SKKN Các dạng toán trắc nghiệm ứng dụng tích phân trong tính thể tích khối tròn xoay

I. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ
thông là đổi mới phương pháp dạy học, phương pháp kiểm tra đánh giá. Việc
đổi mới phương pháp dạy học và phương pháp kiểm tra đánh giá mơn Tốn hiện
nay là nhằm phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh trong việc
tiếp thu kiến thức qua đó khai thác vận dụng những kỹ năng để giải toán.
Trong thời gian qua, việc Bộ giáo dục chuyển hình thức kiểm tra mơn
tốn từ tự luận sang trắc nghiệm khiến cho khơng ít giáo viên và học sinh gặp
khó khăn trong q trình giải bài tập. Qua q trình giảng dạy ở trường phổ
thơng bản thân tơi cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp
dạy nhiều đối tượng học sinh từ yếu, trung bình đến bồi dưỡng học sinh khá;
song, tơi nhận thấy rằng việc chuyển từ cách giải một bài toán từ tự luận sang
trắc nghiệm làm cho học sinh mất phương hướng, đặc biệt là đối với đối tượng
học sinh có học lực yếu, trung bình; để tìm ra đáp án đúng, đơi khi học sinh giải
bài tốn đó như theo hướng tự luận mất rất nhiều thời gian, trong khi, yêu cầu
bình quân mỗi câu trắc nghiệm chỉ mất tối đa là gần 2,0 phút phải cho đáp số ở
những câu hỏi dạng nhận biết.
Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầu
đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập, khơng bị động
trước các bài tốn ở mức độ nhận biết về hàm số;
Sau đây tôi xin giới thiệu một kinh nghiệm đó là: Một số dấu hiệu giải
các bài toán về hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương dạng: Cho hàm số tìm đồ
thị và ngược lại.
2. Mục đích nghiên cứu:
Tổng hợp kiến thức cơ bản về một lĩnh vực nhỏ của hàm số giúp học sinh
có học lực yếu, trung bình có thể giải được các bài tập trắc nghiệm một cách
nhanh chóng, chính xác.
3. Đối tượng nghiên cứu:
1
SangKienKinhNghiem.net

Một số dấu hiệu giải các bài toán về hàm số bậc 3, bậc 4 trùng phương
dạng: Cho hàm số tìm đồ thị và ngược lại.
4. Phương pháp nghiên cứu:
Từ lý thuyết chung về hàm số bậc 3, bậc bốn trùng phương, xây dựng hệ
thống các dấu hiệu nhận biết để giải các bài tập có liên quan.
II. NỘI DUNG
1. Cơ sở lý luận
1.1 Đối với hàm số bậc 3: y  ax 3  bx 2  cx  d
Một số vấn đề về lý thuyết
a>0
có

y'  0

a<0

y

y

hai
nghiệm
phân biệt

O

x

O

hay  y  0
/

có

y'  0

x

y

y

hai
nghiệm
kép

hay

O

x
O

x

 y/  0

2
SangKienKinhNghiem.net


vô

y'  0

y

y

nghiệm
hay  y  0

O
x

/

O

x

Chú ý: y(0) = c
Từ bảng tổng hợp trên nhận thấy:
- Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi lên
- Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi xuống
Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp số
đúng.

- y(0) = c
- Tuỳ vào PT y’=0 có nghiệm hay khơng để kết luận hàm số có hay khơng
có cực trị.
1.2. Đối với hàm số bậc 4 trùng phương: y  ax 4  bx 2  c
Một số vấn đề về lý thuyết
x  0

+) Đạo hàm: y '  4ax 3  2bx  2x 2ax 2  b , y '  0  

2
 2ax  b  0

+) Để hàm số có 3 cực trị: ab  0
a  0

- Nếu b  0 hàm số có 1 cực đại và 2 cực tiểu

a  0
hàm số có 2 cực đại và 1 cực tiểu
b  0

- Nếu 

+) Để hàm số có 1 cực trị ab  0
a  0

- Nếu b  0 hàm số có 1 cực tiểu và khơng có cực đại


3

SangKienKinhNghiem.net


a  0
hàm số có 1 cực đại và khơng có cực tiểu
b  0

- Nếu 

a>0
y '  0 có 3

a<0
y

y

nghiệm
O

phân

biệt

O

x

x

hay ab  0
y'  0

có

đúng

1

nghiệm

y

y

O

x

O

x

hay ab  0
Ngồi các dấu hiệu về cực trị, từ bảng tổng hợp trên ta nhận thấy:
- Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi lên
- Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi xuống
(hai điều trên trái ngược với hàm số bậc 3)
Từ dấu hiệu trên ta đã loại được một số phương án không phải là đáp số
đúng.

