Bài giảng hành vi cơ nhiệt 1 đại học Bách Khoa Hà Nội

II. Đàn hồi và đàn hồi nhớt
• Đàn hồi xem xét quan hệ giữa ứng suất (σ) và biến dạng (ε) đàn hồi,
cũng như các ngoại lực (F) gây nên biến dạng.
• Biến dạng đàn hồi tuyến tính là biến dạng
mất đi hoàn toàn một cách tức thời khi
ngoại lực gây nên nó bị dỡ bỏ.

• Định luật Hook mơ tả đàn hồi tuyến tính
(quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến
dạng, biến dạng tỷ lệ thuận với ứng suất)
và lý giải những vấn đề của cơ học vi mô
và vĩ mô liên quan đến đàn hồi:

s

s
Dỡ tải

Đàn hồi
tuyến tính
Chất tải

e

e

✓ Cơ học vi mơ: xem xét trường ứng suất xung quanh lệch, khơng
tương thích ứng suất trên ranh giới giữa các hạt, các tương tác
lệch trong hoá bền do biến dạng.
✓ Cơ học vĩ mô: xem xét tương tác giữa mẫu và thiết bị trong quá
trình thử cơ tính, ứng suất sinh ra trong vật liệu do tác động của

ngoại lực trong quá trình biến dạng.


Lực kế

II.1. Ứng suất và biến dạng dài

F

Dầm
ngang

F
x Dụng cụ



S

đo giãn
dài

• σ - ứng suất pháp tác dụng trên 1
đơn vị diện tích mặt cắt ngang (S)
của mẫu, đặc trưng cho trở kháng
cơ học của mẫu trên một đơn vị
diện tích.

SF x = 0 ® F - s S = 0 Þ s =

Mẫu

Đế
máy

F
S

é MPa = 1N / mm2 ù
ë
û

Qui ước: ứng suất kéo có giá trị dương, ứng suất nén có giá trị âm (trừ
trong cơ học đất, đá).
• Khi F gia tăng dF, chiều dài của mẫu gia tăng dl, gia tăng tương đối
của độ dài được xác định bởi:
l1

l1
dl
dl
de =
® e = ị = ln(l1 - lo ) = ln
l
l
lo
l
o

lo – chiều dài ban đầu.

ε – biến dạng dài thực (εt).


• Trong một số ứng dụng (khi biến dạng nhỏ), có thể sử dụng khái niệm
biến dạng kỹ thuật (hay biến dạng danh nghĩa) εd.
F

lo

Dl

l1

Dl l1 - lo l1
ed = =
= -1
lo
lo
lo
• Đối với các vật liệu có biến dạng đàn hồi lớn (cao su, các mô sinh học
mềm, ...), thường sử dụng thông số “tỷ suất kéo” ( stretch hay draw ratio)
(λ) để biểu diễn biểu diễn biến dạng.

l1
l = ed + 1 =
lo

( biến dạng bắt đầu từ

l = 1)

• Trong trường hợp biến dạng đàn hồi đủ nhỏ (kim loại , ceramic), biến
dạng kỹ thuật (danh nghĩa) và biến dạng thực có thể xem là như nhau:

ỉ lo + Dl ử
l1
et = ln = ln ỗ
= ln ( ed +1) ị bin dng nh:
ữ
lo
ố lo ứ

ln(ed +1) » ed
® et » e d


Qui ước: biến dạng kéo có giá trị dương, biến dạng nén có giá trị âm.
• Tương tự biến dạng, tồn tại khái niệm ứng suất thực σt (true) và ứng
suất kỹ thuật (engineering) (hay danh nghĩa – nominal) σd:

F
sd =
, So - Diện tích mặt cắt ngang ban đầu.
So
F
s t = , S - Diện tích mặt cắt ngang hiện thời (thực).
S
s t So
Đối với kim loại và ceramic, biến đổi tiết diện ngang
®

