Tìm m để hàm số đồng biến nghịch biến

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
I. Phương pháp giải tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
- Định lí: Cho hàm số
+ Hàm số

đồng biến trên khoảng

giá trị x thuộc khoảng
+ Hàm số

có đạo hàm trên khoảng
khi và chỉ khi

. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

nghịch biến trên khoảng

giá trị x thuộc khoảng

với mọi

khi và chỉ khi

với mọi

. Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x)
đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên .
+ Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên . Khi đó hàm số
y=f(x) đơn điệu trên khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

Hàm số y=f(x) xác định trên .
Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên

.

+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:
Hàm số y = ax + b

đồng biến trên

Hàm số y = ax + b

nghịch biến trên

khi và chỉ khi a > 0.
khi và chỉ khi a < 0.

- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng
như sau:

Xét hàm số
TH1:

(nếu có tham số)

TH2:
+ Hàm số đồng biến trên

+ Hàm số nghịch biến trên

Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.
- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
Bước 1. Tìm tập xác định

.


Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).
Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.

Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Ví dụ 1: Cho hàm số

. Tìm tất cả giá trị của m

để hàm số nghịch biến trên

Hướng dẫn giải
Ta có:
Hàm số nghịch biến trên

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số
nghịch biến trên

. Tìm m để hàm số

.

Hướng dẫn giải
Ta có:
TH1:

. Hàm số nghịch biến trên


TH2:

. Hàm số nghịch biến trên

khi:

Đáp án D
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số

đồng biến trên

.

Hướng dẫn giải

Để hàm số đồng biến trên

thì:

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số
giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.
Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Tính đạo hàm:

TH1: Với m = 1 ta có
Vậy m = 1 khơng thỏa mãn điều kiện đề bài.
TH2: Với

ta có:

. Tìm tất cả


Hàm số ln nghịch biến

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số

nghịch biến trên

Hướng dẫn giải
Tập xác định:
Đạo hàm:
TH1: Với m = -3

(thỏa mãn)

Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên

TH2: Với
Hàm số nghịch biến trên

khi

II. Bài tập tự luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên

Câu 2: Cho hàm số

Câu 3: Cho các hàm số sau:

?

. Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?


Hàm số nào nghịch biến trên

?

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số
ln nghịch biến trên

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số

luôn đồng biến

trên

Câu 6: Cho hàm số
số ln đồng biến trên

. Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = x3 - 6x2 + 9x - 1. Phương trình f(x) = -13 có bao nhiêu
nghiệm?
A. 0

B. 3

C. 2

D. 1


Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y =

x3 - mx2 + (m + 2)x - (3m - 1) đồng

biến trên
A. m < -1

B. m > 2

C. -1 ≤ m ≤ 2

D.-1 < m < 2

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y =

+ 2 luôn nghịch biến trên
A. -3 ≤ m ≤ 1

B. m ≤ 2

C. m ≤ -3; m ≥ 1

D. -3 < m < 1

x3 - mx2 +(2m - 3) - m

Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x3 - 3mx2 đồng biến trên
A. m ≥ 0

B. m ≤ 0

C. m < 0

D. m =0

Câu 11: Cho hàm số: y =

x3 + (m +1)x2 - (m + 1) + 2. Tìm các giá trị của tham số

m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.
A. m > 4

B. -2 ≤ m ≤ -1

C. m < 2

D. m < 4

Câu 12: Cho hàm số: y =
x3 + 2x2 - mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.
A. m ≥ 4

B. m ≤ 4

C. m > 4

D. m < 4

Câu 13: Tìm tham số m để hàm số
chúng:

đồng biến trên tập xác định của

A. m ≥ -1

B. m ≤ -1

C. m ≤ 1

D. m ≥ 2

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

a. y = (m + 2).

- ( m + 2)x2 - (3m - 1)x + m2 đồng biến trên

b. y = (m - 1)x3 - 3(m - 1)x2 + 3(2m - 3)x + m nghịch biến trên

.
.