đề thi thử đại học môn toán khối b năm 2014 - đề số 24

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2013 -2014
Môn thi : TOÁN – KHỐI B (ĐỀ 24)


A. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH: ( 7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số
(
)
32
() 3 1 1
y
f x mx mx m x==+−−−
, m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2. Xác định các giá trị của m để hàm số ()
y
fx
=
không có cực trị.
Câu II (2 điểm): Giải phương trình :
1).
()
44
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
xx
x
x
x

+
=+
; 2).
() ()
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4
x
xx++= −+ +

Câu III (1 điểm) Tính tích phân
3
2
2
1
2
1
dx
A
x
x
=
−
∫

Câu IV (1 điểm) Cho hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O, SA và SB là hai đường
sinh, biết SO = 3, khoảng cách từ O đến mặt phẳng SAB bằng 1, diện tích tam giác SAB
bằng 18. Tính thể tích và diện tích xung quanh của hình nón đã cho.
Câu V (1 điểm) Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm

()
2
2
760
21 30
xx
xmxm
−+≤
−
+−+≥
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩

B.PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần (Phần 1 hoặc phần 2)
1. Theo chương trình chuẩn.
Câu VI.a (2 điểm)
1. Cho tam giác ABC biết các cạnh AB, BC lần lượt là 4x + 3y – 4 = 0; x – y – 1 = 0.
Phân giác trong của góc A nằm trên đ.thẳng x + 2y – 6 = 0. Tìm tọa độ các đỉnh của tam
giác ABC.
2. Cho hai mặt phẳng
()
(
)
: 2 2z + 5 = 0; Q : 2 2z -13 = 0.Px y x y+− +−
Viết phương
trình của mặt cầu (S) đi qua gốc tọa độ O, qua điểm A(5;2;1) và tiếp xúc với cả hai
m.phẳng (P) và (Q).

Câu VII.a (1 điểm) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau:
43 2
11 2
43
11
5
4
7
15
nn n
n
nn
CC A
CA
−− −
−
++
⎧
−<
⎪
⎪
⎨
⎪
≥
⎪
⎩
(Ở đây ,
kk
nn
AC lần lượt là số chỉnh hợp và số tổ hợp chập k của n phần

tử)
2. Theo chương trình nâng cao.
Câu VI.b (2 điểm)
1. Cho đường thẳng d: x – 5y – 2 = 0 và đường tròn (C):
22
2480xy xy++−−=
.Xác định tọa độ các giao điểm A, B của đường tròn (C) và đường

thẳng d (điểm A có hoành độ dương). Tìm tọa độ C thuộc đường tròn (C) sao cho tam giác
ABC vuông ở B.
2. Cho mặt phẳng (P):
2210xyz−+−= và các đường thẳng:

12
13 5 5
:;:
232 645
xyzxyz
dd
−− − +
== ==
−−
. Tìm các điểm
12
d, dMN
∈
∈ sao cho MN // (P)
và cách (P) một khoảng bằng 2.
Câu VII.b: Tính đạo hàm f’(x) của hsố
()

3
1
() ln
3
fx
x
=
−
và giải
bpt:
2
0
6
sin
2
'( )
2
t
dt
fx
x
π
π
>
+
∫

Đáp án(ĐỀ 24)
Câu Ý Nội dung Điể
m
2 1,00

+ Khi m = 0 1
y
x⇒=−, nên hàm số không có cực trị.

