Vai trò của Toán học với sự hình thành và phát triển khoa học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
TRƯƠNG VĂN KÌM
VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC
ĐỐI VỚI VIỆC HÌNH THÀNH
VÀ PHÁT TRIỂN
THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
(Tiểu luận Triết học
Chương trình cao học và nghiên cứu sinh
không thuộc chuyên ngành Triết học)
TP. HỒ CHÍ MINH – 2011
1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC
ĐỐI VỚI VIỆC HÌNH THÀNH
VÀ PHÁT TRIỂN
THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
(Tiểu luận Triết học
Chương trình cao học và nghiên cứu sinh
không thuộc chuyên ngành Triết học)
TRƯƠNG VĂN KÌM
Chuyên ngành: LTXS và Thống kê Toán học
Trường Đại học KHTN Tp. HCM
TP. HỒ CHÍ MINH - 2011
2
MỤC LỤC
I. THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC 3
1. Thế giới quan là gì? ………………………………………………. 3
2. Thế giới quan khoa học là gì ? ……………………………………. 3
II. VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG SỰ HÌNH THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN

THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC ……………………………… 5
1. Quá trình hình thành và phát triển Toán học ……………………… 5
2. Đối tượng nghiên cứu của Toán học ……………………………… 9
3. Quá trình hình thành và phát triển các hệ thống số đếm …………… 9
4. Toán học có đi xa rời thực tế không? …………………………… 11
4.1 Toán học bắt nguồn từ thực tế ……………………………… 12
4.2 Có nghi ngờ rằng Toán học sẽ xa rời dần thực tế ……… 12
5. Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học 13
6. Hiện tượng ngẫu nhiên, cái chân lý Toán học và ý nghĩa thực tiễn 20
TÀI LIỆU THAM KHẢO …………………………………………… 24

3
LỜI NÓI ĐẦU
Triết học là thành tựu nhận thức và hoạt động thực tiễn cải tạo con người và loài
người nói chung. Quá trình hình thành và phát triển của triết học diễn ra quanh co,
phức tạp và lâu dài. Trong quá trình đó, toán học đã đóng góp một phần rất quan
trọng. Trong phạm vi bài này, tiểu luận làm sáng tỏ vai trò của toán học trong việc
hình thành và phát triển thế giới quan duy vật thông qua lịch sử toán học.
Tôi viết cuốn tiểu luận VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC ĐỐI VỚI SỰ HÌNH
THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC này, nói chung đây
chỉ là sự góp nhặt khai triển chẳng mấy là sáng tạo. Thỉnh thoảng có đôi lời khen tặng,
tôi lấy làm xấu hổ như đã như đã cưỡng chiếm một cái gì đó mà không thuộc về mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy giáo, PGS.TS. Vũ Tình đã giúp đỡ để tôi hoàn thành
cuốn tiểu luận nhỏ này một cách tốt nhất.
Khi một kẻ bình thường quên ước lượng tài sức của mình mà viết về một vấn đề
rộng lớn và trừu tượng trong thời gian ngắn ngủi thì chắc hẳn không thể nào tránh
khỏi thiếu sót. Rất mong được sự lượng thứ và chỉ giáo của độc giả.
Nước muôn sông không đủ để tôi rửa tai nghe những lời cao luận.
Tác giả Trương Văn Kìm.
CHƯƠNG I : THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC

1. Thế giới quan là gì?
4
THẾ GIỚI QUAN là hệ thống tổng quát những quan điểm của con người về thế giới
(toàn bộ sự vật và hiện tượng thuộc tự nhiên và xã hội), về vị trí con người trong thế
giới đó và về những quy tắc xử sự do con người đề ra trong thực tiễn xã hội. Thế giới
quan chính là biểu hiện của cái nhìn bao quát đối với thế giới, bao gồm cả thế giới bên
ngoài lẫn con người và mối quan hệ giữa con người và thế giới.

Thế giới quan có cấu trúc phức tạp, gồm nhiều yếu tố trong đó có hạt nhân là tri thức.
Trong thế giới quan, những quan điểm triết học, khoa học, chính trị, đạo đức, thẩm mĩ
và đôi khi cả quan điểm tôn giáo đóng vai trò quan trọng nhất. Tính chất và nội dung
của thế giới quan được quyết định chủ yếu bởi những quan điểm triết học. Vấn đề chủ
yếu trong một thế giới quan cũng đồng nhất với vấn đề cơ bản của triết học (chủ yếu là
quan hệ giữa ý thức và vật chất). Tuỳ theo cách giải quyết vấn đề này mà người ta phân
chia ra hai loại thế giới quan cơ bản: duy vật và duy tâm.
Thế giới quan có tính chất lịch sử vì thế giới quan phản ánh sự tồn tại vật chất và tồn
tại xã hội, phụ thuộc vào chế độ xã hội và trình độ hiểu biết, đặc biệt là khoa học của
từng thời kì lịch sử. Trong xã hội có giai cấp, thế giới quan mang tính giai cấp; về
nguyên tắc, thế giới quan của giai cấp thống trị là thế giới quan thống trị; nó chi phối xã
hội và lấn át thế giới quan của các giai cấp khác.
Thế giới quan không những là sự tổng hợp lí luận và ý nghĩa nhận thức, mà còn rất
quan trọng về mặt thực tiễn; nó làm kim chỉ nam cho hành động của con người.
Từ việc hiểu biết về thế giới, chúng ta có được bức tranh về thế giới trong ý thức tức thế
giới quan và từ đó quyết định lại thái độ và hành vi đối với thế giới. Có một cái nhìn
đúng đắn sẽ định hướng con người hoạt động theo sự phát triển lôgic của xã hội và góp
pần vào sự tiến bộ xã hội. Vì thế, thế giới quan là trụ cột về mặt hệ tư tưởng của nhân
cách, là cơ sở cho đạo đức, chính trị và hành vi.
2. Thế giới quan khoa học là gì ?
Thế giới quan khoa học hiện đại thục chất là thế giới quan duy vật biện chứng, bao
gồm các vấn đề về sự tồn tại của vật chất, mối quan hệ giữa vật chất, ý thức và các

quy luật tổng quát của sự vận động vật chất. Trong thế giới quan duy vật biện chứng,
triết học (bao gồm cả duy vật biện chứng và duy vật lịch sử) cùng với các khoa học
khác đã khẳng định sự phát triển của xã hội loài người là một quá trình lịch sử tự
nhiên với những quy luật khách quan.
Phép biện chứng duy vật là hình thức mở, luôn luôn đổi mới, bổ sung bởi những
thành tựu mới của xã hội. Từ Mác, Ăngghen, Lênin không chỉ đổi mới, bổ sung mà
còn vận dụng nó vào trong nhận thực và thực tiển. Nó luôn vận dụng vào những thành
tựu khoa học và thực tiễn.
5
Với những đặc điểm trên đây làm cho phép biện chứng duy vật trở thành phương
pháp luận phổ biến. Nó đã loại bỏ những hạn chế các quan điểm của các nhà triết học
trước đó và phát triển lên nên trở thành hoàn bị nhất, sâu sắc nhất.
Việc nắm vững những nguyên tắc, phương pháp luận được rút ra từ thế giới quan
khoa học giúp chúng ta nhận thức đúng hiện thực khách quan của thời đại, của đất
nước, của địa phương với tất cả những mối quan hệ giai cấp, dân tộc, những tương
quan lực lượng cụ thể trong thời kỳ lịch sử nhất định. Từ đó, có thể giúp cho lực
lượng cách mạng, nắm bắt được sự tiến bộ và quy luật của sự phát triển của lịch sử.
Trong thế giới quan duy vật biện chứng, triết học (bao gồm cả duy vật biện chứng và
duy vật lịch sử) cùng với các khoa học khác đã khẳng định sự phát triển của xã hội
loài người là một quá trình lịch sử tự nhiên với những quy luật khách quan.
Thế giới quan duy vật biện chứng phản ánh đúng đắn hiện thực khách quan của xã
hội hiện thực, bảo vệ lợi ích căn bản của giai cấp công nhân và nhân dân lao động, là
vũ khí lý luận sắc bén, là kim chỉ nam soi đường cho giai cấp công nhân lãnh đạo
nhân dân lao động và các dân tộc bị áp bức trên thế giới đấu tranh giải phóng khỏi bị
bóc lột và nô dịch, tiến lên xây dựng một xã hội văn minh và nhân đạo hơn là chủ
nghĩa xã hội.
Chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và thế giới quan duy vật biện chứng nói riêng đã
kế thừa tất cả những giá trị tư tưởng văn hóa của nhân loại đã có từ trước, nó luôn
luôn gắn liền với thực tiễn của phong trào cách mạng, thực tiễn vận động của lịch sử,
của sự phát triển của khoa học kỹ thuật với cuộc đấu tranh tư tưởng lý luận chống lại

các học thuyết tư sản, các loại chủ nghĩa cơ hội, xét lại, cải lương, chủ nghĩa dân tộc
hẹp hòi. Nó là học thuyết về sự phát triển nhằm định hướng cho con người vươn tới
cái tự do, thoát khỏi sự thống trị của tự nhiên và thống trị của con người với con
người. Đó là tính nhân văn cao cả của thế giới quan duy vật biện chứng.
CHƯƠNG II : VAI TRÒ CỦA TOÁN HỌC TRONG SỰ HÌNH
THÀNH VÀ PHÁT TRIỂN THẾ GIỚI QUAN KHOA HỌC
1. Quá trình hình thành và phát triển Toán học.
Nhìn vào quá trình phát triển của toán học có thể chia lịch sử của nó làm ba thời kỳ
lớn:
6
Thời kỳ cổ đại hay toán học sơ cấp, toán học về các đại lượng bất biến (từ thế kỷ thứ
V trước công nguyên đến thế kỷ XVII). Trong giai đoạn này, ý niệm
"
chứng minh
"

cho tính đúng đắn của một mệnh đề đã được xuất hiện. Người ta đã bắt đầu đặt những
câu hỏi có tính căn bẳn như
"
Tại sao các đáy của một hình tam giác cân lại bằng
nhau ?
"
và tại sao đường tròn lại chia đường tròn thành hai phần bằng nhau ?
"
.
Những quá trình thực nghiệm toán học của Phương Đông cổ đại hoàn toàn chỉ đủ để
trả lời câu hỏi
"
Làm thế nào… ?
"

