TIỀU LUẬN PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET pdf

HỌC VIỆN CÔNG NGHỆ BƯU CHÍNH VIỄN THÔNG
KHOA QUỐC TẾ VÀ ĐÀO TẠO SAU ĐẠI HỌC
  
Báo cáo chuyên đề môn học
XỬ LÝ TÍN HIỆU SỐ NÂNG CAO
Nội dung báo cáo
PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET


GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN: TS. Nguyễn Ngọc Minh.

NHÓM 9: Đoàn Minh Quân,
Nguyễn Kim Dung,
Nguyễn Hữu Trường,
Hà Thị Lan Anh.
LỚP: CH10 ĐT3
Hà nội, tháng 05- 2011
PHẦN 1
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ TỔNG QUAN VỀ LÝ THUYẾT WAVELET
Mặc dù khái niệm Wavelet đã ra đời cách đây 10 năm, nhưng có rất ít bài báo hay cuốn
sách nào viết về nó, và chủ yếu chỉ là các nhà toán học viết ra, với rất ít sự tham khảo
hay trợ giúp, vì nó là hoàn toàn mới.
Trước hết chúng ta cần biết tại sao phải biến đổi và biến đổi thực chất là gì? Trong toán
học, phép biến đổi lên một tín hiệu là để có được các thông tin khác, mà tín hiệu ban
đầu (hay còn gọi là tín hiệu thô) không có. Trong phần nghiên cứu này, ta giả thuyết tín
hiệu miền thời gian là tín hiệu thô, còn tín hiệu đã được biến đổi qua các công cụ toán
học là tín hiệu được xử lý. Có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng, song phép biến đổi
Fourier là phép biến đổi được ứng dụng rộng rãi nhất.
Hầu hết các tín hiệu mà chúng ta đo được đều là tín hiệu trong miền thời gian,và khi
chúng ta biểu diễn lên đồ thị, thì luôn có một trục là thời gian, còn trục kia là độ lớn.Tuy
nhiên trong xử lý tín hiệu thì cách biểu diễn đó không phải là tối ưu. Và trong nhiều

trường hợp, thì thành phần tần số lại là quan trọng để phân biệt các tín hiệu với nhau,
người ta dùng phổ tần số để biểu diễn các thành phần tần số có trong tín hiệu.
Ta hãy xem xét hình vẽ dưới đây biểu diễn 3 tín hiệu tương ứng 3 tần số khác nhau
Vậy làm thế nào để đo được tần số và làm thế nào để tìm ra các thành phần tần số trong
tín hiệu? Câu trả lời chính là phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi FOURIER cho ta biết
độ lớn tín hiệu trong mỗi thành phần tần số.
Xác định thành phần tần số có ý nghĩa quan trọng trong kỹ thuật, ví dụ trong y học, dựa
vào thành phần tần số đo được trong nhịp tim, mà ta biết được người đó có khỏe hay
không?
Tuy nhiên có rất nhiều phép biến đổi được áp dụng trong kỹ thuật và toán học, như biến
đổi Hilbert, biến đổi Fourier thời gian ngắn, phân bố Wigner , biến đổi Radon, … Mọi
phép biến đổi đều có những vùng ứng dụng riêng với những ưu nhược điểm khác nhau.
Phép biến đổi Wavelet mà ta đang nghiên cứu cũng không là ngoại lệ.
Để biết sự cần thiết của phép biến đổi Wavelet, chúng ta hãy xem qua phép biến đổi
Fourier. FT là phép biến đổi 2 chiều giữa tín hiệu thô và tín hiệu xử lý. Ta sẽ không thể
biết được thời gian trong tín hiệu xử lí, và cũng không thể biết được tần số trong miền
tín hiệu thô. Vậy một câu hỏi đặt ra là ta có cần biết đến cả tần số và cả thời gian cùng
một lúc không? Nếu đối với các quá trình dừng thì việc này là không cần thiết, vì ở quá
trình dừng, thành phần tần số là không thay đổi theo thời gian. Ta hãy xem ví dụ dưới
đây:
Đây là biến đổi Fourier của nó:
Khác với tín hiệu ở hình 1.5, ta xét tín hiệu khác không dừng được minh họa dưới đây:
Lại xét tiếp một ví dụ khác có 4 thành phần tần số ở 4 khoảng thời gian khác nhau, do
đó đây cũng không phải là tín hiệu dừng.
Và biến đổi FT của nó có dạng:
Ở đây có những đoạn gợn sóng là do sự thay đổi tần số đột ngột. Ta thấy tín hiệu ở
thành phần phổ cao thì có biên độ lớn, còn thành phần phổ thấp thì có biên độ nhỏ.
So sánh qua hình ta thấy rằng cả hai tín hiệu khác nhau ở miền thời gian lại tương tự
nhau ở miền tần số. Do đó, FT không phù hợp đối với các tín hiệu không dừng.
Biến đổi Wavelet khắc phục nhược điểm này, nó cho ta mối liên hệ giữa miền tần số và