- y(0) = c
2. Thực trạng vấn đề
Ta gặp dạng bài toán: Cho hàm số: y  f (x) (bậc 3 hoặc bậc 4 trùng
phương) và 4 hình ảnh đồ thị, hãy tìm đồ thị của hàm số đã cho.
Hoặc: Cho 1 hình ảnh đồ thị và 4 hàm số, tìm hàm số có đồ thị tương ứng
Nếu giải nhanh bài toán trên theo các bước khảo sát để tìm ra đồ thị thì
quả thật mất rất nhiều thời gian.
3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3.1. Các ví dụ về hàm số bậc 3 y  ax 3  bx 2  cx  d

4
SangKienKinhNghiem.net


Ví dụ 1: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?

2

A. y  x 3  3x

1
5

B. y  x  3x
3

-2

C. y   x  2x

3

-4

D. y   x  2x
3

Từ đồ thị suy ra a>0 vậy C, D bị loại.
Vấn đề tiếp theo dựa vào đâu để chọn A hoặc B? Cả 4 hàm số đầu có đồ thị đi
qua O (tức cắt Ox, Oy tại O), nên không thể dựa vào dấu hiệu tương giao giữa
đồ thị với Ox, Oy.
Nhìn vào đồ thị, ta thấy hoành độ cực trị là -1 và 1, từ đó đáp án đúng là B
Ví dụ 2: Đồ thị hàm số y  x 3  3x  2 có dạng:
A.

B.

C.

y

y

3

3

2

2

1

1

y

-2

-1

1

2

3

-2

-1

4

1

3
x

x
-3

y

2

x
-3

D.

1

2

-3

-2

3

-1

1

2

2

3

-1

1
x

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-1

-3

-3

-4

-2

-3

-2

-1

1

2

3

Từ hàm số ta có a>0 nên A, C bị loại.
Vấn đề tiếp theo dựa vào đâu để chọn B hoặc D?
Nhìn vào 2 đồ thị B, D, chúng đều có các hồnh độ cực trị là -1 và 1, nếu
tính tung độ cực trị chắc chắn sẽ tìm được phương án đúng nhưng mất nhiều
thời gian. Để ý thấy y(0) = 2, quan sát vào B, D suy ra Đáp án đung là D
Ví dụ 3:

5
SangKienKinhNghiem.net


Đồ thị hình bên là của hàm số nào ?
2

A. y   x 3  1
B. y  2x 3  x 2

1

C. y  3x 3 1
-2

D. y  4x 3  1
Từ đồ thị ta có a<0 suy ra C bị loại

Nếu dựa vào tương giao với trục tung thì y(0) = 1 suy ra B bị loại, Cịn A và D
cả hai hàm đều khơng có cực trị.
Quan sát tương giao với trục hoành, đồ thị cắt ox tại điểm có hồnh độ x = 1,
suy ra đáp án là A.
Ví dụ 4: Đồ thị hình bên là của hàm
2

số nào ?
1
3

A. y  x 3  x 2  x

1

1
3

B. y  x 3  x 2  x  1
-2

C. y   x  3x  3x
3

2

D. y  x 3  3x 2  3x  2
Từ đồ thị ta có a>0 suy ra C bị loại,
nhận thấy y(0)=0 suy ra đáp án A
Ví dụ 5: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?
2

A. y  x  3x  3x  1
3

2

1

B. y   x 3  3x 2  1

O

1

C. y  x 3  3x  1

6
SangKienKinhNghiem.net


D. y   x 3  3x 2  1
Từ đồ thị ta có a>0, suy ra B, D bị loại.
Nếu xét y(0) = 1 đều đúng cho cả A và C suy ra không loại tiếp được
Nếu xét tương giao với Ox thì đồ thị cắt Ox tại điểm có hồnh độ khơng ngun

