BAI 3 HE THUC LUONG TRONG TAM GIAC CAU HOI

Bài 3. HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
• Chương 2. TÍCH VƠ HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG
I. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
1. Định lí cơ – sin
Định lí 1.
Trong tam giác ABC với BC  a, AC  b và AB  c . Ta có
a 2  b 2  c 2  2bc.cos A ,
b 2  c 2  a 2  2ca.cos B
c 2  a 2  b 2  2ab.cos C
Ta có thể suy ra hệ quả sau
Hệ quả 1.

cos A 

b2  c2  a 2
,
2bc

cos B 

c2  a 2  b2
2ca

cos C 

a 2  b2  c2
2ab

2. Định lí Sin
Định lí 2.
Trong tam giác ABC với BC  a, AC  b, AB  c và R là bán kính đường trịn ngoại tiếp. Ta có

a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
3. Cơng thức đường trung tuyến
Định lí 3.
Cho tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A, B, C . Ta có
m 
2
a

m 
2
b

m 
2
c

2  b2  c2   a 2
4

2  a 2  c2   b2
4

.

.

2  a 2  b2   a 2

.
4
4. Công thức diện tích tam giác
Định lí 4. Với tam giác ABC ta kí hiệu ha , hb , hc là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các
cạnh BC , CA, AB ; R, r lần lượt là bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ;

abc
là nửa chu vi tam giác ; S là diện tích tam giác. Khi đó ta có
2
1
1
1
S  aha  bhb  chc
2
2
2
1
1
1
 bc sin A  ca sin B  ab sin C
2
2
2
abc

 pr  p  p  a  p  b  p  c 

4R
p

Trang 1


II. CÁC DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP
DẠNG 1. TÍNH TỐN CÁC ĐẠI LƯỢNG
* Sử dụng định lí cơ-sin và định lí sin
* Sử dụng công thức xác định độ dài đường trung tuyến và mối liên hệ của các yếu tố trong các
cơng thức tính diện tích trong tam giác.
Bài tập tự luận
Câu 1.

Cho tam giác ABC , biết
a) a  12, b  13, c  15 . Tính độ lớn góc A .

b) AB  5, AC  8, 
A  60o . Tính cạnh BC

Câu 2.

Cho tam giác ABC , biết
  45o , b  4 . Tính cạnh b và c .
a) 
A  60o , B

b) 
A  60o , a  6 . Tính R

Câu 3.

Cho tam giác ABC , biết
a) a  7, b  8, c  6 . Tính ma .
b) a  5, b  4, c  3 . Lấy D đối xứng của B qua C . Tính ma và AD

Câu 4.

Cho tam giác ABC , biết
a) a  7, b  8, c  6 . Tính S và ha .
b) b  7, c  5, cos A 

Câu 5.

3
. Tính S và R, r
5

Cho tam giác ABC , biết a  3, b  4, c  6 . Tính góc lớn nhất và đường cao tương ứng với cạnh
lớn nhất

Câu 6.

Tính các góc A, B và ha , R của tam giác ABC biết a  6, b  2, c  3  1

Câu 7.

Cho tam giác ABC , biết a  21, b  17, c  10
a) Tính diện tích S của tam giác ABC và chiều cao ha .
b) Tính bán kính đường trịn nội tiếp r và trung tuyến ma .

Câu 8.

Cho tam giác ABC , có 
A  60o , b  20, c  25 .
a) Tính diện tích S và chiều cao ha .
b) Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R và bán kính đường trịn nội tiếp r

Câu 9.

Cho tam giác ABC , có AB  8, AC  9, BC  10 . Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho

BM  7 . Tính độ dài đoạn thẳng AM .
Câu 10. Cho tam giác ABC , có BC  12, CA  13 , trung tuyến AM  8 . Tính S và cạnh AB .

  60o , C
  45o , BC  a
Câu 11. Cho tam giác ABC , có B

a) Tính độ dài hai cạnh AB, AC .
b) Chứng minh cos 75o 

6 2
4

Câu 12. Cho tam giác ABC , có độ dài ba trung tuyến bằng 15,18, 27
a) Tính diện tích tam giác. b) Tính độ dài các cạnh của tam giác
Câu 13. Cho tam giác ABC , có đoạn thẳng nối trung điểm AB và BC bằng 3 , cạnh AB  9 và

ACB  60o . Tính cạnh BC .

