Tài liệu tham khảo ôn tập thi tốt nghiệm 2013 chuyên đề 5 số phức doc

Chuyên đề 5
Chuyên đề 5
HĐBM Toán An Giang_ Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 2013
NGUYỄN HOÀNG MINH
THPT Nguyễn Trung Trực
1 Định nghĩa số phức và các khái niệm liên quan :
1.1 Định nghĩa :
Số phức là một biểu thức có dạng
a bi+
; trong đó
,a b∈¡
và
2
1i = −
.
1.2 Các khái niệm liên quan :
Cho số phức
z a bi= +
. Khi đó :
•
a
gọi là phần thực và
b
là phần ảo của số phức
z
.
• Số phức
z
được biểu diễn bởi điểm
( )
;M a b

trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
•
2 2
z OM a b= = +
uuuur
gọi là modun của số phức
z
.
• Số phức
z a bi
= −
gọi là số phức liên hợp của số phức
z
.
1.3 Hai số phức bằng nhau :
Cho số phức
z a bi
= +
và
z a b i
′ ′ ′
= +
. Khi đó :
a a
z z
b b
′
=

′

= ⇔

′
=

.
2 Các phép toán trên tập hợp số phức :
2.1 Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
a bi c di a c b d i
a bi c di a c b d i
a bi c di ac bd ad bc i
+ + + = + + +
+ − + = − + −
+ + = − + +
Chú ý :
• Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại
số thông thường với chú ý rằng
2
1i = −
.
• Các quy tắc đại số đã áp dụng trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số
phức.
• Cho
z a bi
= +
. Khi đó :
2 2

.z z a b= +
.
2.2 Phép chia hai số phức :
( )
.
0
.
z z z
z
z z z
′ ′
= ≠
.
3 Phương trình bậc hai :
3.1 Căn bậc hai của số thực âm :
Cho a là số thực âm. Khi đó a có hai căn bậc hai là :
i a
và
i a−
.
Trang 37
SỐ PHỨC
HĐBM Toán An Giang_ Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 2013
3.2 Cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực :
( )
2
0; , , ; 0az bz c a b c a+ + = ∈ ≠¡
.
Tính
2

4b ac∆ = −
.
Kết luận :
• Nếu
0∆ >
thì phương trình có hai nghiệm thực phân biệt
1,2
2
b
z
a
− ± ∆
=
.
• Nếu
0∆ =
thì phương trình có một nghiệm kép thực
1 2
2
b
z z
a
−
= =
.
• Nếu
0∆ <
thì
∆
có hai căn bậc hai là

i ∆
và
i− ∆
. Khi đó phương trình có
hai nghiệm phức phân biệt là
1
2
b i
z
a
− + ∆
=
và
2
2
b i
z
a
− − ∆
=
.
4 Bài tập :
Bài 1 : Thực hiện các phép tính sau đây :
( ) ( )
1 2 3 5i i− +
;
3 2
1
i
i

−
+
;
( ) ( )
2 2
1 2 3i i+ + −
;
( ) ( )
4 3 2 5
1
i i i
i
+ − + +
−
;
( ) ( )
9 13
2 3
i
i i
+
− +
;
( ) ( ) ( )
3
2 3 2 2i i i− − − +
;
17 5
1 2 3 4i i
+

− +
;
( ) ( )
17 1 2
5 5
i i
i
− − +
− +
;
23 14
3 6
3 4
i
i
i
+
− −
+
;
( ) ( ) ( )
3 2 4 3 2 3i i i i− − + − −
;
( ) ( )
2 2
2 3 2i i+ − +
Bài 2 : Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :
4 2
3
i

z i
i
+
= − −
;
( )
2
7 2 3 2z i i= − − −
;
7
5 4
2
i
z i
i
−
= + −
−
;
7 3 1 5
1 3 2
i i
z
i i
+ − +
= −
+ −
Bài 3 : Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây :
3 4z i
= −

;
( ) ( )
4 2 3z i i= + −
.
Bài 4 : Cho
2 3 , 1z i z i
′
= + = +
. Tìm
2
.z z
′
và
z z
′
−
.
Bài 5 : Cho
3z i
= −
,
1 2z i
′
= −
. Tìm
z
z
′
và
z

z
 
 ÷
′
 
.
Bài 6 : Cho
2 3z i
= +
. Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức
7
5
z i
iz
+
+
.
Bài 7 : giải các phương trình sau :
3 3 2 6 7iz i i+ − = +
;
( )
5 2 2 7 3i z i i+ − + = −
;
( )
2
4 2 1 0i i z− − − =
;
( ) ( )
3 2 5 2 3i z i i z− + − = + −
;

( )
2
2 6 6 4i z i i+ − − = −
;
( )
2 3 1 2i i z i− − + = − −
;
( ) ( )
5 3 7 3 2i z i i z− = − + −
;
( ) ( )
3 2 3 8 1 2 3i z i i z− − − = + +
;
( ) ( )
2
2 1 11 2i z i z i+ + − = +
;
( ) ( )
2 3 2 2 16i i z i− + = − +
;
1
4 2
i
z i
i
−
= +
;
2
1

3
z i
i
= − +
+
;
( )
7 4 2 0i i z+ − − =
Bài 8 : Tìm số phức
z
, biết rằng :
2 6 2z z i
+ = +
;
3 7 5iz z i
+ = +
;
3 2 5 2z z i
+ = +
;
. 2 2 5i z z i
+ = −
;
Trang 38
HĐBM Toán An Giang_ Tài liệu tham khảo Ôn tập thi TN 2013
2 5 21 6z z i+ = +
;
3 2 1 10 0z z i− − + =
;
( )

3 5 10 5z i z i− + = −
2 4 2 3z z i+ = +
;
2
2 9 2z z i+ = +
;
2 3 10 4z z z i+ − = +
;
( )
1 12z i z i− + = +
3 5z iz i+ = −
;
( )
2 19 4z z i+ = +
;
2
3 14 6z z i+ = +
Bài 9 : Cho số phức
( ) ( )
1z m m i m= + − ∈¡
và số phức
( ) ( )
2 2 3z n n i n
′
= + − ∈ ¡
. Tìm
z
và
z
′

biết rằng
1 7z z i
′
+ = +
.
Bài 10 : Cho số phức
( ) ( )
1z m m i m= + + ∈¡
. Tìm z biết rằng
5z =
.
Bài 11 : Cho số phức
( ) ( ) ( )
1 1z m m i m= − + + ∈¡
. Tìm z biết rằng
. 10z z
=
.
Bài 12 : Cho số phức
( ) ( )
2 2z m m i m= + + ∈¡
. Tìm z biết rằng
2
z
là một số phức có phần
thực bằng
5−
.
Bài 13 : Cho số phức
( ) ( )

2 1z m m i m= + − ∈¡
. Tìm
z
biết rằng
2
12z i−
là số thực.
Bài 14 : Giải các phương trình sau trên tập
£
.
2
9 0z + =
;
2
4 25 0z + =
;
2
4 5 0z z+ + =
;
2
5 6 5 0z z− + =
;
2
2 6 29 0z z− + − =
;
2
5 2 1 0z z− + =
;
4 2
5 4 0z z+ + =

;
4 2
5 36 0z z+ − =
;
3 2
2 10 0z z z+ + =
.
Bài 15 : Tìm số phức
z
biết rằng :
( ) ( )
2
2 2 3 0z z− + + =
;
( ) ( ) ( )
5 1 1 2 4 5 0z z z− + + + =
;
( ) ( )
2
2 2 1 17 6 0z z z− + + =
.
Trang 39