Đề thi HSG Toán 2005 - 2006 Cần Thơ

SỞ GIÁO DỤC-ĐÀO TẠO
THÀNH PHỐ CẦN THƠ
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ
NĂM HỌC 2005-2006
Khóa ngày 07/4/2006
MÔN THI : TOÁN
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 : (3 điểm)
Cho parabol (P) :
2
y x
=
và đường thẳng d :
y ax b
= +
. Xác định các giá trị a, b
biết rằng đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ bằng
1
−
và điểm còn lại có tung độ bằng 9.
Bài 2 : (4 điểm)
Cho biểu thức
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
+ + −
= − +
− + −

a. Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P.
b. Tìm giá trị của x để biểu thức
7 x
Q
P
=
nhận giá trị nguyên và Q > 1.
Bài 3 : (3 điểm)
Xác định giá trị m để phương trình
2 3
2 ( 1) 0x mx m
− + − =
có hai nghiệm dương
phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Bài 4 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B nhọn. Chứng minh rằng nếu
cos
2
BC
B
AB
=
thì tam giác
ABC cân.
Bài 5 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a cố định và một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A và
khác B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường kính AB,
AC, CB. Xác định vị trí của điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn
trên đạt giá trị lớn nhất.

Bài 6 : (5 điểm)
Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối xứng qua
O). Một điểm C di động trên cung lớn AB của (O) (C khác A và khác B). Kẻ các đường cao
AH, BK của tam giác ABC (H ∈ BC ; K ∈ AC). Chứng minh :
a. Tứ giác AKHB nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Độ dài đoạn HK không đổi.
c. HK vuông góc với OC.
HẾT
ĐỀ CHÍNH THỨC
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9
Bài 1 : (3 điểm)
Cho parabol (P) :
2
y x
=
và đường thẳng d :
y ax b
= +
. Xác định các giá trị a,
b biết rằng đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm, trong đó một điểm có hoành độ
bằng
1−
và điểm còn lại có tung độ bằng 9.
Toạ độ điểm thứ nhất : x = – 1 ⇒ y = 1 +
Toạ độ điểm thứ hai : y = 9 ⇒ x = ±3 +
Trường hợp 1 :
d đi qua (–1 ; 1) và (3 ; 9) ⇒
1
3 9
a b

a b
− + =


+ =

+
⇒
2
3
a
b
=


=

+
Trường hợp 2 :
d đi qua (–1 ; 1) và (–3 ; 9) ⇒
1
3 9
a b
a b
− + =


− + =

+

⇒
4
3
a
b
= −


= −

+
Bài 2 : (4 điểm)
Cho biểu thức
2
2 2( 1)
1 1
x x x x x
P
x x x x
+ + −
= − +
− + −

a. Tìm điều kiện xác định của P và rút gọn P.
b. Tìm giá trị của x để biểu thức
7 x
Q
P
=
nhận giá trị nguyên và Q > 1.

a. Điều kiện xác định của P :
Vì
2
1 3
1 0
2 4
x x x
 
− + = − + >
 ÷
 
⇒ Điều kiện : x > 0 và x ≠ 1
+
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1 1
1 1
x x x x x x x
P
x x x x
+ + + −
= − +
− + −
+
( ) ( ) ( )
1 2 1 2 1P x x x x
= + − + + +
+
2
1P x x
= + +

+
b.
7
1
x
Q
x x
=
+ +
7
1
1
Q
x
x
=
+ +
+
Do x ≠ 1 nên
1
2x
x
+ >
+

1
1 3x
x
⇒ + + >
7

3
Q
⇒ <
Vì Q > 1 và Q nguyên nên Q = 2. +
Khi đó ta có phương trình :
7
2 2 5 2 0
1
x
x x
x x
= ⇔ − + =
+ +
4
2
1
1
4
2
x
x
x
x

