Phương pháp giải phương trình lượng giác ôn thi đại học

CHUN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
BÀI 1: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A) KI ẾN THỨC CƠ BẢN :
y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx
Tậ
p
xá
c
đò
nh
D = R D = R D = R \ {
2
π
+ kπ} D = R \ {kπ}
Tậ
p
gi
á
trò
T = [– 1 ; 1 ] T = [– 1 ; 1 ] R R
C
hu
kỳ
T = 2π T = 2π T = π T = π
Tí
nh
ch
ẵn
lẻ
Lẻ Chẵn Lẻ Lẻ
Sự

bi
Đồng biến trên: Đồng biến trên: Đồng biến trên mỗi
khoảng:
Nghòch biến trên
mỗi khoảng:
GV Biên Soạn: Hoa Hồng Tun 1/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
eán
thi
eân
k2 ; k2
2 2
 
π π
− + π + π
 ÷
 
Nghòch bieán treân:
3
k2 ; k2
2 2
 
π π
+ π + π
 ÷
 
( )
k2 ; k2
−π + π π
Nghòch bieán

treân:
( )
k2 ; k2
π π+ π
k ; k
2 2
 
π π
− + π + π
 ÷
 
( )
k ; k
π π+ π
Ba
ûng
bi
eán
thi
eân
x –π
2
π
−
0
2
π
π
y =
sinx

0
–1
0
1
0
x –π 0
π
y
=cosx
– 1
1
– 1
a
x
2
π
−
2
π
y =
tanx
–∞
+∞
x 0
π
y =
cotx
+∞
–∞
a

Ñ
oà
thò
y = sinx
……………………………………………………………………………….
y = cosx
y = tanx
…………………………………………………………………………………….
y = cotx
B) BÀI TẬP
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 2/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
1)Tìm tập xác định hàm số: a. y=cos
2
1
x
x
−
b. y=tan(2x+1) c. y=cot(3x-
6
π
)
d. y=sin
2
1
1x −
e.y=
cos 1x +
f. y=
2 2

3
sin cosx x
−
g. y=tan2x +cot(x-
6
π
)
2) Tìm GTLN-GTNN của hàm số: a. y=3-2
sin x
b. y=3cos(3x-1) +2 c. y=cos
2
x-
sin
2
x+2
d. y=cosx+cos(x-
3
π
) e. y=cos
2
x+2cos2x f. y=
2 2
5 2cos .sinx x
−
g.y=sin2x+cos2x
h y= 4cos(x+
3
π
).cosx i.y=2 sin
2

x -3cos2x -5 j.
3
2 sin
3
y
x
π
=
 
+ +
 ÷
 
k.
4
3 1 cos 2
y
x
=
+ +

3)Xác định tính chẵn lẻ hàm số sau: a. y=
cos 2x
x
b. y=x-sinx c. y=sin
2
x+cosx
d.y=
1 cos x−
e. y=sinx.tanx+ cos2x f. y=sin
2

x-3cos2x g. y=sinx- cosx
4)CMR hàm số sau tuần hoàn và tìm chu kì hàm số: a. y=2sin(3x+2) b. y=tan(4x+
3
π
)
c.y=3cot(3x+1)- 2sin(4x-2) d. y=sin
2
2x+1 e. y=cos
2
x- sin
2
x f. y=3cos
2
2x
+sin
2
x
BÀI 2 : PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
A) KI ẾN THỨC CƠ BẢN :
1. Phương trìng LG cơ bản:
* sinu=sinv
2
2
u v k
u v k
π
π π
= +

⇔


= − +

* cosu=cosv⇔u= ± v+k2
π
* tanu=tanv ⇔ u=v+k
π
* cotu=cotv ⇔ u=v+k
π

( )
Zk
∈
.
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 3/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
Phương trìng LG cơ bản đặc biệt :

* sinu =0
u k
π
⇔ =
*cosu =0
2
u k
π
π
⇔ = +
* sinu =1
2

2
u k
π
π
⇔ = +
*cosu =1
2u k
π
⇔ =
k
Z∈
* sinu = -1
2
2
u k
π
π
⇔ = − +
*cosu =-1
2u k
π π
⇔ = +
2. Một số phương trình LG thường gặp
2.1. Phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác:
a. Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác: để giải các phương trình này ta
dùng các công thức LG để đưa phương trình về phương trình LG cơ bản.
b. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác: là những phương trình có dạng
a.sin
2
x+b.sinx+c=0 (hoặc a.cos

