Những bài tập lượng giác hay 2012

Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh
TỪ MỘT BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN

Bài toán mở đầu: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
(p – a)sin
2
A + (p – b)sin
2
B = c.sinA.sinB (*), trong đó:
2
abc
p

 .
HD: Lời giải bài toán này tương đối đơn giản.
Ta dễ dàng tính được VT(*) – VP(*) =




2
2
0
8
ababc
R


.
Vậy VT(*) = VP(*) khi và chỉ khi a = b, tức là tam giác ABC cân tại C.
Phân tích bài toán: Ta dễ dàng chứng minh được kết quả sau:

cot,cot
22
AB
parpbr

Thay vào (*) ta được:
22
.cotsin.cotsin(cotcot)sin.sin
2222
ABAB
rArBrAB
 ( c = (p-a)+(p-b) ).
22
cotsincotsincotcotsin.sin
2222
ABAB
ABAB










Vậy ta có bài toán 1: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
22

cotsincotsincotcotsin.sin
2222
ABAB
ABAB









(1)
Mặt khác ta có thể biến đổi (*) theo hướng khác:
(*)

22
.cotsin.cotsin.sin.sin
22
AB
rArBcAB
 (**)

22
.cotsin.cotsin2.sin.sin.sin
22
AB
rArBRABC



2
4
(2sin)cotsin(2sin)cotsinsin.sin.sin
22
ABR
RAARBBABC
r


2
AB4
.cot.2sin.os.cot.2sin.ossin.sin.sin
222222
AABBR
acbcABC
r


2
22
AB2
.os.ossin.sin.sin
22
R
acbcABC
r

Vậy ta có bài toán toán 2: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
2

22
AB2
.os.ossin.sin.sin
22
R
acbcABC
r
 (2)
Mặt khác ta có:
2
2
4S
2sin¸cinBsinA.sinB=
abc
SbcA
Dó đó (**)
2
22
2
2
22
2222
4
.cot.sin.cot.sin.
22
4
.cot.sin.cot.sin.
22
4
cot.sincot.sin.cot.sincot.sin()

222224
ABS
prAprBpc
abc
ABS
SASBp
abc
ABSABabcabc
ABpABdoS
abcRR





22
cotsincotsinsinsinsin
22
AB
ABABC

Vậy ta có bài toán 3: Xác định dạng của tam giác ABC biết:
22
cotsincotsin
222
ABabc
AB
R

 (3)

22
cotsincotsinsinsinsin
22
AB
ABABC
 (3*)
Ta lại có: (3) 2sincotsin2sincotsin
22
AB
RAARBBabc


22
.2os.2os(1osA)+b(1+cosB)=a+b+c
22
AB
acbcabcac
PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com
Bùi Văn Đắc THPT Yên Phong 1 – Bắc Ninh
osA+bcosB=c
ac


Vậy ta có bài toán 4: Xác định dạng của
ABC

biết:
osA+bcosB=c
ac
(4) hoặc

22
osos
222
ABabc
acbc


(4*)
Mặt khác khi chứng minh bài toán mở đầu ta phát hiện ra một điều khá thú vị là:
VT(*)

VP(*), tức là:
22
()sin()sin.sin.sin
paApbBcAB


Căn cứ vào đó và vào việc biến đổi tương đương (*) đến các đẳng thức (2),(3),(4),(4*) ta có các
nhóm BĐT sau:
Nhóm 1:
22
()sin()sin2sin.sin.sin
paApbBRABC


Hoàn toàn tương tự, ta có:
22
()sin()sin2sin.sin.sin
pbBpcCRABC


22
()sin()sin2sin.sin.sin
pcCpaARABC


Nhóm 2:
2
22
AB2
.os.ossin.sin.sin
22
R
acbcABC
r

Hoàn toàn tương tự ta có:
2
22
BC2
.os.ossin.sin.sin
22
R
bcccABC
r

2
22
CA2
.os.ossin.sin.sin

22
R
ccacABC
r

Nhóm 3:
22
cotsincotsinsinsinsin
22
AB
ABABC

Hoàn toàn tương tự, ta có:
22
cotsincotsinsinsinsin
22
BC
BCABC

22
cotsincotsinsinsinsin
22
CA
CAABC

Nhóm 4:
osA+bcosBc
ac

.

osB+ccosC
bca


osC+acosA
ccb


Từ các nhóm BĐT trên ta có các bài toán sau:
Bài toán 5: Xác định dạng của
ABC

biết:
222
()sin()sin()sin3sin.sin.sin
paApbBpcCRABC


Bài toán 6: Xác định dạng của
ABC

biết:
2
222
ABC3
.os.os.ossin.sin.sin
222
R
acbcccABC
r


Bài toán 7: Xác định dạng của
ABC

biết:
a+b+c
.osA+b.cosB+c.cosC=
2
ac
( ĐH Dược HN_1999 )
Bài toán 8 : Xác định dạng của
ABC

biết:
222
3
cotsincotsincotsin(sinsinsin)
2222
ABC
ABCABC

Ta có:
333
3sin.sin.sinsinsinsin
ABCABC

( BĐT Cauchy )
Vậy căn cứ vào đó và vào bài toán 6 ta có
Bài toán 9: Xác định dạng của
ABC


biết:
 
2
222333
ABC
.os.os.ossinsinsin
222
R
acbcccABC
r

Qua đây tôi muốn nói với các bạn rằng: nếu chịu khótìm tòi suy nghĩ thì các bạn sẽ có thể tạo ra
nhiều bài toán hay từ những bài toán đơn giản.


PDF created with pdfFactory Pro trial version www.pdffactory.com