp với các sự kiện “được khảo sát” là cấu trúc và mối liên hệ tương hỗ giữa các
sự vật đó: hai điểm thì xác định một đường thẳng; theo những quy tắc nhất định
thì từ các số này ta suy ra được các số khác v.v
Nhận thức được một cách rõ ràng sự cần thiết phải từ bỏ quan niệm cho rằng các
khái niệm toán học cơ bản như là những sự vật có thực là một trong những chiến
công quan trọng nhất của sự phát triển tiên đề hóa hiện nay của toán học.
May mắn thay, tư tưởng sáng tạo đang lãng quên đi những tín ngưỡng triết học
giáo điều ngay khi mà những phát minh có tính chất kiến thiết còn quyến luyến
chúng. Và, đối với các chuyên gia cũng như đối với những người yêu thích toán
học thì không phải triết học mà chỉ có sự tân tụy nghiên cứu bản thân toán học
mới có thể trả lời được câu hỏi: Toán học là gì?
II.
Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại lượng
lấy những giá trị cố định. Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở
của lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp

phần hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học. Thí dụ từ quan hệ a=b,
b=c suy ra a=c. Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố
định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên văn
học là tương đối phát triển. Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vào
cuộc cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của
một thế giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi
hỏi phải có một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán
học về các đại lượng biến đổi ở thời kỳ cổ điển). Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các
quan niệm của cơ học Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét các sự vật, hiện tượng
của thế giới xung quanh. Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán
học làm chuẩn mực để tính toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ sở
cho hình thành chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Thế giới quan của chủ nghĩa
duy vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của toán học và
các lĩnh vực khác của khoa học tự nhiên. Mặt khác, những thành tựu trong sự phát
triển của số học, hình học cũng đã tạo ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm
của phép biện chứng ngây thơ cổ đại. Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và
số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn Như vậy ở thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng
góp vào sự hình thành và phát triển một số yếu tố biện chứng, song nhìn chung nó
chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố thế giới quan chủ nghĩa duy vật
siêu hình máy móc. Do sự phát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn tới sự
ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư tưởng
về vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm hơn ở các
khoa học tự nhiên thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá: “Đại lượng biến đổi
của Đềcác đã đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó mà vận động và
biện chứng đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành
cần thiết.” (1). Thật vậy, trong lập luận của giải tínc toán và phép tính vi phân,
người ta đã dùng các khái niệm như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn,
hữu hạn Rõ ràng, toán học đã nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở

những khía cạnh rất quan trọng. Có thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của
toán học đã góp phần thay đổi về chất tư duy khoa học. Ở thời kỳ trước cổ điển,
lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi phối của các khái niệm, phạm trù bất
biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng vận động, liên hệ của toán học,
người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các hình thức của tư duy nói
chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình thức nói riêng. Ví dụ, để đo
được độ dài của đường cong, ta phải xem đường cong là giới hạn của những đường
thẳng Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ của toán học là một trong các nguồn
gốc đẻ ra tư duy biện chứng. Nó góp phần hình thành bước đầu cơ sở khoa học của
logic biện chứng. Còn đối với khoa học tự nhiên thì sao?
Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêu hình
máy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và phát triển tư tưởng
vận động, liên hệ của toán học đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu
hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự
nhiên” (2). Thật vậy, sự ra đời của phép tính vi phân, giải tích toán học đã tạo cho
các nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật,
quá trình trong tự nhiên. Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp
dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Sự ra đời
thuyết tương đối của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước
của hình học phi Ơclít. Như vậy, toán học đã thông qua vật lý học, đóng góp vào
cuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên
cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng bất biến, không gian và thời gian tách
biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà sự ra đời của thuyết tương đối
Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại khác là ví dụ (với đặc điểm là khối
lượng, không gian và thời gian không tách rời nhau).
Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của tưởng
thống kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại khách
quan của cái ngẫu nhiên. Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà có cả
những cái ngẫu nhiên. Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt chẽ và bổ sung cho
nhau. Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan niệm mới mềm dẻo và chính

xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình. Nó vượt
hơn hẳn quan điểm quyết định luận chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự
vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên.
Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới.
Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp phần hình
thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy
vật biện chứng. Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng mang những hạn chế nhất
định. Nó chưa đáp ứng được những nhu cầu của nền sản xuất từ cơ khí hoá chuyển
sang nền sản xuất tự động hoá, của sự phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích,
thực nghiệm sang khoa học liên ngành tổng hợp ở trình độ lý thuyết. Những đòi
hỏi ấy tất yếu dẫn toán học tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu
các cấu trúc và thuật toán.
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư tưởng
cấu trúc. Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách trừu tượng
và khái quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạcg ra quy luật chung của
chúng. Nói theo ngôn ngữ toán học, tức là có sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng
cấu giữa các lĩnh vực có bản chất khác nhau. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là
một trong những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic
toán, điều khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện
thực tiễn, trên cơ sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự
nhiên vô sinh, sự sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự
động, hoạt động theo cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò nền
tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học. Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của
toánd học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới. Sự thống nhất
của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư
tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế
giới và tính có thể nhận thức được của thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý
học, sinh học đã có những đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống
nhất này. Có thể nói rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý

thuyết toán học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về
sự thống nhất vật chất của thế giới. Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn
tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền
kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc của toán học hiện đại góp phần quan trọng
vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội
dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc. Đồng thời nó là một trong những cơ
sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất
vật chất của thế giới.
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng của
toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với
những ngành tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta
phát hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất giữa các lý thuyết vật lý khác
nhau. Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết hình thức (trừu tượng) của toán học,
người ta đã phát hiện ra những hạt mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực
nghiệm. Điển hình là việc phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu
diễn nó bằng một phương trình z căn bậc hai. Phương trình này lúc đầu cho ta căn
cứ để dự đoán ngoài electron còn tồn tại một hạt khác có một số tính chất vừa
giống điện tử nhưng lại vừa khác điện tử về dấu của điện tích. Đó là pozitron. Dự
đoán này đã trở thành hiện thực. Về sau các phản hạt của phần lớn các hạt cũng
được tìm ra bằng cách tương tự như pozitron. Khả năng vượt trước của toán học đã
luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm của chủ nghĩa duy vật về điện tử là
vô cùng vô tận. Các cuộc cách mạng trong hoá học (hoá học lượng tử), trong sinh
học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử đều dựa vào những thành tựu của toán
học hiện đại. Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế, toán
tâm lý, toán xã hội sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trong
nhận thức nhân văn và xã hội.
Ở trên là ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới quan triết
học. Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích cực đến sự phát
triển của toán học, trước hết dẫn đến một số khuynh hướng nghiên cứu toán học.
Ví dụ, khuynh hướng tìm kiếm các cấu trúc toán tương ứng với quan hệ không

