Xây dựng mô hình cơ học gần đúng cho robot song song Delta Rostock

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

XÂY DỰNG MƠ HÌNH CƠ HỌC GẦN ĐÚNG
CHO ROBOT SONG SONG DELTA ROSTOCK
Nguyễn Đăng Tộ, Lương Bá Trường
Trường Đại học Thủy lợi, email:

Dựa trên mơ hình thực tế của Robot, mơ
hình cơ học gần đúng đã được xây dựng như
Robot song song được phát triển bởi nhóm trên Hình 2. Robot bao gồm khung và bàn
nghiên cứu của GS. Reymond Clavel thuộc máy cố định, các con trượt có khối lượng m1 ,
viện Cơng nghệ liên bang Lausanne Thụy Sĩ khâu nối hình bình hành có khối lượng m2 ,
từ đầu thập kỷ 80 của thế kỷ trước. Đến năm bàn máy di động có khối lượng mp .
1987 robot song song này đã được sử dụng
trong công nghiệp đóng gói. Từ đó đến nay,
loại robot này được phát triển mạnh mẽ và
nhiều dạng cải tiến được đưa ra.
Đối với robot song song, các phương trình
chuyển động của robot là các phương trình vi
phân - đại số phức tạp. Vì vậy việc xây dựng
các mơ hình cơ học đủ chính xác và tương
đối đơn giản là rất cần thiết cho việc tính tốn
cũng như mơ phỏng và điều khiển hoạt động
của robot. Bài báo này trình bày việc mơ hình
hóa cơ học và thiết lập phương trình vi phân
chuyển động của robot song song Delta
Rostock đã được chế tạo thực tế. Mơ hình thứ
Hình 2. Sơ đồ động học robot
nhất, các khâu hình bình hành của robot được
(1.Bàn máy, 2.Khung robot,
mơ hình bằng một thanh chỉ có khối lượng

tập trung ở hai đầu thanh. Mơ hình thứ hai, 3.Khâu dẫn động, 4.Khâu hình bình hành)
các khâu hình bình hành được mơ tả bởi một
Mơ hình 1: Các khâu nối hình bình hành
thanh đồng chất.
của robot được thay thế bằng một thanh khơng
Tại Khoa Cơ khí trường đại học Thủy Lợi, trọng lượng, có khối lượng tập trung tại hai
Robot song song Delta Rostock dẫn động đầu thanh, khối lượng ở mỗi đầu thanh bằng
bằng các khâu tịnh tiến đã được chế tạo một nửa khối lượng khâu hình bình hành.
(Hình 1).
Mơ hình 2: Các khâu nối hình bình hành
được thay thế bằng một thanh có khối lượng
phân bố đều trên toàn chiều dài thanh.
1. GIỚI THIỆU

2. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Hình 1. Mơ hình robot thực đã chế tạo

Tính tốn giải tích.
Các phương trình vi phân chuyển động cho
robot song song có thể được thiết lập nhờ các
phương pháp như: tách cấu trúc, phương trình
234


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

Newton-Euler, phương trình Lagrange dạng
Ma trận C q,q& được tính từ ma trận khối
nhân tử, phương trình động lực Kane. Trong lượng M q sử dụng tích Kroenecker như sau:

 
bài báo sử dụng phương trình Lagrange dạng
T
 M q 

nhân tử, các phương trình nhận được ở dạng
1  M  q 
 E  q&  
 q& Ε  (3)
C  q,q& 
phương trình vi phân đại số.
q
2  q

