GIẢI MỘT BÀI TOÁN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO

Trường THCS Việt đồn

Tổ khoa học tự
nhiên

GIẢI MỘT BÀI TỐN QUỸ TÍCH NHƯ THẾ NÀO
NỘI DUNG
1. Định nghĩa quỹ tích.
Một hình (H) được gọi là quỹ tích của những điểm M có một tính chất
(hay tập hợp của những điểm M có tính chất
điểm có tính chất

) khi nó chứa và chỉ chứa những

.

Muốn chứng minh quỹ tích (tập hợp) các điểm M thoả mãn tính chất

là

một hình H nào đó, ta phải chứng minh hai phần:
Phần thuận: Mọi điểm có tính chất

đều thuộc hình H.

Phần đảo: Mọi điểm thuộc hình H đều có tính chất

.

Kết luận: Quỹ tích (hay tập hợp) các điểm có tính chất

là hình H.

2. Những thao tác tư duy cần thiết cho việc chuẩn bị giải một bài tốn quỹ
tích.
Việc giải một bài tốn quỹ tích về thực chất là chứng minh một dãy liên
tiếp các mệnh đề toán học. Nhưng khác với các bài tốn chứng minh hình học,
trong phần lớn các bài tốn quỹ tích, đầu tiên ta phải tìm ra cho được cái ta cần
phải chứng minh. Những thao tác tư duy chuẩn bị sẽ giúp ta định hướng được
suy nghĩ, hình dung ra được quỹ tích cần tìm là một hình như thế nào và trong
một chừng mực nào đó, nó giúp ta biết phải chứng minh phần thuận, phần đảo,
giới hạn v.v. như thế nào? Dưới đây tơi xin trình bày kĩ những thao tác tư duy
chuẩn bị cơ bản nhất.
2.1 Tìm hiểu kĩ bài tốn
Tìm hiểu kĩ bài tốn tức là nắm chắc được những yếu tố đặc trưng cho bài
tốn. Trong một bài tốn quỹ tích thường có 3 loại yếu tố đặc trưng:
a) Loại yếu tố cố định: thông thường là các điểm.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
-1-


b) Loại yếu tố không đổi: như độ dài đoạn thẳng, độ lớn của góc, diện tích
hình v.v...
Các yếu tố cố định hoặc không đổi thường được cho đi kèm theo các nhóm từ
“cố định”, “cho trước”, “khơng đổi”.
c) Loại yếu tố thay đổi: thông thường là các điểm mà ta cần tìm quỹ tích
hoặc các đoạn thẳng, các hình mà trên đó có điểm mà ta cần tìm quỹ tích.
Các yếu tố thay đổi thường cho kèm theo nhóm từ: “di động”, “di
chuyển”, “chạy”, “thay đổi” v.v....
Ví dụ 1: Cho một góc vng xOy cố định và một đoạn thẳng AB có độ dài cho

trước; đỉnh A di chuyển trên cạnh Ox, đỉnh B di chuyển trên cạnh Oy. Tìm tập
hợp các trung điểm M của đoạn thẳng AB.
Trong bài tốn này thì:
+ Yếu tố cố định: Đỉnh O của góc xOy.
+ Yếu tố khơng đổi: độ dài đoạn thẳng AB.
+ Yếu tố thay đổi: điểm A, điểm B và do đó kéo theo trung điểm M của
AB cũng thay đổi.
Cần chú ý là trong một bài tốn có thể có nhiều yếu tố cố định, nhiều yếu
tố khơng đổi, nhiều yếu tố thay đổi. Do vậy, ta chỉ tập trung vào những yếu tố
nào liên quan đến cách giải của ta mà thôi.
Cũng cần biết rằng các yếu tố cố định, không đổi, thay đổi không phải lúc
nào cũng được cho một cách trực tiếp mà đôi khi phải được hiểu một cách linh
hoạt. Chẳng hạn khi nói: “Cho một đường trịn cố định...” thì ta hiểu rằng tâm
của đường tròn là một điểm cố định và bán kính của đường trịn là một độ dài
khơng đổi, hay như trong ví dụ 2 sau đây.
Ví dụ 2: Cho một đường thẳng b và một điểm A cố định khơng thuộc đường
thẳng b. Một tam giác ABC có đỉnh B di chuyển trên đường thẳng b sao cho nó
ln ln đồng dạng với chính nó. Tìm tập hợp đỉnh C.
Trong ví dụ này ta dễ dàng thấy:
+ Yếu tố cố định: đỉnh A, đường thẳng b.