Trang 2


5 13
AMB 
Câu 14. Cho tam giác ABC có M là trung điểm của BC . Biết AB  3, BC  8, cos 
. Tính độ
26
dài cạnh AC và góc lớn nhất của tam giác ABC .
DẠNG 2. CHỨNG MINH HỆ THỨC
* Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản để biến đổi vế này thành vế kia, hai vế
cùng bằng một vế hoặc biến đổi tương đương về một đẳng thức đúng.
* Để chứng minh đẳng thức ta sử dụng các hệ thức cơ bản, bất đẳng thức cạnh trong tam giác và
bất đẳng thức cổ điển (Cô-si, Bu-nhi-a-cốp-xki, …).
Bài tập tự luận
Câu 1.

Tam giác ABC có b  2c  2a . Chứng minh rằng
2 1 1
 
a) 2sin A  sin B  sin C .
b)
ha hb hc

Câu 2.

Tam giác ABC có bc  a 2 . Chứng minh rằng
a) sin 2 A  sin B.sin C .
b) hb .hc  ha2

Câu 3.

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ta đều có ma2  mb2  mc2 

Câu 6.

3 2 2 2
a  b  c  .
4
1
Gọi là trọng tâm tam giác ABC . Chứng minh GA2  GB 2  GC 2   a 2  b 2  c 2 
3
Chứng minh rằng tổng bình phương hai đường chéo của hình bình hành bằng tổng bình phương
bốn cạnh của nó.
Cho tứ giác ABCD . Gọi M , N lần lượt là trung điểm hai đường chéo AC , BD . Chứng minh

Câu 7.

AB 2  BC 2  CD 2  AD 2  AC 2  BD 2  4 MN 2
Cho tam giác ABC , chứng minh

Câu 4.
Câu 5.

a) cot A 

b2  c2  a 2
.
4S

b) cot A  cot B  cot C 

a 2  b2  c2
4S

Câu 8.

Chứng minh rằng trong một tam giác ABC , ta có
a) a  b cos C  c cos B .
b) sin A  sin B cos C  sin C cos B

Câu 9.

Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có

a) b 2  c 2  a  b cos C  c cos B  . b)  b 2  c 2  cos A  a  c cos C  b cos B 

Câu 10. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có có
B
C

a) a  r  cot  cot  .
b) ha  2 R sin B sin C .
2
2

Câu 11. Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC , ta có có

1 

a) S  2 R 2 sin A sin B sin C .
b) S 
AB 2 . AC 2  AB. AC
2





2

.

Câu 12. Tam giác ABC có b  2c  2a . Chứng minh rằng
2 1 1
 
a) 2sin A  sin B  sin C .
b)
ha hb hc

Trang 3


Câu 13. Cho tứ giác ABCD nội tiếp được và có các cạnh a, b, c, d . Chứng minh rằng diện tích tứ giác đó
được tính theo cơng thức sau S 

p  p  a  p  b  p  c  p  d  , trong đó p là nửa chu vi tứ

giác.
Câu 14. Cho tam giác ABC , ra là bán kính đường trịn bàng tiếp trong góc A . Chứng minh rằng:

a) ra  p tan

A
2

b) r   p  a  tan

A
2

Câu 15. Tam giác ABC vuông tại A , đồng dạng với tam giác ABC  . Gọi a  BC , b  AC , a  AB
và ha là đường cao hạ từ A của tam giác ABC  . Chứng minh rằng:
a) a  a  b  b  c  c
b)

1
ha  ha



1
1

b  b c  c

Câu 16. Tam giác ABC vuông tại A . Gọi d là đường phân giác của góc A . Chứng minh rằng:
a) d 

2bc
bc

b) r 

1
b  c  a 
2

Câu 17. Tam giác ABC có

c mb

 1 . Chứng minh rằng 2 cot A  cot B  cot C .
b mc

Câu 18. Cho tam giác nhọn ABC có các cạnh a, b, c và diện tích S . Trên ba cạnh về phía ngồi của tam
giác đó dựng các tam giác vng cân ABC , BAC , C AB  A, B, C  lần lượt là đỉnh ). Chứng minh
rằng AB2  BC 2  C A2  a 2  b 2  c 2  6 S .