miền thời gian đồng thời.
Giả sử ta cho tín hiệu qua một hệ thống các bộ lọc thông cao và bộ lọc thông thấp như
mô tả ở sơ đồ H1.1 dưới đây:
Giả sử ta có tín hiệu có tần số lên tới 1000Hz, sau khi đi qua hệ thống như sơ đồ trên, ta
sẽ thu được 4 vùng tần số là 0-125 Hz, 125-250 Hz, 250-500 Hz, và 500-1000 Hz. Như
vậy, ta thu được một tập các tín hiệu con có băng tần khác nhau từ một tín hiệu ban đầu.
Nếu ta biểu diễn chúng trên đồ thị 3D thì sẽ có thêm một trục thời gian cho từng tín hiệu
con. Chú ý rằng ta sẽ không biết được thời gian tức thời, nhưng ta biết được khoảng thời
gian của từng tín hiệu con đó.
Biến đổi Wavelet đưa ra giải pháp linh hoạt như sau: thành phần tín hiệu tần số cao sẽ
phân giải tốt hơn trong miền thời gian, còn thành phần tín hiệu tần số thấp, sẽ phân giải
tốt hơn ở miền tần số.
Chúng ta hãy xét sơ đồ lưới dưới đây:

f ^
|******************************************* continuous
|* * * * * * * * * * * * * * * wavelet transform
|* * * * * * *
|* * * *
|* *
> time
Lý giải sơ đồ như sau: ở phía trên cùng của trục tần số, ta có nhiều mẫu tín hiệu, tương
ứng với những khoảng thời gian nhỏ, hay nói cách khác là ở thành phần tần số cao sẽ
H1.1: Hệ thống các bộ lọc
phân giải tốt hơn ở miền thời gian. Còn ở dưới đáy trục tần số, ta có rất ít điểm tín hiệu,
do đó sẽ khó phân giải tốt trong miền thời gian.
^ frequency
|
|
|

| *******************************************************
|
|
|
| * * * * * * * * * * * * * * * * * * * discrete time
| wavelet transform
| * * * * * * * * * *
|
| * * * * *
| * * *
| > time
Trong trường hợp thời gian rời rạc, cũng tương tự như trên. Tuy nhiên chú ý rằng ở
nhũng thành phần tần số cao, thì khoảng cách giữa các chấm điểm cũng nhỏ hơn.
Dưới đây là ví dụ về biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu hình sin có 2 thành phần tần
số ở hai thời điểm khác nhau:
Biến đổi Wavelet liên tục của tín hiệu trên có dạng như sau:
Chú ý là trục tần số được biểu diễn bởi nhãn scale. Định nghĩa scale sẽ được nói rõ hơn
ở phần sau, và trong trường hợp này thì scale là nghịch đảo của tần số. Mức scale cao
tương ứng tần số thấp, mức scale thấp tương ứng tần số cao.
PHẦN 2
PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET LIÊN TỤC
Trước hết ta hãy nói tới các hàm cơ bản trong chuyển đổi tín hiệu.
Trong biến đổi Fourier, chuỗi Fourier lượng giác là một công cụ cực mạnh được sử
dụng trong cả hai trường hợp rời rạc và liên tục nhưng cũng có nhược điểm đáng kể, đó
là các hàm cơ bản
cos sin
ikt
e kt i kt
= +
xác định và liên tục trên toàn đoạn

