đề thi thử đại học môn toán khối b năm 2014 - đề số 4

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN KHỐI B
NĂM 2013-2014
Đề Số 4


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm): Cho hàm số
24

1
x
y
x
−
=
+
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm đối xứng nhau qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) và N(-1; -1).
Câu II (2,0 điểm):
1. Giải phương trình:
2
2
132
13
x
x
xx
=
++−

++ −

2. Giải phương trình:
234 2 3 4
sin sin sin sin cos cos cos cos
x
xxxx x x x+++=+++
Câu III (1,0 điểm): Tính tích phân:
2
1
ln
ln
1ln
e
x
Ixdx
xx
⎛⎞
=+
⎜⎟
+
⎝⎠
∫

Câu IV (1,0 điểm):Cho hai hình chóp S.ABCD và S’.ABCD có chung đáy là hình vuông ABCD
cạnh a. Hai đỉnh S và S’ nằm về cùng một phía đối với mặt phẳng (ABCD), có hình chiếu
vuông góc lên đáy lần lượt là trung điểm H của AD và trung điểm K của BC. Tính thể tích phần
chung của hai hình chóp, biết rằng SH = S’K =h.
Câu V(1,0 điểm): Cho x, y, z là những số dương thoả mãn xyz = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:

99 99 99
6336 6336 6336
xy yz zx
P
x
xy y y yz z z zx x
+++
=++
++ ++ ++

PHẦN RIÊNG(3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần(phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có phương trình:
22
43 4 0xy x++ −=.
Tia Oy cắt (C) tại A. Lập phương trình đường tròn (C’), bán kính R’ = 2 và tiếp xúc ngoài với
(C) tại A.

2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai điểm A(1;2; -1), B(7; -2; 3) và đường thẳng d
có phương trình
23
2 (tR)
42
xt
yt
zt
=+

⎧
⎪
=− ∈
⎨
⎪
=+
⎩
. Tìm trên d những điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M đến
A và B là nhỏ nhất.
Câu VII.a (1,0 điểm): Giải phương trình trong tập số phức:
2
0zz
+
=
B. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b
(2,0 điểm):
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB: x -2y -1 =0,
đường chéo BD: x- 7y +14 = 0 và đường chéo AC đi qua điểm M(2;1). Tìm toạ độ các đỉnh của
hình chữ nhật.

2. Trong không gian với hệ toạ độ vuông góc Oxyz, cho hai đường thẳng:

210 3 30
() ; (')
10 2 10
xy xyz
xyz xy
++= +−+=
⎧⎧

ΔΔ
⎨⎨
−+−= −+=
⎩⎩
.Chứng minh rằng hai đường thẳng ( Δ ) và
(
'Δ ) cắt nhau. Viết phương trình chính tắc của cặp đường thẳng phân giác của các góc tạo bởi
(
Δ ) và ( 'Δ ).
Câu VII.b (1,0 điểm): Giải hệ phương trình:
22 2
33 3
log 3 log log
log 12 log log
xyy
x
x
x
yy
+=+
⎧
⎨
+=+
⎩
.

Hết

ĐÁP ÁN
Câu Nội dung Điể
m
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH(7,0 điểm)
CâuI

2.0
1. TXĐ: D = R\{-1}
Chiều biến thiên:
2
6
'0 xD
(1)
y
x
=>∀∈
+

=> hs đồng biến trên mỗi khoảng
(;1)
−
∞− và (1; )
−
+∞ , hs không có cực trị



0.25
Giới hạn:

11
lim 2,lim ,lim
x
xx
yy y
−+
→±∞
→− →−
==+∞=−∞

=> Đồ thị hs có tiệm cận đứng x= -1, tiệm cận ngang y = 2
BBT
x -
∞
-1 +
∞

y’ + +


y

+
∞
2


2 -
∞

0,25






0.25
+ Đồ thị (C):
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm
(
)
2; 0 , trục tung tại điểm (0;-4)
f(x)=(2x-4)/(x+1)
f(x)=2
x(t)=-1 , y(t)=t
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5