+ Yếu tố thay đổi: đỉnh B, đỉnh C.
Còn yếu tố khơng đổi là gì? đó là hình dạng của tam giác ABC. Nếu dừng
lại ở khái niệm chung là hình dạng khơng đổi (tự đơng dạng) thì ta khơng thể
giải được bài toán. Do vậy, ta phải cụ thể hố giả thiết tam giác ABC ln tự
đồng dạng ra như sau:
- Các góc A, B, C có độ lớn không đổi; tỉ số các cạnh, chẳng hạn AC là một số
AB

khơng đổi.
Như vậy, việc tìm hiểu kĩ bài tốn cũng địi hỏi phải suy nghĩ, chọn lọc để
tìm được những yếu tố cố định, yếu tố không đổi, yếu tố thay đổi thích hợp, giúp
cho việc tìm ra cách giải bài tốn.
2.2 Đốn nhận quỹ tích
Thao tác tư duy đốn nhận quỹ tích nhằm giúp HS hình dung được hình
dạng của quỹ tích (đường thẳng, đoạn thẳng, cung trịn, đường trịn), nhiều khi
cịn cho HS biết cả vị trí và kích thước của quỹ tích nữa. Để đốn nhận quỹ tích
ta thường tìm 3 điểm của quỹ tích. Muốn vậy nên xét 3 vị trí đặc biệt, tốt nhất là
sử dụng các điểm giới hạn, với điều kiện vẽ hình chính xác, trực giác sẽ giúp ta
hình dung được hình dạng quỹ tích.
-

Nếu 3 điểm ta vẽ được là thẳng hàng thì có nhiều khả năng quỹ tích là
đường thẳng.

-

Nếu 3 điểm ta vẽ được là không thẳng hàng thì quỹ tích cần tìm là đường
trịn.

Ta sẽ làm sáng tỏ điều này trong ví dụ sau:
Ví dụ 3: Cho nửa đường trịn tâm O, đường kính AB=2R. Một điểm M di
chuyển trên nửa đường tròn. Nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM.
Tìm tập hợp các điểm N.
Đốn nhận quỹ tích
- Khi M  B thì BM  O do
vậy AN  O hay N  A.

Vậy A là một điểm của quỹ tích.
- Khi M đến vị trí điểm I, điểm chính giữa của cung AB, thì do AI=BI nên N  I.
Vậy I là một điểm của quỹ tích.
t'
B'

I

M

N
O

A

B

- Khi M  A thì dây cung AM đến vị trí của tiếp tuyến At với đường tròn tại điểm
A và do BM=BA nên điểm N sẽ dần đến vị trí điểm B’ trên tiếp tuyến At sao cho
AB’=AB=2R; B’ là một điểm của quỹ tích.
Do 3 điểm A, I, B’ khơng thẳng hàng nên ta dự đốn rằng điểm N sẽ nằm trên
đường trịn đi qua 3 điểm A, I, B’, tức là đường trịn đường kính AB’.
Ví dụ 4: Cho góc vng xOy. Một điểm A chạy trên Ox, một điểm B chạy trên
Oy. Người ta dựng hình chữ nhật OAMB. Tìm tập hợp điểm M sao cho chu vi
hình chữ nhật OAMB bằng một độ dài 2p cho trước.
Đốn nhận quỹ tích
y
D