=

=


⇔ ⇔



=
=



+
Bài 3 : (3 điểm)
Xác định giá trị m để phương trình
2 3
2 ( 1) 0x mx m
− + − =
có hai nghiệm
dương phân biệt trong đó có một nghiệm bằng bình phương nghiệm còn lại.
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt ⇔
2 3
' ( 1) 0m m
∆ = − − >
+
Gọi 2 nghiệm là x
0
và
2
0
x
. Ta có :
2
0 0
2 3

0 0
2
(1)
(2)
. ( 1)
x x m
x x m

+ =


= −


++
Từ (2) ⇒ x
0
= m – 1
Thay vào (1) ta được : m
2
– 3m = 0 ⇔
0
3
m
m
=


=


+
Với m = 0 :
' 1
∆ =
, phương trình trở thành x
2
– 1 = 0 ⇔
1x
= ±
(không thoả điều kiện) +
Với m = 3 :
' 1
∆ =
, phương trình trở thành x
2
– 6x + 8 = 0 ⇔
2
4
x
x
=


=

(thoả điều kiện) +
Vậy m = 3.
3
Bài 4 : (2 điểm)
Cho tam giác ABC có góc B nhọn. Chứng minh rằng nếu

cos
2
BC
B
AB
=
thì tam
giác ABC cân.
Kẻ AH ⊥ BC (H ∈ BC)
Ta có :
cos
BH
B
AB
=
+
Kết hợp với giả thiết ta được BC = 2BH +
Do góc B nhọn và BC = 2BH nên H là trung điểm của đoạn BC +
Vậy tam giác ABC cân tại A. +
Bài 5 : (3 điểm)
Cho đoạn thẳng AB = a cố định và một điểm C thuộc đoạn thẳng AB (C khác A
và khác B). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB, dựng các nửa đường tròn có đường
kính AB, AC, CB. Xác định vị trí của điểm C để diện tích hình phẳng giới hạn bởi ba
nửa đường tròn trên đạt giá trị lớn nhất.
Đặt AC = x (0 < x < a) ⇒ CB = a – x
Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi ba nửa đường tròn :
A
B C
H
A BC

4
2 2 2
2 4 4 4
AB AC CB
S
π
 
= − −
 ÷
 
+
( )
2
4
S x ax
π
= − +
+
2
2
4 2 16
a a
S x
π π
 
= − − +
 ÷
 
++
2

16
a
S
π
⇒ ≤
+
Vậy S đạt giá trị lớn nhất ⇔
2
a
x =
⇔ C là trung điểm AB. +
Bài 6 : (5 điểm)
Cho đường tròn (O) và 2 điểm A, B cố định nằm trên (O) (A, B không đối
xứng qua O). Một điểm C di động trên cung lớn AB của (O) (C khác A và khác B).
Kẻ các đường cao AH, BK của tam giác ABC (H ∈ BC ; K ∈ AC). Chứng minh :
a. Tứ giác AKHB nội tiếp được trong một đường tròn.
b. Độ dài đoạn HK không đổi.
c. HK vuông góc với OC.

Gọi I là trung điểm AB.
a. Ta có : AKB = AHB = 90
o
++
⇒ Tứ giác AKHB nội tiếp được trong đường tròn đường kính AB, tâm I. +
b. Do A, B cố định nên ACB =
1
2
sđ AB không đổi. +
⇒ CAH = KAH = 90
o

– ACB không đổi
⇒ KIH = 2KAH = 180
o
– 2ACB không đổi +
O
A
B
C
H
K
I
x
5
Đường tròn (I) có đường kính AB cố định và KIH không đổi nên độ dài HK
không đổi +
6
c. Kẻ tiếp tuyến Cx của đường tròn (O).
Ta có : tứ giác AKHB nội tiếp ⇒ ABC = CKH +
mà ABC = xCA nên xCA = CK H +
⇒ KH // Cx +
⇒ KH ⊥ OC. +
Ghi chú :
- Mỗi dấu + tương ứng với 0,5 điểm.
- Mỗi cách giải đúng đều cho điểm tối đa ở phần đúng đó.
- Điểm toàn bài bằng tổng điểm các phần, không làm tròn số.
O
A
B
C
H

K
I
x
7