=
trong q trình biến dạng đàn hồi khơng q 1% :
sd S
® st » s d

Ten xơ ứng suất và ten xơ biến dạng
Ten xơ ứng suất
é s s s ù
11
12
13

ê
Ten xơ
ứng suất s ij = ê s 21 s 22 s 23
ê
Cauchy
êë s 31 s 32 s 33
Cơng thức Nanson:

n
t

ú
ú
ú
úû

- Vec tơ pháp tuyến ngồi
- Vec tơ ứng suất Cauchy (**)

 23

2

t2

t

21

t3
3

31

33

12

t3
13

t

t

22

32

3’

n

2’

t2

t1
11

1’

1

t1


Ten xơ ứng suất trong hệ trục chính :
2’

 23

2

t2

22

31

33

t2

t3

2

13

11
1

t1

3

*

*
t1=  11

t2

1’

t3

t

t2= 22

xoay

12 t
1

t3

t

2’

21

32
3’

t

1’

t 3’

t3 =  33
*

1

t1

3

é s s s ù
ê 11 12 13 ú
s ij = ê s 21 s 22 s 23 ú
ê
ú
êë s 31 s 32 s 33 úû

Xoay

é s*
0
0
11
ê
*
s ij = ê 0 s 22
0
ê
*
0 s 33
êë 0

ù
ú
ú (**)

ú
úû


Bất biến của ten xơ ứng suất:
Xoay ten xơ trong không gian, giá trị các
thành phần của ten xơ biến đổi, nhưng
cường độ (độ mạnh, yếu) của ten xơ
không thay đổi

s I = s ii = s 11 + s 22 + s 33 = Tr (s )

- Bất biến bậc 1 :
- Bất biến bậc 2 :
- Bất biến bậc 3 :

Các trạng thái ứng suất :

( )

1
1
1
2
s II = s : s = s ij .s ij = Tr s
2
2
2
1
3

s III = Tr s
3

( )

Trạng thái ứng suất một chiều (đơn):
é s
ê
s =ê 0
êë 0

Cường độ của ten
xơ được đặc trưng
bởi các bất biến

0 0 ù
ú
0 0 ú
0 0 ú
û

s


Trạng thái ứng suất phẳng (các thành phần của ten xơ ứng
suất chỉ phụ thuộc vào hai trục toạ độ) :
s 21
é s 11 s 12 0 ù
s 12
ê

ú
s = ê s 21 s 22 0 ú
s 11
s 22
ê 0
s 13
s 11
0 0 ú
s
ë
û
12
s 21
s
32
Trạng thái ứng suất 3 chiều :
s 33
é s 11 s 12 s 13
ê
s = ê s 21 s 22 s 23
ê s
s 32 s 33
ë 31

ù
ú
ú
ú
û

s 31

Biến dạng, ten xơ biến dạng:
é s s s ù
é e e e
11
12
13
ê
ú
ê 11 12 13
s ij = ê s 21 s 22 s 23 ú
eij = ê e21 e22 e23
ê
ú
ê
s
s
s
êë 31 32 33 úû
êë e31 e32 e33

s ij = s ji

eij = e

ji

s 23

s 22

ù
ú Cường độ của ten xơ biến
ú dạng cũng được đặc trưng
ú bởi các bất biến!
úû
Đối xứng


Ten xơ ứng suất lệch, ten xơ ứng suất cầu?
1
1
 =  + m .1 =  + Tr ().1  ij = ij + mij = ij + Tr (ij )ij
3
3
 − Ten xơ ứng suất lệch
11 + 22 + 33 1
1
xơ ứng suất cầu (ư/s
m =
= ii = Tr ( ) − Ten
thủy tĩnh)
3
3
3
1 0 0
1 − Ten xơ đơn vị
ij = 0 1 0
 1

ij − Delta Kronecker
0 0 1

m

11

m

 22

m
33

Biến dạng thể tích bởi ten
xơ ứng suất cầu

Biến dạng hình dạng bởi
ten xơ ứng suất lệch


11
33

22


Gradient chuyển vị và biến dạng:
• Gradient chuyển vị : áp dụng cho biến dạng nhỏ

é
ê
ê
¶ui êê
Gij =
=
¶x j ê
ê
ê
ê
ë

¶u1
¶x1

¶u1
¶x2

¶u2
¶x1

¶u2
¶x2

¶u3
¶x1

¶u3
¶x2

¶u1 ù
ú
¶x3 ú
¶u2 úú
¶x3 ú
ú
¶u3 ú
¶x3 ú
û

x3
A

x1

x2

Ten xơ biến dạng.