Mơ hình 1: Đối với mơ hình 1 robot bao
Với E là ma trận đơn vị có kích thước
gồm 4 vật rắn chuyển động tịnh tiến đó là 3 bằng số chiều của véc tơ q. Nếu khai triển cụ
con trượt dẫn động có gắn thêm 1/2 khối thể (2) với từng tọa độ suy rộng ta có:
lượng khâu hình bình hành và bàn máy động  2m  m  q&&  m  0.5m  g  F  t   2  q  z 
1
2 1
1
2
1
1 1
P
có gắn thêm 3/2 khối lượng của khâu hình
 2m1  m2  q&&2  m1  0.5m2  g  F2  t   22  q2  zP 
bình hành.
Chọn các hệ tọa độ như trên Hình 2. Để  2m1  m2  q&&3   m1  0.5m2  g  F3  t   23 q3  zP 

định vị các con trượt ta dùng các tọa độ q1 , 2m  3m x&&  2  R  r cos  x 
 P
 1 P
2 P
1 
q2 , q3 , để định vị bàn máy động ta dùng các
tọa độ xp , yp , zp . Như vậy để thiết lập phương  22  R  r cos2  x P   23  R  r cos 3  xP 
trình vi phân chuyển động của robot ta chọn  2m  3m  &
P
2 y&
P  21 
 R  r sin 1  yP 
các tọa độ suy rộng dư như sau:
 22  R  r  sin 2  yP   23  R  r  sin 3  yP
T
q   q1 q 2 q 3 x P y P zP   R6 (1)
&P   mP 1.5m2  g  21  q1  zP 
Áp dụng phương trình Lagrange dạng  2mP  3m2  z&
nhân tử ta thiết lập được phương trình chuyển  22 q2  zP   23  q3  zP (4)
động của robot dưới dạng ma trận như sau:
Như vậy 6 phương trình (4) kết hợp 3
phương trình liên kết, ta có hệ 9 phương trình
 M  q  q&
&+ C q,q& q&+ g  q  + Φ Tq  q  λ = τ
(2) vi phân- đại số mô tả chuyển động của robot

f
s
=
0




song song.
trong đó:
Mơ hình 2: Đối với mơ hình này ta có cơ
T
hệ gồm 3 con trượt chuyển động tịnh tiến lên
τ  F1  t  F2  t  F3  t  0 0 0 
xuống, bàn máy tịnh tiến không gian và 3
T
f
T
3x6
thanh Bi Di là các vật rắn chuyển động không
λ   1 2  3  ;Φ q  q   R
q
gian, để định vị các thanh này ta sử dụng các
1
1
1

 góc θi , γi như trên Hình 3.
 m1  2 m2 ,m1  2 m2 ,m1  2 m2 , 
M  q   diag 

 m  3 m ,m  3 m , m  3 m 
 P



2 2 P 2 2 P 2 2
T

m
m
m
3m 

g  q  g m1  2 m1  2 m1  2 0 0 mP  2 
2
2
2
2 


Các phương trình liên kết được thiết lập
dựa trên điều kiện:
2

2

 xBi  xDi    yBi  yDi    zBi  zDi 

2

 L2  0

Trong đó L là chiều dài khâu hình bình
hành, từ đó các phương trình liên kết có dạng:
fi  L2  cos  i  R  r   x P 

2

2
2

 sin  i  R  r   y P    d i  zP   0

Hình 3. Sơ đồ định vị khâu B i Di
trong không gian

Như vậy, các tọa độ suy rộng dư được
với i  1, 2,3 ; R, r là bán kính đường tròn ngoại chọn là:
q q1 1 2 q2 2 2 q3 3 3 xP yP zP R12 (5)
tiếp tam giác A1 A2 A3 và tam giác D1 D2 D3 .
235