[ ]
;−π π
, do đó không thích nghi tốt với các tín hiệu
được địa phương hóa, trong đó ý nghĩa của dữ liệu chỉ tập trung trong miền tương đối
nhỏ. Thật vậy, ví dụ trường hợp hàm Dirac
( )tδ
có giá trị tập trung tại
0t
=
. Do đó ta có
các hệ số Fourier
1 1
( )
2 2
ikt
k
c t e dt
π
−
−π
= δ =
π π
∫

và chuỗi Fourier tương ứng
( )
2 2
1 1
1
2 2

ikt it it it it
k
e e e e e
∞
− −
=−∞
= + + + + + +
π π
∑

làm mất hoàn toàn tính chất địa phương chỉ tập trung giá trị tại
0x
=
của hàm Dirac.
Vì vậy cần xây dựng một hệ các hàm trực giao có đủ các tính chất tốt như hệ các
hàm lượng giác Fourier, đồng thời chuyển tải được tính chất địa phương hóa của các tín
hiệu. Hệ các hàm cần tìm là các hàm wavelet.
Giống như các hàm lượng giác, các hàm Wavelet có bản sao rời rạc nhận được
bằng cách lấy mẫu. Phép biến đổi wavelet rời rạc có thể tính toán một cách nhanh
chóng, do dó rất thuận lợi khi xử lý các tín hiệu phức tạp và các dữ liệu ảnh nhiều chiều.
Chúng ta bắt đầu với 4 hàm wavelet cơ bản được Alphré Haar (nhà toán học
Hungary) giới thiệu năm 1910.
Hàm Haar wavelet thứ nhất gọi là hàm scaling (scaling function), xác định như sau
Hình 2.1: Bốn hàm Haar wavelet
1
( ) ( ) 1t tϕ = ϕ ≡
,
0 1t≤ ≤
,
Hàm Haar wavelet thứ hai gọi là wavelet mẹ (mother wavelet)

2
1 0 1/ 2
( ) ( )
1 1/ 2 1
t
t t
t
< <

ϕ = ω =

− < <

Giá trị của hàm
( )t
ω
tại những điểm rời rạc không quan trọng lắm, nhưng tương tự
trường hợp khai triển Fourier ta quy ước cho
( ) 0tω =
tại các điểm
1
0, ,1
2
t =
.
Hàm Haar wavelet thứ ba và hàm Haar wavelet thứ tư là dạng nén của hàm wavelet
mẹ, được gọi là các hàm wavelet con (daughter wavelet), xác định như sau
3
1 0 1/ 4
( ) 1 1/ 4 1/ 2

0 1/ 2 1
t
t t
t
< <


ϕ = − < <


< <


4
0 0 1/ 2
( ) 1 1/ 2 3/ 4
1 3/ 4 1
t
t t
t
< <


ϕ = < <


− < <


Hàm scaling

( )tϕ
và wavelet mẹ
( )t
ω
được mở rộng lên toàn bộ tập số thực bằng
cách cho nhận giá trị 0 bên ngoài khoảng cơ bản:
1 0 1
( )
0
t
t
< <

ϕ =


nÕu ng îc l¹i

1 0 1/ 2
( ) 1 1/ 2 1
0
t
t t
< <


ω = − < <




nÕu ng îc l¹i
Từ các hàm cơ bản, ta đi tới phép biến đổi Wavelet, được định nghĩa như sau:
Đây là hàm số của 2 biến: s và τ, trong đó,
x(t) là tín hiệu cần phân tích
s là viết tắt của scale, tạm dịch là biến phân bậc hay biến tỉ lệ. Để dễ hiểu ý nghĩa của
biến này, ta có thể so sánh với bản đồ, nếu tỉ lệ càng lớn thì sẽ cho ta cái nhìn tổng quan,
nhưng không chi tiết, còn nếu tỉ lệ nhỏ sẽ tương ứng với cái nhìn chi tiết. Biến s trong
toán học đặc trưng cho độ nén và giãn. s càng lớn, tức là giãn tín hiệu, s nhỏ tức là nén
tín hiệu. Tuy nhiên trong công thức biến đổi Wavelet, s nằm dưới phần mẫu số, vì thế
nếu s<1 tức là giãn tín hiệu, s>1 tương ứng nén tín hiệu Tần số f là nghịch đảo của s,
mức tần số thấp tương ứng với toàn bộ tín hiệu, còn mức tần số cao tương ứng một phần
của tín hiệu trong một thời gian ngắn.
τ (translation) là định vị của cửa sổ khi cửa sổ dịch chuyển suốt tín hiệu, nó mang ý
nghĩa thông tin về thời gian trong không gian chuyển đổi.
ψ(t) là hàm chuyển đổi, được gọi là Wavelet mẹ, hàm này được coi là hàm cửa sổ
nguyên bản của mọi cửa sổ khác trong xử lý. Các cửa sổ khác có thể là nén, giãn hoặc
dịch pha của wavelet mẹ. Ngoài ra có thể dùng các hàm khác như hàm wavelet Morlet,
hàm mũ Mexican.
Giá trị 1/sqrt(s) là để đảm bảo tín hiệu sau khi biến đổi có cùng năng lượng với tín hiệu
ban đầu
Thông thường, các tín hiệu đều có băng tần giới hạn, nên chỉ cần tính toán CWT trong
một dải xác định
Ta hãy xem ví dụ về tín hiệu cosin trong từng tỉ lệ s khác nhau dưới đây, tất cả tín hiệu
ở hình trên đều bắt nguồn từ một tín hiệu cosin, s=0,05 là tỉ lệ nhỏ nhất, và s=1 là tỉ lệ
lớn nhất:
Hầu hết các ứng dụng thực tế đều có tính chất trên tức là thành phần tần số cao không
kéo dài trong suốt dải tín hiệu, và tần số thấp thường kéo dài đến hết tín hiệu.
Quá trình tính toán có thể minh họa qua hình vẽ như sau:
Từ các giá trị thời gian τ và s ta sẽ có các điểm đồ thị trên mặt phẳng thời gian-tỉ lệ.
Dưới đây ta sẽ xem xét một ví dụ cụ thể: tính CWT của một tín hiệu không dừng gồm 3