tuyển (vừa là vừa là, chẳng hạn vừa là sóng, vừa là hạt) là một trong những đặc
điểm nổi bật của các hệ thống phức tạp trong giới tự nhiên sống và xã hội. Quan
điểm “tập hợp mờ” tức là tập hợp toán trong ranh giới giữa các phân tử không rõ
ràng của lade, cho đến cái gọi là “toán học của sự phát triển” (khuynh hướng toán
học về sự tiến hoá của sự sống). Tuy nhiên cũng cần phải thấy rằng chủ nghĩa duy
tâm cũng đã lợi dụng những thành tựu của toán học hiện đại vì những mưu đồ đen
tối của nó. Bên cạnh đó cũng có những sự giải thích lệch lạc của chủ nghĩa duy vật
không biện chứng trong khi lĩnh hội, kiến giải và sử dụng các thành tựu toán học.
Những sự giải thích như vậy chỉ nhằm mưu đồ phủ nhận triết học khoa học, xoá
nhoà mối liên hệ, quan hệ giữa triết học khoa học với toán học hiện đại.
“Vật chất dùng để chỉ thực tại khách quan được đem lại cho con người trong cảm
giác, được cảm giác của chúng ta chép lại, chụp lại, phản ánh và tồn tại không lệ
thuộc vào cảm giác”. Các đối tượng toán học đều có đặc điểm như vậy. Thế giới
toán học như thể một thế giới vật chất thu nhỏ mà trong có các đối tượng toán học
như thể vật chất, còn các tính chất trong toán học như thể các hiện tượng. Nếu triết
học nghiên cứu về sự vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng thì toán học
nghiên cứu về những đối tượng và các tính chất bất biến của nó. Điều đó cho thấy
rằng toán học và triết học có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Cụ thể như sau:
1) Toán học là một thế giới vật chất
Theo chủ nghĩa duy vật, vật chất có trước, ý thức có sau, vật chất quyết định ý
thức. Điều này cũng giống như trong toán học, tất cả các đối tượng toán học đều
có trước và tồn tại khách quan, không phụ thuộc vào cảm giác con người. Tất cả
các đối tượng toán học đều có trước những người khám phá ra nó. Chẳng hạn, hàm
số-đồ thị, tập số, phương trình, hình lập phương…. tất cả đã vốn đều có trong thực
tiễn. Thật vậy, ta có:
+ Hàm số – đồ thị: tất cả mối liên hệ trong thực tiễn có liên quan tương ứng một
một đều là mối liên hệ của “hàm” (nói theo nghĩa hẹp là “hàm số”). Ví dụ: mỗi căn
nhà thì có một địa chỉ, mỗi người có một số chứng minh nhân dân, mỗi đường
truyền internet có một địa chỉ IP… Sự biến đổi tăng giảm của giá vàng, sự thay đổi
về nhiệt độ, thời tiết, … đó là đồ thị.

+ Tập số: một lớp học gồm 40 học sinh, một hộp bút có 12 cậy bút, … những con
số 40, 12 đó nếu con người không khám phá thì tự bản thân nó vẫn là 40 và 12, chỉ
có một điều nó chưa được gán cái tên là “40-12”… Như vậy, trước khi con người
tìm ra số, thì bản thân nó vẫn tồn tại một cách khách quan… Con người khám phá,
nói chính xác hơn là khám phá lại.
+ Phương trình: nó vẫn có sẵn trong thực tiễn, đó là từ những tình huống, những
bài toán cần tìm một đối tượng nào đó….
+ Hình lập phương: trong thực tiễn hình lập phương, cho dù con người có khám
phá ra nó hay không thì nó vẫn tồn tại và mãi mãi là hình lập phương
Con người đã từ nghiên cứu thực tiễn, khái quát hóa nên các đối tượng ấy…Chỉ
khác, là vốn ban đầu, các đối tượng đó chưa được gọi tên là “hàm số – đồ thị”, “tập
số”, “phương trình”, “hình lập phương”… Tất cả những đối tượng đó đúng như
triết học đã nói “tồn tại khách quan, độc lập với ý thức của con người, không ai
sáng tạo ra và không ai có thể tiêu diệt được”.
Trong triết học, phương pháp luận biện chứng là xem xét sự vật, hiện tượng
trong sự ràng buộc lẫn nhau giữa chúng, trong sự vận động và phát triển
không ngừng của chúng. Tất cả các chứng minh toán học đều là phương pháp
luận biện chứng. Khi chứng minh, đương nhiên các sự vật (ở đây là các đối tượng
toán học) được nhà toán học dựa trên sự ràng buộc giữa chúng, và trong sự vận
động không ngừng. Ví dụ: khi chứng minh một bất đẳng thức thì các số a, b, c
trong chứng minh đó hoặc là cùng thuộc R, hoặc là cùng số dương … sự ràng buộc
đó cũng có thể là những điều kiện kèm theo trong bất đẳng thức. Liên quan đến
việc chứng minh tính chất nghiệm phương trình bậc ba là sự vận động (phát triển)
cho một tập hợp số mới đó là tập số phức.
Tất cả các đối tượng trong toán học đều có mối quan hệ biện chứng. Ví dụ:
+ Phép toán “1+1=2”: trong phép cộng nói trên thì 3 số 1, 1, 2 có quan hệ biện
chứng với nhau. Nói rộng hơn tất cả các công thức trong toán học đều thể hiện mối
quan hệ biện chứng.
+ “Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau”: mối quan hệ biện chứng giữa 2 góc đối đỉnh.
Tất cả các định lý, tính chất đều thể hiện mối quan hệ biện chứng trong đó.