Ten xơ xoay .

1 ổ ảui ảu j ử
eij = ỗ
+
2 ố ¶x j ¶xi ÷ø

u1

u2

Gij = eij + w ij
eij w ij -

u3

;

1 ổ ảui ảu j ử
w ij = ỗ
2 ố ảx j ảxi ữứ


Tốc độ biến dạng, ten xơ tốc độ biến dạng

x

Δx

- Tốc độ làm biến dạng
(hay tốc độ của dụng cụ)

Biến dạng nhỏ

Ten xơ tốc độ
biến dạng


II.2. Đàn hồi tuyến tính, đàn hồi lý tưởng và đàn hồi trễ
Đàn hồi phi tuyến
(cao su)

Đường dỡ tải

Đàn hồi tuyến tính
(kim loại, ceramic)

Ứng suất

Ứng suất

Đường chất tải

Đường chất tải
Đường dỡ tải (tức thời)

Đường dỡ tải trễ
(đàn hồi trễ)

Biến dạng

Biến dạng

• Đàn hồi tuyến tính: quan hệ tuyến tính giữa ứng suất và biến dạng, mô
tả bởi định luật Hook (Vật rắn Hook: vật liệu đàn hồi tuyến tính).
✓ Đinh luật Hook:

s
E=
e

hay s = Ee

E- Mô đun Young [MPa], phụ thuộc vào các yếu tố: thành phần hoá học,
cấu trúc tính thể, bản chất liên kết giữa các nguyên tử của các
nguyên tố cấu thành vật liệu.Tác động cơ học và tác động nhiệt ít
ảnh hưởng đến các yếu tố này, nên ảnh hưởng rất ít đến E.


Trong đơn tinh thể, E phụ thuộc vào định hướng tinh thể (dị hướng).
Trong đa tinh thể không dị hướng, E có giá trị như nhau theo mọi
hướng (đẳng hướng).
Xác định E:
Từ thí nghiệm thử kéo

Từ thí nghiệm truyền sóng đàn hồi

s

Sóng âm truyền trong mơi
trường đàn hồi (**)
- Tốc độ truyền sóng dọc: V
d
- Tố độ truyền sóng cắt (sóng
ngang): Vc

E = tga

E
G
Vd =

, Vc =
r
r

a

e

ρ - mật độ của mẫu; G – mô
đun cắt đàn hồi


• Đàn hồi lý tưởng (có thể tuyến tính hoặc phi tuyến): khi dỡ tải, biến dạng
tức thời trở về 0 (đường cong chất tải và dỡ tải trùng nhau).
• Đàn hồi trễ (đàn hồi nhớt): khi dỡ tải, biến dạng trở về 0 sau một khoảng
thời gian nhất định, đường cong chất tải và dỡ tải không trùng nhau, tạo
thành một vịng trễ. Diện tích vịng trễ đặc trưng năng lượng hao tổn
trong một chu kỳ biến dạng (chất tải – dỡ tải). (polime, gỗ, mô sinh học
mềm, …). Đàn hồi nhớt liên quan đến các quá trình phụ thuộc thời gian
xảy ra trong quá trình biến dạng.

s

Đàn hồi lý tưởng

σ

o

E

 = E

s

Đàn hồi nhớt

E
ε

σ

σ o

e

η

ε σ

e


II.3. Mật độ năng lượng biến dạng (deformation energy density)
• Khi ngoại lực (F) tác động lên một vật thể biến dạng được (có khối lượng
m), kích thước của nó sẽ biến đổi. Công ngoại lực (Ω) sẽ được chuyển hoá
thành động năng của vât thể (K), nhiệt năng (Q) và nội năng của vật thể (U).
F

m

W

Vật thể chuyển động
➔ năng lượng động học (K)

Vật thể
biến dạng
(W)

