PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CẦU DẦM GIẢN ĐƠN DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI CHUYỂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NEWMARK

PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA CẦU DẦM GIẢN ĐƠN
DƯỚI TÁC DỤNG CỦA TẢI TRỌNG DI CHUYỂN
BẰNG PHƯƠNG PHÁP NEWMARK
Phan Huy Thiện1
 

TÓM TẮT
Trong tiêu chuẩn thiết kế cầu hiện nay của Việt Nam và một số nước trên Thế giới
[5],[6],.. khi thiết kế các loại cầu người ta đưa hệ số động do tải trọng di động gây nên và
được tính tăng thêm theo một tỉ lệ của tải trọng tĩnh. Hệ số động đó, được quy định cho tất
cả các cầu nói chung và cầu dầm nhịp giản đơn nói riêng, dẫn đến việc xác định tải trọng
động cho cầu cần phải nghiên cứu rõ để đánh giá mức độ ảnh hưởng của hệ số động đối
với cầu. Trong bài báo này, tác giả nghiên cứu hệ số động bằng phương pháp phần tử hữu
hạn cho cầu dầm giản đơn bằng phương pháp Newmark, được lập trình trên ngôn ngữ
Matlab với mô hình hai khối lượng.
Từ khóa: Phân tích dao động, cầu dầm, hệ số động, phần tử hữu hạn, mô hình hai
khối lượng, tải trọng di động
ABSTRACT
Today in the Bridge Design Standard of Viet Nam and others countries in the world
[5], [6]… designing bridges, the dynamic factor of moving load is taken into account by
multiplying static load with a dynamic factor. It is imperative for all types of bridges
including simple span bridges, so moving load calculation needs to be studied in order to
evaluate dynamic factor influences on bridges. In this paper, the author studies the
dynamic factors by using finite element methods with simple span bridges. The software
Matlab, with its two-weight model, is used to calculate the factors.
Key words: Ffluctuation analysis, simple span bridge, dynamic factor, finite element
method, two weight model, moving load.
1. Đặt vấn đề
Đã có hai hướng nghiên cứu ảnh hưởng của các tác động của hoạt tải đối với công
trình cầu:
+ Theo hướng thứ nhất: Ảnh hưởng do tác động động lực của hoạt tải được xét đến bằng

cách gia tăng trị số tính toán tĩnh tương ứng, thông qua hệ số động lực (1+μ). Nội lực hay
chuyển vị do hoạt tải gây ra tại bộ phận bất kỳ của kết cấu được tính toán theo công thức:
Sd = (1+μ). St; Trong đó: St - nội lực hay chuyển vị do tác dụng tĩnh của hoạt tải; Sd
- nội lực hay chuyển vị do tác dụng động của hoạt tải.
                                                            
1

ThS, Khoa Xây dựng, Trường Đại học Vinh. Email:


72

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 

+ Theo hướng thứ hai: Tùy theo mức độ khảo sát các hiệu ứng quán tính của kết cấu
và tải trọng di động trên công trình, có thể phân loại các mô hình nghiên cứu sau:
Mô hình 1: Không xét đến khối lượng của tải trọng và của dầm: Theo mô hình này
các hiệu ứng quán tính được coi là nhỏ và bỏ qua.
Đây là cơ sở để xây dựng lý thuyết “đường ảnh hưởng” do E.Winkler và O.Morth đề
xuất năm 1868. Tiếp sau đó S.P.Timoshenko (1922) đã nghiên cứu mở rộng cho bài toán
dầm chịu tải trọng di động thay đổi điều hòa.
Mô hình 2: Tải trọng có khối lượng di chuyển trên hệ kết cấu không có khối lượng.
Năm 1849 do F.Willis (Anh). F.Willis đã đưa ra được phương trình vi phân. Sau đó Stokes
đã giải phương trình trên và đã đưa ra được tỷ số giữa độ võng động lực cực đại với độ
võng tĩnh. Năm 1883 Busins đã tiếp tục biến đổi hệ phương trình đó, đưa về phương trình
vi phân có hệ số bằng số. Tuy nhiên ý nghĩa thực tiễn của bài toán dao động dựa trên cơ sở
mô hình 2 không lớn vì khối lượng kết cấu thường không thể bỏ qua.
Mô hình 3: Ngược lại với mô hình 2, mô hình này bỏ qua khối lượng của tải trọng di
động, chỉ xét đến khối lượng của dầm. Bài toán dao động tương ứng với mô hình được giải
quyết theo hai hướng: Phương pháp giải gần đúng: thay thế khối lượng phân bố của dầm