2
x+b.cosx+c=0, a.tan
2
x+b.tanx+c=0, a.cot
2
x+b.cotx+c=0) để giải
các phương trình này ta đặt t bằng hàm số LG (Chú ý điều kiện của t khi đặt t=sinx hoặc t=cosx)
2.2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx:
Dạng: asinx+bcosx=c. Điều kiện để phương trình có nghiệm là
2 2 2
a b c
+ ≥
.
C ách giải : Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b
+
, ta được:
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
x x
a b a b a b
+ =
+ + +
Đặt:
2 2 2 2
cos ; sin
a b
a b a b

β β
= =
+ +
. Khi đó phương trình tương đương:

2 2
cos sin sin cos
c
x x
a b
β β
+ =
+
hay
( )
2 2
sin sin
c
x
a b
β ϕ
+ = =
+
.
2.3. Phương trình thuần nhất bậc hai đối với sinx và cosx:
Dạng: asin
2
x+bsinxcosx+ccos
2
x=0 (*).

Cách giải : + Kiểm tra nghiệm với
2
x k
π
π
= +
.
+ Giả sử cosx≠0: chia hai vế phương trình cho cos
2
x ta được: atan
2
x+btanx+c=0.
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 4/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
Chú ý:
2
2
1
tan 1
2
cos
x x k
x
π
π
 
= + ≠ +
 ÷
 
2.4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:

Dạng: a(sinx ± cosx)+ bsinxcosx=c. Cách giải: Đặt t= sinx ± cosx. Điều kiện | t |
2
≤
.
B/ BÀI TẬP
Dạng 1. Phương trình bậc nhất,bậc hai.
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 2cosx -
2
= 0 2)
3
tanx – 3 = 0 3) 3cot2x +
3
= 0
4)
2
sin3x – 1 = 0 5)
2
cosx + sin2x = 0
Bài 2. Giải các phươn trình sau:
1) 2cos
2
x – 3cosx + 1 = 0 2) cos
2
x + sinx + 1 = 0 3) 2cos
2
x +
2
cosx – 2
= 0

4) cos2x – 5sinx + 6 = 0 5) cos2x + 3cosx + 4 = 0 6) 4cos
2
x - 4
3
cosx
+ 3 = 0
7) 2sin
2
x – cosx +
7
2
= 0 8) 2sin
2
x – 7sinx + 3 = 0 9) 2sin
2
x + 5cosx = 5.
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - cos
2
x - 4sinx + 2 = 0 2) 9cos
2
x - 5sin
2
x - 5cosx + 4 = 0 3)5sinx(sinx - 1) -
cos
2
x = 3
4) cos2x + sin

2
x + 2cosx + 1 = 0 5) 3cos2x + 2(1 +
2
+ sinx)sinx – (3 +
2
) = 0
6) tan
2
x + (
3
- 1)tanx –
3
= 0
Dạng 2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1) 4sinx – 3cosx = 2 2) sinx -
3
cosx = 1
3)
3
sin3x + cos3x = 1 4) sin4x +
3
cos4x =
2
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 5/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
5) 5cos2x – 12cos2x = 13 6) 3sinx + 4cosx = 5
Bài 2. Giải các phương trình:
1)
3 cos3 sin3 2x x

+ =
2)
3
3sin3 3 cos9 1 4sin 3x x x
− = +

3)
cos7 cos5 3sin 2 1 sin 7 sin5x x x x x
− = −
4)
cos7 3sin7 2x x
− =−
Dạng 3. Phương trình đẳng cấp bậc hai đối với sin và côsin.
1) sin2x + 2sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0 2) sin2x – 3sinxcosx + 1 = 0.
3) 4
3
sinxcosx + 4cos2x = 2sin2x +
5
2
. 4)
1
3sin cos
cos
x x
x
+ =
;
5)
5
2