  DBC
  DCA
   . Chứng minh rằng
Câu 19. Cho điểm D nằm trong tam giác ABC sao cho DAB

a) sin 3   sin( A   )  sin( B   )  sin(C   ) ;
b) cot   cot A  cot B  cot C .
Câu 20. Trong mọi tam giác ABC chứng minh rằng cot A  cot B  cot C 

a 2  b2  c2
(Với a, b, c lần
4S

lượt là độ dài các cạnh BC , AC , AB và S là diện tích tam giác).
Câu 21. Cho hai tam giác ABC . Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai trung tuyến kẻ từ B và C
vng góc với nhau là b 2  c 2  5a 2 .
Tam giác
Tam giác
Tam giác
Tam giác

Trang 4

DẠNG 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC
A  90 hoặc cos A  0 hoặc a 2  b 2  c 2 .
ABC vuông tại A khi 
ABC cân tại A khi b  c hoặc góc B  C hoặc sin B  sin C hoặc cos B  cos C .
ABC đều khi a  b  c hoặc góc A  B  C hoặc a  b và một góc bằng 60 .
ABC nhọn khi cả ba góc đều nhọn.
Chú ý sử dụng phối hợp các hệ thức cơ bản về tam giác, biến đổi về tích số bằng 0, biến đổi tổng
bình phương, các bất đẳng thức cơ bản, so sánh, …


Bài tập tự luận
Câu 1.

Cho tam giác ABC . Chứng minh:
a) Góc A nhọn  a 2  b 2  c 2 ;
b) Góc A tù  a 2  b 2  c 2 ;
c) Góc A vng  a 2  b 2  c 2 ;

Câu 2.

Câu 3.
Câu 4.

Cho tam giác ABC thoả mãn a 3  b3  c3 . Chứng minh tam giác có ba góc nhọn.
Cho tam giác ABC thoả mãn a 4  b 4  c 4 . Chứng minh ABC là tam giác nhọn.
Cho tam giác ABC thoả mãn sin A  2sin B  cos C . Chứng minh ABC là tam giác cân.

Câu 5.

Cho tam giác ABC có cạnh a  2 3, b  2, C  30 . Chứng minh ABC là tam giác cân. Tính
diện tích và chiều cao ha của tam giác.

1  cos B
2a  c

.
sin B
4a 2  c 2

Câu 6.

Xét dạng tam giác ABC thoả mãn

Câu 7.

Cho tam giác ABC có chiều cao ha 

Câu 8.

Chứng minh tam giác ABC vuông tại A khi và chỉ khi 5ma2  mb2  mc2 .

Câu 9.

Cho tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp bằng r và các bán kính đường trịn bàng tiếp
các góc A, B, C tương ứng bằng ra , rb , rc . Chứng minh rằng nếu r  ra  rb  rc thì góc A là góc

p  p  a  .Chứng minh ABC là tam giác cân.

vuông.
a 3  b3  c 3
 c 2 . Chứng minh góc C  60 .
abc
Câu 11. Cho tam giác ABC biết a  7, b  8, c  5 . Chứng minh tam giác ABC có góc 60

Câu 10. Cho tam giác ABC thoả mãn

Câu 12. Cho tam giác ABC thoả mãn c 4  2  a 2  b 2  c 2  a 4  a 2b 2  c 4  0 . Chứng minh tam giác ABC
có góc 60 hoặc 120 .
Câu 13. Cho tam giác ABC thoả mãn a  b  c  2  a cos A  b cos B  c cos C  . Chứng minh tam giác
ABC đều.

5 3
A  60, a  10, r 
Câu 14. Cho tam giác ABC có 
. Chứng minh tam giác ABC đều.
3
3
a 3  c 3  b3
 b 2 và sin A.sin C  .
Câu 15. Xét tam giác ABC thỏa mãn

4
a c b
9
Câu 16. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là ma  mb  mc  R.
2
Câu 17. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin C  2sin B cos A. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.
sin B  sin C
. Chứng minh rằng tam giác ABC vuông.
Câu 18. Cho tam giác ABC thỏa mãn sin A 
cos B  cos C
Câu 19. Nhận dạng tam giác ABC trong các trường hợp sau:
a) a sin A  b sin B  c sin C  ha  hb  hc .
cos 2 A  cos 2 B 1
  cot 2 A  cot 2 B  .
b)
2
2
sin A  sin B 2
DẠNG 4: GIẢI TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Giải tam giác là tính các cạnh và các góc của tam giác dựa trên một số điều kiện cho trước.
Trong các Câu toán giải tam giác người ta thường cho tam giác với ba yếu tố như sau: biết một cạnh và hai
góc kề cạnh đó; biết một góc và hai cạnh kề góc đó; biết ba cạnh.
Trang 5


Để tìm các yếu tố cịn lại ta sử dụng định lí cơ-sin và định lí sin; định lí tổng ba góc trong một tam giác
bằng 180 và trong một tam giác đối diện với góc lớn hơn thì có cạnh lớn hơn và ngược lại đối diện với
cạnh lớn hơn thì có góc lớn hơn.
Bài tập tự luận
Câu 1.