bằng một khối lượng tập trung. Bài toán này đã được S.A.lliaxevic giải quyết và tìm được
hệ số động lực cực đại. Phương pháp chính xác: dựa trên mô hình dầm có khối lượng phân
bố. Năm 1905 A.N.Krưlov đưa ra kết quả cho thấy hệ số động lực xác định theo phương
pháp lý thuyết phụ thuộc vào: Vị trí của tải trọng; Vị trí tiết diện khảo sát; Đại lượng
nghiên cứu; Tính chất tác động và tốc độ di động của hoạt tải.
Mô hình 4: Tải trọng có khối lượng, không có liên kết đàn hồi và cản nhớt với dầm,
chuyển động trên dầm có khối lượng và thay thế khối lượng phân bố của dầm bằng một
khối lượng tập trung ở giữa dầm.
Mô hình 5: Tải trọng là một khối lượng, liên kết đàn hồi và cản nhớt với dầm,
chuyển động trên dầm có khối lượng. Đây là mô hình gần với thực tế hơn và mức độ cũng
phức tạp hơn nhiều so với bốn mô hình trên.
Mô hình 6: Khác với mô hình 5 ở chỗ, tải trọng có khối lượng di động trên mặt cầu
không bằng phẳng. Mô hình này áp dụng chủ yếu cho đường sắt.
Gần đây một số tác giả [1], [3] ,[7]... đã nghiên cứu với mô hình là một đoàn tải
trọng di động, hai khối lượng áp dụng cho cầu dây văng. Các tác giả đã giải phương trình
vi phân dao động bằng phương pháp Runger-Kutta-Mersion trên ngôn ngữ Pascal [1], hoặc
giải bằng phương pháp Runger-Kutta-Mersion trên ngôn ngữ Delphi [3].
Trong bài báo này tác giả nghiên cứu dao động đối với dầm giản đơn dựa trên mô
hình hai khối lượng, chịu tải trọng di động, giải phương trình vi phân dao động bằng
phương pháp Newmark trên ngôn ngữ Matlab.


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH

73 

2. Nội dung nghiên cứu
Lập phương trình vi phân dao động của toàn hệ
dầm giản đơn với một tải trọng di động, giải hệ phương
trình vi phân bằng phương pháp Newmark trên ngôn

ngữ lập trình Matlab. Từ đó đánh giá kết quả tìm được.
2.1. Hệ phương trình dao động cho toàn hệ dầm
giản đơn viết dưới dạng phần tử hữu hạn:
 + C. Q + K .{Q} = {F }
M. Q
Trong đó : M, C, K , F - lần lượt là ma trận khối
lượng, ma trận cản, ma trận độ cứng, ma trận lực hỗn
hợp, {Q} là véc tơ chuyển vị của kết cấu; {Q } là véc tơ

G.sinψ
m1

k1
m2

k2

{} {}

} là véc tơ gia tốc dịch chuyển
vận tốc của kết cấu, {Q
của kết cấu.

z1

d1
z2

d2
V

E, J

ϕ1

x

η =v .t
w1

L

ϕ2
w2

 

Hình 1: Mô hình phần tử dầm

2.2. Phương trình dao động của phần tử dầm [3]
M e .{q} + C e .{q} + K e .{q} = { f e }

Trong đó : Me, Ce, Ke fe - lần lượt là ma trận khối lượng, ma trận cản, ma trận độ
cứng, ma trận lực hỗn hợp:
0
0 ⎤
⎡Mww Mwz1 Mwz2 ⎤
⎡Cww
⎢
⎥