+ Biến số và hàm số
+ Những mệnh đề P=>, P<=> Q.
Trong triết học “thế giới vật chất có trước, phép biện chứng phản ánh nó là cái có
sau. Thế giới vật chất luôn vận động và phát triển theo những quy luật khách
quan”. Đúng như vậy, thế giới toán học (bao gồm tất cả đối tượng và tính chất các
đối tượng) là cái có trước còn tất cả các chứng minh toán học là cái có sau. Con
người có khả năng nhận thức được các quy luật của các đối tượng đó. Sự nhận thức
này là từ phương pháp luận biện chứng đã nói ở trên. Như vậy, toán học và phương
pháp luận biện chứng cũng không thể tách rời nhau, mà chúng phải gắn bó chặt
chẽ với nhau.
2) Thế giới vật chất tồn tại khách quan
“Ý thức con người của con người (thông qua hoạt động) tuy có ảnh hưởng đến sự
tồn tại và phát triển của giới tự nhiên, song sự tồn tại và phát triển của giới tự
nhiên vẫn tuân theo những quy luật riêng của chúng, con người không thể quyết
định hoặc thay đổi những quy luật đó theo ý muốn chủ quan của mình”. Trong
toán học, từ những hoạt động toán học (khám phá các đối tượng, chứng minh các
tính chất toán học) đã làm cho “thế giới toán học” phát triển ngày càng nâng cao,
nhưng toán học vẫn có sự phát triển theo quy luật chung khách quan không phụ
thuộc vào con người, con người không thể thay đổi được các quy luật đó. Nếu như
“2 đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ 3 thì chúng
song song với nhau” thì mãi mãi là như vậy. Đó là một chân lý, dù muốn dù không,
dù có khám phá ra hay chưa khám phá ra con người cũng không thể thay đổi được.
Ngay cả việc Lobasepxki thay đổi các tiền đề của hình học Ơclit để tạo ra hình học
phi Ơclit thì sự hình thành hình học mới cũng rất tự nhiên theo quy luật khách
quan. Xét trên hệ tiền đề mới thì những quy luật mới trong hình học phi Ơclit ví dụ
như “tổng 3 góc trong tam giác không bằng 180°” cũng là một quy luật tự thân có
sẵn. Ở đây ta không được cho rằng hình học phi Ơclit phủ nhận hình học Ơclit bởi
vì 2 hình học là xây dựng trên những tiền đề khác nhau. Tất cả quy luật đó không
do một lực lượng thần bí nào tạo ra, nó là những quy luật tự nhiên.
“Con người không thể tạo ra thế giới tự nhiên, nhưng có thể nhận thức được thế