Trong trường hợp này ta dựa vào dấu hiệu có cực trị hay khơng có cự trị bằng
cách quan sát đồ thị và tính nhanh y’ của một trong hai hàm số A hặc C, từ đó
đáp án đúng là A.
Ví dụ 6: Cho hàm số y  ax 3  bx 2  cx  d có đồ
thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây
đúng?
A. a  0,b  0,c  0,d  0
B. a  0,b  0,c  0,d  0
C. a  0,b  0,c  0,d  0
D. a  0,b  0,c  0,d  0
Từ đồ thi suy ra a<0, vậy loại C.
Từ đồ thị suy ra hàm số có 2 cực trị và hồnh độ các điểm cực trị trái dấu
Tức y '  3ax 2  2bx  c có hai nghiệm phân biệt trái dấu ĐK là: a.c  0 do a<0 suy
ra c>0
Từ đồ thị, Ta có hồnh độ điểm uốn dương
Tức là y"  6ax  2b có nghiệm dương hay: 

b
 0 , do a<0 suy ra b>0
3a

Vậy đáp án A.
Qua một số ví dụ trên, ta có các bước nhận biết về dấu hiệu để giải
các bài tập dạng trên:
Bước 1: Xác định dấu hệ số a và dựa vào: Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị
bắt đầu đi lên. Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi xuống để loại đi các
hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp.
7
SangKienKinhNghiem.net

Bước 2: Xác định tương giao với Oy: y(0)=c, quan sát hàm số hoặc đồ thị
để loại tiếp các phương án không phù hợp
Bước 3: Xác định trên đồ thị sự tương giao với ox (nếu hoành độ điểm
tương giao x0 có giá trị nguyên) kiểm tra y( x0 )=0 cho ra đáp án đúng.
Chú ý: Nếu x0 không nguyên thì khơng xét bước 3.
Bước 4: Nếu bước 2, 3 khơng tìm được đáp án đúng khi đó ta xem xét
đến hàm số có cực trị hay khơng, kiểm tra hồnh độ các điểm cực trị từ đó cho
ra đáp án đúng.
Bước 5: Nếu các yếu tố trên vẫn chưa tìm được đáp án đúng ta chú ý đến
điểm uốn của đồ thị hàm số, từ đó cho kết luận.
3.2. Các ví dụ về hàm số bậc 4 trùng phương: y  ax 4  bx 2  c
Ví dụ 1: Đồ thị hình bên là của hàm
2

số nào ?
A. y   x 4  3x 2  1

1

B. y  x 4  2x 2  1
C. y   x 4  2x 2  1

-2

D. y  x 4  3x 2  1
Từ đồ thị nhận thấy a<0 suy ra B, D bị loại.
Từ đồ thị, nhận thấy hàm số có 3 cực trị tức a.c<0 điều này đúng cho cả A và C
vậy không tìm được phương án đúng.
Nếu dựa vào y(0)=1 đều đúng cho cả A và C nên khơng tìm được phương án

đúng.
Trong trường hợp này ta dựa vào hoành độ các điểm cực trị. Nhìn vào đồ thi,
hàm số có các điểm cực trị là: x=0, x=1, x=-1. Vậy kiểm tra nhanh PT y’=0 ta
được đáp án là C.

8
SangKienKinhNghiem.net


y

Ví dụ 2: Đồ thị hình bên là của hàm
j

số nào ?

x
-1

A. y   x 4  4x 2  1
2

B. y  x  2x  1
4

2

C. y  x 4  2x 2  1

4

D. y  x 4  4x 2 1

6

Nhìn vào đồ thi suy ra a>0, vậy loại A, D.
Nhận thấy a.c<0 đều đúng cho cả B, C vậy khơng tìm được phương án đúng.
Từ đồ thị có y(0)= -1 điều này đúng cho B, vậy đáp án là B.
y

Ví dụ 3: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?