⎢
⎥
− d1 ⎥ ;
Me = ⎢0 m1 0 ⎥ ; Ce = ⎢0
d1
⎢⎣0 0 m2 ⎥⎦
⎢⎣Cz2w − d1 (d1 + d2)⎥⎦
⎧W ⎫
⎧W ⎫
0 ⎤
⎡Kww 0
⎧W ⎫
⎧ Fw ⎫
⎪
⎪
⎪
⎢
⎥ q =  ; q =  ⎪ ; q = ⎪ Z ⎪ f = ⎪ F ⎪
Ke = ⎢0
k1 − k1 ⎥; { } ⎨ Z1 ⎬ { } ⎨ Z1 ⎬ { } ⎨ 1 ⎬ ; { e } ⎨ z1 ⎬ ;
⎪  ⎪
⎪ ⎪
⎪Z ⎪
⎪F ⎪
⎢⎣Kz2w − k1 (k1 + k2) ⎥⎦
⎩ 2⎭
⎩ z2 ⎭
⎩Z2 ⎭
⎩Z 2 ⎭
⎡ 156 22L

⎧W1 ⎫
−13L ⎤
54
⎪ϕ ⎪
⎢
⎥
4L2
13L −3L2 ⎥
mL ⎢ 22L
⎪ 1⎪
;
W = [N 1 N 2 N 3 N 4 ].⎨ ⎬ ; M ww =
420 ⎢ 54
13L
156 −22L ⎥
⎪W2 ⎪
⎢
2
2 ⎥
⎪⎩ϕ 2 ⎪⎭
⎣ −13L −3L −22L 4L ⎦

⎡ N1m1
⎢N m
2 1
M wz1 = ⎢
⎢ N3m1
⎢
⎣ N 4 m1

⎤
⎥
⎥;
⎥
⎥
⎦

⎡ N1m2
⎢N m
2 2
=⎢
⎢ N3 m2
⎢
⎣ N 4 m2

M wz 2

⎤
⎡ 12 6L −12 6L ⎤
⎥
⎢
2
2 ⎥
⎥ ; K = EJ ⎢ 6L 4L −6L 2L ⎥ ;
ww
⎥
L3 ⎢ −12 −6L 12 −6L ⎥
⎥
⎢
2

2 ⎥
⎦
⎣ 6L 2L −6L 4L ⎦

T

K z 2w

.
⎡
⎤
+
(
N
k
N
1 d2 ) ⎥
⎢ 1 2
.
⎢
⎥
+
(
N
k
N
⎢ 2 2
2 d2 )⎥
=⎢
⎥ ; Cww = β .M ww + θ .K ww ;

.
⎢( N 3 k2 + N 3 d 2 ) ⎥
⎢
⎥
.
⎢⎣ ( N 4 k2 + N 4 d 2 ) ⎥⎦

T

Cz 2 w

⎡ N1d 2 ⎤
⎢N d ⎥
2 2⎥
;
=⎢
⎢ N3d2 ⎥
⎢
⎥
⎣ N 4d2 ⎦


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 

74

⎡ N1 ⎤
⎢ ⎥
N
Fw = ⎡⎣G sin Ψ + (m1 + m2 ).g] . ⎢ 2 ⎥ ; Fz1 = {G sin Ψ + m1.g } ; Fz2 = {m2 .g}

⎢ N3 ⎥
⎢ ⎥
⎢⎣ N4 ⎥⎦
Ma trận hàm dạng của thanh 2 đầu nút cứng chịu uốn ngang phẳng:
⎧( L + 2η )( L − η ) 2 ⎫
⎧ N1 ⎫
⎪
⎪
⎪N ⎪
2
⎪ 2 ⎪ ξi (t ) ⎪ L.η ( L − η )
⎪
⎨ ⎬ = 3 .⎨
⎬ ; Theo [1] Hàm tín hiệu điều khiển Logic như
L ⎪ η 2 (3L − 2η ) ⎪
⎪ N3 ⎪
⎪⎩ N 4 ⎪⎭
⎪⎩ − L.η 2 ( L − η ) ⎪⎭
⎧1 khi τ i ≤ t ≤ τ i + Ti
; G.sinΨ=G.sin(Ω.t+α) là lực kích thích điều hòa
sau: ξi (t ) = ⎨
⎩0 khi t 〈τ i và t 〉τ i + Ti

do khối lượng lệch tâm của động cơ quay với vận tốc góc Ω, truyển xuống trục xe, với α là
góc pha ban đầu; m1: Khối lượng của thân xe, kể cả hàng hóa truyền xuống trục xe; m2:
Khối lượng của trục xe; k1, d1: Độ cứng và độ giảm chấn của nhíp xe; k2, d2: Độ cứng và
độ giảm chấn của lốp xe; L: Chiều dài phần tử dầm; η: Tọa độ của trục xe tại thời điểm
đang xét với tốc độ di chuyển đều: η= v.(t-t0); với t ≥ t0
v: Vận tốc của tải trọng; t0: Thời điểm tải trọng bắt đầu vào phần tử dầm; t: Thời
điểm đang xét; β- hệ số ma sát ngoài; θ - Hệ số nội ma sát.

 

Bắt đầu
1

- Số liệu nút, liên kết
-Số liệu phần tử dầm
-Tải trọng.

Cài đặt các điều kiện ban
 = 0, Q = 0.
đầu t = 0, Q
i=1

i= 1
Lập Mww, Cww, Kww, Fww
cho phần tử dầm thứ i
i= i+1

i= i+1

Lập Mz1z1, Mz2z2, Mwz2, Cz1z1,
Cz1z2, Cz2z1, Cz2w, Kz2z2, Kz1z2,
Kz2z1, Kz2w, fwt, fz1t, fz2t.
ầ
ầ

- Lập ma trận chuyển trục.
- Chuyển trục, định vị và sắp
xếp vào ma trận tổng thể:

M, C, K, F

- Lập ma trận chuyển trục.
- Chuyển trục, định vị và sắp
xếp vào ma trận tổng thể:
M, C, K, F

i≥ SPTD

i≥ SPTD

i= 1

 },{ Q
 } theo Newmark
Tính {Q},{ Q

Cài các điều kiện
biên cho bài toán

t≥ Th

Giải phương trình
[K].[Q]=[F]

 },{ Q
 } theo tọa độ chung
-Xuất {Q},{ Q
-Tính toán và xuất kết quả biến dạng cho
từng phần tử.

1
Kết thúc

Hình 2: Chương trình TH-Matlab 

t= t+h


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH

75 

2.3. Tính toán và kết quả (khảo sát hệ số động khi vận tốc của tải trọng thay đổi):
Cho một sơ đồ một nhịp cầu:
1

2

3

4

5

X

42m
Hình 3: Sơ đồ kết cấu nhịp cầu giản đơn với chiều dài L =42m

Với EJ= 1011 (N.m2). Khối lượng phân bố qy = 11.400 Kg/m. Khối lượng m1 =
15*103 Kg; m1 = 209Kg; Độ cứng K1 = 260*104(N/m); K2 = 200*104(N/m); Độ giảm
chấn d1=2,4*103(Ns/m); d2=4,3*103(Ns/m); Hệ số ma sát trong và ma sát ngoài của kết
cấu lấy theo kết quả nghiên cứu E.S.Sorokin và N.A.Popov: θ=0,027; β = 0,01.Tiến
hành khảo sát hệ số động lực của chuyển vị đứng tại các nút 2, 3, 4 và chuyển vị xoay
tại các nút 2, 3, 4;
Theo tiêu chuẩn Việt Nam TCVN-4054-2005 thì tốc độ tối đa trên đường cao tốc cho
phép là v= 120km/h. Dưới đây tác giả khảo sát với vận tốc trong khoảng từ 1-120km/h.
Bieu do he so dong cua chuyen vi thang

Bieu do he so dong cua chuyen vi xoay

1.5

1.5

nut 2
nut 3
nut 4

1.45
1.4

1.4
1.35

1.3

He so dong kd

He so dong kd

1.35

1.25
1.2

1.3
1.25
1.2
1.15

1.15
1.1

1.1

1.05

1.05

1

nut 2
nut 3
nut 4

1.45

0

20

40

60
Van toc v (Km/h)

80

100

1

120

 

