Phương pháp đại số hóa phương trình lượng giác

MỘT SỐ CHÚ Ý KHI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1
Khuất Văn Thanh
11/11/2007
Đại số hóa phương trình lượng giác
Về nguyên tắc mọi phương trình lượng giác đều có thể đại số hóa nhờ phép đặt
ẩn phụ
t = tan
x
2
(1)
với điều kiện cos
x
2
= 0, tức là cần kiểm tra lại rằng x = π + k2π có phải là nghiệm
không, sau đó xét x = π + k2π
Một hạn chế của phép đặt ẩn phụ (1) là sự tăng gấp đôi số bậc của phương trình. Một
số phương trình khi đặt ẩn phụ có thể dẫn đến phương trình đại số bậc cao, để giải
được học sinh cần biết phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỉ của phương trình đại số bậc
cao và kĩ thuật dùng lược đồ Hoocne để tính toán.
Với giới hạn kiến thức trong trường phổ thông ta tạm phân loại sau đây:
Phương trình đa thức đối với một hàm số lượng giác
Ví dụ 1. Cho phương trình : cos 2x + sin
2
x + b cos x + 1 = 0.
1. Giải phương trình khi b = 2
2. Tìm b để phương trình có nghiệm.
Ví dụ 2. Giải phương trình
sin x + tan
x
2

= 2
Ví dụ 3. Cho phương trình :
sin
4
x + cos
4
x + m sin x cos x = 0, 5
Chứng minh phương trình luôn có nghiệm.
Các bạn nên giải các ví dụ trên và lưu ý rằng ta hay gặp những biểu thức như:
sin
3
x + cos
3
x; sin
4
x + cos
4
x; sin
6
x + cos
6
x; (2)
1
Tải về từ: or
1
Phương trình đối xứng đối với sin x và cos x ; phương trình đối
xứng với tan x và cot x
Tất cả các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x đều có thể biểu diễn theo
hai biểu thức đối xứng cơ bản là:
sin x + cos x và sin x cos x (3)

ví dụ như các biểu thức (2). Mặt khác do đẳng thức sin
2
x + cos
2
x = 1 nên nếu đặt
ẩn phụ
t = sin x + cos x (4)
thì các biểu thức đối xứng đối với sin x và cos x có thể biểu diễn theo t. Các bạn thử
chứng minh đẳng thức:
S
n
= sin
n
x + cos
n
x = S
n−1
.S
1
− S
n−2
.
(
S
2
1
− 1
2
)
S

n
= tan
n
x + cot
n
x = S
1
.S
n−1
− S
n−2
Một chú ý là khi đặt ẩn phụ trong (4) phải tìm ngay điều kiện của t hay nói cách khác
là tìm miền giá trị của t, điều này rất cần thiết với những bài toán giải và biện luận
PT theo tham số.
Để nắm chắc vấn đề các bạn nên giải các ví dụ sau:
Ví dụ 4. Cho phương trình: sin x cos x = 6(sin x + cos x + m)
a) Giải PT với m = −1
b) Tìm m để PT có nghiệm
Ví dụ 5. Giải phương trình: 1 + sin
3
x + cos
3
x =
3
2
sin 2x
Ví dụ 6. Cho phương trình:
3
sin
2

x
+ 3 tan
2
x + m(tan x + cot x) − 1 = 0
a) Giải pt với m = 4
b) Tìm m để PT có nghiệm.
Ví dụ 7. Cho phương trình :
tan
2
x + cot
2
x = m(tan x − cot x)
Tìm m để pt có nghiệm.
2
Phương trình đẳng cấp bậc cao đối với sin x và cos x
Nếu f(u, v) là đa thức của u, v gồm tổng những đơn thức cùng bậc k thì f (u, v)
gọi là đa thức đẳng cấp bậc k của u và v Khi đó
f(αu, αv) = α
k
.f(u, v)
Tuy nhiên khi u = sin x; v = cos x thì việc xét bậc sẽ không đơn giản như vậy vì
sin
2
x+ cos
2
x = 1. Chẳng hạn: u
2
v
3
là đơn thức bậc 5 nhưng u

2
v
3
= sin
2
x cos
3
x(sin
2
x+
cos
2
x) = sin
4
x cos
3
x + sin
2
x cos
5
x thành thử u
2
v
3
được viết thành tổng của hai đơn
thức bậc 7. Như vậy các đơn thức của sin x và cos x chỉ cần có cùng bậc chẵn hoặc
cùng bậc lẻ lập tức được coi là đẳng cấp. Khi đó xét trường hợp cos x = 0 thử vào pt,
còn trường hợp cos x = 0 thì chai cả hai vế cho cos
k
x

Ví dụ 8. Giải PT:
2 sin
3
x = cos x
Ví dụ 9. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:
m sin 2x + cos 2x + sin
2
x + m = 0
Trong phần sau sẽ nói về phương pháp sử dụng bất đẳng thức và tính chất của
hàm số để giải PT lượng giác.
Tài liệu tham khảo
[1] Phan Đức Chính ,Vũ Dương Thụy,Đào Tam, Lê Nhất Thống, Các bài giảng
luyện thi môn toán , Nhà xuất bản giáo dục, 1999, tập I.
3