Dẻo: năng lượng tiêu
hao ➔ nhiệt năng (Q).
Đàn hồi: tiêu hao năng lượng = 0, năng
lượng tích trữ trong vật thể (giải phóng
khi ngừng tải) dưới dạng nội năng (U)

• Nếu vật rắn khơng chuyển động và
chỉ biến dạng đàn hồi, công biến dạng đàn hồi chuyển hố thành nhiệt
~bằng 0:
K = 0 ® W =W
(U+K) – năng lượng toàn phần của
Từ nguyên lý nhiệt động học I:
hệ do tác động từ bên ngoài (ngoại
dK = 0, dQ = 0
dU + dK = dQ + dW ⎯⎯⎯⎯→
U =W = 

lực và nhiệt vào) gây nên

Cơng thực hiện biến dạng đàn hồi chuyển hố thành năng lượng tích trữ

trong vật thể. Mật độ năng lượng biến dạng là năng lượng tích trữ trong
một đơn vị thể tích.


Xác định công biến dạng đàn hồi:

x3

s11 d x2d x3  lực kéo

s 11

x1

d x3

d x2

d x1

x2

Chuyển vị kéo ➔ e11 d x1

σ11 - ứng suất kéo tác động trên mặt vng góc với x1, theo hướng x1.
ε11 - biến dạng kéo dài theo hướng x1, do tác dụng của σ11 .
s 31 d x2d x1  lực cắt
x
s
Dx

3

31

1

Dx1
g 31 =
x1
d x3

d x3

x2

d x1

d x2
Chuyển vị cắt ➔ g 31 d x3

σ31 - ứng suất cắt tác động trên mặt vng góc với x3, theo hướng x1.
g 31 - biến dạng cắt, do tác dụng của σ31 .


✓ Công cho biến dạng kéo theo hướng x1 (WV11) :

1
1
WV 11 = éës11 (d x2d x3 ).e11d x1 ùû = s11e11 (d x1d x2d x3 )
2

2
Mật độ công cho biến dạng kéo theo hướng x1 (W11) (trong một đơn vị
thể tích):
1

W11 = s 11e11
2

✓ Cơng cho biến dạng cắt theo hướng x1 (WV31) :

1
1
WV 31 = éës 31 (d x2d x3 ).g 31d x1 ùû = s 31g 31 (d x1d x2d x3 )
2
2
Mật độ công cho biến dạng cắt theo hướng x1 (W31) (trong một đơn vị thể
tích):
1
1
 ij =  ij
W31 =  31 31 =  3131
2
2
Áp dụng nguyên tắc xếp chồng, xác định được công tổng cộng gây nên
bởi tất cả các thành phần của ten xơ ứng suất tác động lên phân tố vật
rắn (W):

1
1
W = U = (1111 +  22 22 +  3333 + 21212 + 2 23 23 + 21313 ) =  ijij

2
2
Đơn vị của mật độ năng lượng biến dạng:

J / m3 hay N .m / m3 hay N / m2


II.4. Ứng suất cắt và biến dạng cắt
l
dl
Phôi

F1

Chày

h

Vùng cắt

Cối

Thí nghiệm đột lỗ:
Ứng suất cắt ( t ) và biến dạng cắt (

F
t=
A

g

):

dl
, g = = tgq » q (do θ nhỏ)
l

ỉ
ư
Diện tích cắt (A) : A @ p D1 + D2 h
ỗố 2 ữứ

q


Thí nghiệm xoắn xác định ứng suất cắt:
✓ Mẫu trụ (một đầu cố định) chịu tác động
của lực xoắn T.

C

l

✓ Quan hệ giữa mô men và ứng suất cắt:

t max

rT
=
J

, J=

p r4
2

J – mơ men qn tính cực.

✓ Thơng thường mẫu có dạng ống (có thể
xem ứng suất cắt phân bố đồng đều trong
mặt cắt ngang):

J=

(

p r -r
4
1

4
2

A

r

dq

C

)

g =

T

2

✓ Đối với vật liệu đàn hồi tuyến tính (kim
loại, ceramic, …), tồn tại quan hệ tuyến
tính giữa ứng suất cắt và biến dạng cắt:

t = Gg
G – mô đung đàn hồi cắt.