Giải tam giác ABC , biết
a) c  14, A  60, B  40.
b) b  4,5, A  30, C  75 .

Câu 2.

Giải tam giác ABC , biết
a) c  35, A  40, C  120.
b) a  137,5, B  83, C  57.

Câu 3.
Câu 4.
Câu 5.
Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

  54.
Giải tam giác ABC , biết a  6,3; b  6,3; C
Giải tam giác ABC , biết b  32 ; c  45 ; 
A  87.
  130.
Giải tam giác ABC , biết a  7 ; b  23 ; C
Giải tam giác ABC , biết b  14 ; c  10 ; 
A  145.

Giải tam giác ABC , biết a  14 ; b  18 ; c  20.
Giải tam giác ABC , biết a  6 ; b  5 ; c  7.

Giải tam giác ABC , biết a  6 ; b  7,3 ; c  4,8.
  60 ; C
  45 ; BC  a.
Câu 10. Giải tam giác ABC , biết B
Câu 11. Từ hai vị trí A và B của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn núi. Biết rằng độ cao
AB  70 m , phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang một góc 30 , phương nhìn BC tạo với
phương nằm ngang một góc 1530 (như hình vẽ). Tính độ cao CH của ngọn núi so với mặt đất.

Câu 12. Các góc nhìn đến đỉnh núi so với mực nước biển được đo từ hai đèn tín hiệu A và B trên biển
được thể hiện trên hình vẽ. Nếu các đèn tín hiệu cách nhau 1536 m thì ngọn núi cao bao nhiêu
(tính gần đúng sau dấu phẩy hai chữ số)?

Trang 6


Câu 13. Một người quan sát đứng cách một cái tháp 15m , nhìn thấy đỉnh tháp một góc 450 và nhìn dưới
chân tháp một góc 150 so với phương nằm ngang như trong hình vẽ. Tính chiều cao h của tháp.

Câu 14. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc 600 .
Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau hai giờ,
hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

Câu 15. Vịnh Vân Phong – tỉnh Khánh Hịa nổi tiếng vì có con đường đi bộ xuyên biển nối từ Hòn Quạ
đến đảo Điệp Sơn. Một du khách muốn chèo thuyền kayak từ vị trí C trên Hịn Quạ đến vị trí B
trên Bè thay vì đi bộ xuyên qua con đường qua vị trí A rồi mới đến vị trí B . Nếu người đó chèo
thuyền với vận tốc khơng đổi là 4 km/h thì sẽ mất bao nhiêu thời gian biết AB  0, 4 km,
AC  0, 6 km và góc giữa AB và AC là 60 ?

Câu 16. Trong một lần đi khảo sát các đảo thuộc quần đảo Trường Sa của Việt Nam, các nhà khoa học
phát hiện có một đảo có dạng hình trịn, tâm của đảo này bị che bởi một bãi đá nhỏ mà các nhà

khoa học không thể tới được. Các nhà khoa học muốn đo bán kính của đảo này, biết rằng các nhà
khoa học chỉ có dụng cụ là thước thẳng dài. Nêu cách để các nhà khoa học tính được bán kính
đảo?
Câu 17. Giả sử chúng ta cần đo chiều cao AB của một tòa tháp với B là chân tháp và A là đỉnh tháp. Vì
khơng thể đến chân tháp được nên từ hai điểm C và D có khoảng cách CD  30m sao cho ba
  43 và góc BDA
  67 . Hãy tính chiều cao
điểm B, C , D thẳng hàng người ta đo các góc BCA

AB của tịa tháp
  6,30.cos 35  5,16 (km).
Câu 18. Trong tam giác vng AHC ta có AH  AC.cos HAC
Từ hai vị trí A , B người ta quan sát một cái cây (hình vẽ). Lấy C là điểm gốc cây, D là điểm ngọn cây. A ,
B cùng thẳng hàng với điểm H thuộc chiều cao CD của cây. Người ta đo được AB  10m , HC  1, 7 m ,

  63 ,   48 . Tính chiều cao của cây đó.