thành phần tần số: 5Hz, 10Hz, 20Hz và 30Hz.
Biến đổi CWT của tín hiệu trên có dạng:
Lưu ý là trục translation tương ứng với thời gian
Ngoài ra, còn có wavelet mẹ khác được sử dụng trong phân tích wavelet mũ Mexican,
được định nghĩa từ hàm Gaussian:
đó là

Và Wavelet Morlet được định nghĩa như sau:
trong đó, a là tham số điều chế, còn σ là biến tỉ lệ, ảnh hưởng đến độ rộng cửa sổ.
Để khôi phục lại tín hiệu ban đầu, ta có công thức biến đổi ngược của CWT:
Trong đó C là hằng số, phụ thuộc vào wavelet nào được sử dụng.
Phép biến đổi CWT ngược tồn tại khi thỏa mãn điều kiện:

Trong đó, là biến đổi Fourier của ψ.
Biến đổi CWT có một điểm lớn đó là độ phân giải linh hoạt mà ta sẽ trình bày dưới đây.
Phân giải miền thời gian-tần số.
Đây là ưu điểm để chúng ta sử dụng biến đổi Wavelet chứ không phải là biến đổi STFT.
Hình 2.2 dưới đây minh họa vấn đề này. Tất cả khối hộp đều tương ứng với giá trị biến
đổi Wavelet trong miền thời gian-tần số. Ta không biết chính xác mỗi điểm cụ thể,
nhưng ta biết nó thuộc khối hộp nào. Các hộp này có diện tích bằng nhau, song chiều
dài và chiều rộng khác nhau. Ở trong vùng tần số thấp, chiều cao của khối hộp cũng
thấp, do đó mà tín hiệu sẽ được phân giải tốt hơn ở miền tần số. Còn ở vùng tần số cao,
thì chiều rộng của khối hộp nhỏ hơn, tức là miền thời gian được chia thành nhiều
khoảng nhỏ hơn ở miền tần số, do đó mà tín hiệu được phân giải tốt hơn ở miền thời
gian.
Hình 2.2
Sau đây ta sẽ đưa ra một ví dụ cụ thể để thấy được tính ứng dụng của CWT trong thực
tế. Hình vẽ dưới đây là điện não đồ của một người bình thường và một người mắc bệnh
Alzheimer (tâm thần)
Những tín hiệu này có thể nói rất khó phân tích và đánh giá sự khác biệt, tuy nhiên khi