giới tự nhiên và cải tạo được thế giới tự nhiên”. Tất cả các đối tượng toán học và
tính chất bất biến trong toán học đều có quy luật riêng của nó. Tuy nhiên con người
có khả năng nhận thức được, tác động vào nó và khám phá ra nó sớm hơn để nó trở
lại phục vụ cho con người. Vẫn có thể trong quá trình phát triển của toán học, con
người nhận thức sai nhưng từ những nhận thức sai đó đôi khi lại mở đường cho
toán học phát triển. Những nhận thức sai đó sẽ thúc đẩy con người tìm ra chân lý.
Việc nhận thức về toán học cũng đã làm cho con người hiểu rõ hơn về thế giới vật
chất, nâng cao thế giới quan và phương pháp luận biện chứng của con người.
3) Sự vận động và phát triển của thế giới vật chất
Thế giới vật chất luôn luôn vận động và phát triển. Sự vận động và phát triển đó có
thể là sự vận động trong nội tại kiến thức toán học. Ví dụ như:
+ Phép tịnh tiến đồ thị, góc lượng giác, phép biến hình trong hình học, quỹ tích và
tập hợp điểm, họ đường cong chứa tham số, giới hạn hàm số, sự liên tục của hàm
số, góc lượng giác…
+ Hiểu rộng hơn, sự vận động còn thể hiện ở phương trình và bất phương trình
chứa tham số, khi tham số thay đổi phương trình và bất phương trình thay đổi…
Và ta cần chú ý khi xem xét các phương trình và bất phương trình phải xem xét
trong trạng thái vận động không cứng nhắc để tránh sai lầm. Ví dụ: nếu phương
trình tham số m thì phải biện luận rõ các trường hợp a=0, a≠0
+ Các bất đẳng thức có điều kiện cũng thể hiện sự vận động. Nếu không để ý các
điều kiện thì cũng sẽ dẫn đến sai lầm trong việc chứng minh bất đẳng thức
+ Số tự nhiên => số nguyên => số hữu tỉ => số thực => số phức
+ Số => phép cộng => phép nhân => lũy thừa => logarit
Sự vận động phát triển đó còn là sự vận động và phát triển của các kiến thức toán
học nói chung. Tất cả các kiến thức toán học phát triển hàng ngày hay ngày thậm
chí hàng giờ. Ngược dòng thời gian, ban đầu con người ta chỉ biết giải phương
trình bậc nhất, nhưng sau đó con người đã biết giải phương trình bậc hai, bậc ba,
bậc bốn và thậm chí còn chứng minh được phương trình bậc năm không có phương
pháp giải tổng quát. Không chỉ lý thuyết toán phát triển, mà công cụ giải toán cũng
phát triển. Thông qua các ví dụ sau đây:

+ Nếu như hình học ban đầu chỉ giải theo phương pháp tổng hợp thì sau đó đã có
những công cụ mới giải toán mạnh hơn, phù hợp hơn như phương pháp vectơ,
phương pháp giải tích…
+ Việc vẽ đồ thị, từ việc dùng công cụ đại số (thay điểm) để vẽ đồ thị cho đến công
cụ giải tích (dùng bảng biến thiên).
+ Với các bài toán đố, chỉ với những phép toán thông thường thì việc giải một số
bài toán rõ ràng bất tiện và không nhanh chóng hơn bằng phương pháp dùng
phương trình để giải. Ví dụ: bài toán “gà và chó”…
+ Việc xét dấu từ nhị thức => tam thức
Tất cả điều đó cho thấy cái mới ra đời thay thế cái cũ, cái tiến bộ ra đời thay
thế cái lạc hậu. Nhưng sự thay thế đó không phải là phủ nhận hoàn toàn, mà
là trên cơ sở kế thừa cái cũ. Chẳng hạn, một số phương trình bậc ba, bậc 4 dạng
đặc biệt cũng được giải bằng cách đưa về phương trình bậc hai; còn trong một bài
toán hình học đôi khi phải kết hợp cả các phương pháp phương pháp vectơ,
phương pháp giải tích,… Tất cả sự phát triển đó là tất yếu trong toán học, và vì sự
tất yếu đó, nên khi xem xét kiến thức toán học phải ủng hộ cái mới, tránh thái độ
bảo thủ. Cụ thể như, khi xét dấu tam thức bậc hai, ta phải vận dụng xét dấu tam
thức bậc hai vào giải bài toán tránh thực hiện theo kiểu tách thành tích 2 nhị thức
bậc nhất. Đôi khi, chúng ta lại nghĩ việc xét dấu nhị thức dễ hơn và chúng ta đã
quen làm nên không chịu đổi mới qua phương pháp xét dấu tam thức. Đó chính là
tư tưởng bảo thủ, thành kiến cái mới, tiến bộ
Tất cả sự phát triển và vận động đó cũng gắn liền với sự phát triển và vận động của
tư duy các nhà toán học. Sự phát triển không ngừng đó của toán học đã tạo ra sự
phát triển về việc ứng dụng toán học vào các môn khoa học khác và vào thực tế
cuộc sống. Toán học ngày càng phát triển thì khả năng ứng dụng của nó vào thực
tiễn ngày càng cao
4) Nguồn gốc vận động, phát triển của sự vật và hiện tượng
Mâu thuẫn là một chỉnh thể, trong đó có hai mặt đối lập vừa thống nhất với
nhau, vừa đấu tranh với nhau. Trong toán học, những mặt đối lập đó là số âm và
số dương (trong chỉnh thể số thực), số chẵn và số lẻ (trong chỉnh thể số tự nhiên),