Trang 7


Câu 19. Một người quan sát đỉnh của một ngọn núi nhân tạo từ hai vị trí khác nhau của tịa nhà. Lần đầu
tiên người đó quan sát đỉnh núi từ tầng trệt với phương nhìn tạo với phương nằm ngang 350 và
lần thứ hai người này quan sát tại sân thượng của cùng tịa nhà đó với phương nằm ngang 150
(như hình vẽ). Tính chiều cao ngọn núi biết rằng tòa nhà cao 60  m  .

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
DẠNG 1. ĐỊNH LÝ COSIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ COSIN ĐỂ GIẢI TOÁN

Câu 3.

Cho tam giác ABC , mệnh đề nào sau đây đúng?
A. a 2  b 2  c 2  2bc cos A .
B. a 2  b 2  c 2  2bc cos A .
C. a 2  b 2  c 2  2bc cos C .
D. a 2  b 2  c 2  2bc cos B .
Cho tam giác ABC , có độ dài ba cạnh là BC  a, AC  b, AB  c . Gọi ma là độ dài đường trung
tuyến kẻ từ đỉnh A , R là bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác và S là diện tích tam giác đó.
Mệnh đề nào sau đây sai?
b2  c2 a 2
 . B. a 2  b 2  c 2  2bc cos A .
A. ma2 
2
4
abc
a
b
c


 2R .
C. S 
.
D.
4R
sin A sin B sin C
Cho tam giác ABC có a  8, b  10 , góc C bằng 600 . Độ dài cạnh c là?

Câu 4.

A. c  3 21 .

B. c  7 2 .
C. c  2 11 .
0
Cho ABC có b  6, c  8, A  60 . Độ dài cạnh a là:

Câu 1.

Câu 2.

Trang 8

D. c  2 21 .


Câu 5.

A. 2 13.
B. 3 12.
C. 2 37.
0
Cho ABC có B  60 , a  8, c  5. Độ dài cạnh b bằng:
A. 7.

Câu 6.
Câu 7.
Câu 8.
Câu 9.

D.

20.

B. 129.

C. 49.
D. 129 .
0

Cho ABC có AB  9 ; BC  8 ; B  60 . Tính độ dài AC .
A. 73 .
B. 217 .
C. 8 .
D. 113 .
0
Cho tam giác ABC có AB  2, AC  1 và A  60 . Tính độ dài cạnh BC.
A. BC  2.
B. BC  1.
C. BC  3.
D. BC  2.
0

Tam giác ABC có a  8, c  3, B  60 . Độ dài cạnh b bằng bao nhiêu?
A. 49.
B. 97
C. 7.
D. 61.
0

Tam giác ABC có C  150 , BC  3, AC  2. Tính cạnh AB ?
C. 10 .

A. 13 .

B.

D. 1 .
4
Câu 10. Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC . Biết b  7 ; c  5 ; cos A  . Tính độ dài của a .
5
7 2
23
A. 3 2 .
B.
.
C.
.
D. 6 .
2
8
  30 .Gọi A, B là 2 điểm di động lần lượt trên Ox, Oy sao cho AB  2 . Độ dài lớn
Câu 11. Cho xOy
nhất của OB bằng bao nhiêu?
A. 4.
B. 3.
C. 6.
D. 2.
Câu 12. Cho a; b;c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Mệnh đề nào sau đây không đúng?
A. a 2  ab  ac .

B. a 2  c 2  b 2  2ac . C. b 2  c 2  a 2  2bc . D. ab  bc  b 2 .

3.

Câu 13. Cho tam giác ABC có AB  4 cm, BC  7 cm, AC  9 cm. Tính cos A .
2
1
1
2
A. cos A   .
B. cos A  .
C. cos A  .
D. cos A  .
3
2
3
3
2

2

2

Câu 14. Cho tam giác ABC có a  b  c  0 . Khi đó:
A. Góc C  900
B. Góc C  900
C. Góc C  900
D. Khơng thể kết luận được gì về góc C.
Câu 15. Cho tam giác ABC thoả mãn: b 2  c 2  a 2  3bc . Khi đó:
A. A  300.
B. A  450.

