đề thi học sinh giỏi lớp 9 môn toán đề số 15

Câu đáp án
điểm
từng
ý
điểm
toàn
câu
Câu1:
a) A =
43222 +++ xx
+
43222 ++ xx
=
2
)132( ++x
+
2
)132( +x
=
132 ++x
+
132 +x
với x = 5 suy ra : A =
1352 ++
+
1352 +
= 2
352 +
b)A=
132 ++x
+

132 +x


3x21132x
++++
= 2
dấu "="xảy ra

3x2 +

1

-
2
3

x

-1
0,5
0,5
1
1,0
1,0
4
Câu2:
P(x) =- 6x
4
+ 11x
3

+ 3x
2
11x + 3
= (x - 1)(-6x
3
+ 5x
2
+ 8x - 3)
= (x - 1)(x + 1)(-6x
2
+ 11x - 3)
= (x 1)(x + 1)(2x - 3)(1-3x)
0,75
0,75
0,5
2
Câu 3





=++
=++
=++
)3(2
)2(2
)1(2
2
2

2
zcyxc
zbyxb
zayxa
Lấy (1) trừ (2) ta đợc (a
2
b
2
)x + (a - b)y = 0


(a + b)x + y = 0 (4) (vì a b)
Tơng tự lấy (2) trừ (3) ta đợc :
(b+ c)x + y = 0 (5) (vì c b)
Từ (4) và (5) với a c ta đựơc x = y = 0 , suy ra : z = 2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (0,0,2)
0,5
0,25
0,5
0,75
2
câu 4
Đặt u =
77
2
++ xx
(u

0)
ta đợc pt: 4u

2
+ 3u - 7 = 0

u=1 hoặc u=-
4
7
(loại)
suy ra : x
2
+ 7x + 7 = 1

x=-1 hoặc x= -6
0,25
o,25
0,5
1
2
câu 5
Ta có : MA
2
= x
2
+ (y - a)
2

Khoảng cách từ M tới d bằng
ay +
Khoảng cách từ M tới d bằng MA

x
2
+ (y - a)
2
= (y + a)
2



y =
a4
1
x
2
(vì a 0)
vậy tập hợp các điểm M là parabol y =
a4
1
x
2

0,25
0,25
0,25
0.5
0,25
2
câu6
Ta có:
F

=
x
(2004 +
2
2006 x
)
=
x
(
)
2
2006120042004 x+

x
)20062004)(12004(
2
x++
(BĐT Bunhiacopxki)
=
2
40102005 xx

2005

+
2
4010
22
xx
= 2005
2005
(BDT Cauchy)
Suy ra: GTNN bằng - 2005
2005
đạt đợc khi x= - 2005
GTLN bằng 2005
2005
đạt đợc khi x= 2005
0,75
0,75
0,5
2
câu7 4
Gọi E,F lần lợt là trung điểm của AB,AC . ta có:
IE =
2
1
AB = MF
EM =
2
1
AC = FK

nên

IAM =

MHK (c.g.c) suy ra MI = MK
b) Ta sẽ chứng minh . Đặt =

Ta có : =

, =


nên = 180
0
- 2

(1)
Xét tam giác IEM có = 2

nên 180
0
- 2

=
ta lại có (so le trong,AB song song với MF)
(do

IAM =

MHK ) nên

180
0
- 2

= (2)
Từ (1),(2)suy ra . do đó I,H,M,K thuộc cùng đờng tròn
0,25
0,5
0,5
0.5
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,5
0,25
câu8

Ta có : MA + MC

AC
MB + MD

BD
MC + MA

CA
MD + MB

DB
Suy ra : MA + MB+ MC + MD+ MA + MB+ MC +MD

4a
(với a là độ dài đờng chéo của hình chữ nhật)
Ta có: MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
+ MA'
2
+ MB'
2
+ MC'
2
+ MD'
2

0,5
0,5
0,5
2
≥
3
1

(MA + MB+ MC + MD+ MA’ + MB’+ MC’ +MD’)
2
≥
3
16
a
2
nh vËy GTNN cña
MA
2
+ MB
2
+ MC
2
+ MD
2
+ MA'
2
+ MB'
2
+ MC'
2
+ MD'
2

lµ
3
16
a
2

®¹t ®îc khi M lµ t©m cña h×nh hép
0,5