E
G=
2(1+ n )

C
AC rdq
=
l
l

t max
r1
r2

II.5. Hệ số Poisson (co đàn hồi)
• Xét phân tố biến dạng đàn hồi kéo theo chiều x3. Ứng suất kéo σ33 gây
nên các biến dạng (+) ε33, và ( - ) ε22, ε11:
é 0 0 0
ê
s ij = ê 0 0 0
ê 0 0 s 33
ë

é e
0
ù
11
ê
ú
ú gây ra ® eij = ê 0 e22
ê
ú
û
êë 0 0

0 ù
ú
0 ú
ú
e33 ú
û

Cho vật liệu đẳng hướng ( e11 = e22 ), hệ

số Poisson xác định bởi:

n=Phân tố
thể tích có
độ dài các
cạnh = 1

e11
e
= - 22
e33
e33

✓ Trường hợp vật liệu biến dạng với
thể tích khơng đổi:
Vo = 1

V = (1+ e11 ) (1+ e22 ) (1+ e33 ) = 1+ e11 + e22 + e33 +

@0

+ (e11e22 + e11e33 + e22e33 + e11e22e33 )
V @ 1+ e11 + e22 + e33

Vì V = V Þ e + e + e = 0
o
11
22
33
Vật liệu đẳng hướng ( e11 = e22): 211 = −33



 = 0.5 (biến dạng dẻo)


✓ Trường hợp khơng có biến dạng ngang (co):

11 =  22 = 0
  =0
✓ Đối với kim loại : n = 0.21(Chromium - Cr) ¸ 0.45 (lead - Pb), thường
nhận bằng 0.3.

II.6. Trạng thái ứng suất phức tạp (2-D, 3-D)
é s
é e
s 12 s 13 ù
11
ê
ú
ê 11
s ij = ê s 21 s 22 s 23 ú gây ra ® eij = ê e21
ê
ú
ê
s
s
s
êë 31
êë e31

32
33 ú
û
Mỗi thành phần ứng suất gây nên các
phần biến dạng sau:
Vật rắn đẳng hướng

e =
*
11

✓ Thành phần σ11 : gây ra

Vì :
✓ Thành phần σ22: gây ra e =
**
22

✓ Thành phần σ33: gây ra e

***
33

=

s 22
E

s 33
E

*
11

*
33

và e = e = **
11

và e

***
11

**
33

=e

***
22

ns 22

=-

E

ns 33

E

e22 e23
e32 e33

ú
ú
ú
úû

thành

s11

* ® e*
22
11

n = -e / e = -e / e
*
22

e12 e13 ù

E
=e =*
33

ns11
E

✓ Mỗi thành phần ứng suất cắt (eij , i ¹ j) chỉ gây nên biến dạng cắt
tương ứng:

e12 =

s12
G

, e13 =

s13
G

, e23 =

s 23
G

Áp dụng “nguyên lý xếp chồng”, biến dạng theo mỗi hướng bằng tổng các
biến dạng mà mỗi thành phần ứng suất gây ra theo hướng đó:
- Theo hướng x1:

e11 = e11* + e11** + e11***

- Theo hướng x2:

*
**

***
e22 = e22
+ e22
+ e22

- Theo hướng x3:

e33 = e33* + e33** + e33***
Trạng thái ứng suất
thuỷ tĩnh (s ii = - p) :

1
e11 = éës 11 - n (s 22 + s 33 ) ùû
E
1
e22 = éës 22 - n (s 11 + s 33 ) ùû
E
1
e33 = éës 33 - n (s 11 + s 22 ) ùû
E

e12 =

s 12
G

, e13 =

s 13
G

, e23 =

é -p 0
0
ê
ê 0 -p 0
ê 0
0 -p
êë

s 23
G

ù
ú
ú
ú
úû

e11 = e22 = e33
e12 = e13 = e23 = 0


Trạng thái ứng suất phẳng (2-D):
Trong trường hợp vật rắn có dạng tấm (kích thước theo một chiều khơng
đáng kể so với hai chiều kia), trạng thái ứng suất có thể xem là hai chiều
(trạng thái ứng suất phẳng).