C. A  600.
 bằng bao nhiêu?
Câu 16. Cho các điểm A(1;1), B(2;4), C (10; 2). Góc BAC

D. A  750 .

A. 900 .
B. 600.
C. 450.
Câu 17. Cho tam giác ABC , biết a  24, b  13, c  15. Tính góc A ?

D. 300.

A. 33034'.
B. 1170 49'.
C. 28037 '.
Câu 18. Cho tam giác ABC , biết a  13, b  14, c  15. Tính góc B ?

D. 580 24'.

A. 590 49'.
B. 530 7 '.
C. 590 29'.
D. 620 22'.
Câu 19.
Cho tam giác ABC biết độ dài ba cạnh BC , CA, AB lần lượt là a, b, c và thỏa mãn hệ thức
 bằng
b  b 2  a 2   c  c 2  a 2  với b  c . Khi đó, góc BAC
A. 45 .
B. 60 .

C. 90 .
D. 120 .
AB

c
,
BC

a
,
CA

b
a
,
b
,
c
Câu 20.
Tam giác ABC có
. Các cạnh
liên hệ với nhau bởi đẳng thức
2
2
2
2

b  b  a   c  a  c  . Khi đó góc BAC bằng bao nhiêu độ.
A. 30° .
B. 60° .

C. 90° .
D. 45° .
Câu 21. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho
MA : MB : MC  1: 2 : 3 khi đó góc AMB bằng bao nhiêu?
A. 135 .
B. 90 .
C. 150 .
D. 120 .
Câu 22. Cho tam giác ABC , chọn công thức đúng trong các đáp án sau:
Trang 9


b2  c2 a 2
 .
2
4
2
2
a  b c2
2
m

 .
C. a
2
4

A. ma2 

Câu 23.

a 2  c2 b2
 .
2
4
2
2
2c  2b  a 2
2
m

.
D. a
4

B. ma2 

Tam giác ABC có AB  9 cm, BC  15 cm, AC  12 cm. Khi đó đường trung tuyến AM của
tam giác có độ dài là
A. 10 cm .
B. 9 cm .
C. 7,5 cm .
D. 8 cm .

Cho tam giác ABC có AB  3, BC  5 và độ dài đường trung tuyến BM  13 . Tính độ dài
AC .
9
A. 11 .
B. 4 .
C. .

D. 10 .
2
  30, AB  3. Tính độ dài trung tuyến AM ?
Câu 25. Cho ABC vuông ở A, biết C
5
7
A. 3
B. 4
C.
D.
2
2
Câu 26. Tam giác ABC có a  6, b  4 2, c  2. M là điểm trên cạnh BC sao cho BM  3 . Độ dài đoạn
AM bằng bao nhiêu?
1
A. 9 .
B. 9.
C. 3.
D.
108 .
2
Câu 27. Gọi S  ma2  mb2  mc2 là tổng bình phương độ dài ba trung tuyến của tam giác ABC . Trong các
mệnh đề sau mệnh đề nào đúng?
Câu 24.

3
4

A. S  (a 2  b 2  c 2 ) .
C. S 

Câu 28.

B. S  a 2  b 2  c 2 .

3 2
(a  b 2  c 2 ) . D. S  3(a 2  b 2  c 2 ) .
2

  600 . Tính độ dài đường phân giác trong góc A của tam giác
Cho ABC có AB  2 ; AC  3 ; A
ABC .
6 2
6 3
12
6
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
5
5
5
5

DẠNG 2. ĐỊNH LÝ SIN, ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ SIN ĐỂ GIẢI TOÁN
Câu 29. Cho tam giác ABC . Tìm cơng thức sai:
a

a
c sin A
A.
B. sin A 
C. b sin B  2 R .
D. sin C 
 2R .
.
.
sin A
2R
a
Câu 30. Cho ABC với các cạnh AB  c, AC  b, BC  a . Gọi R, r , S lần lượt là bán kính đường trịn
ngoại tiếp, nội tiếp và diện tích của tam giác ABC . Trong các phát biểu sau, phát biểu nào sai?
abc
a
A. S 
.
B. R 
.
4R
sin A
1
C. S  ab sin C .
D. a 2  b 2  c 2  2ab cos C .
2
  60 và cạnh BC  3 . Tính bán kính của đường trịn ngoại
Câu 31. Cho tam giác ABC có góc BAC
tiếp tam giác ABC .
A. R  4 .

B. R  1 .
C. R  2 .
D. R  3 .

  45 . Độ dài cạnh BC là
Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC có AC  4 cm , góc 
A  60 , B
A. 2 6 .
B. 2  2 3 .
C. 2 3  2 .
D. 6 .


Câu 33. Cho ABC có AB  5 ; A  40 ; B  60 . Độ dài BC gần nhất với kết quả nào?
A. 3, 7 .
B. 3,3 .
C. 3,5 .
D. 3,1 .
Câu 34. Cho tam giác ABC thoả mãn hệ thức b  c  2a . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. cos B  cos C  2cos A. B. sin B  sin C  2sin A.
Câu 32.

Trang 10


1
C. sin B  sin C  sin A .
2

D. sin B  cos C  2sin A.

0
0


Câu 35. Tam giác ABC có a  16,8 ; B  56 13' ; C  71 . Cạnh c bằng bao nhiêu?
A. 29,9.
B. 14,1.
C. 17,5.
D. 19,9.
0
0


Câu 36. Tam giác ABC có A  68 12 ' , B  34 44 ' , AB  117. Tính AC ?
A. 68.
B. 168.
C. 118.
D. 200.

DẠNG 3. DIỆN TÍCH TAM GIÁC, BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN
Câu 37. Chọn cơng thức đúng trong các đáp án sau:
1
1
1
A. S  bc sin A .
B. S  ac sin A .
C. S  bc sin B .
2
2

2

1
D. S  bc sin B .
2

  30 . Diện tích hình thoi ABCD là
Cho hình thoi ABCD có cạnh bằng a . Góc BAD
a2 3
a2
a2
A.
.
B.
.
C.
.
D. a2 .
2
4
2
Câu 39. Tính diện tích tam giác ABC biết AB  3, BC  5, CA  6 .
Câu 38.

A. 56 .
B. 48 .
C. 6 .
Câu 40. Cho ABC có a  6, b  8, c  10. Diện tích S của tam giác trên là:
A. 48.
B. 24.

C. 12.
0
Câu 41. Cho ABC có a  4, c  5, B  150 . Diện tích của tam giác là:

D. 8 .
D. 30.

A. 5 3.
B. 5.
C. 10.
D. 10 3 .
Câu 42. Một tam giác có ba cạnh là 13,14,15 . Diện tích tam giác bằng bao nhiêu?
A. 84.
B. 84 .
C. 42.
D. 168 .
Câu 43. Cho các điểm A(1; 2), B(2;3), C (0;4). Diện tích ABC bằng bao nhiêu?
A.

13
.
2

B. 13.

C. 26.

D.

13

.
4

Câu 44. Cho tam giác ABC có A(1; 1), B(3; 3), C (6;0). Diện tích ABC là
A. 12.
B. 6.
C. 6 2.
D. 9.
Câu 45. Cho tam giác ABC có a  4, b  6, c  8 . Khi đó diện tích của tam giác là:
A. 9 15.

B. 3 15.

C. 105.

D.

2
15.
3

Cho tam giác ABC . Biết AB  2 ; BC  3 và 
ABC  60 . Tính chu vi và diện tích tam giác
ABC .
3 3
3
A. 5  7 và .
B. 5  7 và
.
2

2
3 3
3
C. 5 7 và
.
D. 5  19 và .
2
2
Câu 47. Tam giác ABC có các trung tuyến ma  15 , mb  12 , mc  9 .Diện tích S của tam giác ABC bằng
A. 72 .
B. 144 .
C. 54 .
D. 108 .
3
Câu 48. Cho tam giác  ABC có b  7; c  5;cos A  . Độ dài đường cao ha của tam giác  ABC là.
5
7 2
A.
.
B. 8 .
C. 8 3
D. 80 3
2
  120 . Tính diện tích tam giác ABC ?
Câu 49. Cho tam giác ABC có AB  2a; AC  4a và BAC
Câu 46.

A. S  8a2 .
B. S  2a 2 3 .
C. S  a 2 3 .

D. S  4a .
Câu 50. Cho tam giác ABC đều cạnh a . Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC bằng
a 3
a 3
a 2
a 3
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
3
2
4
2

Trang 11


Câu 51.

Cho tam giác ABC
giác ABC bằng
A. 12 .
Câu 52. Cho tam giác ABC
2a

A.
.
3
Câu 53. Cho tam giác ABC
giác ABC bằng:
A. 5 .
Câu 54. Cho tam giác ABC

Câu 55.

Câu 56.

Câu 57.
Câu 58.

có chu vi bằng 12 và bán kính đường trịn nội tiếp bằng 1. Diện tích của tam
B. 3 .
C. 6 .
D. 24 .
đều cạnh 2a . Tính bán kính R của đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC .
4a
8a
6a
B.
.
C.
.
D.
.
3

3
3
có BC  6 , AC  2 và AB  3  1 . Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam

B. 3 .
C. 2 .
D. 2 .
có AB  3 , AC  4 , BC  5 . Bán kính đường trịn nội tiếp tam giác bằng
8
4
3
A. 1 .
B. .
C. .
D. .
9
5
4
Cho ABC có S  84, a  13, b  14, c  15. Độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp R của tam giác
trên là:
A. 8,125.
B. 130.
C. 8.
D. 8,5.
Cho ABC có S  10 3 , nửa chu vi p  10 . Độ dài bán kính đường trịn nội tiếp r của tam giác
trên là:
A. 3.
B. 2.
C. 2.
D. 3 .

Một tam giác có ba cạnh là 26, 28,30. Bán kính đường trịn nội tiếp là:
A. 16.
B. 8.
C. 4.
D. 4 2.
Một tam giác có ba cạnh là 52,56,60. Bán kính đường trịn ngoại tiếp là:
A.

65
.
8

B. 40.

C. 32,5.

D.

65
.
4

Câu 59. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường trịn ngoại tiếp là?
13
11
A. 6.
B. 8.
C.
.
D.

.
2
2
Câu 60. Tam giác với ba cạnh là 5;12;13 có bán kính đường trịn nội tiếp tam giác đó bằng bao nhiêu?
A. 2.
B. 2 2.
C. 2 3.
D. 3.
Câu 61. Tam giác với ba cạnh là 6;8;10 có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng bao nhiêu?
A. 5.
B. 4 2.
C. 5 2.
D. 6 .
Câu 62. Cho hình chữ nhật ABCD có cạnh AB  4, BC  6 , M là trung điểm của BC , N là điểm trên
cạnh CD sao cho ND  3 NC . Khi đó bán kính của đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN bằng
3 5
5 2
A. 3 5 .
B.
.
C. 5 2 .
D.
.
2
2


Câu 63. Cho tam giác đều ABC ;gọi D là điểm thỏa mãn DC  2 BD . Gọi R và r lần lượt là bán kính
R
đường trịn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác ADC . Tính tỉ số .

r
57 7
75 5
75 7
5
A. .
B.
.
C.
.
D.
.
9
9
9
2
DẠNG 4. ỨNG DỤNG THỰC TẾ
Câu 64. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 78o 24' . Biết
CA  250 m, CB  120 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 266 m.
B. 255 m.
C. 166 m.
D. 298 m.
Câu 65. Hai chiếc tàu thuỷ cùng xuất phát từ vị trí A , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc 600 .
Tàu thứ nhất chạy với tốc độ 30 km / h , tàu thứ hai chạy với tốc độ 40 km / h . Hỏi sau 2 giờ hai tàu
cách nhau bao nhiêu km ?
A. 13.
B. 20 13.
C. 10 13.

D. 15.
Trang 12


Câu 66. Từ một đỉnh tháp chiều cao CD  80 m , người ta nhìn hai điểm A và B trên mặt đất dưới các góc
nhìn là 72012' và 340 26' . Ba điểm A, B, D thẳng hàng. Tính khoảng cách AB ?
A. 71m.
B. 91m.
C. 79 m.
D. 40 m.
Câu 67. Khoảng cách từ A đến B không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy. Người ta
xác định được một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B dưới một góc 56016' . Biết
CA  200 m , CB  180 m . Khoảng cách AB bằng bao nhiêu?
A. 180 m.
B. 224 m.
C. 112 m.
D. 168 m.
Câu 68. Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếc đĩa cổ hình trịn
bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khơi phục lại hình dạng chiếc đĩa này. Để xác định bán kính của
chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình
vẽ ( AB  4,3 cm; BC  3, 7 cm; CA  7,5 cm). Bán kính của chiếc đĩa này bằng (kết quả làm tròn
tới hai chữ số sau dấu phẩy).

A. 5,73 cm.
B. 6,01cm.
C. 5,85cm.
D. 4,57cm.
Câu 69.
Giả sử CD = h là chiều cao của tháp trong đó C là chân tháp. Chọn hai điểm A, B trên mặt đất
  630 ; CBD

  480 . Chiều cao h
sao cho ba điểm A, B, C thẳng hàng. Ta đo được AB = 24m, CAD
của khối tháp gần với giá trị nào sau đây?
A. 61,4 m.
B. 18,5 m.
C. 60 m.
D. 18 m.

Website chuyên cung cấp tài liệu file word chất lượng cao giá rẻ cho giáo viên



Trang 13