0,25

+ Khi 0m ≠
(
)
2
'3 6 1ymxmxm⇒= + −−

Hàm số không có cực trị khi và chỉ khi '0y
=
không có nghiệm hoặc có nghiệm kép

0,50

()
22
'9 3 1 12 3 0mmm mm⇔Δ = + − = − ≤
1
0
4
m

⇔
≤≤



0,25
1 1,00

()
44
sin cos 1
tan cot
sin 2 2
xx
x
x
x
+
=+ (1)
Điều kiện:
sin 2 0x ≠
0,25
2
1
1sin2
1sin cos
2
(1)
sin 2 2 cos sin
x

x
x
x
xx
−
⎛⎞
⇔=+
⎜⎟
⎝⎠

0,25

2
2
1
1sin2
11
2
1sin21 sin20
sin 2 sin2 2
x
xx
xx
−
⇔=⇔−=⇔=

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
0,50
2 1,00

() ()
23
48
2
log 1 2 log 4 log 4
x
xx++= −+ + (2)
Điều kiện:
10
44
40
1
40
x
x
x
x
x
+≠
⎧
−
<<
⎧
⎪
−>⇔
⎨⎨
≠−
⎩
⎪
+>

⎩

0,25

(
)
(
)
()
()
2
22222
22
22
(2) log 1 2 log 4 log 4 log 1 2 log 16
log 4 1 log 16 4 1 16
x
xxx x
xxxx
⇔++= −++⇔++= −
⇔+=−⇔+=−

0,25

+ Với 14x−< < ta có phương trình
2
4120(3)xx+−= ;
()
2
(3)

6
x
x
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣
lo¹i

0,25

+ Với 41x−< <− ta có phương trình
2
4200xx
−
−= (4);
()
()
224
4
224
x
x
⎡
=−
⇔
⎢
=+

⎢
⎣
lo¹ i

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là
2x
=
hoặc
(
)
21 6x =−

0,25
III 1,00

Đặt
22 2
2
1122
dx tdt
txtxtdtxdx
x
x
=−⇒=−⇒ =− ⇒ =−

22
11
dx tdt tdt
xtt
⇒=− =

−
−

+ Đổi cận:
13
22
31
22
xt
xt
=⇒=
=⇒=

0,50

13
3
22
2
1
22
1
2
3
2
2
111743
ln ln
11 21 2 3
|

dt dt t
A
ttt
⎛⎞
++
=== =
⎜⎟
⎜⎟
−− −
⎝⎠
∫∫

0,50


IV 1,00

Gọi E là trung điểm của AB, ta có:
,OE AB SE AB⊥⊥, suy ra
(
)
SOE AB⊥ .
Dựng
(
)
OH SE OH SAB⊥⇒ ⊥ , vậy OH là khoảng cách từ O
đến (SAB), theo giả thiết thì OH = 1.
Tam giác SOE vuông tại O, OH là đường cao, ta có:
222 2 22
2

111 111 18
1
99
93
8
22
OH SO OE OE OH SO
OE OE
=
+⇒= −=−=
⇒=⇒=

222
981 9
9
88
22
SE OE SO SE=+=+=⇒=

0,25
2
136
.82
9
2
22
SAB
SAB
S
SABSEAB

SE
=⇔===

()
2
2
222 2
1 9 9 265
42 32
2888
OA AE OE AB OE
⎛⎞
=+= += +=+=
⎜⎟
⎝⎠

0,25
Thể tích hình nón đã cho:
2
1 1 265 265
.3
3388
VOASO
π
ππ
===

0,25
Diện tích xung quanh của hình nón đã cho:

222
265 337 337
9
88 8
265 337 89305
.
88 8
xq
SA SO OA SA
SOASA
ππ π
=+=+=⇒=
== =

0,25
V 1,00

Hệ bất phương trình
()
2
2
760(1)
21 30(2)
xx
xmxm
⎧
−+≤
⎪
⎨
−+−+≥

⎪
⎩

()
11 6x⇔≤ ≤. Hệ đã cho có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
[
]
0
1; 6x ∈ thỏa mãn (2).
0,25
() ( )
()
[]
2
2
23
22321 (1;6210)
21
xx
xx xm mdox x
x
−+
⇔−+≥ + ⇔ ≥ ∈ ⇒+>
+

Gọi
[]
2
23
() ; 1;6

21
xx
fx x
x
−+
=∈
+

0,25


Hệ đã cho có nghiệm
[
]
00
1; 6 : ( )
x
fx m⇔∃ ∈ ≥

()
()
(
)
()
2
2
22
24
228
'