x

A. y  x 4  2x 2  1

-1

B. y   x 4  2x 2  1

2

C. y  x 4  2x 2  1
4

D. y   x 4  2x 2  1
Từ đồ thị suy ra a<0, vậy loại A, C.

Từ đồ thị, hàm số có 3 cực trị tức a.c<0 điều này đúng cho D. Vậy đáp án là D

Ví dụ 4: Đồ thị hình bên là của hàm số

4

nào ?
A. y  x 4  3x 2

2

1
4

B. y   x 4  3x 2

2

-2
- 2

C. y   x 4  2x 2

O

2

-2

D. y   x 4  4x 2
Từ đồ thị suy ra a<0, vậy loại A.
Từ đồ thị ta có hàm số có 3 cực trị vậy a.c<0 suy ra loại C

9
SangKienKinhNghiem.net


Cả B và D đều thỗ mãn có 3 cực trị, y(0)=0 vậy dựa vào các dấu hiệu này
không chọn được phương án đúng.
Trong trường hợp này, ta dựa vào tương giao giữa đồ thị hàm số và trục hoành.
Nhận thấy, đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm có hồnh độ x=-2, x=0, x=2 điều này
chỉ có D thoả mãn. Vậy đáp án D.
Ví dụ 5: Đồ thị hình bên là của hàm
số nào ?

2

A. y  x 4  3x 2  1
1
4

-1

B. y   x 4  3x 2  1

1

O

C. y  x 4  2x 2  1

-1
-2

D. y  x 4  2x 2  1

Nhìn vào đồ thi, hàm số có 1 cực trị tức a.c  0 vậy chọn C
x4
Ví dụ 6: Đồ thị hàm số y    2x 2  1 có dạng:
4

A.

B.

C.
y

y

y

-2

y

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

x
-3

D.

-1

1

2

3

1

x
-3

-1
-2
-3

-2

-1

1

2

3

x
-3

-2

-1

1

2

3

x
-3

-2

-1

1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-3

-3

-3

2

Từ hàm số có y(0)=-1 vậy đáp án là C

Ví dụ 7: Đồ thị hàm số y   x 4  2x 2  1 có dạng:
A.

B.

C.

D.

10
SangKienKinhNghiem.net

3


y

y

y

2

2

2

2

1

1

1

1

x
-2

y

-1

1

2

x
-2

-1

1

2

x
-2

-1

1

2

x
-2

-1

1

-1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-2

2

Từ hàm số ta có:
y(0)=-1 vậy loại A, B.
a.c<0 vậy hàm số có 3 cực trị suy ra chọn D
Qua một số ví dụ trên, tuỳ vào từng bài tập khác nhau khi giải cần
kiểm tra nhanh các dấu hiệu sau:
- Kiểm tra nhanh y(0) để loại đi các hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không
phù hợp.
- Xác định dấu hệ số a và dựa vào: Khi a>0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu
đi xuống. Khi a<0, từ trái qua phải đồ thị bắt đầu đi lên để loại đi các hàm số
(hoặc đồ thị hàm số) không phù hợp.
- Xác định dấu a.c để loại đi các hàm số (hoặc đồ thị hàm số) không phù
hợp.
- Nếu các yếu tố trên không loại được hết thi khi đó nghĩ đến tương giao
của đồ thị hàm số với Ox hoặc hoành độ các điểm cực trị.
4. Hiệu quả của sáng kiến
Trong quá trình giảng dạy, khi hướng dẫn học sinh làm bài tập theo các
bước trên, đối với học sinh có học lực yếu, trung bình, các em đã tự mình phân
tích các dấu hiệu và đưa ra được đáp án đúng cho tất cả các bài tập.
III. KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
Qua hệ thống lí thuyết và một số bài tập về một lĩnh vực nhỏ của hàm số
bậc 3, hàm số bậc 4 dạng trùng phương; đó là tìm hàm số khi biết đồ thị và

11
SangKienKinhNghiem.net


ngược lại. Đối với học sinh có lực học yếu, trung bình, nếu nắm chắc các dấu
hiệu thì có thể giải quyết tốt các dạng bài tập trên.
Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tơi mà trong q trình giảng dạy tôi đã

xây dựng nên, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để
tơi có thể dạy cho học sinh chuyên đề này có hiệu quả hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn.

Nông cống, ngày 7 tháng 5 năm 2017
NGƯỜI THỰC HIỆN

NGỌ THỊ GIANG HÀ

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

Nông Cống, ngày 7 tháng 5 năm 2017

ĐƠN VỊ

Tơi xin cam đoan đây là SKKN của
mình viết, khơng sao chép nội dung
của người khác.

NGỌ THỊ GIANG HÀ

12
SangKienKinhNghiem.net