6
7
8
9
x
y

Đồ thị nhận giao điểm 2 đường tiệm cận làm tâm đối xứng













0.25
2. Gọi 2 điểm cần tìm là A, B có
66
;2 ; ;2 ; , 1
11
Aa Bb ab
ab
⎛⎞⎛⎞
−

−≠−
⎜⎟⎜⎟
++
⎝⎠⎝⎠


0.25
Trung điểm I của AB: I
22
;
211
aba b
ab
+
−−
⎛⎞
+
⎜⎟
+
+
⎝⎠

Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= 0


0.25
Có :
.0AB MN
IMN
⎧

=
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
uuur uuuur


0.25
=>
0(0;4)
2(2;0)
aA
bB
=−
⎧⎧
=>
⎨⎨
=
⎩⎩


0,25
CâuII

2.0

1.
TXĐ: x

[
]
1; 3∈−
0,25
Đặt t= 1 3 , t > 0xx++ − =>
2
2
4
32
2
t
xx
−
+−=

0,25
đc pt: t
3
- 2t - 4 = 0 Ù t=2
0,25
Với t = 2 Ù
1
13 =2 (/)
3
x
x
xtm
x
=−
⎡

++ − ⇔
⎢
=
⎣


0,25
2.
234 234
sin sin sin sin cos cos cos cos
x
xxxx x x x+++=+++

1,0
TXĐ: D =R
234 234
sin sin sin sin cos cos cos cos
x
xxxx x x x+++=+++
[]
sin 0
(sin ). 2 2(sin ) sin . 0
2 2(sin ) sin . 0
xcosx
x cosx x cosx x cosx
xcosx xcosx
−=
⎡
⇔− + ++ =⇔
⎢

+
++ =
⎣




0,25
+ Với
sin 0 ( )
4
x
cosx x k k Z
π
π
−=⇔=+ ∈


0,25
+ Với 2 2(sin ) sin . 0xcosx xcosx+++ =, đặt t = sin (t 2; 2 )xcosx
⎡⎤
+∈−
⎣⎦

được pt : t
2
+ 4t +3 = 0
1
3( )
t

t loai
=−
⎡
⇔
⎢
=−
⎣




0.25
t = -1
2
()
2
2
xm
mZ
xm
ππ
π
π
=+
⎡
⎢
⇒∈
⎢
=− +
⎣

Vậy :
()
4
2()
2
2
xkkZ
x
mmZ
xm
π
π
ππ
π
π
⎡
=+ ∈
⎢
⎢
=+ ∈
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣

0,25
Câu III
2
1
ln
ln
1ln
e
x
Ixdx
xx
⎛⎞
=+
⎜⎟
+
⎝⎠
∫

1,0

I
1
=
1
ln
1ln

e
x
dx
x
x+
∫
, Đặt t = 1ln
x
+ ,… Tính được I
1
=
422
33
−

0,5
()
2
2
1
ln
e
Ixdx=
∫
, lấy tích phân từng phần 2 lần được I
2
= e - 2

0,25
I = I

1
+ I
2
=
222
33
e −−

0,25
Câu IV

1,0

M
N
A
B
D
C
S
S'
H
K

SABS’ và SDCS’ là hình bình hành => M, N là trung điểm SB, S’D :
S ABCD S AMND
VV V=−

0,25


SAMND SAMD SMND
VVV=+;


11
;.;
24
SAMD SMND
S ABD S BCD
VV
SM SM SN
V SB V SB SC
=
===


0.25
.
1

2
S ABD S ACD S ABCD
VV V== ;
.
35
88
S AMND S ABCD S ABCD
VVVV=⇒=

0.25
2
5
24
Vah⇒=
0.25
CâuV
Có x, y, z >0, Đặt : a = x
3
, b = y
3
, c = z
3
(a, b, c >0 ; abc=1)đc :
33 33 33
222222
ab bc ca
P
aabbbbcc ccaa
+++
=++

