Phần tử dầm Timoshenko trong phân tích dao động dầm FGM chịu lực di động

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

PHẦN TỬ DẦM TIMOSHENKO TRONG
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG DẦM FGM CHỊU LỰC DI ĐỘNG
Bùi  Văn Tuyển  
Khoa Cơ khí - Trường Đại học Thủy lợi, email:  

1. MỞ ĐẦU

n

Vật liệu có cơ tính biến thiên (FGM) được 
các nhà khoa học Nhật bản tìm ra vào những 
năm  1980.  Chúng  là  loại  vật  liệu  có  tiềm 
năng lớn ứng  dụng  trong  các kết cấu trong 
điều kiện khắc nghiệt. Các kết cấu FGM nói 
chung,  và  dầm  FGM  nói  riêng  đang  ngày 
càng được sử dụng nhiều trong lĩnh vực hàng 
khơng, vũ trụ. Phân tích tĩnh và dao động của 
dầm  FGM bằng cách  sử  dụng  các  phương 
pháp số và phương pháp phần tử hữu hạn đã 
được  rất  nhiều  nhà  khoa  học  nghiên  cứu 
trong thời gian gần đây.  
Trong nghiên cứu này, phân tích dao động 
của  dầm  FGM  sử  dụng  phần  tử  dầm 
Timosenko  được  xây  dựng  bằng  cách  sử 
dụng hàm dạng thứ bậc để nội suy chuyển vị 
và góc xoay. Để nâng cao hiệu quả của phần 
tử,  biến dạng trượt  được  xác định là khơng 
đổi.  Ảnh  hưởng  của  nhiệt  độ  đến đáp ứng 
động  lực  học  của dầm cũng  được  xem xét 

trong nghiên cứu này.  

h
h
 z 1
Vc     , Vc  Vm  1,   z  (1) 
2
2
h 2

Dầm FGM được xem xét trong mơi trường 
nhiệt độ cao. Tính chất của các vật liệu thành 
phần  phụ  thuộc  vào nhiệt độ  xác  định  qua 
cơng thức (Touloukian, 1967). 
P  P0 P1T 1  1  P1T  P2T 2  P3T3      (2) 





trong  đó  T=T 0 +ΔT(z) với T 0 =300K là nhiệt 
độ phịng, P 0 , P -1 , P 1, P 2  and P 3  là các hệ số 
nhiệt  ứng  với  các  loại  vật  liệu  khác  nhau, 
ΔT(z) là lượng tăng nhiệt độ.  
Dựa  trên  mơ  hình  Voigh,  tính  chất  hữu 
hiệu của vật liệu dầm có dạng 
P(z,T)  Pc Vc  Pm Vm  
(3) 
Nhiệt độ phân bố theo chiều cao của dầm 
với các điều kiện ràng buộc T(z=-h/2)=T m và 

T(z=h/2)=T c.  Trường nhiệt độ  có  thể nhận 
được bằng lời giải phương trình truyền nhiệt 
Fourier 
d 
dT 
(4) 
 (z)   0  

dz 
dz 
Với  (z)   là  hệ  số  dẫn  nhiệt  khơng  phụ 


2. MƠ HÌNH PHẦN TỬ

thuộc vào nhiệt độ. 
z

T(z)  Tm  (Tc  Tm )

h
2
h

2


Hình 1. Dầm FGM

1

 h/ 2 (z) dz

     

(5) 

1
dz
 (z)

Dựa trên lý thuyết dầm Timosenko chuyển 
Xét dầm FGM trong hệ trục tọa độ Đề-các  vị của một điểm bất kỳ trên dầm theo phương 
như minh họa trên hình 1. Dầm được tổ hợp từ  x và z là u  và u  cho bởi. 
1
3
hai vật liệu thành phần là gốm và kim loại. Tỷ 
u1 (x, z, t)  u(x,t )  z(x, t)
lệ thể tích của gốm (Vc) và kim loại (Vm) được 
 
(6) 
u 3 (x, z, t)  w(x, t)
giả định tuân theo quy luật hàm số lũy thừa 
237


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

Biến  dạng  dọc trục và biến dạng trượt có 
Vì vậy véc tơ chuyển vị nút của một phần 

tử dầm có dạng 
dạng 
T
xx  u ,x  z,x
d  u1 w1 1 3 u 2 w 2 2    (15) 
 
