Đề thi HSG Toán 12 của Tỉnh Nam Định 2005

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH NAM ĐỊNH Năm 2005
Câu I (6,0 điểm).
Cho hàm số , (m là tham số).
1) Khi , hãy tìm khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
2) Xác định m để hàm số nghịch biến trên R.
Câu II (4,0 điểm).
Tính tích phân
Câu III (7,0 điểm).
Trên mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Oxy, cho đường parabol (P) có phương
trình: và đường tròn (C) có phương trình:
1) Chứng minh rằng (P) và (C) có đúng 4 giao điểm phân biệt.
2) Cho điểm A(1;6) thuộc đường tròn (C). Hãy lập phương trình đường tròn đi qua
điểm M(2;-1) và tiếp xúc với đường tròn (C) tại điểm A.
3) Giả sử đường thẳng (d) thay đổi đi qua điểm A sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm
phân biệt . Gọi thứ tự là tiếp tuyến của (P) tại tiếp điểm
. Biết rằng cắt ở điểm N. Hãy chứng minh điểm N nằm trên một
đường thẳng cố định.
Câu IV (3,0 điểm).
Chứng minh rằng với mọi số thực x thuộc khoảng , ta đều có: