ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004 Môn thi: Giải tích pdf

1
HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’04 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004
Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu 1. Cho dãy số {x
n
} xác định như sau:
1
0
0, ( 1) , 1.
2004
n
n
n
x
x x n

     

Tính
2
lim .
n
n
x


Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên
[0,+ ).
Chứng minh rằng hàm số
0
0
()
()
()
x
x
tf t dt
Fx
f t dt




đồng biến trên
[0,+ ).

Câu 3. Cho
0 . ab
Tính tích phân

 
 
1
0
1

0
) ( ) (1 ) .
) lim ( ) .
a I bx a x dx
bI






  


Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

2004
( ) ( ) , .
( ) ( ) ( ) ( ), , .
x
i f x e x
ii f x y f x f y x y
  
   
¡
¡

Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
( ) ( ) 0P a P b
với a < b. Đặt

( ) .
a x b
M max P x



Chứng minh rằng

3
) ( )( )( ) 2 ( ) ,
1
) ( ) ( ) .
12
bb
aa
b
a
a P x x a x b dx P x dx
b P x dx M b a

  




Hết

2
ĐÁP ÁN
OLYPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2004

Môn thi: Giải tích

Câu 1. Cho dãy số {x
n
} xác định như sau:
1
0
0, ( 1) , 1.
2004
n
n
n
x
x x n

     

Tính
2
lim .
n
n
x


Giải.
Ta chứng minh công thức
1
( 1) (2004) 1
.

(2004) .2005
nn
n
n
x




Thật vậy, đặt
()
,
(2004)
n
n
hn
x 
ta thu được
1
1 1 1
( ) ( 1) ( 1)
(2004) 2004 (2004)
n
nn
h n h n

   
.
Suy ra
( ) ( 1) ( 1) (2004)

nn
h n h n   

và
 
11
( ) (0) ( ) ( 1) ( 1) (2004) .
nn
ii
ii
h n h h i h i

     


Do
0
(0) 0xh
nên
1
1
1 ( 1) (2004) 1
( 1) (2004) .
(2004) (2004) .2005
nn
n
ii
n
nn
i

x



  


Suy ra
2
2
2004
lim .
2005
n
n
x







Câu 2. Cho hàm số f(x) liên tục và dương trên
[0,+ ).
Chứng minh rằng hàm số
0
0
()
()

()
x
x
tf t dt
Fx
f t dt




đồng biến trên
[0,+ ).

Giải.
Ta có
00
2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) .
()
xx
x
xf x f t dt f x tf t dt
Fx
f t dt










Vì
2
()
0
()
x
x
fx
f t dt







3
và
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) 0
x x x
x f t dt tf t dt x t f t dt   
  
với
( ) 0,f t x t

nên
( ) 0Fx


khi x > 0.
Do vậy F(x) là một hàm đồng biến trong


0, .


Câu 3. Cho 0< a < b. Tính tích phân

 
 
1
0
1
0
) ( ) (1 ) .
) lim ( ) .
a I bx a x dx
bI






  



Giải.
a) Đặt
(1 ) ,bx a x t  
ta có
 
1
0
11
1
(1 )
1 1 1
.
11
b
a
b
a
t
bx a x dx dt
ba
ba
t
b a b a








   



   


b) Từ a) suy ra
 
1
11
1
1
1
( ) .
( 1)
ba
I
ba
















Suy ra
 
1
1
1
0
lim ( ) .
b
ba
a
b
Ie
a











Câu 4. Xác định các hàm số f(x) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau:

2004
( ) ( ) , .
( ) ( ) ( ) ( ), , .
x
i f x e x
ii f x y f x f y x y
  
   
¡
¡

Giải.
Đặt
2004
( ) ( ).
x
f x e g x
Theo giả thiết (i) thì
( ) 1gx
với mọi
.x¡
Thế vào điều
kiện (ii), ta thu được
200( ) 2004 2004
( ) ( ) ( ),
x y x y
e g x y e g x e g y




hay
( ) ( ) ( ), , .g x y g x g y x y   ¡

Với x= y= 0 ta thu được
 
2
(0) (0)
(0) 1.
(0) 1
gg
g
g









Suy ra
1 (0) ( ( )) ( ) ( ) 1, .g g x x g x g x x        ¡

Do đó
( ) 1gx
và

2004
( ) .
x
f x e


Câu 5. Cho đa thức P(x) thoả mãn điều kiện
( ) ( ) 0P a P b
, với a < b. Đặt
( ) .
a x b
M max P x



Chứng minh rằng

4

3
) ( )( )( ) 2 ( ) ,
1
) ( ) ( ) .
12
bb
aa
b
a
a P x x a x b dx P x dx
b P x dx M b a


  




Giải.
a) Ta chứng minh
( )( )( ) 2 ( ) (1)
bb
aa
P x x a b x dx P x dx

   


Thật vậy, sử dụng công thức tích phân từng phần, ta thu được
 
   
( )( )( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) .
bb
aa
b b b
a a a
P x x a b x dx P x x a b x dx
P x b x x a dx P x b x x a dx P x dx

 
      



          

  

b) Từ (1) ta thu được
1
( ) ( )( )( ) .
2
bb
aa
P x dx P x x a b x dx

   


Suy ra
1
( ) ( ) ( )( ) .
2
bb
aa
P x dx P x x a b x dx

  


Vì
a x b

nên
( )( ) ( )( )x a b x x a b x    
và
3
( ) ( )( ) ( ) .
2 12
bb
aa
MM
P x dx x a b x dx b a    



o0o

5

HỘI TOÁN HỌC VIỆT NAM CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
MATHOLP’05 Độc lập - Tự do - Hạnh phúc


ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005

Môn thi: Giải tích
Thời gian làm bài: 180 phút

Câu1. Cho dãy số {x
n
}
( 1,2,3, )n 
được xác định bởi công thức truy hồi sau:
2
11
2, 5.
nn
x x x

  

Tìm giới hạn
2
1
12
lim( ) .

n
n
n
x
x x x



Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều
kiện
( ) 0.
b
a
f x dx 


Chứng minh rằng tồn tại
( , )c a b
sao cho
( ) 2005 ( ) .
c
a
f c f x dx


Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
¡
sao cho
()f x a


với
mọi
.x¡
Biết rằng
2
0
0 ( )sin .f x xdx a




Chứng minh rằng khi đó trên đoạn
0,
2




, phương trình
( ) 0fx
có duy nhất nghiệm.

Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện
 
1
2
1
( ) , 0,1 .
2
x
x
f t dt x

  


Hãy chứng minh
 
11
2
00
( ) ( ) .f x dx xf x dx



Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên
¡
và thoả mãn điều kiện
(0) (1) .f f a
Chứng minh rằng
 
 

x 0,1
max ( ) 8( )f x a b



,
với
 
 
0,1
min ( ) .
x
b f x



Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn
 
,.

¡

Hết



6
ĐÁP ÁN
OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN TOÀN QUỐC 2005
Môn: Giải tích

Câu1. Cho dãy số {x
n
}
( 1,2,3, )n 
được xác định bởi công thức truy hồi sau:
2
11
2, 5.
nn
x x x

  
Tìm giới hạn
2
1
12
lim( ) .

n
n
n
x
x x x



Giải.
Theo giả thiết ta có
2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

1 1 1
2 2 2 2 2
1 1 1 1 2
4 ( 2) 4 4 ( 4) ( 4)
( 4) 21( ) .
n n n n n n n n n
n n n
x x x x x x x x x
x x x x x x x
  

          
   

Suy ra
2
1
2
1 2 1 2
4
21 .
( )
n
nn
x
x x x x x x







Dễ dàng chứng minh được (vi dụ: bằng qui nạp!)
2, 1.
k
xk  

Do vậy
2
1
12
lim 21.

n
n
n
x
x x x








Câu 2. Cho hàm số f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b] (a < b) và thoả mãn điều
kiện
( ) 0.
b

a
f x dx 


Chứng minh rằng tồn tại
( , )c a b
sao cho
( ) 2005 ( ) .
c
a
f c f x dx


Giải.
Xét hàm số
2005
( ) ( ) .
t
t
a
F t e f x dx




Khi đó
( ) ( ) 0F a F b
và
2005 2005
( ) 2005 ( ) ( ).

t
tt
a
F t e f x dx e f t


  


Theo Định lý Rolle, tồn tại
( , )c a b
sao cho
( ) 0,Fc


nghĩa là
2005 2005
2005 ( ) ( ) 0.
c
cc
a
e f x dx e f c

  


Hay từ đây suy ra điều phải chứng minh:
( ) 2005 ( ) .
c
a

f c f x dx



Câu 3. Cho số dương a và hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên
¡
sao cho
()f x a


với
mọi
.x¡
Biết rằng

7
2
0
0 ( )sin .f x xdx a




Chứng minh rằng khi đó trên đoạn
0,
2





, phương trình
( ) 0fx
có duy nhất nghiệm.
Giải.
Ta có
2 2 2
2
0
0 0 0
22
00
( )sin ( ) cos cos ( ) ( )cos
(0) ( )cos (0) cos (0) .
f x xdx f x d x xf x f x xdx
f f x xdx f a xdx f a
  



    

     
  


Suy ra
2
0
(0) ( )sin 0.f f x xdx a


  


Giả sử
( 2) 0.f


Từ giả thiết
( ) 0f x a


suy ra
()fx
đồng biến trên đoạn
 
0, 2 .


Khi đó
 
( ) 0 0, 2 .f x x

  
Do vậy
 
( )sin 0 0, 2 ,f x x x

  
hay
2

0
( )sin 0.f x xdx




Mâu thuẫn với giả thiết. Vậy,
( 2) 0.f


Kết hợp với điều kiện
()fx
trên đoạn
 
0, 2

suy ra điều phải chứng minh.

Câu 4. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0, 1] và thoả mãn điều kiện
 
1
2
1
( ) , 0,1 .
2
x
x
f t dt x

  



Hãy chứng minh
 
11
2
00
( ) ( ) .f x dx xf x dx


Giải.
Ta có
   
 
1 1 1 1
22
2
0 0 0 0
11
2
00
0 ( ) ( ) 2 ( )
1
( ) 2 ( ) .
3
f x x dx f x dx xf x dx x dx
f x dx xf x dx
     
  
   



Suy ra
 
11
2
00
1
( ) 2 ( ) . (1)
3
f x dx xf x dx


Đặt


11
0
( ) .
x
A f t dt dx








8

Ta có
1 1 1
2
00
11
( ) .
23
x
x
A f t dt dx dx


  


  

Mặt khác
1
1 1 1 1 1
0 0 0
0
( ) ( ) ( ) ( ) .
xx
A f t dt dx x f t dt xf x dx xf x dx

   


    

Do đó
1
0
1
( ) .
3
xf x dx 

(2)
Thay (2) vào (1) suy ra điều phải chứng minh.

Câu 5. Giả sử f(x) là hàm số có đạo hàm cấp 2 liên tục trên
¡
và thoả mãn điều
kiện
(0) (1) .f f a
Chứng minh rằng
 
 
x 0,1
max ( ) 8( )f x a b



,
với
 
 
0,1

min ( ) .
x
b f x



Cho một mở rộng kết quả trên đối với đoạn
 
,.

¡

Giải.
Sử dụng giả thiết và áp dụng định lý Rolle, tồn tại
(0,1)c
sao cho
( ) 0fc


. Xét
khai triển Taylor của hàm
()fx
tại điểm c:
2
( ( ))
( ) ( ) ( )( ) ( )
2
fx
f x f c f c x c x c




    
.
Thay lần lượt giá trị x = 0 và x = 1 vào đẳng thức trên ta thu được
2
2
( (0)
.
2
( (1)
(1 ) .
2
f
a b c
f
a b c





  

Hay
2
2
2( )
( (0)) 0.
2( )

( (1)) 0.
(1 )
ab
f
c
ab
f
c










Nhân vế với vế hai bất đẳng thức sau cùng ta thu được
2
2
22
4( )
( (0)) ( (1)) 64( ) .
(1 )
ab
f f a b
cc



 
  


(sử dụng bất đẳng thức
22
1
(1 )
16
cc
với
[0,1])c
.
Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Mở rộng đối với đoạn
 
,

:
 
2
x,
8( )
max {f (x)}
()
ab








.
Ghi chú: Nếu thí sinh đưa ra đư phản ví dụ khi a=b thì có thể xét thưởng điểm.


Hết