đồng biến, nghịch biến (trong chỉnh thể hàm số), mệnh đề và phủ định của mệnh
đề đó (trong chỉnh thể mệnh đề), tập hợp và phần bù của tập hợp, = và ≠, số đúng
và số gần đúng, trục Ox, Oy, ngoại tiếp và nội tiếp… Những mặt đối lập liên hệ
gắn bó chặt chẽ với nhau, làm tiền đề tồn tại cho nhau. Triết học gọi đó là sự
thống nhất của các mặt đối lập. Thật vậy, số thực dương và số thực âm không
tồn tại riêng lẻ, nếu không có số thực dương thì số thực âm cũng không có đồng
thời không tồn tại tập số thực và ngược lại.
5) Cách thức vận động và phát triển của sự vật và hiện tượng
Sự biến đổi về chất dẫn đến sự biến đổi về lượng, chất mới sinh ra bao hàm
một lượng mới tương ứng.
+ Ta xét tổng sau đây S=a+b
+ Quy tắc tam suất
+ Hàm số
+ Xét dấu biểu thức f(x)=6x+7: khi x thay đổi dần đến điểm giới hạn thì dấu của
biểu thức cũng thay đổi
+ Xét một phương trình đa thức. Nếu nó là phương trình bậc hai thì có tính chất về
nghiệm là vô nghiệm, có nghiệm kép, có hai nghiệm phân biệt; còn nếu nó là
phương trình bậc ba thì có tính chất về nghiệm là có nghiệm, có hai nghiệm, có ba
nghiệm phân biệt
Từ toàn bộ sự phân tích trên chúng tôi đã rút ra một số kết luận:
1. Toán học các đại lượng bất biến là cơ sở cho sự ra đời của chủ nghĩa duy vật
máy móc, siêu hình: Nó có ý nghĩa tích cực đối với sự phát triển của khoa
học ở giai đoạn đầu tiên. Nó cũng góp phần khẳng định thế giới quan duy
vật, chống lại thế giới quan tôn giáo – kinh viện.
2. Toán học các đại lượng biến đổi, trước hết là tư tưởng vận động, là một
trong các nguồn gốc đẻ ta tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để hình
thành và luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng trong giới tự
nhiên vô sinh.
3. Toán học hiện đại hoàn thiện một cách sâu sắc thế giới quan duy vật biện
chứng trong các lĩnh vực tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó góp phần củng cố

hoàn thiện và phát triển thế giới quan duy vật biện chứng.
4. Đồng thời cũng phải thấy rằng, mặc dù toán học mang tính độc lập tương
đối của tư duy trừu tượng và hình thức, triết học duy vật biện chứng luôn
luôn là cơ sở thế giới quan và phương pháp luận đúng đắn cho sự phát triển
của toán học.
Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh rằng sự phát triển của toán học
góp phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế giới quan khoa
học mà nền tảng của nó là triết học duy vật nói chung, triết học duy vật biện chứng
nói riêng. Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là mối quan
hệ khách quan, hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con người.
Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong quá trình cải cách giáo dục
ở phổ thông, đại học và các trường dạy nghề là hình thành thế giới quan duy vật
biện chứng trong giảng dạy toán học. Điều đó giúp cho thế hệ trẻ có một cách nhìn,
cách xem xét hiện thực, thực tiễn hơn về lĩnh vực chuyên môn của mình. Từ đó tạo
ra hiệu quả cao nhât trong học tập và công tác.