Tổng hợp công thức về các Phép dời hình

PHÉP TỊNH TIẾN
I.Định nghĩa :
Cho vectơ , phép tịnh tiến theo vectơ , kí hiệu là là phép biến hình biến mỗi
điểm M thành 1 điểm M’ xác định , sao cho = .Vectơ được gọi là vectơ tịnh tiến .
T (M) = M’  =
M

M’

II. Biểu thức tọa độ :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(x;y) ,=(a;b).
Gọi (M) = M’ (x’;y’). Khi đó :
III. Tính chất :
 Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M , N lần lượt thành 2 điểm M’ , N’ thì
= và từ đó suy ra ( Tính chất bảo tồn khoảng cách giữa hai điểm bất
kì )
 Phép tịnh tiến biến :
 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và khơng làm thay
đổi thứ tự ba điểm đó .
 Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với
đường thẳng đã cho.
 Biến một tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.
 Biến một đường trịn thành một đường trịn có cùng bán kính.

PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC


I.Định Nghĩa :
Cho đường thẳng d , phép biến hình biến mỗi điểm Md thành chính nó , biến
mỗi điểm M d thành điểm M’ sao cho d là đường trung trực của đường thẳng MM’
được gọi là phép đối xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục d

- Kí hiệu là Đd
Cho phép đối xứng trục :





M

Nếu Đd (M) = M’ thì Đd (M’) = M
d
Nếu Md thì Đd (M) = M
Nếu Đd (M) = M
Nếu Đd (M) =M’ với MM’ thì trục đối
xứng d là đường trung trực của đoạn MM’
M

d
M’

II.Biểu thức tọa độ :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , với mỗi điểm M(x;y) ;
Gọi M’= Đd (M) = (x;y).
 Nếu chọn d là trục Ox , thì
 Nếu chọn d là trục Oy , thì






III.Tính chất :
- Phép đối xứng trục bảo tồn khoảng cách giữa 2 điểm bất kì
- Phép đối xứng trục biến :
Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
Biến tam giác thành tam giác bằng nó .
Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.


a
R
d
R’
a’


Phép đối xứng tâm
I.Định nghĩa :
Cho điểm I , phép biến hình biến điểm I thành chính nó , biến mỗi điểm M thành
M’ sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng MM’được gọi là phép đối xứng tâm .
Kí hiệu : Đ I
= M’  = Điểm I được gọi là tâm của phép đối xứng đó (hay tâm đối xứng )
 Nếu ĐI (M) = (M’) thì ĐI (M’) = M
 Nếu M thì M’
 Nếu M thì I là trung điểm của đoạn MM’

M

I

M’

II.Biểu thức tọa độ :
Trong Oxy , cho I (a;b) , M(x;y) và M’ ( x’ ; y’)
 Nếu I O (0;0) thì Đo (M) = M’ (x’;y’)
Khi đó
 Nếu I O (0;0) thì ĐI (M) = M’ (x’ ;y’)
Khi đó

III. Tính chất :
- Nếu ĐI (M) = M’ và ĐI (N) = N’ thì = -từ đó suy ra M’N’ = MN .
- Phép đối xứng tâm biến :

ĐI (M)







Biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó .
Biến tam giác thành tam giác bằng nó .
Biến đường trịn thành đường trịn có cùng bán kính.

B
A

O
I

I
B’

A’

O’

PHÉP QUAY
I.Định Nghĩa :


 Cho điểm O và góc lượng giác . Phép biến hình O thành chính nó ,
biến mỗi điểm M O thành điểm M’ sao cho OM’ = OM và góc lượng
giác (OM;OM’) bằng được gọi là phép quay tâm O góc quay .
 Điểm O được gọi là tâm quay .
 Góc được gọi là góc quay .
 Phép quay kí hiệu là Q(O;a) .
 Chiều dương của phép quay Q(O;a) theo chiều dương của đường tròn
lượng giác , ngược lại là chiều âm theo chiều âm của đường trịn
lượng giác .
Nhận xét
+ Phép quay tâm O , góc quay = k2
Chính là phép đối xứng tâm O

M

O

+ Phép quay tâm O , góc quay = k2
chính là phép đồng nhất .
II.Biểu thức tọa độ :
 Khi I O thì Q ( O; ) [M(x;y)] = M’(x’;y’)
Khi đó :
Đặc biệt :
+ Q(O; [M(x ; y)] = M’(-y ; x)
Ví dụ : Q(O;90°) [A(3;1)] = A’(-1 ; 3)
+ Q(O;-90°) [M(x ; y)] = M’(y ; -x)
Ví dụ : Q(O;-90°) [A(3;1)] = A’(1 ; -3)
 Khi I O thì Q ( O;α ) [M(x;y)] = M’(x’;y’) Khi đó :
III.Tính Chất :
 Phép quay bảo toàn khảong cách giữa hai điểm bất kì
 Phép quay biến :
 Biến đường thẳng thành đường thẳng
 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng .
 Biến tam giác thành tam giác .
 Biến đường tròn thành đường trịn có cùng bán kính .
 Giả sử phép quay tâm I , góc quay biến d bằng d’

M’


Khi đó :
+ Nếu 0 thì góc giữa d và d’ bằng
+ Nếu thì góc giữa d và d’ bằng