nhưng không đủ để trả lời cho câu hỏi
"
Tại sao… ?
"
. Thales đã cố gắng chứng minh các mệnh đề toán học, từ khia scanhj suy diễn của
Toán học mà các học giả ngày nay xem là một đặc trưng cơ bản của Toán học đã xuất
hiện. Đặc biệt trong giai đoạn này phương pháp tiên đề do Euclide phát hiện đã đưa
Toán học thành một môn khoa học độc lập.
Thời kỳ cổ điển hay toán học về các đại lượng biến đổi (từ thế kỷ XVIII đến cuối
thế kỷ XIX). Thời kỳ hiện đại hay toán học về các vấn đề cấu trúc (từ cuối thế kỷ XIX
đến nay). Sự kế tiếp của mỗi thời kỳ tuân theo một logic nhất định phản ánh tiến trình
phát triển nội tại của toán học và của những nhân tố bên ngoài, trong đó có các quan
điểm thế giới quan khác nhau, tác động vào nó. Cũng như các tri thức khác, sự phát
triển của tri thức toán học mang tính biện chứng sâu sắc. Nó là quá trình vừa kế thừa
vừa đổi mới về chất giữa các thời kỳ. Vì vậy các tri thức toán học ở thời kỳ sau chung
hơn, sâu sắc hơn, đa dạng hơn thời kỳ trước và bao quát nó như trường hợp riêng. Vậy
trong từng thời kỳ, toán học đã góp phần hình thành luận chứng cho các thế giới quan
duy vật nói chung và triết học biện chứng nói riêng như thế nào?
Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán học về các đại lượng bất biến, tức là các đại lượng lấy
những giá trị cố định. Trước hết, toán học đã đóng góp vào sự hình thành cơ sở của
lôgic hình thức, nhờ vậy tư duy có lập luận chính xác, chặt chẽ. Điều đó góp phần
hình thành nên các nguyên tắc của tư duy khoa học. Thí dụ từ quan hệ a = b, b = c suy
ra a = c. Tuy nhiên, khái niệm bằng nhau ở đây là bất biến, bất động, cố định.
Đối với các lĩnh vực tri thức khác, ở thời kỳ này mới chỉ có cơ học và thiên văn học
là tương đối phát triển. Toán học đã thông qua hai khoa học này góp phần vào cuộc
cách mạng của Copecních thay hệ địa tâm bằng hệ nhật tâm. Sự phát triển của một thế
giới quan mới gắn liền với cuộc cách mạng mà Copecních thực hiện đòi hỏi phải có
một nền toán học mang những tư tưởng mới về chất ra đời (đó là toán học về các đại
lượng biến đổi ở thời kỳ cổ điển). Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học
Niutơn chi phối hầu hết cách xem xét các sự vật, hiện tượng của thế giới xung quanh.

Do cơ học Niutơn lấy số lượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực để tính
toán khối lượng của nó, nên quan điểm này tạo cơ sở cho hình thành chủ nghĩa duy
vật siêu hình máy móc. Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã
ảnh hưởng lâu dài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học tự
nhiên. Mặt khác, những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đã tạo
ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ cổ đại.
Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn Như vậy ở
thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng góp vào sự hình thành và phát triển một số yếu
tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phần hình thành và củng cố
7
thế giới quan chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc. Do sự phát triển của thực tiễn và
nhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học về các đại lượng biến đổi.
Ở thời kỳ này, các nhà kinh điển chú ý đến toán học, trước hết vì những tư tưởng về
vận động, về các mối liên hệ, được phát triển trong toán học sớm hơn ở các khoa học
tự nhiên thực nghiệm khác. F. Enghen đã đánh giá: “Đại lượng biến đổi của Đềcác đã
đánh dấu một bước ngoặt trong toán học. Nhờ đó mà vận động và biện chứng đã đi
vào toán học và phép tính vi phân và tích phân lập tức trở thành cần thiết.”. Thật vậy,
trong lập luận của giải tínc toán và phép tính vi phân, người ta đã dùng các khái niệm
như hàm số, giới hạn, liên tục, gián đoạn vô hạn, hữu hạn Rõ ràng, toán học đã
nghiên cứu về sự vận động, về các mối liên hệ ở những khía cạnh rất quan trọng. Có
thể nói rằng, tư tưởng vận động, về liên hệ của toán học đã góp phần thay đổi về chất
tư duy khoa học. Ở thời kỳ trước cổ điển, lôgic hình thức và cơ học Niuton chịu sự chi
phối của các khái niệm, phạm trù bất biến cố định của toán học sơ cấp. Với tư tưởng
vận động, liên hệ của toán học, người ta có một quan niệm mềm dẻo hơn đối với các
hình thức của tư duy nói chung và của các phạm trù bất biến trong logic hình thức nói
riêng. Ví dụ, để đo được độ dài của đường cong, ta phải xem đường cong là giới hạn
của những đường thẳng Vì vậy, tư tưởng vận động, liên hệ của toán học là một
trong các nguồn gốc đẻ ra tư duy biện chứng. Nó góp phần hình thành bước đầu cơ sở
khoa học của logic biện chứng. Còn đối với khoa học tự nhiên thì sao?
Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêu hình

máy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và phát triển tư tưởng vận
động, liên hệ của toán học đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan siêu hình “mà
điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của tự nhiên”. Thật vậy,
sự ra đời của phép tính vi phân, giải tích toán học đã tạo cho các nhà khoa học một
phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật, quá trình trong tự nhiên.
Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấp dẫn ở thế kỷ XVII, quy luật
truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII. Sự ra đời thuyết tương đối của Anhxtanh
ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước của hình học phi Ơclít. Như vậy, toán
học đã thông qua vật lý học, đóng góp vào cuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ
nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng
bất biến, không gian và thời gian tách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng
mà sự ra đời của thuyết tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại
khác là ví dụ (với đặc điểm là khối lượng, không gian và thời gian không tách rời
nhau).
Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của tưởng thống
kê – xác suất. Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồn tại khách quan của cái
ngẫu nhiên. Thế giới không chỉ có những cái tất nhiên mà có cả những cái ngẫu nhiên.
Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặt chẽ và bổ sung cho nhau. Tư tưởng thống kê- xác
suất cho ta một quan niệm mới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau,
giữa các sự vật, hiện tượng, quá trình. Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận
chặt chẽ coi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất
nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên. Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ sung vào bức
tranh khoa học chung về thế giới.
8
Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ và thống kê – xác suất đã góp phần hình
thành tư duy biện chứng và là cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy vật
biện chứng. Tuy nhiên, toán học thời kỳ này cũng mang những hạn chế nhất định. Nó
chưa đáp ứng được những nhu cầu của nền sản xuất từ cơ khí hoá chuyển sang nền
sản xuất tự động hoá, của sự phát triển khoa học từ giai đoạn phân tích, thực nghiệm
sang khoa học liên ngành tổng hợp ở trình độ lý thuyết. Những đòi hỏi ấy tất yếu dẫn

toán học tới một thời kỳ phát triển mới – toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuật
toán.
Trong giai đoạn hiện đại, thành tựu nổi bật của toán học thời kỳ này là tư tưởng cấu
trúc. Thực chất của tư tưởng này là cho phép ta tiếp cận một cách trừu tượng và khái
quát các đối tượng có bản chất rất khác nhau để vạcg ra quy luật chung của chúng.
Nói theo ngôn ngữ toán học, tức là có sự tương tự về cấu trúc hay sự đẳng cấu giữa
các lĩnh vực có bản chất khác nhau. Có thể nói rằng tư tưởng cấu trúc là một trong
những cơ sở lý luận cho sự ra đời của các khoa học tổng hợp như logic toán, điều
khiển học, tin học, toán lý, toán sinh, toán kinh tế Về phương diện thực tiễn, trên cơ
sở sự tương tự về cấu trúc giữa các quá trình diễn ra trong giới tự nhiên vô sinh, sự
sống và xã hội (tư duy) người ta đã chế tạo ra hệ thống máy tự động, hoạt động theo
cơ chế tương tự bộ não và các giác quan con người.
Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện đại đóng vai trò nền
tảng trong quá trình nhất thể hoá các khoa học. Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của toánd
học còn phản ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới. Sự thống nhất của toán
học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản
của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể
nhận thức được của thế giới đó. Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có
những đóng góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này. Có thể nói
rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán học ngày càng
có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về sự thống nhất vật chất của thế
giới. Chẳng hạn, cùng một phương trình có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự
sinh sản của vi khuẩn, sự tăng trưởng của nền kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc
của toán học hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng của
sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương pháp luận sâu sắc.
Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để luận chứng cho thế giới quan duy
vật biện chứng về sự thống nhất vật chất của thế giới.
Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh hưởng của toán
học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại, đặc biệt đối với những ngành
tiếp cận thế giới vi mô. Dựa vào sự tương tự về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối

liên hệ, quan hệ và sự thống nhất giữa các lý thuyết vật lý khác nhau. Đặc biệt, trên cơ
sở những lý thuyết hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra
những hạt mới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm. Điển hình là việc
phát hiện ra pozitron trong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nó bằng một phương trình z
căn bậc hai. Phương trình này lúc đầu cho ta căn cứ để dự đoán ngoài electron còn tồn
tại một hạt khác có một số tính chất vừa giống điện tử nhưng lại vừa khác điện tử về
dấu của điện tích. Đó là pozitron. Dự đoán này đã trở thành hiện thực. Về sau các
9
phản hạt của phần lớn các hạt cũng được tìm ra bằng cách tương tự như pozitron. Khả
năng vượt trước của toán học đã luận chứng, hoàn thiện, cụ thể hoá quan điểm của
chủ nghĩa duy vật về điện tử là vô cùng vô tận. Các cuộc cách mạng trong hoá học
(hoá học lượng tử), trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử đều dựa
vào những thành tựu của toán học hiện đại. Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình
thành toán kinh tế, toán tâm lý, toán xã hội sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy
vật biện chứng trong nhận thức nhân văn và xã hội.
Ở trên là ảnh hưởng của toán học dẫn đến hình thành và củng cố thế giới quan triết
học. Ngược lại, triết học khoa học của toán học đã tác động tích cực đến sự phát triển
của toán học, trước hết dẫn đến một số khuynh hướng nghiên cứu toán học. Ví dụ,
khuynh hướng tìm kiếm các cấu trúc toán tương ứng với quan hệ không tuyển (vừa
là vừa là, chẳng hạn vừa là sóng, vừa là hạt) là một trong những đặc điểm nổi bật
của các hệ thống phức tạp trong giới tự nhiên sống và xã hội. Quan điểm “tập hợp
mờ” tức là tập hợp toán trong ranh giới giữa các phân tử không rõ ràng của lade, cho
đến cái gọi là “toán học của sự phát triển” (khuynh hướng toán học về sự tiến hoá của
sự sống). Tuy nhiên cũng cần phải thấy rằng chủ nghĩa duy tâm cũng đã lợi dụng
những thành tựu của toán học hiện đại vì những mưu đồ đen tối của nó. Bên cạnh đó
cũng có những sự giải thích lệch lạc của chủ nghĩa duy vật không biện chứng trong
khi lĩnh hội, kiến giải và sử dụng các thành tựu toán học. Những sự giải thích như vậy
chỉ nhằm mưu đồ phủ nhận triết học khoa học, xoá nhoà mối liên hệ, quan hệ giữa
triết học khoa học với toán học hiện đại.
Như vậy, lịch sử phát triển toán học chứng minh rằng sự phát triển của toán học góp

phần vào sự hình thành, luận chứng, củng cố, hoàn thiện thế giới quan khoa học mà
nền tảng của nó là triết học duy vật nói chung, triết học duy vật biện chứng nói riêng.
Mối quan hệ giữa toán học và triết học duy vật biện chứng là mối quan hệ khách quan,
hợp quy luật trong tiến trình phát triển nhận thức của con người.
Bài học thực tiễn mà chúng tôi muốn rút ra ở đây trong quá trình cải cách giáo dục ở
phổ thông, đại học và các trường dạy nghề là hình thành thế giới quan duy vật biện
chứng trong giảng dạy toán học. Điều đó giúp cho thế hệ trẻ có một cách nhìn, cách
xem xét hiện thực, thực tiễn hơn về lĩnh vực chuyên môn của mình. Từ đó tạo ra hiệu
quả cao nhât trong học tập và công tác.
2. Đối tượng nghiên cứu của Toán học
Toán học được quan niệm là ngành khoa học nghiên cứu về các hình thức không gian
và những quan hệ định lượng của thế giới thực.
Những khái niệm liên quan:
a. Ngành khoa học:
10
• Trong thế giới thực có các sự vật, hiện tượng khác nhau. Khoa học là xây dựng hiểu
biết về bản chất và quy luật vận động của tự nhiên, xã hội và tư duy. Nó tìm kiếm quy
luật vận động chi phối các hiện tượng tự nhiên, xã hội, tư duy. Để sản xuất ra tri thức
là hiểu biết có hệ thống đó cần có hoạt động gọi là Nghiên cứu khoa học.
• Mỗi ngành khoa học sẽ coi đối tượng nghiên cứu của mình là một phần nào đó của
sự vật, hiện tượng. Có ngành khoa học thì đối tượng là tư nhiên, cái thì đối tượng là xã
hội, cái thì là con người
b. Toán học chỉ nghiên cứu hai mặt sau của sự vật, hiện tượng thực tế:
• những quan hệ định lượng giữa sự vật hiện tượng này với sự vật, hiện tượng khác
• khám phá bản chất của các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng
c. Có nghĩa là đối tượng nghiên cứu lại không là trọn vẹn , đầy đủ về bất cứ 1 loại
hiện tượng, sự vật cụ thể nào (như ở các khoa học khác), mà chỉ nghiên cứu phần
“những quan hệ định lượng” và “mặt hình thức không gian” của “mọi hiện tượng, sự
vật”.
d. Tuy thế, nó lại có vai trò then chốt, quan trọng tạo cơ sở công cụ cho các ngành

khoa học khác xây dựng nên tri thức ngành mình. Toán học đóng vai trò là phương
pháp luận khoa học, chung cho mọi ngành khoa học mà nghiên cứu những đối tượng,
hiện tượng khác nhau của thực tiễn.
• Toán học ngày một hình thành nên những khái niệm, quy luật mới phản ánh sâu sắc
hơn bản chất quan hệ số lượng và cấu trúc của hiện thực. Vì thế toán học ngày càng
phục vụ hiệu quả hơn trong hoạt động thực tiễn.
- Trong thực nghiệm toán học: đo đạc và tính toán chính xác hơn trong mọi ngành
khoa học.
- Trong sản xuất: ngày càng hoàn thiện tính toán, tự động hoá và giảm đi 1 phần lao
động trí óc con người nhờ máy tính tự động.
3. Quá trình hình thành và phát triển các hệ thống số đếm
3.1 Các hệ thống đếm nguyên thủy.
Số và phép đếm có một quá trình phát trển lâu dài trước khi con người biết ghi chép
lại. Nhờ vào báo cáo của các nhà khảo cổ mà người ta có thể biết được sự phát sinh
của số và phép đếm. Con ngườ, ngay cả ở thượng cổ xa nhất đã có một cảm giác về
số, người ta có thể nhận biết được sự nhiều hơn hoặc ít hơn khi một nhóm nhỏ đồ vật
có sự thêm vào hay bớt ra. Các công trình nghiên cứu cho thấy rằng một số laoif vật
cũng có một giác quan như thế. Do nhu cầu cuộc sống như một bộ lạc cần phải biết
được đàn cừu của mình có mất con nào không, chính vì vậy mà có thể nói phép đếm
sớm nhất là phép ánh xạ,tương ứng một – một. Khi đếm một đàn cừu, thì người đếm
lấy tương ứng một viên sỏi là một con cừu, và cách đếm này vẫn còn dung tới bây giờ
trong các cảng, nhà kho, khi mỗi người vát vào một bao gạo thì họ cầm tương ứng
11
với một thẻ, rồi khi xong công việc thì chu chỉ cần đếm số thẻ là xong chứ không cần
phải đếm số bao gạo ở nhà kho
Ở thuở ban đầu, khi đếm con người dùng từ đếm với tên vật hay đồ vật đi kèm. Trải
qua nhiều thời gian, con người biết trừu tượng hóa để gạt bỏ tên đồ vật hay vật khi
đếm và họ chỉ còn nói: một, hai, ba, khi thực hiện quá trình đếm.
Để thực hiện việc đếm mở rộng và thuận tiện hơn, con người đã biết hệ thống hóa lại.
Khi đó xuất hiện khái niệm “cơ số”. Khi cơ số b được chọn là cơ số thì các số 1, 2, ,

b được gắn tên của các số từ 1, 2, , b. Trong lịch sử, có nhiều cơ số khác nhau được
chọn 2, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 20, 60, Lúc đầu, người ta dùng dấu vết để ghi lại các con
số, đây cũng là những cố gắng ban đầu này, những hệ thống chữ viết khác nhau đã
dần dần phát triển để ghi lại các số một cách khoa học hơn. Như vậy là các hệ thống
chữ số xuất hiện. Sau đây là các loại hệ thống chữ số đã được sử dụng nhiều trong các
dân tộc trên thế giới từ xưa cho tới nay.
3.2 Hệ thống nhóm đơn
Hệ thống nhóm đơn được thực hiện theo nguyên tắc sau đây: nếu b là cơ số thì người
ta có ký hiệu cho 1, b, b
2
, b
3
, Một con số bất kỳ có thể được biểu thị bằng cách dùng
ký hiệu trên theo nguyên tắc cộng, tức là mỗi ký hiệu được lặp đi lặp lại một số lần
cần thiết.
Người Ai Cập cổ và người Babilon cổ đã dùng hệ thống nhóm đơn để ghi số.
3.3 Hệ thống nhóm nhân.
Nếu b là cơ số của một hệ thống nhóm nhân thì người ta dùng các ký hiệu cho 1,2,
b–1 và các ký hiệu cho b, b
2
, b
3
,
Ví dụ: Nếu 10 là cơ số và dùng các ký hiệu như ngày nay cho các số từ một đến chín
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 và a, b, c lần lượt được dùng làm ký hiệu cho 10, 10
2
, 10
3
thì ta
viết số 2978 như sau 2c9b7a8.

Các nước Trung Quốc, Nhật cổ đã dùng hệ thống nhóm nhân theo cơ số mười.
3.4 Hệ thống chữ số mã hóa.
Nếu b là cơ số của một hệ thống chữ số mã hóa thì các ký hiệu được chọn cho 1,
2, , b – 1; 2b, , (b – 1)b, b
2
, 2b
2
, , (b – 1)b
2
, kiểu chữ số mã hóa dùng khá nhiều
ký hiệu, song cách biểu thị thì rất là gọn.
Các nước Hy Lạp, người công giáo Ai Cập cổ, đã dùng hệ thống chữ số mã hóa.
12
Hệ thống chữ số Hy Lạp cổ hay còn gọi là hệ thống Ionic có vào khoảng 450 năm
trước công nguyên. Hệ thống này có cơ số 10 và dùng 27 chữ bao gồm 24 chữ của vần
cái Hy Lạp và ba ký hiệu mà nay không còn nữa cho các chữ digamma, koppa, sampi.
Hệ thống chữ số mà chúng ta đang dùng ngày nay là một ví dụ cho hệ thống chữ số vị
trí với cơ số 10. Nếu b là cơ số cho một hệ thống này thì người ta chỉ có dùng các ký
hiệu cho các số 0, 1, 2, , b – 1. Tùy theo vị trí của các ký hiệu này mà chúng có
những giá trị khác nhau.
3.5 Hệ thống chữ số Hindu - Ả Rập.
Hệ thống này (cũng là hệ thống số ta đang dùng) do người Hindu đã phát hiện ra và
người Ả Rập truyền sang Tây Âu. Các ký hiệu cho các số của chúng ta hiện nay đã
tìm thấy trên một cột đá ở Ấn Độ do vua Âsoka dựng lên vào khoảng năm 250 trước
công nguyên. Những mẫu xưa này không có số 0 và không dùng quy tắc vị trí ký hiệu
để ghi số. Số 0 và quy tắc vị trí có lẽ đã xuất hiện ở Ấn Độ vào khoảng năm 800 sau
Công nguyên do một nhà Toán học Ba Tư Al – Khowarizmi đã ghi lại hệ thống Hindu
hoàn chỉnh như vậy vào năm 825 sau công nguyên.
Những ký hiệu số đã chịu biến dạng đáng kể theo quá trình lịch sử. Khi ngành in ấn
phát triển thì những ký hiệu này mới ổn định. Từ số không có lẽ đã được bắt nguồn từ