++ ++ ++



0.25
33 2 2
22 22
()
ab aabb
ab
aabb aabb
+−+
=+
++ ++
mà
22
22
1
3
aabb
aabb
−+
≥
++
(Biến đổi tương đương)
22
22
1
() ()
3

aabb
ab ab
aabb
−+
=> + ≥ +
++




0.25
Tương tự:
33 3 3
22 2 2
11
(); ()
33
bc ca
bc ca
bbcc ccaa
++
≥+ ≥+
++ ++

=>
3
2
()2.2
3
P a b c abc≥++≥ =(BĐT Côsi)

0.25
=> P
2, 2 khi a = b = c = 1 x = y = z = 1P≥= ⇔

Vậy: minP = 2 khi x = y =z =1

0.25
II. PHẦN RIÊNG(3,0 điểm)

A. Chương trình chuẩn
CâuVI.
a
2.0

1.
A(0;2), I(-2 3 ;0), R= 4, gọi (C’) có tâm I’
0,25
Pt đường thẳng IA :
23
22
x
t
y
t
⎧
=
⎪

⎨
=+
⎪
⎩
, '
I
IA
∈
=> I’( 23;2 2tt
+
),

0,25

1
2' '(3;3)
2
AI I A t I=⇔==>
uur uuur


0,25
(C’):
()
()
2
2
334xy−+−=

0.25
2. M(2+ 3t; - 2t; 4+ 2t) d∈ , AB//d. 0.25
Gọi A’ đối xứng với A qua d => MA’= MA => MA+ MB = MA’ + MB ≥ A’B
(MA+ MB)
min
= A’B, khi A’, M, B thẳng hàng => MA = MA’ = MB
0.25
0,25
MA=MB <=> M(2 ; 0 ; 4)
0,25
CâuVII
.a

1.0

z = x + iy ( ,
x
yR∈ ), z
2
+
22 22
020zxyxyxyi
=
⇔−+ ++ =
0,25
22 22
20
0
xy
xy xy

=
⎧
⎪
⇔
⎨
−+ + =
⎪
⎩


0,25
(0;0); (0;1) ; (0;-1). Vậy: z = 0, z = i, z = - i
0,5
B. Chương trình nâng cao
Câu
VI.b
2.0

1. (7;3)BD AB B∩= , pt đg thẳng BC: 2x + y – 17 = 0
(2 1; ), ( ;17 2 ), 3, 7
AAB Aa aCBC Cc ca c∈⇒ + ∈⇒ − ≠≠,
I =
21217
;
22
ac a c++ − +
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
là trung điểm của AC, BD.

0,25
I 3 18 0 3 18 (6 35;3 18)BD c a a c A c c∈⇔−−=⇔=−⇒ − −
0,25
M, A, C thẳng hàng Ù ,
M
AMC
uuur uuuur
cùng phương => c
2
– 13c +42 =0 Ù
7( )
6
c loai
c
=
⎡
⎢
=
⎣



0,25
c = 6 =>A(1;0), C(6;5) , D(0;2), B(7;3)
0.25

2.
Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất, (
Δ
)
∩
('
Δ
) = A
13
;0;
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠


0.5
(0; 1;0) ( )M −∈Δ, Lấy N (')∈Δ , sao cho: AM = AN => N
AMNΔ cân tại A, lấy I là trung điểm MN => đường phân giác của các góc tạo bởi (
Δ
) và
('Δ ) chính là đg thẳng AI


0.25
Đáp số:
1 2
1313
2222

(): ;():
11 22 35 11 22 35
14 30 14 30 14 30 14 30 14 30 14 30
xzxz
yy
dd
+−+−
== ==
−− −−
+++ −−−




0,25
Câu
VII.b


TXĐ:
0
0
x
y
>
⎧
⎨
>
⎩

0.25
22 2
33 3
log 3 log log
3. 2.
log 12 log log
12 . 3 .
xy
xy
xyyx
yx
xxyy
x
y
⎧
+=+
=
⎧
⎪
⇔
⎨⎨
+=+
=
⎪
⎩
⎩

0.25
2
3. 2.
xy
yx
y
x
=
⎧
⇔
⎨
=
⎩


0.25
4
3
4
3
log 2
2log 2
x
y
=
⎧
⎪
⇔
⎨
=

⎪
⎩
(t/m TXĐ)


0,25