e11 =

é s
s 12
11
ê
s ij = ê s 21 s 22
ê
0
êë 0

0 ù
ú
0 ú
ú
0 ú
û

e22 =

s 11 ns 22
E

s 22
E

e33 = e12 =

-

-

n

ns 11

s
(
E

s 12

E

E
11

+ s 22 ) = -

n

e
(
1- n

11

+ e22 )

G

Trạng thái biến dạng phẳng (2-D):

Nếu vật rắn có kích thước theo một chiều
bằng “vơ cùng” so với kích thước theo hai
chiều kia, hoặc một chiều bị chặn cứng: biến
dạng theo chiều kích thước vơ cùng = 0,
hoặc theo chiều bị chặn cứng sẽ bằng 0
trạng thái biến dạng phẳng (2-D)

é e
e12
11
ê
eij = ê e21 e22
ê
0
êë 0

0 ù
ú
0 ú
ú
0 ú
û


é e
e12
11
ê
eij = ê e21 e22
ê

0
êë 0

é s
s 12 0
11
ê
s ij = ê s 21 s 22 0
ê
0 s 33
êë 0

0 ù
ú
0 ú
ú
0 ú
û

ù
ú
ú , s 33 = n (s 11 + s 22 )
ú
úû

II.7. Giải trạng thái ứng suất phẳng bằng đồ thị - đường tròn Mohr

 Chuyển đổi hệ toạ độ trực giao:
x2

x’3
x3

 
 i2 i2 
i3
i1

x’2

x1

 
i3 i1

Chuyển đổi hệ tọa độ: tịnh tiến + xoay
- Tịnh tiến : các thành phần của vec ten xơ
không thay đổi (không cần xét !)
- Xoay : các thành phần của vec tơ và ten
 xơ biến đổi (cần tính đến xoay !)
ir − vec tơ cơ sở của hệ tọa độ cũ


ik − vec tơ cơ sở của hệ tọa độ mới

x’1

Vị trí của hệ tọa độ x’i trong xi được xác
định bởi ma trân cosin chỉ hướng A

cos(x1 , x1 ) cos(x1 , x2 ) cos(x1 , x3 ) a11
A  a rk = cos(x 2 , x1 ) cos(x 2 , x2 ) cos(x 2 , x3 ) = a 21
cos(x 3 , x1 ) cos(x 3 , x2 ) cos(x 3 , x3 ) a 31

a12

a13

a 22
a 32

a 23
a 33

ir = ark .ik = ik . ( ark ) T = ik akr

Tính chất trực giao của A

(a rk )−1 = (a rk )T

ik = ( ark ) ir = ( ark ) .ir = akr .ir
−1

T

Vec tơ trong chuyển đổi hệ tọa độ trực giao:
x2

v2

x’3


v

- Trong hệ
mới

v '2

v 3

v1

v3

v1

x3

- Trong hệ cũ

x’2





vk ik = v r ir = v r a rk ik  (vk − v r a rk )ik = 0

x1

vk = a kr v r ; v r = a rk vk
x’1


−1 
T 
v = A .v = A .v ;



v = A.v


Ten xơ trong chuyển đổi hệ tọa độ trực giao:
x2

u2


v
X’3


u

X’2

u '2

u 3

u1

u3

u1

Q là toán tử tuyến tính mang bản chất
của ten xơ (trong hệ tọa độ cũ)

1



Quan hệ giữa u và v trong hệ mới ?



u là ảnh của v  trong hệ
tọa độ mới

Q ¢là toán tử tuyến tính
trong hệ tọa độ mới

chuyển đổi tuyến tính trong
hệ tọa độ cũ

x1

X’
x3



v  u



là
ảnh
của
v qua phép
u

ui¢ = aiju j = aijQjq vq = aijQjq aqp vp¢
ui¢ = Qiq¢ vq¢
T

Qip¢ = aijQjq aqp

Q ¢ = A .Q.A
T

Q = A.Q ¢.A