Latin hóa zephirum của từ Ả Rập sifr, từ này này được dịch từ sunyz của Hindu, có
nghĩa là “trống không”. Từ Ả Rập được đưa vào tiếng Đức vào thế kỷ thứ XIII thành
cifra và từ tiếng đó, hiện nay trong tiếng Anh có từ cipher là số không.
4. Toán học có đi xa rời thực tế không?
Từ xa xưa đã có nhiều quan điểm khác nhau như sau:
Quan điểm 1. Quan điểm coi những khái niệm, quy luật của toán học là những điều
ghi chép, phản ánh thu được từ sự trừu tượng hoá những sự vật cụ thể và những tính
chất của chúng. Đó chính là sản phẩm của sự sáng tạo của tư duy và những ký hiệu
thuận tiện cho hoạt động nhận thức của con người.
Quan điểm 2. Quan điểm coi toán học mang bản chất riêng, độc lập với thế giới hiện
thực. Về tổng thể thì bất kỳ hệ thống điều khiển nào có cấp độ phản ánh thế giới theo
cấp tiến hoá của hệ thống đó. Con người là hệ thống có cấp độ phản ánh thực tại cao
nhất là tư duy. Sản phẩm và vật liệu để con người tư duy là khái niệm. Khái niệm có
được thông qua nhiều loại thao tác tư duy khác nhau, đặc biệt là Khái quát hoá và
Trừu tượng hoá. Để đảm bảo cho việc phản ánh thế giới thực khách quan nhất con
người mới sinh ra hoạt động Khoa học của mình, đảm bảo hiểu đúng, sâu sắc mọi mặt
của thế giới thực, kiến thức có kiểm chứng.
Khái niệm “phản ánh” giúp ta hiểu là có cầu nối từ ~ gì ta tư duy với thế giới thực.
Rồi con người lại nghiên cứu về cách con người trừu tượng hoá thế giới nữa. Vậy là
xuất hiện thêm 1 đối tượng nghiên cứu cũng “khách quan” cả thôi, nhưng không còn
chỉ là “thế giới thực“ mà không có chúng ta nữa, mà chính xác là về thế giới trong hệ
13
thống điều khiển của chúng ta (còn thế giới thực thì ở sau sự phản ánh đó như
background). Tất nhiên, nghi ngờ rằng chúng ta chẳng bao giờ hiểu đúng thực tế “thế
giới” khách quan luôn ám ảnh.
Nếu chúng ta có niềm tin vào khoa học thì chính Quan điểm số 1 là hợp lý và cũng lại
là định hướng đúng đắn cho ngành Toán học.
4.1Toán học bắt nguồn từ thực tế.
Vì Toán học nghiên cứu về các hình thức không gian của sự vật, hiện tượng; những
quan hệ định lượng khác nhau của sự vật, hiện tượng trong thế giới thực nên những

khái niệm hình dáng, số lượng đầu tiên của Toán học không thể rút ra từ đâu khác mà
chỉ từ thế giới thực, qua thực tiễn cân đong, đo đếm
1. Khái niệm số, đại lượng là kết quả của sự trừu tượng hoá 1 số tính chất của
các nhóm đối tượng cụ thể và ngược lại, nó có thể dùng làm công cụ tính toán.
2. Hình dạng, kích thước là những khái niệm trừu xuất khỏi những đặc điểm về
chất lượng của đối tượng được so sánh.
Về sau các nhà toán học tiến hành hàng loạt phép trừu tượng hoá. Ta phân biệt phép
trừu tượng toán học với phép trừu tượng của các khoa học khác là ở chỗ toán học có
trừu tượng kế tiếp nhau (trừu tượng của trừu tượng). Chính vì thế từ những khái niệm
trừu tượng đầu tiên của toán học chúng ta đã sử dụng chúng để xây dựng những khái
niệm khác, ngày 1 trừu tượng hơn: Không gian 3 chiều
⇒
không gian N chiều, số tự
nhiên
⇒
số hữu tỉ
⇒
số thực
⇒
số phức (với việc dùng số ảo); hình học Ơclit
⇒

hình học Lôbasepxki
⇒
hình học Rioman
4.2Có nghi ngờ rằng Toán học sẽ xa rời dần thực tế.
Thực ra, dù trừu tượng đến đâu thì toán học vẫn là sản phẩm của tư duy, kết quả của
sự phản ánh hiện thực tích cực, sáng tạo của con người. Thông qua những hình thức
trừu tượng mà tư duy con người phản ánh thế giới đầy đủ hơn, sâu sắc hơn.
Và như vậy thao tác trừu tượng ở đây nâng lên 1 cấp độ mới chỉ quan tâm đến Quan

hệ và Hình thức.
• Cấp 1 là từ quan hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng riêng lẻ
⇒
quan
hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng bất kỳ (khái niệm toán học)
• Cấp 2 là từ quan hệ, hình thức không gian của sự vật, hiện tượng bất kỳ
⇒
khái
niệm toán học trừu tượng hơn.
Việc trừu tượng hoá liên tiếp khái niệm toán học không làm mất đi bản chất gốc của
chúng mà chỉ là những khám phá bản chất hơn phục vụ tìm những quy luật chính xác,
đúng đắn hơn. Trong việc trừu tượng hoá liên tiếp, việc phát hiện quan hệ gì, hình
thức không gian như thế nào tất nhiên là có sự sáng tạo của con người. Tất cả là cách
14
thức phản ánh độc đáo của hệ điều khiển con người mà. Có nét riêng của mình nhưng
cũng luôn nhằm đích phản ánh ngày một sâu sắc hơn, bản chất hơn và chân lý hơn.
5. Vai trò của các ký hiệu toán học trong nhận thức khoa học
Trên cơ sở nghiên cứu lịch sử phát triển của toán học, chúng ta nhận thấy rằng, kết
cấu logic và sự phát triển của các lý thuyết toán học ngày càng phụ thuộc vào việc sử
dụng các ký hiệu toán học và sự cải tiến các ký hiệu đó. Ngày nay, chúng ta đã có đầy
đủ căn cứ để khẳng định rằng, các ký hiệu toán học không những chỉ là phương tiện
thuận lợi cho việc nghiên cứu khoa học nói chung và toán học nói riêng, mà chúng
còn có một giá trị nhận thức luận to lớn. Sở dĩ các ký hiệu toán học có vai trò quan
trọng như vậy là do nội dung khách quan của chúng quy định.
Như chúng ta đã biết rằng, trong lịch sử toán học, vào đầu thế kỷ thứ V, khi người ấn
Độ đưa ký hiệu vào để chỉ số 0 thì họ đã có thể xoá bỏ được hệ thống tính từng cấp và
phát triển hệ thống tính thập phân mà tính ưu việt của nó trong tính toán đã được hàng
trăm triệu người trên hành tinh chúng ta sử dụng hàng ngày. Đồng thời, khi nhà khoa
học nổi tiếng người Đức là Lépnít đưa ra ký hiệu vi phân và tích phân thì toán học đã
thực sự đổi mới. Thật vậy, nếu như trước đây lời giải của nhiều bài toán về tính diện

tích, thể tích, cơ học, thiên văn học… đòi hỏi những nỗ lực to lớn mà chỉ những nhà
toán học lỗi lạc mới có thể giải được, thì khi các ký hiệu của Lépnít xuất hiện, nhìn
chung chúng đã được giải quyết, mặc dù đó là sự giải quyết một cách máy móc. Như
vậy, với những ký hiệu toán học, chúng ta có thể giải quyết được những nhiệm vụ gắn
liền với thực tiễn. Do ký hiệu toán học có nội dung khách quan đích thực. Ở đây, vấn
đề là ở chỗ, nội dung ấy được thể hiện như thế nào trong quá trình nghiên cứu khoa
học của chúng ta.
Chúng ta đều biết rằng, nhiều nhà triết học duy tâm thường khẳng định tư duy của con
người không có khả năng đưa ra các chân lý khách quan. Song, trên thực tế họ lại luôn
minh chứng cho nhận thức luận duy tâm của mình bằng cách sử dụng hệ thống ký
hiệu và công thức toán học do các nhà toán học đưa ra. Giải thích việc sử dụng hệ
thống này, các nhà triết học duy tâm cho rằng, đối tượng của toán học mang tính trừu
tượng cao, trong khi quy luật phát triển của toán học lại rất phức tạp, ngôn ngữ ký
hiệu thì ngày càng được sử dụng nhiều trong toán học, nên các chân lý toán học không
có tính khách quan. Từ đó, họ coi toán học chỉ là một hệ thống ký hiệu đã được lựa
chọn từ trước một cách thích hợp và căn cứ vào đó để minh chứng cho học thuyết của
mình. Bác bỏ quan niệm đó, các nhà triết học duy vật đã dựa vào toàn bộ quá trình
phát triển của tri thức khoa học để chỉ ra sai lầm của chủ nghĩa duy tâm về đối tượng
của toán học và phân tích một cách đúng đắn nội dung, ý nghĩa của các ký hiệu toán
học.
Theo quan điểm duy vật biện chứng, các ký hiệu toán học, trước hết được sử dụng để
ghi lại các khái niệm và các mệnh đề toán học. Chẳng hạn, trong số học các số tự
nhiên, các ký hiệu 1, 2, 3… biểu thị đặc điểm về lượng của nhóm đối tượng chứa một,
hai, ba… đối tượng. Các ký hiệu >, = , < biểu diễn những sự tương quan, chẳng hạn 1
15
< 2 (1 bé hơn 2). Đồng thời, người ta còn sử dụng đấu hiệu các phép tính số học như:
+, - , x, : để biểu thị những mối liên hệ có thể có giữa các số tự nhiên. Tất cả các ký
hiệu nói trên cho phép ta diễn đạt một cách hoàn toàn chính xác nhiều mệnh đề của số
học các số tự nhiên. Ví dụ, ký hiệu (3 x 5) - 7 = 4 x 2 biểu diễn một mệnh đề số học.
Trong đại số học, người ta thường dùng các ký hiệu là các chữ như a, b, c, , x, y, z

để biểu đạt các thông số và những đại lượng biến thiên. Chẳng hạn, trong phương
trình ax
2
+ bx + c = 0, mỗi hệ số a, b, c có thể nhận bất kỳ giá trị thực nào, còn ẩn số x
cần tìm là thuộc tập hợp các số phức. Việc sử dụng các ký hiệu về đại lượng biến
thiên cho phép ta diễn đạt ở dạng tổng quát các quy luật của đại số và cả các quy luật
của các lý thuyết toán học khác. Ví dụ:
a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)
(a + b).c = a.c + b.c
a
n
- b
n
- (a - b). (a
n-1
+ a
n-2
b + + ab
n-2
+ b
n-1
)
Trong thực tế, nếu chúng ta khảo sát những sự thể hiện khác nhau của cùng một tiêu
đề xuất phát thì không những chỉ các khái niệm về đối tượng của lý thuyết thay đổi,
mà cả các khái niệm về sự tương quan và liên hệ giữa chúng cũng thay đổi. Chẳng
hạn, trong hệ tiên đề pêanô, các ký hiệu >, =, <, +, -, x, : sẽ có ý nghĩa khác nhau
tuỳ theo ký hiệu 1 , 2 , 3 biểu thị các số tự nhiên về lượng hay về thứ tự. Ví dụ, ký
hiệu 3 < 4 nếu biểu thị về lượng thì có nghĩa là 3 bé hơn 4, song nếu biểu thị về thứ tự
thì có nghĩa là 3 đứng trước 4.
Như vậy, có thể nói, các ký hiệu toán học cho phép ta ghi lại một cách cô đọng và

dưới dạng dễ nhận thức những mệnh đề rất rườm rà trong ngôn ngữ thông thường.
Nhờ đó, ta có thể dễ nhớ và có khả năng nắm được nội dung của chúng. Đồng thời,
các ký hiệu này còn được sử dụng một cách có hiệu quả trong toán học để ghi lại các
khái niệm và các mệnh đề, mỗi khi chúng phản ánh được những tương quan về lượng
và những hình dạng không gian nhất định của thế giới hiện thực. Chính vì vậy, trước
khi sử dụng những ký hiệu vào những lập luận của mình, nhà toán họe cần chỉ rõ mỗi
ký hiệu như thế biểu thị cái gì, nếu không sẽ dẫn đến những hiểu biết sai lệch điều mà
các ký hiệu muốn nói và như vậy, mọi lập luận trong toán học sẽ không thể tiếp tục
tiến hành. Chỉ khi ý nghĩa của các ký hiệu đã được thiết là một cách chính xác, chúng
ta mới có khả năng hiểu được điều mà các quan hệ muốn diễn đạt.
Trong toán học, vai trò của các ký hiệu rất giống với vai trò của tiếng nói thông
thường trong xã hội. Điều này được thể hiện ở chỗ, tiếng nói của các ký hiệu toán học
cho phép các nhà toán học trao đổi với nhau và trao đổi với những người khác về chân
lý toán học, về việc tổ chức nghiên cứu khoa học. Nhà toán học nổi tiếng người Nga -
Lôbasépxki đã nhận định rằng, cũng như tiếng nói thông thường có khả năng làm cho
sự hiểu biết của chúng ta thêm phong phú nhờ lĩnh hội được ý kiến của những người
khác, tiếng nói của các ký hiệu toán học là một phương tiện hoàn hảo hơn, chính xác
và sáng sủa hơn để người này truyền cho người kia những khái niệm mà họ lĩnh hội
16
được, những chân lý mà họ tìm thấy. Nhưng ở đây, cần phải thấy một điều đặc biệt
quan trọng là, tiếng nói của các ký hiệu toán học không thể tồn tại được nếu không có
tiếng nói thông thường. Tiếng nói thông thường có nội dung phong phú hơn tiếng nói
của các ký hiệu toán học. Tất cả những mệnh đề toán học được diễn tả bằng tiếng nói
của ký hiệu đều có thể diễn tả bằng tiếng nói thông thường. Nhưng điều ngược lại thì
không đúng, mọi mệnh đề được diễn tả bằng tiếng nói thông thường không phải lúc
nào cũng có thể diễn tả bằng tiếng nói của các ký hiệu toán học. Tiếng nói của các ký
hiệu toán học chỉ là một công cụ bổ sung cho tiếng nói thông thường, nó được sử
dụng trong toán học và một phần trong các ngành khoa học khác mà ở đó, có ứng
dụng toán học. Việc ký hiệu hoá toán học không đơn thuần là một vấn đề hình thức,
một cách viết tắt thuận lợi, mặc dù không bao giờ được xem thường khía cạnh đó.

Ngôn ngữ toán học cho phép ta nói ngắn gọn nhiều điều mà nếu diễn tả bằng ngôn
ngữ thông thường sẽ rất dài đòng, phức tạp. Ở đây, chúng ta có thể nhận thấy tính ưu
việt của việc sử dụng các ký hiệu toán học, nếu so sánh công thức của bất đẳng thức
Bunhiacốpxki:
(a
2
+ a
2
+ + a
2
).(b
2
+ b
2
+ … + b
2
) > (a
1
b
1
+ a
2
b
2
+… +a
n
b
n
)
2

. Với cách diễn đạt nội
dung của nó bằng lời. Rõ ràng, việc phát biểu công thức này bằng lời sẽ dài dòng hơn
rất nhiều, và nếu so sánh cách chứng minh bất đẳng thức trên bằng ký hiệu với cách
chứng minh bằng lời thì chúng ta càng nhận thấy sự thuận tiện của việc sử dụng các
ký hiệu toán học.
Tuy nhiên, không phải lúc nào các ký hiệu toán học cũng có thể biểu diễn một cách
ngắn gọn nội dung toán học và các khoa học khác. Các ký hiệu toán học sẽ không
thực hiện được nhiệm vụ chủ yếu này của chúng, nếu chúng chỉ là những biểu hiện
ngắn gọn của những dạng ngôn ngữ đài dòng hơn. Chẳng hạn, việc xây dựng cơ học
cổ điển đã diễn ra với việc sử dụng các véctơ để diễn tả chuyển động. Theo đánh giá
của Anhxtanh, ở đây toàn bộ công việc đã làm chỉ là chuyển những sự kiện đã được
thừa nhận từ trước thành một ngôn ngữ phức tạp và kỳ lạ. Nhưng, theo ông, chính cái
ngôn ngữ kỳ lạ là véctơ ấy đã dẫn đến những điều khái quát quan trọng mà trong đó,
véctơ giữ vai trò nòng cốt.
Vấn đề đáng lưu tâm là ở chỗ, các ký hiệu toán học chỉ có tính ưu việt khi chúng đảm
bảo vai trò hàng đầu của mình trong nhận thức khoa học. Điều đó được thể hiện ở việc
tham gia giải quyết các nhiệm vụ của chúng. Chẳng hạn, trong đại số học, với các biểu
thức bằng chữ, chúng ta dễ dàng thực hiện được các phép tính và biến đổi từ dạng này
sang trạng khác. Việc giải một bài toán đại số dẫn tới một hệ hai hoặc ba phương trình
tuyến tính mà nếu diễn đạt bằng lời, sẽ không thực hiện được trong khi đó, với các ký
hiệu đại số, lời giải của nó được tìm thấy rất nhanh.
Sự tồn tại trong toán học các phép tính, các thuật toán khác nhau cho phép chúng ta
giải theo một quy tắc nhất định hàng loạt bài toán mà khoa học tự nhiên và kỹ thuật
thường xuyên đặt ra, đó chính là nét đặt trưng của toán học. Để cho các phép toán dẫn
đến lời giải của những bài toán xác định, chúng ta cần phải xây dựng những chỉ dẫn
chính xác để trên cơ sở đó, từ những cái đã cho lúc đầu mà thu được kết quả cần tìm.
17
Trong các tập Bản thảo toán học, Mác đã nghiên cứu riêng toán học và để lại nhiều tư
tưởng quý giá về các vấn đề mà chúng ta quan tâm. Trong đó, những tư tưởng của
Mác về cái gọi là "cuộc cách mạng trong phương pháp" có ý nghĩa đặc biệt quan trọng