3sin (3 ) 2sin( )cos( )
2 2
x x x
π π
π
− + + +
3
2
5sin ( ) 0
2
x
π
− + =
.
6) cos2x – 3sinxcosx – 2sin2x – 1 = 0 7) 6sin2x + sinxcosx – cos2x = 2.
8) sin2x + 2sinxcosx - 2cos2x = 0 9) 4sin2x + sinxcosx + 3cos2x - 3 = 0.
10)
2 2
sin x - 4 3sinxcosx 5cos x = 5+
.
Dạng 4. Phương trình đối xứng đối với sinx và cosx:
Bài 1. Giải các phương trình sau:
1)
(2 2)
+
(sinx + cosx) – 2sinxcosx = 2
2
+ 1
2) 6(sinx – cosx) – sinxcosx = 6 3) 3(sinx + cosx) + 2sinxcosx + 3 = 0
4) sinx – cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 5) sin2x – 12(sinx – cosx) + 12 = 0

Bài 2. Giải các phương trình:
1)
2
(sinx + cosx) - sinxcosx = 1. 2) (1 – sinxcosx)(sinx + cosx) =
2
2
.
3) sin
3
x + cos
3
x =
2
2
. 4) sinx – cosx + 7sin2x = 1. 5)sinxcosx + 2sinx + 2cosx
= 2.
C.BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Giải các phương trình sau:
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 6/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
1) cos2x = -
2
2
2) tan(3x + 2) + cot2x = 0 3) tan(x + 60
o
) = -
3

4) sin3x = cos4x
Bài 2. Giải các phương trình: 1) sin

2
x =
1
2
2) sin
2
x + sin
2
2x = sin
2
3x
3) cos
2
3x = 1
4)sinx + sin2x + sin3x = 0 5)cosx.cos3x =
cos5x.cos7x 6)cosx + cos2x + cos3x + cos4x = 0
Bài 3. Giải các phương trình:
1) 2sin
2
x - 3sinx + 1 = 0 2) 4sin
2
x + 4cosx - 1 = 0 3) cot
2
x - 4cotx + 3 = 0
4)cos
2
2x + sin2x + 1 = 0 5)sin
2
2x - 2cos
2

x +
3
4
= 0 6)4cos
2
x - 2(
3
- 1)cosx
+
3
= 0
Bài 4. Giải các phương trình sau:
1) 3sinx + 4cosx = 5 2) 2sin2x - 2cos2x =
2
3) 2sin
4
x
π
 
+
 ÷
 
+ sin
4
x
π
 
−
 ÷
 

=
3 2
2
4) 2sin17x +
3
cos5x + sin5x = 0
Bài 5. Giải các phương trình:
1) 2(sinx + cosx) - 4sinxcosx - 1 = 0 2) sin2x - 12(sinx + cosx) + 12 = 0
3) sinx - cosx + 4sinxcosx + 1 = 0 4) cos
3
x + sin
3
x = 1
5) 3(sinx + cosx) + 2sin2x + 2 = 0 6) sin2x - 3
3
(sinx + cosx) + 5 = 0
Bài 6. Giải các phương trình
1) sin
2
x - 10sinxcosx + 21cos
2
x = 0 2) cos
2
x - 3sinxcosx + 1 = 0
3) cos
2
x - sin
2
x -
3

sin2x = 1 4) 3sin
2
x + 8sinxcosx + (8
3
-
9)cos
2
x = 0
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 7/4
CHUN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
5) 4sin
2
x + 3
3
sin2x - 2cos
2
x = 4 6) 2sin
2
x + (3 +
3
)sinxcosx + (
3
- 1)cos
2
x = 1
Bài 7. Tìm tập xác đònh của mỗi hàm số sau:
a)y =
3 sinx
−
b) y =

1 cosx
sinx
−
c)y =
tan 2x
3
 
π
+
 ÷
 
d) y =
cot x
6
 
π
+
 ÷
 
e)y =
3
2cosx
f) y =
cot x
cosx 1−
Bài 8 Xét tính chẵn lẻ của mỗi hàm sồ sau:
a)y = x – sinx b) y = sinx – cosx c)y = sinxcosx + tanx d)y =
cosx
x
e)y =

1 cosx
−
f)y = x
3
sin2x
Bài 9.Tìm giá trò lớn nhất và giá trò nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:
a)y =
2
1 sin(x ) 1
− −
b) y=
2 cosx 1
+
c)y = 3–2sinx d) y =
2(1 cosx) 1
+ +

e) y = 2 + 3cosx f) y = 3 – 4sin
2
xcos
2
x g) y = cos
2
x +
2cos2x
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁCTRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ 2002 ĐẾN 2013
KHỐI A
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng (0;2
π
) của p t:

3 3
5 2 3
1 2 2
 
+
+ = +
 ÷
+
 
cos sin
sin cos
sin
x x
x x
x
(2002)
2.
2
2 1
1 2
1 2
− = + −
+
cos
cot sin sin
tan
x
x x x
x
(2003 )

3.
2 2
3 2 0
− =
cos cos cosx x x
(2005)
8.
( ) ( )
2 2
1 1 1 2+ + + = +sin cos cos sin sinx x x x x
(Khối A_2007)
9.
1 1 7
4
4
3
2
 
π
+ = −
 ÷
 
π
 
−
 ÷
 
sin
sin
sin

x
x
x
(2008)
GV Biên Soạn: Hoa Hồng Tun 8/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
4.
( )
6 6
2
0
2 2
+ −
=
−
cos sin sin cos
sin
x x x x
x
(2006)
5.
3 sin2x+cos2x=2cosx-1
( 2012)
6.
1 tan x 2 2 sin x
4
π
 
+ = +
 ÷

 
( 2013)
7.
(1 sin cos 2 ).sin( )
1
4
cos
1 tan
2
x x x
x
x
π
+ + +
=
+
(2010)
10.
( )
( ) ( )
1 2
3
1 2 1
−
=
+ −
sin cos
sin sin
x x
x x

. (2009)
11.
2
1 2 2
2 2
1
sin cos
sin sin
cot
x x
x x
x
+ +
=
+
(2011)
12.
1 tan x 2 2 sin x
4
π
 
+ = +
 ÷
 
(2013)
KHỐI B
13.
2 2 2 2
3 4 5 6
− = −

sin cos sin cosx x x x
(Khối B_2002)
14.
2
4 2
2
− + =
cot tan s in
sin
x x x
x
(2003)
15.
( )
2
5 2 3 1
− = −
sin sin tanx x x
(2004)
16.
1 2 2 0
+ + + + =
sin cos sin cosx x x x
(Khối B_2005)
17.
1 4
2
cot sin ( tan tan )
x
x x x

+ + =
( 2006)
18.(sin2x+cos2x)cosx+2cos2x-sinx
=0(2010)
19.
2
2 2 7 1
+ − =
sin sin sinx x x
(Khối B_2007)
20.
3 3 2 2
3 3− = −sin cos sin cos sin cosx x x x x x
(Khối B_2008)
21.
( )
3
2 3 3 2 4+ + = +sin cos sin cos cos sinx x x x x x
.
(Khối B_2009)
22.
2 2sin cos sin cos cos sin cosx x x x x x x
+ = + +
(2011)
23.
2(cos 3sin )cos cos 3sin 1
+ = − +
x x x x x

( 2012)

24
2
sin 5 2cos 1x x+ =
(2013)
KHỐI D
23.Tìm x∈[0;14]
3 4 2 3 4 0cos cos cosx x x
− + − =
(Khối D_2002)
24.
2 2 2
0
2 4 2
sin ( ) tan cos
x x
x
π
− − =
29.
3 3 3 2 2− =sin cos sinx x x
(CĐ-2008)
30. 2sinx(1+cos2x)+sin2x=1+2cosx(K
D_2008)
31.(1+2sinx)
2
cosx=1+sinx+cosx (CĐ-
2009)
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 9/4
CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC LỚP 11
(Khối D_2003)

25.
( ) ( )
2 1 2 2− + = −cos sin cos sin sinx x x x x
(Khối D_2004)
26.
4 4
3
3 0
4 4 2
   
π π
+ + − − − =
 ÷  ÷
   
cos sin cos sinx x x x
(Khối D_2005)
27.
cos3 cos2 cos 1 0
+ − − =
x x x
( D_2006)
28.
2
3 2
2 2
 
+ + =
 ÷
 
sin cos cos

x x
x
(KhốiD_2007)
32.
3 5 2 3 2 0− − =cos sin cos sinx x x x
( D_200
9)
33.
2 2 1
0
3
sin cos sin
tan
x x x
x
+ − −
=
+

(KhốiD_2011)
34. sin3x + cos3x – sinx + cosx =
2
cos2x
(KD 2012)
35. 2cos2x + sinx = sin3x. (CĐ 2012)
36.
sin 3 cos2 sin 0+ − =x x x
(2013)
37.sin2x-cos2x +3sinx-cosx-1=0 (2010)
GV Biên Soạn: Hoa Hoàng Tuyên 10/4