0

20

40

60
Van toc v (Km/h)

80

100

120

Hình 4: Biểu đồ hệ số động của chuyển vị khi vận tốc thay đổi

+ Tại vị trí nút 2: Hệ số động chuyển vị thẳng tăng theo vận tốc đến giá trị lớn nhất
1,38 khi vận tốc 94km/h sau đó giảm dần xuống đến 1,35 khi vận tốc 108km/h và lại tiếp
tục tăng lên đến 1,45 khi đạt vận tốc 120km/h ; Hệ số động chuyển vị xoay tăng theo vận
tốc đến giá trị lớn nhất 1,39 khi vận tốc 98km/h sau đó giảm xuống đến 1,33 khi đạt vận
tốc 120km/h;
+ Tại vị trí nút 3: Hệ số động chuyển vị thẳng tăng đến giá trị lớn nhất 1,41 khi đạt
vận tốc 101km/h sau đó giảm xuống 1,36 khi đạt vận tốc 120km/h; Hệ số động chuyển vị

 


TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀ TĨNH 

76

xoay tăng theo vận tốc lên đến 1,15 khi vận tốc 58km/h sau đó giảm dần xuống đến 1,05
khi đạt 72km/h và lại tiếp tục tăng lên đến 1,47 khi đạt vận tốc 120km/h;
+ Tại vị trí nút 4: Hệ số động lực chuyển vị thẳng tăng đến giá trị 1,007 khi đạt vận
tốc 36km/h sau đó giảm dần xuống 1,001 khi vận tốc 40km/h và lại tiếp tục tăng lên đến
1,43 khi vận tốc đạt 120km/h; Hệ số động chuyển vị xoay tăng theo vận tốc lên đến 1,41
khi vận tốc 105km/h sau đó giảm dần xuống 1,38 khi đạt vận tốc 120km/h;
3. Kết luận
+ Khi tốc độ tải trọng di động giảm dần đến 0, hệ số động lực giảm và dần hội tụ đến
1, kết quả phân tích động tiệm cận với kết quả phân tích tĩnh. Khi đưa về trường hợp đặc
biệt (tải trọng có khối lượng, không có liên kết đàn hồi và cản nhớt với dầm) Kết quả sát

với thí nghiệm trong [2]. Điều này cho thấy kết quả phân tích bằng chương trình THMatlab phù hợp với lý thuyết tính toán.
+ Tại mỗi vị trí trên chiều dài cầu thì hệ số động lực (1+μ)max cũng khác nhau.
+ Biểu đồ hệ số động theo vận tốc thay đổi theo quy luật phi tuyến tính.
+ Với số liệu đầu vào như 3 ta sẽ tìm được hệ số động lực chuyển vị thẳng đạt cực trị
(1+μ)max = 1,45 tại nút 2 và hệ số động lực chuyển vị xoay đạt cực trị (1+μ)max = 1,47 tại
nút 3 khi vận tốc tải trọng di động v = 120Km/h.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Hoàng Hà (1999), Nghiên cứu dao động uốn của kết cấu nhịp cầu dây văng trên đường ô tô,
Luận án Tiến sỹ Kỹ thuật, Hà Nội.
[2]. Tạ Hữu Vinh (2005). Nghiên cứu dao động của kết cấu hệ thanh chịu tải trọng di động bằng
phương pháp số. Luận án TS. Kỹ thuật, Hà Nội.
[3]. Nguyễn Xuân Toản (2007). Phân tích dao động của cầu dây văng dưới tác dụng của tải
trọng di động. Luận án TS. Kỹ thuật, Hà Nội.
[4]. Phan Huy Thiện (2013). Dao động cầu nhịp giản đơn dưới tác dụng của phương tiện di
chuyển, Luận án ThS. Kỹ thuật, Hà Nội.
[5]. Tiêu chuẩn Thiết kế Cầu 22TCN 272-05
[6]. Tiêu chuẩn Thiết kế Cầu AASHTO-LRFD-1998 của Mỹ
[7]. Raid Karoumi (1998), Response of Cable-Stayed and Suspension Bridges to Moving
Vehicles, Doctoral Thesis, Stockholm.

Ngày nhận bài báo: 20/6/2014
Ngày phản biện xong: 15/8/2014