về mặt phương pháp luận. Trong khi phân tích những quan niệm khác nhau về cơ sở
của phép tính vi phân, Mác đã khẳng định rằng, việc sử dụng các ký hiệu trở thành bí
ẩn và khó hiểu nếu ngay từ đầu chúng được coi là cái đã cho, đã có sẵn. Điều khẳng
định của Mác đã xảy ra đối với các nhà sáng lập phép tính vi phân - Niutơn và Lépnít
cùng những người kế tục gần gũi các ông. Trong khi tìm các đạo hàm và vi phân của
hàm số, ngay từ đầu, họ đã coi số gia của đối số như là các vi phân. Khi lấy vi phân
một hàm số xác định y = f(x) , một bộ phận nào đó được bỏ đi coi như vô cùng nhỏ,
nhưng nếu số hạng bỏ đi khác 0 thì việc bỏ nó là một phép toán không hợp pháp; nếu
có (dx) = 0 thì khi đó, cả (dy) cũng bằng 0 và đẳng thức của chúng ta biến thành đồng
nhất thức 0 = 0. Như vậy, số hạng bỏ đi đồng thời phải là 0 và không là 0. Lẽ đương
nhiên là ở đây, không có phép biện chứng nào cả. Trái lại, chính điều này đã đi đến
chỗ gán cho các vi phân những tính chất bí ẩn đặc biệt nào đó, khác với các tính chất
của các đại lượng thông thường. Dựa vào đó, nhà triết học duy tâm Béccơly đã lấy cớ
để gọi chúng một cách châm biếm và hài hước là "bóng ma của những đại lượng
chết".
Để vứt bỏ tấm màn bí ẩn ở các khái niệm và ký hiệu của phép tính vi phân, theo Mác,
cần phải làm cho ký hiệu đặc trưng đối với phép tính .vi phân không xuất hiện như là
điểm xuất phát, mà như là kết quả của quá trình hoạt động thực tế không chứa một
chút gì là ký hiệu. Mác cho rằng, điểm xuất phát phải nằm trong giới hạn của đại số
thông thường mà chưa yêu cầu những thuật toán đặc biệt của phép tính vi phân và các
ký hiệu của nó. Ở đây, điều mà chúng ta cần lưu ý là ở chỗ, Mác đã chỉ rõ những việc
cần phải làm để tìm ra đạo hàm của một hàm số xác định y = f (x). Trước hết, Mác lập
các số gia hữu hạn Δx và Δy. Trong khi một số nhà triết học duy tâm, chẳng hạn như
Alembécxơ, coi các số gia đó như những cái đã tồn tại từ trước, bất luận sự biến đổi
nào của các biến số, thì Mác, trái lại, coi chúng như là kết quả biến đổi của các biến
số.
Mác coi việc khử các số gia là công đoạn diễn ra do kết quả biến đổi ngược của các
biến số x và y, còn việc lấy vi phân một hàm số là một phép toán bao gồm cả công
đoạn tính và khử các số gia hữu hạn. Mác viết: "Lúc đầu là việc tính các số gia và sau
đó là việc khử chúng, như vậy sẽ dẫn đến không có gì hết. Tất cả những khó khăn

trong việc hiểu phép vi phân (cũng như trong việc hiểu phủ định của phủ định
nói chung) chính là ở chỗ, làm sao thấy được ở điểm nào, nó khác với thủ tục đơn
giản như thế và vì vậy, nó dẫn đến kết quả thực tế nào".
Như vậy, hệ số vi phân bằng ký hiệu xuất hiện không phải như điểm xuất phát, mà
như sự phản ánh của việc tìm ra đạo hàm trong một quá trình đại số đích thực nào đó,
không chứa một ký hiệu đặc trưng cho phép tính vi phân nào. Mác viết: "Sự bất hạnh
tiên thiên hay các ký hiệu không còn mang tính chất khủng khiếp vì giờ đây, nó chỉ
xuất hiện như là biểu hiện của một quá trình mà nội dung thực tế đã được hiểu rõ".
18
Nghiên cứu lịch sử hình thành và phát triển của phép tính vi phân, Mác đã áp đụng
quan điểm toàn diện trong việc phân tích và lặp lại phép biện chứng của các đại lượng
biến đổi và qua đó, đã chứng minh tính hiệu quả của phép biện chứng duy vật trong sự
phát triển của nhận thức toán học. ông viết: "Hệ số vi phân bằng ký hiệu như thế trở
thành điểm xuất phát độc lập mà ta chỉ cần tìm cái tương đương thực tế của nó. Như
vậy, sự mở đầu được chuyển từ một cực là đại số sang cực kia là ký hiệu và do đó,
phép tính vi phân cũng xuất hiện như một phép tính đặc thù nào đó, như một thao tác
độc lập trên một mảnh đất riêng".
Trong quan điểm của Mác, một vấn đề nổi lên là phương pháp đã có sự đổi hướng,
bản thân phương pháp đại số đã biến thành phương pháp vi phân đối lập với nó. Nếu
như trước đây, chúng ta đi từ quá trình toán học thực tế về việc tính đạo hàm đến biểu
thức bằng ký hiệu của nó (tức là từ đối tượng đến cái bóng của nó) thì giờ đây, xuất
phát từ ký hiệu đã cho, chúng ta tìm hệ thức thực tế phù hợp với nó (tức là chúng ta đi
từ cái bóng đến đối tượng như Mác nói). Và, theo Mác, bước ngoặt đó trong phương
pháp là không thể tránh khỏi, là tiến bộ. Trong lịch sử toán học, đã có nhiều nhà khoa
học, chẳng hạn, Lagơrăng, trong khi cố gắng phát triển phép tính vi phân từ các hệ
thức đại số thông thường đã không tới được phép tính vi phân, bởi họ đã không đổi
ngược quan hệ giữa đại số và phép tính vi phân.
Tư tưởng của Mác về cuộc cách mạng trong phương pháp có một ý nghĩa phương
pháp luận to lớn đó là chỉ ra biện pháp loại bỏ sự thần bí gắn với các ký hiệu. Điều đó
có ý nghĩa quyết định trong giai đoạn nhận thức hiện nay và cho phép chúng ta hiểu rõ

cội nguồn của tất cả những bế tắc mà thực chứng luận hiện đại và quan niệm đề cao
ngôn ngữ toán học một cách thái quá đã mắc phải. Đồng thời, những tư tưởng đó còn
chỉ rõ tính tất yếu và tính chất tiến bộ của một thực tế là, khi nhà nghiên cứu sử đụng
toán học, điểm xuất phát không phải là đi từ các dữ kiện thực tế đến ký hiệu của
chúng, mà đi từ các hình thức ký hiệu đến cái tương đương thực tế của chúng.
Với những thành tựu của cuộc cách mạng trong phương pháp, vai trò của các ký hiệu
đã thay đổi một cách cơ bản: Từ biện pháp ghi lại các hiện tượng đã biết, ký hiệu biến
thành biện pháp để tìm ra cái chưa tìm được. Đồng thời, chính nhờ điều đó mà tính
chất "tác chiến" của ký hiệu toán học đã tìm thấy vai trò to lớn của nó. Vì vậy, có thể
nói, quan điểm coi vi phân như một ký hiệu "tác chiến" của Mác có ý nghĩa rất quan
trọng trong nhận thức toán học. Từ đó, chúng ta có thể đưa ra một ký hiệu "tác chiến"
mới là dy = f ''(x)dx để diễn đạt hình thức ký hiệu chung của phép lấy vi phân.
Như vậy, từ lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta nhận thấy rằng,
trong toán học, người ta có khả năng sử dụng tiếng nói của ký hiệu chính là do đặc
điểm về đối tượng nghiên cứu của nó. Cụ thể là, toán học nghiên cứu những hình dạng
và quan hệ của các đối tượng trong thế giới hiện thực mà trong những giới hạn đã biết,
chúng không phụ thuộc vào nội dung thực tế của đối tượng. Ngày nay, trong toán học,
nhất thiết chúng ta phải dùng đến tiếng nói của các ký hiệu, bởi nhờ đó, ta có thể ghi
lại một cách ngắn gọn và rõ ràng các khái niệm và mệnh đề của các lý thuyết toán
họe. Đồng thời, việc sử dụng các ký hiệu còn cho phép phát triển được cả những phép
tính và những thuật toán, tức là những cái cất lõi để xây dựng nên các phương pháp và
19
các mệnh đề toán học. Như vậy, về thực chất, việc sử dụng các ký hiệu toán học là
một thí nghiệm đã được lý tưởng hoá, chúng mô tả dưới dạng thuần tuý những điều đã
được thực hiện hay có thể thực hiện được một cách gần đúng hoặc chính xác trong
thực tế. Chính vì vậy mà việc sử dụng các ký hiệu toán học có khả năng phát hiện ra
các chân lý toán học mới. Tuy nhiên, chúng ta cần lưu ý rằng, tất cả những điều nói
trên chỉ có thể thực hiện được trong trường hợp hệ thống ký hiệu toán học đó thể hiện
đúng đắn các tính chất và tương quan cơ bản, xác định của thế giới hiện thực. Toán
học nghiên cứu các quan hệ về lượng và hình dạng không gian của các đối tượng

trong thế giới đang tồn tại, có nghĩa là nó nghiên cứu những cái không phụ thuộc vào
nội dung vật chất của chúng.
Trên cơ sở đó, các đối tượng mà chúng ta đang nghiên cứu trong toán học, như số học,
đại số, hình học… và các liên hệ như cộng, trừ, nhân, chia… có thể thay thế được
bằng những ký hiệu mà ý nghĩa của chúng không hề bị xuyên tạc và thu hẹp lại. Điều
này đã được nhiều nhà toán học khẳng định, trong số đó có cả những nhà toán học duy
tâm. Chẳng hạn, Lépnít đã nhận xét rằng, cần phải quan tâm đến vấn đề làm cho
những ký hiệu trở nên thuận tiện hơn cho việc phát minh. Điều này thường xảy ra khi
các ký hiệu diễn tả một cách ngắn gọn và phản ánh một cách sâu sắc nhất thực chất
của sự vật, khi đó việc làm của tư duy sẽ giảm đến mức kỳ diệu.
Để phát triển khoa học, thế hệ sau phải "đứng lên vai" thế hệ trước, chiếm lấy toàn bộ
kiến thức mà các thế hệ trước đã tích luỹ. Song, sự phát triển ngày càng nhanh của
khoa học lại làm cho quá trình tiếp nhận kiến thức trở nên phức tạp hơn. Trước sự
phát triển như vũ bão của cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại, lượng
thông tin khoa học từng ngày, từng giờ rất lớn, vì vậy không chỉ mỗi nhà bác học
không thể sử dụng nổi, mà cả tập thể nghiên cứu cũng không thể sử dụng nổi lượng
thông tin ấy. Điều đó đã dẫn tới một thực tế là, việc phát hiện ra một sự kiện mới hoặc
lập ra một lý thuyết mới còn dễ hơn là biết được rằng, chúng đã được phát hiện hay đã
được xây dựng chưa. Do sự phát triển như vũ bão của khoa học, phần kiến thức mà
một người có thể nắm được cũng không ngừng giảm đi, điều đó dẫn tới việc chuyên
môn hoá một cách chi tiết hơn và chính những hậu quả không hay cũng được sinh ra
từ đó. Đồng thời, cũng chính điều này đã dẫn tới sự trùng lặp của các công trình khoa
học một cách ngẫu nhiên. Hiện nay, người ta đã tính được trên thế giới có rất nhiều
công trình nghiên cứu khoa học lẽ ra không được phép tiến hành, nếu như có sự thông
tin về các công trình tương tự đã được hoàn thành. Những sự trùng lặp như
vậy, theo ước tính, đã gây thiệt hại hàng tỷ đồng. Do tình trạng đó, nên ngày nay,
người ta đã thành lập những hệ thống tìm kiếm thông tin đặc biệt để giảm bớt những
"cuộc hành trình trong cái biển thông tin rộng lớn. Khối lượng lớn kiến thức được lưu
trữ một cách thuận lợi không phải ở trên các giá sách của thư viện, mà là ở trong bộ
nhớ của các máy tính điện tử. Những máy tính này có khả năng cung cấp nhanh chóng