21 21
xx
xx
fx
xx
+
−
+−
==
++
;
()
2
117
'0 40
2
fx x x x
−±
=⇔ +−=⇔=

Vì
[
]
1; 6x∈ nên chỉ nhận
117
2
x
−+
=

0,25
Ta có:
227117317
(1) , (6) ,
3132 2
ff f
⎛⎞
−+ −+
== =
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

Vì f liên tục và có đạo hàm trên [1;6] nên
27
max ( )
13
fx=

Do đó
[]
[]
00
1;6
27
1; 6 : ( ) max ( )
13
x
x
fx m fx m m

∈
∃∈ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥
0,25
VIa 2,00
1 1,00

Tọa độ của A nghiệm đúng hệ phương trình:
()
4340 2
2;4
260 4
xy x
A
xy y
+−= =−
⎧⎧
⇔⇒−
⎨⎨
+−= =
⎩⎩

0,25
Tọa độ của B nghiệm đúng hệ phương trình
()
4340 1
1; 0
10 0
xy x
B
xy y

+−= =
⎧⎧
⇔⇒
⎨⎨
−−= =
⎩⎩

0,25
Đường thẳng AC đi qua điểm A(-2;4) nên phương trình có dạng:
(
)
(
)
240 240a x b y ax by a b
+
+−=⇔++−=
Gọi
123
:4 3 4 0; : 2 6 0; : 2 4 0x y x y ax by a bΔ+−=Δ+−=Δ++−=
Từ giả thiết suy ra
()

()

23 12
;;ΔΔ =ΔΔ . Do đó
()

()


()
23 12
22
22
|1. 2. | |4.1 2.3|
cos ; cos ;
25. 5
5.
0
|2|2 34 0
340
ab
ab
a
ab ab aab
ab
+
+
ΔΔ = ΔΔ ⇔ =
+
=
⎡
⇔+ = + ⇔ − =⇔
⎢
−
=
⎣

+ a = 0 0b⇒≠. Do đó
3

:40y
Δ
−=
+ 3a – 4b = 0: Có thể cho a = 4 thì b = 3. Suy ra
3
:4 3 4 0xy
Δ
+−= (trùng với
1
Δ
).
Do vậy, phương trình của đường thẳng AC là y - 4 = 0.
0,25
Tọa độ của C nghiệm đúng hệ phương trình:
()
40 5
5;4
10 4
yx
C
xy y
−= =
⎧⎧
⇔⇒
⎨⎨
−−= =
⎩⎩

0,25
2 1,00

Gọi I(a;b;c) là tâm và R là bán kính của mặt cầu (S). Từ giả thiết ta có:
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
,, ,
,,
OI AI
OI AI d I P d I Q OI d I P
dI P dI Q
⎧
=
⎪
⎪
== = ⇔ =
⎨
⎪
=
⎪
⎩

0,25

Ta có:
()()()
222
22222
521
10 4 2 30 (1)
OI AI OI AI a b c a b c
abc
=⇔ = ⇔++=−+−+−
⇔++=

()
()
()
()
2
222 222
|225|
,9225(2)
3
abc
OIdIP abc abc abc
+
−+
= ⇔ ++= ⇔ ++ =+−+
()
()
()
()
|225||2213|

,,
33
225 2213()
224(3)
225 2213
abc abc
dI P dI Q
abc abc
abc
abc abc
+−+ +−−
=⇔ =
+−+=+−−
⎡
⇔⇔+−=
⎢
+−+=−−++
⎣
lo¹i

Từ (1) và (3) suy ra:
17 11 11 4a
;(4)
36 3
a
bc
−
=− =
0,25

Từ (2) và (3) suy ra:
222
9(5)abc++=
Thế (4) vào (5) và thu gọn ta được:
(
)
(
)
2 221 658 0aa
−
−=
Như vậy 2a = hoặc
658
221
a =
.Suy ra: I(2;2;1) và R = 3 hoặc
658 46 67
;;
221 221 221
I
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
và R =
3.
0,25