ta cho qua phép biến đổi CWT thì sự phân tích trở nên dễ dàng hơn nhiều. Dưới đây là
đồ thị của tín hiệu sau khi qua CWT
Và đây là từ một góc nhìn khác rõ hơn:
Còn của người bệnh thì tín hiệu chuyển đổi có dạng sau:
Hay từ một góc nhìn khác:
PHẦN 3
PHÉP BIẾN ĐỔI WAVELET RỜI RẠC
ĐỂđ
Để giảm việc tính toán, mà vẫn hiệu quả cho việc phân tích và tổng hợp tín hiệu ban
đầu, người ta sử dụng phép biến đổi Wavelet rời rạc (DWT). DWT được biết từ năm
1976, khi Croiser, Esteban và Galand chế tạo ra kỹ thuật khôi phục tín hiệu rời rạc.
Phân giải tín hiệu là phép đo các lượng thông tin chi tiết trong tín hiệu, và có thể thay
đổi lượng tin bằng cách lọc tín hiệu. Lấy mẫu tín hiệu có thể tăng hoặc giảm thông qua
tốc độ lấy mẫu tăng hay giảm n lần.
DWT lấy mẫu tại các thời điểm s
0
= 2, τ
0
= 1, hay s=2
j
và τ =k*2
j
, tín hiệu lúc này sẽ là
một chuỗi x[n], trong đó, n là số tự nhiên. Chuỗi này được đưa qua bộ lọc thông thấp
(bằng nửa băng tần của tín hiệu) có đáp ứng xung là h[n] và bộ lọc thông cao có đáp
ứng xung là g[n], khi đó tại đầu ra của bộ lọc thông thấp, tín hiệu thu được là kết quả
tích chập của x[n] và h[n] như sau:
Chú ý là tần số f đã được chuẩn hóa và không lấy đơn vị là Hz, có nghĩa thành phần tần
số lớn nhất của tín hiệu là π rad, tương ứng tần số lấy mẫu là 2π rad (theo định lý

Nyquist). Sau khi qua bộ lọc thông thấp, tín hiệu thu được có tần số lớn nhất là π/2 rad.
Lúc này, số điểm lấy mẫu sẽ giảm đi một nửa, tín hiệu được giãn gấp 2 lần, ta gọi đó là
subsample. Quá trình subsample sau khi lọc không làm ảnh hưởng đến tổng hợp lại tín
hiệu ban đầu. Toàn bộ quá trình trên được lặp lại, và tín hiệu thu được ở đầu ra là y[n]
được tính như sau:
Mô tả đầu ra của bộ lọc thông thấp và thông cao được viết như sau:
Việc ta giảm nửa số lượng mẫu tín hiệu, cũng tương ứng ta chia nhỏ miền tần số. Ở mỗi
mức, việc lọc và subsample làm giảm đi số lượng mẫu tín hiệu (tức là làm cho việc
phân giải miền thời gian không tốt), song làm phân giải trong miền tần số tốt hơn.
Hình 3.1 mô tả quá trình trên, băng tần của tín hiệu tại các mức được ký hiệu là f.
Giả sử tín hiệu ban đầu có 512 mẫu, với tần số từ 0 đến π rad. Tại mức đầu tiên, tín hiệu
qua bộ lọc thông cao, do đó, số điểm lấy mẫu chỉ còn lại 256 điểm ứng với băng tần
giảm còn một nửa từ π/2 đến π rad. 256 điểm mẫu còn lại đưa tới tiếp bộ lọc thông cao
và thông thấp, do đó số điểm mẫu của tín hiệu còn lại là 128, ứng với băng tần từ π/4
đến π/2 rad. Quá trình cứ tiếp tục đến khi nào chỉ còn lại 2 mẫu tín hiệu.
Như vậy ta đã giảm đi một lượng tính toán đáng kể. Tuy nhiên, điều quan trọng cần lưu
ý trong DWT là mối quan hệ giữa đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp và thông cao.
Chúng có mối quan hệ như sau:
Trong đó, L là chiều dài của bộ lọc (số điểm tín hiệu).
Các bộ lọc thỏa mãn điều kiện trên được dùng phổ biến trong xử lý tín hiệu, và được gọi
là các bộ lọc đối xứng vuông góc (Quadrature Mirror Filters). Hoạt động lọc và
subsample được mô tả toán học lại như sau:
Hình 3.1
Việc tổng hợp lại tín hiệu ban đầu rất đơn giản vì các bộ lọc nửa băng tần đều có tính
trực giao, quá trình tổng hợp tương tự như trên nhưng theo thứ tự ngược lại. Khi đó,
công thức tổng hợp tín hiệu tại mỗi mức được mô tả như sau:
Phép biến đổi Wavelet được ứng dụng rất nhiều trong xử lí hình ảnh, bởi hình ảnh có độ
phân giải rất cao, và rất tốn không gian bộ nhớ. Kết hợp với mã hóa, Wavelet đạt được
hiệu quả cao trong nén dữ liệu, ví dụ như JPEG 2000.
Biến đổi Wavelet bắt đầu được áp dụng trong truyền thông tin mà Wavelet OFDM là

một công nghệ mạnh được hãng Panasonic áp dụng trong HD-PLC. Wavelet OFDM đã
được IEEE 1901 coi là một chuẩn.