cho người sử dụng bất cứ đòi hỏi nào về những nhu cầu giữ trong bộ nhớ. Những cái
mà con người với tư cách một sinh vật sinh lý không làm được thì nó có thể làm được
và làm có kết quả như một sinh vật xã hội, trong đó các máy tính điện tử là sự giúp đỡ
vô cùng quý giá.
20
Vấn đề là ở chỗ, tập hợp các kiến thức có thể biểu diễn dưới dạng một không gian n
chiều, khi đó một thông tin bất kỳ được tìm ra nhờ sự dời chỗ trong không gian
này theo một phương đã cho nào đó. Những phương khác nhau được ký hiệu bằng
những "số hiệu khái niệm" và tài liệu được biểu thị bởi một véctơ trong không gian
các khái niệm này. Mỗi khái niệm được gán cho một chỉ số về "trọng lượng", nó biểu
diễn tần số sử đụng chúng trong một bài. Sau khi biểu thị tài liệu dưới dạng véctơ khái
niệm, người ta so sánh một véctơ biểu thị nhu cầu với các véctơ biểu thị tài liệu để tìm
ra câu trả lời.
Máy tính không hề biết "ngoại ngữ" và cũng không biết một thứ ngôn ngữ tự nhiên
nào, chính vì vậy mà chúng ta cần phải nói với máy thứ ngôn ngữ mà nó hiểu, những
nhu cầu thông tin và những điều đã được công bố được dịch ra thứ tiếng đó. Do vậy,
chúng ta phải lập nên một ngôn ngữ hình thức hoá đặc biệt để sử dụng cho việc giải
quyết một lớp bài toán hoàn toàn xác định. Một ngôn ngữ hình thức hoá được phân
biệt bởi các giá trị cố định trong các ký hiệu của nó và bởi một hệ thống quy tắc được
xác định chính xác và đơn trị, các quy tắc này xác định luật sử dụng các ký hiệu. Như
vậy, chúng ta có một ngôn ngữ thông tin tìm kiếm dưới dạng trừu tượng, gồm có bảng
kê những ký hiệu cơ sở, các quy tắc cấu tạo (quy định kết hợp các ký hiệu như thế
nào). Các quy tắc biến đổi (quy định các biểu thức như thế nào để được một kết luận
logic) và các quy tắc giải đoán (quy định gán những nghĩa nào cho các biểu thức hình
thành theo quy tắc cấu tạo).
Ở đây, một vấn đề có ý nghĩa lớn là, những ký hiệu được đưa vào ngôn ngữ toán học
nhân tạo thường có tính chất quốc tế và giúp cho việc khắc phục trở ngại về ngôn ngữ,
bởi những tài liệu được công bố bằng tiếng nước ngoài thường khó hiểu đó bất đồng
ngôn ngữ. Song, như chúng ta đã biết, nhờ có ngôn ngữ của các ký hiệu mà từ lâu,
việc không phiên dịch các thông báo khoa học do các nhà khoa học của nhiều nước

trình bày trong các cuộc hội thảo khoa học đã trở thành truyền thống của các hội nghị
toán học quốc tế. Như vậy, chính ngôn ngữ của các ký hiệu, công thức và phương
trình đã liên kết các nhà khoa học toàn thế giới.
Nếu xét trên bình diện nghiên cứu khoa học, những đặc điểm của ngôn ngữ tự nhiên
đôi khi đã tạo nên những yếu tố chủ quan trong quá trình nhận thức. Việc ứng dụng
toán họe vào các khoa học khác đã nâng cao giá trị khách quan của các nguyên lý
khoa học, vì khi đó, người ta có thể loại trừ được những mối liên hệ đa dạng với chủ
thể, cái mà luôn tồn tại trong ngôn ngữ tự nhiên. Có thể nói rằng, ngôn ngữ toán học
là sự cải tiến ngôn ngữ chung, là sự trang bị cho ngôn ngữ chung những công cụ thuận
tiện để phản ánh những mối liên hệ phụ thuộc mà nếu diễn đạt bằng ngôn ngữ thông
thường, sẽ không chính xác hoặc phức tạp.
Ngôn ngữ tự nhiên nảy sinh trên cơ sở vận dụng những đối tượng mà chúng ta bắt gặp
trong kinh nghiệm hàng ngày còn khoa học hiện đại lại sử dụng những khái niệm liên
quan một cách gián tiếp với những cái thấy được hàng ngày. Bức tranh vật lý của thế
giới khác xa với kinh nghiệm thông thường. Đó chính là nguyên nhân chủ yếu của
việc cần đến ngôn ngữ toán học trừu tượng, thứ ngôn ngữ tỏ ra là một công cụ không
21
thể thay thế được khi đi vào lĩnh vực các hiện tượng vật lý nằm rất xa ngoài các giới
hạn của kinh nghiệm hàng ngày.
Cải tiến ngôn ngữ khoa học là một vấn đề có ý nghĩa đặc biệt và cấp bách đối với
nhận thức khoa học, nhất là đối với các khoa học xã hội và các ngành mô tả của tự
nhiên học. Chẳng hạn, trong các khoa học xã hội, nếu chỉ mô tả bằng lời những hệ
thống phức tạp, đa dạng và những mối quan hệ tương hỗ của chúng thì nhất định sẽ
dẫn tới những kết luận khái quát khó phân tích, so sánh và vận dụng. Điều đó càng
đúng hơn đối với sự diễn đạt bằng lời các lý thuyết và sự hoạt động của những hệ
thống nói trên. Những khó khăn này có thể khắc phục được nếu thay thế sự diễn đạt
bằng lời bằng các biểu thức toán học.
Có thể nói các ký hiệu toán học xuất hiện và ngày càng đa dạng hoá là do yêu cầu
phát triển của chính bản thân toán học và của các khoa học khác, chứ không phải chỉ
là sản phẩm tư duy thuần tuý của các nhà khoa học hay do Thượng đế mách bảo như

quan điểm của các nhà triết học duy tâm. Và, giá trị to lớn của những ký hiệu toán học
là ở chỗ, chúng là công cụ trợ giúp đắc lực cho khả năng nhận thức của con người về
thế giới hiện thực và góp phần thúc đẩy các khoa học khác phát triển, góp phần phục
vụ cho lợi ích thiết thực của con người hay như Mác đã khẳng định: "Một khoa học
chỉ đạt được sự hoàn chỉnh khi nó sử dụng toán học".
6. Hiện tượng ngẫu nhiên, cái chân lý Toán học và ý nghĩa thực tiễn
Chúng ta sẽ xem xét cái ngẫu nhiên được nghiên cứu trong các lý thuyết toán học,
trong đó lý thuyết xác suất và thống kê là cơ bản nhất. Lý thuyết xác suất và thống kê
của toán học ra đời nhằm nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, phát hiện ra quy luật
hoạt động của chúng, thúc đẩy khoa học phát triển, tăng cường khả năng nhận thức
của con người đối với thế giới khách quan.
Hiện tượng ngẫu nhiên là rất phổ biến trong thực tiễn, từ vật lý vi mô đến sinh học,
hóa học, khí tượng học và các khoa học xã hội, v.v Vì thế, lý thuyết xác suất ngày
càng có vị trí đặc biệt quan trọng trong khoa học và được nghiên cứu một cách sâu
sắc. Trong các lý thuyết toán học đã có nhiều quan niệm về khái niệm xác suất, nhưng
ở bài viết này, chúng tôi chỉ đề cập đến định nghĩa cổ điển của xác suất và định nghĩa
xác suất nhờ tần suất.
Trong các giáo trình toán học, xuất phát từ quan niệm coi xác suất là một đại lượng
thể hiện mức độ xảy ra của một biến cố, người ta đưa ra định nghĩa cổ điển về xác
suất như sau: "Nếu A là biến cố có n(A) biến cố sơ cấp thích hợp với nó trong một
không gian biến cố sơ cấp gồm n(
Ω
) biến cố cùng khả năng xuất hiện thì tỷ số P (A)
= được gọi là xác suất của A".
Từ quan niệm trên, ta giả sử biến cố A được phân chia thành A = A
1
+ A
2
+ + A
n

trong nhóm n biến cố đầy đủ A
1
, A
2
, , A
n
của một phép thử nào đó có cùng khả năng
xuất hiện thì xác suất của một biến cố nào đó chính là số đo khả năng khách quan xuất
hiện của biến cố đó khi phép thử g được thực hiện.
Trong toán học, không ai dùng nhiều phép thử để chứng minh định lý, nhưng để
nghiên cứu toán học thì không có lý do gì ngăn cản các nhà toán học sử dụng nhiều
22
phép thử; đặc biệt là trong thời đại ngày nay, máy tính điện tử cho phép xử lý rất
nhanh các kết quả do từng phép thử mang lại. Thực chất của việc sử dụng phép thử
trong toán học chính là việc tìm xác suất của một biến cố ngẫu nhiên nhờ tần suất của
nó. Việc làm này không phải trong thời đại ngày nay mới được đề cập đến, mà ngay
từ thế kỷ XVII, nhà toán học Thụy Sĩ - Bécnuli (1654 - 1705) đã chứng minh một
định luật rất có ý nghĩa như sau: "Khi số lần thí nghiệm càng nhiều thì khả năng có sai
lệch giữa xác suất và tần suất xuất hiện của hiện tượng là rất nhỏ. Nói cách khác, khi
số lần thí nghiệm càng nhiều thì tần suất xuất hiện của hiện tượng ngẫu nhiên A dao
động một cách ổn định gần giá trị P nào đó. Giá trị này gọi là xác suất của hiện tượng
ngẫu nhiên A. Vậy có thể dùng tần suất để thay thế xác suất".
Từ khi lý thuyết xác suất ra đời, trong thực tế đã có rất nhiều lý thuyết ứng dụng nó,
như lý thuyết trò chơi, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết phục vụ đám đông, v.v
Càng ngày, người ta càng nhận thấy rằng, những lĩnh vực trong đó có thể khẳng
định "đúng", "sai" là rất ít so với các lĩnh vực trong đó không thể khẳng định "đúng"
hay "sai", mà chỉ có thể nói đến một "xác suất" đúng hay sai P nào đó (
0 1P≤ ≤
). Ví
dụ, trong cơ học lượng tử, do lưỡng tính sóng hạt nên ta không thể khẳng định vị trí