  
Từ đây ta có thể biểu diễn biểu thức năng 
 xz  w ,x  
Năng lượng biến dạng đàn hồi của dầm là  lượng của phần tử dầm dưới dạng 
1 L
2
2
2
U   A11u,x  2A12u,x,x  A22,x A33(w,x )  dx 
0
2

U

Năng lượng biến dạng do  tăng nhiệt độ xác 
định theo (Mahi, nnk 2010): 
UT 

1 L
N T w 2,xdx  

2 0

n

1 el
UT   dT kT d
2 i 1

  (8) 

 

(16) 

n

1 el
 T   d&T ( mu  m w  m c  m  )d&
2 i 1

Trong công thức (7) và (8). 



1 n el T
 d  ka + k c + k b  k s  d
2 i 1



(9)  trong đó k a , kc, k b , k s  lần lượt là ma trận độ 
cứng: dọc trục, tương hỗ giữa dọc trục-chống 
A

uốn, chống uốn và chống cắt; k T là ma trận 
A 33   G  z, T dA  
độ  cứng  sinh  ra  từ  việc  tăng nhiệt độ;  mu , 
A
mw ,  mc,  m  lần lượt là ma trận khối  lượng 
 
N T    E  z, T (z,T)TdA    
nhất quán sinh  ra  từ  chuyển dịch dọc trục; 
A
chuyển vị  ngang; tương  tác  giữa  chuyển vị 
Động năng của dầm là: 
dọc trục - góc quay và góc quay của tiết diện 
1 L
2
2
2
&
&
T   I11 u&  w&  I12u&  I22 dx (10)  ngang.  Ma  trận  độ  cứng  và  ma  trận  khối 

2 0
lượng nhất quán tổng thể của dầm có được từ 
Trong đó 
việc  ghép nối  các ma trận phần tử. Phương 
2
 I11, I12 ,I 22      z, T  1, z, z dA   (11)  trình dao động của dầm chịu tác dụng của lực 
di động dưới dạng cơng thức phần tử hữu hạn  
 
A
&

& (K  K )D  F  
(17) 
MD
Sử dụng hàm dạng thứ bậc, chuyển vị và 
B
T
ex
góc xoay có thể biểu diễn  
(A11 , A12 ,A 22 )   E  z,T  1,z, z2 dA  









3. KẾT QUẢ SỐ

u  N1u1  N 2 u 2
  N11  N 22  N 3 3
w  N1w 1  N 2 w 2  N 3 w 3  N 4 w 4

trong đó: 
1
1
N1  (1 ) N 2  (1   )
2
2

2
N 3  (1   ) N 4   (1   2 )  
2

x
1
l

 

 (12) 

Kết quả số phân tích dưới đây được xét với 
dầm  đơn  giản  được  tổ  hợp  từ  hai  vật  liệu 
thành  phần  là  thép  không  gỉ  (SUS304)  và 
nhôm  ôxit  (Al2 03 ).  Các  hệ số  xác định tính 
chất của các  vật liệu thành phần phụ thuộc 
vào nhiệt độ được lấy từ (Mahi 2010). Lực di 
(13)  động  từ  đầu trái  sang đầu phải của dầm với 
biên độ  F0 =100 kN. Trong bảng 1, tham số 
h/ 2
2

Như vậy,một phần tử dầm chiều dài l có tới 
9 bậc tự do. Tuy nhiên số bậc tự do có thể giảm 
đi khi ta cho biến dạng trượt là khơng đổi. 
Thay (12), (13) vào (7) và cho biến dạng 
trượt xz = const ta có: 
l
l

w 3  (1  2 );w 4  3  
8
6

tần  số    1L / h I11 /



E(z)dz )  được 

 h/ 2

tính  tốn với  các  phần tử  dầm và tỷ  lệ L/h 
cho  n=0.3  và T=0.  Kết quả được so sánh 
với Sina(2009), kết quả số cho thấy sự hội tụ 
nhanh, tính chính xác của phần tử được lựa 
(14)  chon,  với  16  phần  tử  ngay  cả  với  tỷ  lệ 
L/h=100.    
238


Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2018. ISBN: 978-604-82-2548-3

Bảng 1. Bảng đánh giá sự hội tụ của phần tử
dầm trong đánh giá tham số tần số 
L/h 

12 

nE 

14 
16 

18 

20 

Sina 
(2009) 

10  2.7015  2.7014  2.7014  2.7013  2.7013  2.695 
30  2.7383  2.7382  2.7381  2.7381  2.7381  2.737 
100  2.7426  2.7425  2.7424  2.7424  2.7424  2.742 

tức  là  W0 =F0 L3 /48E m I,  với  I=bh 3 /12  là 
momen  qn  tính.  Kết  quả số  ở hình  2  và 
hình  3 cho thấy, khi nhiệt độ tăng và n tăng 
thì  độ  võng  lớn  nhất  giữa  dầm cũng  tăng. 
Chu kỳ dao động của dầm có xu hướng giảm 
khi tăng nhiệt độ và tăng n. 

Bảng 2. Bảng so sánh tần số cơ bản
không thứ nguyên trong môi trường nhiệt độ
T 
Tài liệu 
(K) 
20 

n=0.1 

n=0.2  n=0.5 

n=1 

Bài báo  4.6950  4.4458  3.9781  3.6093 

Hình 3. Mối quan hệ giữa độ võng trực
chuẩn lớn nhất với vận tốc của lực;
(a),  T=80K, n khác nhau;
(b), n=1 và  T khác nhau

  Ebrahimi  4.7018  4.44333  3.9353  3.5473 
40  Bài báo  4.5964  4.3471  3.8785  3.5079 
 

Ebrahimi  4.6020  4.3278  3.8140  3.4112 

80  Bài báo  4.3931  4.1428  3.6704  3.2945 
  Ebrahimi  4.3956  4.1087  3.5590  3.1214 

Trong  bảng  2,  tần số  cơ bản không  thứ 
0
nguyên  *  1L2 / h m / Em
 với các giá trị 
khác  nhau của n và các giá trị nhiệt độ tăng 
khác nhau. Kết quả số sử dụng phương pháp 
PTHH được so sánh với Ebrahimi (2015) cho 
lý  thuyết  dầm  Euler-Becnoulli  sử  dụng 
phương  pháp giải  tích  là rất sát nhau. 1  là 
tần  số  cơ  bản  của  dầm,  m,  Em0   là mật độ 

khối và Mơ-đun đàn hồi của SUS304 ở nhiệt 
độ phịng. 

4. KẾT LUẬN

Phân tích đáp ứng động lực học của dầm 
Timosenko  trong  mơi  trường nhiệt độ bằng 
cách  sử  dụng  hàm dạng thứ bậc để nội suy 
chuyển vị  và góc xoay. Các cơng thức tính 
ma trận độ cứng và ma trận khối lượng được 
xây dựng. Kết quả số cho thấy tính chính xác 
và hiệu quả của phần tử được lựa chọn. Sự 
hội tụ của các phần tử xây dựng là nhanh và 
có khả năng đưa ra được bức tranh dao động 
một cách chính xác bằng việc sử dụng một số 
lượng  nhỏ  phần  tử.  Nghiên  cứu  cũng  cho 
thấy tham  số  vật liệu,  tăng nhiệt độ  có ảnh 
hưởng lớn đến bức tranh dao động của dầm. 
5. TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1]   S A Sina, H M Navazi and H  Haddadpour. 
2009.  An  analytical  method  for  free 
vibration  analysis  of functionally graded 
beams. Materials & Design. vol. 30, no. 3, 
pp. 741-747. 
Hình 2. Ảnh hưởng của nhiệt độ
[2]   F Ebrahimi, F Ghasemi and E Salari. 2015. 
Investigating thermal effects on vibration 
đến độ võng trực chuẩn giữa dầm
behavior  of  temperature-dependent 

theo thời gian với n=0.5
compos itionally graded Euler beams with 
W(L/2,t)  là  độ  võng  động  tại  vị  trí  giữa 
porosities. Meccanica. doi 10.1007/s 11012dầm và W0  là độ võng tĩnh lớn nhất của dầm 
015-0208-y. 

thép dưới  tác dụng của lực F0  tại giữa dầm, 
239