Vậy có hai mặt cầu thỏa mãn yêu cầu với phương trình lần lượt là:
()()()

222
2219xyz−+−+−=
và
222
658 46 67
9
221 221 221
xyz
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
−
+− ++ =
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠

0,25
VIIa 1,00
Điều kiện:
14 5nn−≥ ⇔ ≥

Hệ điều kiện ban đầu tương đương:
()( )()
(
)
(
)
(
)
(
)
()()

()()( )()
()()
1234 123
5
23
4.3.2.1 3.2.1 4
1123
7
11
5.4.3.2.1 15
nn nn nn n
nn
nnn n n
nnn
−− −− −− −
⎧
−
<− −
⎪
⎪
⇔
⎨
+−−−
⎪
≥+ −
⎪
⎩

0,50
2

2
9220
5500 10
5
nn
nn n
n
⎧
−−<
⎪
⇔−−≥⇔=
⎨
⎪
≥
⎩

0,50
VIb 2,00

1 1,00
Tọa độ giao điểm A, B là nghiệm của hệ phương trình
22
0; 2
2480
1; 3
520
yx
xy xy
yx
xy

==
⎧
++−−=
⎧
⇔
⎨⎨
=
−=−
−−=
⎩
⎩

0,50
Vì A có hoành độ dương nên ta được A(2;0), B(-3;-1).
Vì

0
90ABC = nên AC là đường kính đường tròn, tức là điểm C đối xứng với điểm A
qua tâm I của đường tròn. Tâm I(-1;2), suy ra C(-4;4).
0,50
2 1,00

Phương trình tham số của d
1
là:
12
33
2
x
t

y
t
zt
=
+
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩
. M thuộc d
1
nên tọa độ của M
()
12;33;2ttt+− .
Theo đề:
()
()
()
()
12
2
22
|1 2 2 3 3 4 1|
|12 6|
,2212661,0.
3

122
ttt
t
dM P t t t
+− − +−
−
==⇔=⇔−=±⇔==
+− +

0,25
+ Với t
1
= 1 ta được
(
)
1
3;0; 2M ;
+ Với t
2
= 0 ta được
(
)
2
1; 3; 0M
0,25
+ Ứng với M
1
, điểm N
1

2
d
∈
cần tìm phải là giao của d
2
với mp qua M
1
và // mp (P), gọi
mp này là (Q
1
). PT (Q
1
) là:
(
)
(
)
32 2 20 2 270(1)xyz xyz−− + −=⇔− + −= .
Phương trình tham số của d
2
là:
56
4
55
x
t
yt
zt
=+
⎧

⎪
=
⎨
⎪
=
−−
⎩
(2)
Thay (2) vào (1), ta được: -12t – 12 = 0
⇔
t = -1. Điểm N
1
cần tìm là N
1
(-1;-4;0).
0,25
+ Ứng với M
2
, tương tự tìm được N
2
(5;0;-5).
0,25
VIIb 1,00

Điều kiện
()
3
1
03
3

x
x
>⇔<
−

()
() ()
3
1
( ) ln ln1 3ln 3 3ln 3
3
f
xxx
x
==−−=−−
−
;
()
()
13
'( ) 3 3 '
33
fx x
x
x
=− − =
−−

0,25
Ta có:

()()()
2
0
00
661cos3 3
sin sin sin 0 sin0 3
22
|
tt
dt dt t t
ππ
π
ππ
ππ π π
−
==−=−−−=
⎡
⎤
⎣
⎦
∫∫

0,25
Khi đó:
2
0
6
sin
2
'( )

2
t
dt
fx
x
π
π
>
+
∫
()()
21
33
2
0
32
32
1
3
3; 2
3; 2
2
x
x
xx
xx
x
xx
xx
−

⎧
<−
⎧
⎡
<
>
⎪⎪
⎢
−+
⇔⇔ ⇔
−+
⎨⎨
⎢
<
<
⎪⎪
<≠−
<≠−
⎣
⎩
⎩

0,50