của một hạt ở một thời điểm xác định, mà chỉ có thể nói đến xác suất để hạt ở vị trí đó.
Vào năm 1965, nhà toán học Mỹ - L.A.Zadels đã mở đầu cho việc hình thành toán học
mờ - lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu về tập hợp mờ, tức là những tập hợp không
có ranh giới rõ rệt vì không thể khẳng định được một phần tử nào đó là thuộc tập hợp
hay không, mà chỉ có thể nói đến một xác suất P để phần tử thuộc tập hợp. Trong thực
tế, có rất nhiều tập hợp mờ, chẳng hạn, M là tập hợp những ngày mưa trong năm 2005
và hỏi ngày 10-10-2005 có thuộc M hay không? ở đây, ta chỉ có thể đưa ra câu trả lời
với một xác suất P nào đó.
Để làm rõ vấn đề, ta cần chú ý đến những biến cố ngẫu nhiên do rất nhiều nguyên
nhân ngẫu nhiên gây ra mà mỗi nguyên nhân này chỉ có ảnh hưởng rất nhỏ. Việc tìm
điều kiện để những biến cố như vậy xảy ra với xác suất gần 0 (hoặc gần 1) một cách
tùy ý là nội dung các mệnh đề mang tên "luật số lớn". ở đây, các nguyên nhân được
biểu thị bằng những biến ngẫu nhiên, còn tác dụng tổng hợp của các nguyên nhân
được thể hiện bởi "tổng" của những biến ngẫu nhiên theo một cách nào đó.
Tuy những hiện tượng ngẫu nhiên là không đoán trước được, song theo lý thuyết xác
suất, người ta có thể nghiên cứu các hệ thống những hiện tượng để rút ra các quy luật
về số lớn của chúng, đồng thời biểu diễn các quy luật này bằng nhiều mô hình toán
học. Từ đó, chúng ta có thể lợi dụng được những hiện tượng ngẫu nhiên, thậm chí tạo
ra những hiện tượng ngẫu nhiên tuân theo các quy luật số lớn để dùng vào những tính
toán cụ thể. Vấn đề cốt yếu là ở chỗ, để hiểu được một hiện tượng ngẫu nhiên, ta phải
xem xét nó trong mối quan hệ với một số lớn các yếu tố, các khả năng. Khi một hiện
tượng ngẫu nhiên xảy ra thì có thể coi đó là tín hiệu của một hay nhiều quy luật mà
hiện nay khoa học chưa biết đến, hay mới chỉ biết một phần. Chính vì vậy, người ta
thường nói "cái tất nhiên bộc lộ ra bên ngoài qua cái ngẫu nhiên".
Trong toán học, lý thuyết xác suất và thống kê đã nghiên cứu rất nhiều những vấn đề
có liên quan đến ngẫu nhiên, chủ yếu là các quá trình ngẫu nhiên, các dãy những hiện
tượng ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên, tức là quá trình bao gồm những bước diễn ra
ở từng thời điểm cụ thể thì ta không hoàn toàn xác định được, nhưng nếu xét sự việc
xảy ra của cả dãy thì rõ ràng nó cũng phải tuân theo một quy luật chung nào đó. Tóm
23

lại, tìm hiểu về lý thuyết xác suất và thống kê tức là cố gắng tìm ra những quy luật
chung đối với số lớn các hiện tượng, hoặc là số lớn các đối tượng mà nếu tách từng
cái đơn nhất thì không nghiên cứu cụ thể được và không thể hiểu được. Trong lý
thuyết xác suất, những định lý cơ bản là những định lý về số lớn các biến cố. Như vậy,
phần lớn các quy luật thống kê, quy luật về những hiện tượng ngẫu nhiên là những
quy luật nói về số lớn. Điều này hết sức quan trọng, bởi thông thường, khi nghiên cứu
các đối tượng của thực tế, không phải bao giờ ta cũng có thể hiểu được sự vận động
của cả một quần thể lớn trên cơ sở nghiên cứu sự vận động của từng đối tượng cụ thể.
Trên thực tế, nhiều khi chúng ta không biết được hoạt động của từng đối tượng cụ thể,
nhưng lại hiểu được hoạt động của cả một quần thể đối tượng nếu dựa vào những quy
luật có tính chất thống kê, có tính chất xác suất. Nói cách khác, đối với từng cái cụ thể
là ngẫu nhiên, nhưng đối với toàn thể lại là có quy luật. Chẳng hạn, ta xét chuyển
động của một chất khí bao gồm hàng tỷ phân tử được đựng trong một bình. Rõ ràng,
chúng ta không thể mô tả được sự vận động của từng phân tử khí, nhưng lại hoàn toàn
có thể hiểu được sự vận động chung của cả chất khí đó. Vì thế, có thể đưa ra kết luận
rằng, trong một cái bình đựng khí mà không có trao đổi năng lượng với bên ngoài thì
các phân tử khí có xu hướng chuyển động tự do với tốc độ ngày càng lớn. ở đây, sự
vận động của từng phân tử khí đối với nhận thức của chúng ta được xem là ngẫu
nhiên, những hiện tượng ngẫu nhiên đó lại được diễn tả bằng quy luật số đông mà
thực chất, là quy luật có tính thống kê của một số lớn các phân tử.
Như vậy, xét về mặt nhận thức, chúng ta nghiên cứu cái ngẫu nhiên nhằm tìm ra quy
luật có tính chất xác định đối với một loạt các sự kiện, một loạt các sự vật mà nếu tách
chúng thành từng cái đơn nhất, từng cái cụ thể thì sẽ không hiểu được và khi đó, phải
coi nó là ngẫu nhiên.
Tóm lại, toán học xem xét cái ngẫu nhiên thực chất là đi tìm các quy luật có tính tất
yếu về hiện tượng, đối tượng vốn được coi là ngẫu nhiên. Xét về phương diện hình
thức, tất yếu và ngẫu nhiên mâu thuẫn với nhau, nên thực chất cái phi mâu thuẫn ở
đây là ở chỗ, cái ngẫu nhiên là đối với từng sự kiện đơn nhất, từng sự vật đơn nhất, cụ
thể, còn cái tất yếu là luật số lớn, luật bao quát. Từ những nhận xét trên, có thể đưa ra
một kết luận rằng, chúng ta không thể hiểu được từng thành phần, từng yếu tố đơn

nhất tham gia vào một tập hợp nào đó, nhưng lại vẫn có thể hiểu được quy luật vận
động chung của cả tập hợp ấy. Điều này là hết sức quan trọng trong khoa học hiện đại,
đặc biệt là trong vật lý học hiện đại, trong cơ học lượng tử.
Hiện tượng trên được giải thích theo nhiều quan điểm khác nhau, như các quan điểm
siêu hình, thực chứng, quan điểm dựa trên các tham số ẩn, v.v Những người theo
quan điểm siêu hình coi các eléctrôn như là những hạt cổ điển, nên khi thấy chúng
không vận động theo quyết định luận cổ điển thì họ kết luận là không có sự hoạt động
của nguyên lý nhân quả và cho rằng eléctrôn có "tự do ý chí". Điều đó cũng có nghĩa
là trong thế giới vi mô không có quyết định luận. Xuất phát từ lập trường duy tâm chủ
nghĩa, những người theo phái thực chứng đã phủ nhận tính khách quan của các mối
liên hệ nhân quả không chỉ trong vật lý học hiện đại, mà cả trong vật lý học cổ điển.
Để giải thích nguồn gốc của tính thống kê trong cơ học lượng tử, họ cho là do đặc
điểm của quá trình tương tác giữa các vi hạt với dụng cụ vĩ mô, mà quá trình này về
nguyên tắc là không thể kiểm tra được. Đi đôi với việc thừa nhận trên, phái thực
chứng cho rằng, các quy luật thống kê của cơ học lượng tử là có tính vô định, có nghĩa
24
là vi hạt có một sự tự do lựa chọn bẩm sinh và như vậy, trong thế giới vi mô, không có
sự hoạt động của nguyên lý nhân quả.
Như vậy, tính thống kê của cơ học lượng tử là do sự phân phối có tính xác suất trong
hàm sóng; nó xuất hiện sau mối liên hệ nhân quả thứ nhất, cộng đồng với sự chi phối
của điều kiện nguyên nhân, khi đầu sóng tiếp xúc với các vi hạt của màn phát hiện.
Tóm lại, càng ứng dụng rộng rãi toán học, chúng ta càng nhận thấy một điều là, trong
thực tế, những tính toán cho kết quả tuyệt đối chính xác là rất hiếm. Ngay cả
với những trường hợp có công thức chính xác để tính toán thông qua các hàm sơ cấp,
nhiều khi cũng phải bằng lòng với một kết quả là số gần đúng. Chính vì vậy, trong
tình hình phát triển hiện nay của toán học, vai trò của các đại lượng ngẫu nhiên tăng
lên một cách nhanh chóng là điều dễ hiểu. Từ đó, lý thuyết xác suất và thống kê ngày
càng khẳng định vị trí quan trọng của mình trong các lĩnh vực khoa học. Xét về thực
tiễn, lý thuyết xác suất và thống kê đã vượt lên hàng đầu trong số các môn có nhiều
ứng dụng nhất và trở thành một công cụ tối cần thiết cho rất nhiều ngành khoa học và

kỹ thuật khác nhau.
Tài liệu tham khảo
[1] Engel. Phép biện chứng của tự nhiên, NXB Sự thật, Hà Nội, 1963.
25