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

Áp dụng phương trình Lagrange dạng
nhân tử ta thiết lập được phương trình chuyển
động của robot như sau:
 M  q  q&
&+ C q,q& q&+ g  q  + Φ Tq  q  λ = τ
(6)

f
s
=
0




Trong đó ma trận M  q  là ma trận vng

cỡ 1212 có dạng như sau:
M1  q 

0
M q   
 0

 0

0

0

M 2 q 
0
0
M 3 q 
0

0

0




0  (7)
0 

M P q 

Với i = 1, 2, 3 ta có:
1
1


m1  m2
m L cos i cos i
 m2Lsini sin i 

2 2
2


1
1

Mi  q   m2Lcosi cos i Icx   Icy  Icx  m2L2  cos2  i
0
2

4





1
1
2
 m Lsin  sin 
0
m2L  Icz 
2
i
i
 2
4


M P  q   diag  m P ,mP ,m P 

Ma trận C q,q&R12x12 được tính như sau:
C  q,q& 

M  q 

1 M  q 
 E  q&  
 q& Ε 
q
2  q


T

Các véc tơ nhân tử Lagrange λ và τ như sau:

T

λ   1  2  3  4 5

6  7  8 9 

τ  F1  t 0 0 F2  t 0 0 F3  t 0 0 0 0 0

Vậy có 12 phương trình vi phân và 9
phương trình liên kết cho ta một hệ 21 phương
trình vi phân-đại số mơ tả chuyển động của
robot song song được mô tả theo mơ hình 2.
Phương trình vi phân chuyển động của mơ
hình 1 và mơ hình 2 đều là các phương trình
vi phân-đại số, ta có bảng so sánh sau:
Số bậc tự do
Số tọa độ suy rộng dư
Số phương trình liên
kết
Số nhân tử Lagrange
Tổng số phương trình
M a trận M và
ma trận C

M ơ hình 1
3
6

M ơ hình 2
3

12

3

9

3
9

9
21

M  q   const

M = Mq 

C  q, q&  0

C  q, q&  0

4. KẾT LUẬN

Bài báo đã đưa ra được 2 mơ hình gần
đúng cho robot song song Delta Rostock,
Ma trận g(q) có dạng:
việc thiết lập phương trình vi phân chuyển
T
g  q   g 1  q  g 2  q  g 3  q  g P  q  
động cho robot dựa vào phương trình
Lagrange dạng nhân tử. Phương trình động

trong đó:
lực học thu được theo mơ hình 2 tương đối
T

1
1

gi q  g  m1  m2   m2 Lcosi cos i
m2 Lsin i sin  i 
phức tạp, phương trình thu được theo mơ
2
2


hình 1 đơn giản hơn rất nhiều. Điều này là rất
T
g P  s    0 0 m Pg  , với i = 1, 2, 3.
cần thiết đối với bài toán điều khiển bám quỹ
Các phương trình liên kết được thiết lập đạo của các robot song song.
dựauuuu
trên
các phương trình véc tơ:
r uuuur uuuur uuur uur
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO
OAi  Ai Bi  Bi Di  D i P  OP
(8)
[1] Nguyễn Văn Khang: Động lực học hệ nhiều
Chiếu các phương trình này lên hệ trục tọa
vật (in lần thứ hai). NXB Khoa học và Kỹ
độ Ox0 y0 z0 ta được các phương trình liên kết

thuật, Hà Nội 2017.
sau:
[2] Nguyễn Văn Khang, Nguyễn Quang Hoàng,
xP   R  r cosi  Lcos i cos i cosi  Lsin i sin i

yP   R r  sin i  Lsin i cosi cos i  Lcosi sin i
z  q  Lsin  cos  (9)
i
i
i
P

Với i = 1, 2, 3. Như vậy ta có 9 phương
trình liên kết nên f  q   R9 . Do đó ma trận
q  q  được tính như sau:
q q  

f
 R9x12
q

(10)

Nguyễn Đình Dũng, Mai Trọng Dũng: Hội
nghị cơ học kỹ thuật toàn quốc, Đà Nẵng
2015.
[3] L.W. Tsai: Robot Analysis/ The Mechanics
of Serial and Parallel Manipulators, John
Wiley and Sons, New York 1999.
[4] Nguyen Van Khang: Kroneck er product

and a new matrix from of Lagrange
equations with multipliers for constrained
multibody systems, Mechanis Research
Communications 38, 294-299, 2011.

236