Đề thi HSG Toán 12 của Tỉnh Nam Định 2006

Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Nam Định
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH NAM ĐỊNH NĂM 2006
Bài 1 (5 điểm).Cho hàm số (với m là tham số).
1. Khi m = 0, gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại tiếp điểm có hoành độ x =
0,
gọi (d') là đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số. Tìm cosin của
góc giữa (d) và (d').
2. Xác định m để hàm số có cực đại và cực tiểu sao cho giá trị cực đại và giá trị cực
tiểu trái dấu nhau.
Bài 2 (4 điểm).
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn elip (E) có phương trình:
và đường tròn (C) có phương trình: . Từ điểm M trên (C) ta kẻ
hai tiếp tuyến đến (E) là và với tiếp điểm theo thứ tự là và .
1. Khi M có hoành độ , hãy viết phương trình các đường thẳng và
.
2. Khi M thay đổi trên (C), hãy tìm giá trị lớn nhất của khoảng cách từ M đến
đường thẳng .
Bài 3 (3 điểm).Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình lăng trụ tam giác đều OBC.O'B'C',
biết: C(1;0;0), O'(0;0;1)
và B nằm ở góc phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ Oxy. Gọi M, N, E theo thứ
tự
là trung điểm các cạnh BC, CC', C'O'.
1. Xác định tọa độ của điểm P thuộc đường thẳng OO' để PM = PE.
2. Với điểm P vừa tìm được, hãy tính thể tích khối tứ diện PMNE.
Bài 4 (5 điểm).
1. Giải phương trình:
2. Giải phương trình: với .
Bài 5 (3 điểm).
1. Chứng minh rằng:
Nếu a là số dương sao cho bất phương trình , nghiệm đúng với mọi
thì .

2. Tìm tất cả các số dương a là điều kiện cần và đủ để bất phương trình:
, nghiệm đúng với mọi số thực x.