M

Dễ thấy MA +MB = p
B

Khi A  O thì B  D trên Oy, mà
OD = p
Khi B  O thì A  C trên Ox,
mà OC = p.
Dự đốn tập hợp của M là
đoạn thẳng CD.

o

A

C

x


Ví dụ 5: Cho một góc vng xOy và một điểm A cố định nằm trong góc đó. Một
góc vng tAz, đỉnh A, quay xung quanh đỉnh A; cạnh At cắt Ox ở B và Az cắt
Oy ở C.
Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng BC.
Dự đốn quỹ tích

y
M1

- Khi B  O thì điểm C sẽ

dần đến vị trí điểm C1

C

thuộc Oy và điểm M đến vị

z
O

trí M1
sao cho M O=M C =M A
1

1

1

A

M
M2 B

x
t

1

 M1 nằm trên đường trung

trực của OA.

- Khi C  O thì điểm B sẽ dần đến vị trí B1 thuộc Ox và điểm M đến vị trí M2
sao cho M2O=M2B1=M2A
 M2 nằm trên đường trung trực của OA.

Dự đốn quỹ tích là đoạn M 2M1 thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA,
phần nằm trong góc xOy.
3. Giải bài tốn quỹ tích như thế nào?
Cần làm cho học sinh hiểu, giải một bài tốn quỹ tích là tiến hành chứng
minh phần thuận (bao gồm cả phần giới hạn quỹ tích) và chứng minh phần đảo.
Sau đây tôi sẽ đi sâu hơn vào các phần này.
3.1 Chứng minh phần thuận
Một trong những phương hướng để chứng minh phần thuận là đưa việc tìm
quỹ tích về các quỹ tích cơ bản. Trong chương trình học ở trường Phổ thơng cơ
sở, học sinh đã được giới thiệu các quỹ tích (các tập hợp điểm) cơ bản sau:
1) Tập hợp các điểm cách đều hai điểm cố định là đường trung trực của
đoạn thẳng nối hai điểm ấy.
2) Tập hợp các điểm cách đều hai cạnh của một góc là tia phân giác của


góc ấy.


3) Tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng b một khoảng l cho trước
là hai đường thẳng song song với đường thẳng b và cách đường thẳng
b một khoảng l.
4) Tập hợp tất cả những điểm cách một điểm cố định O một khoảng không
đổi r là đường trịn tâm O, bán kính r.
5) Tập hợp các điểm M tạo thành với hai mút của đoạn thẳng AB cho
trước một góc AMB có số đo bằng ( khơng đổi) là hai cung tròn đối
xứng nhau qua AB (gọi là cung chứa góc vẽ trên đoạn AB).

Trường hợp đặc biệt: Tập hợp các điểm M ln nhìn hai điểm cố định A,
B dưới một góc vng là đường trịn đường kính AB.
Muốn vậy, ta tìm cách thay việc tìm quỹ tích những điểm M có tính chất
bằng việc tìm quỹ tích điểm M có tính chất
thoả tính chất

’ và quỹ tích của những điểm

’ là một trong những quỹ tích cơ bản mà ta đã biết. (như vậy

’

có thể là “cách đều hai điểm cố định”; “cách một điểm cố định một đoạn không
đổi”; “ cách một đường thẳng cố định một đoạn không đổi” v.v...). Như vậy ta
thay việc xét mệnh đề M( ) bằng việc xét mệnh đề M( ’) mà M( )  M( ’)
Ví dụ 6: Cho tam giác ABC và một điểm D di chuyển trên cạnh đáy BC. Tìm
quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng AD.
Đốn nhận quỹ tích
 Nếu D  B thì M  P, mà AP=BP. P là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D  C thì M  Q, mà AQ=QC. Q là một điểm thuộc quỹ tích.
 Nếu D  H (với AH  BC tại H) thì M  I, mà IH=AH. H là một điểm
thuộc quỹ tích.
Do 3 điểm P, I, Q thẳng hàng nên ta dự đốn quỹ tích điểm M là đoạn thẳng
PQ, là đường trung bình của tam giác ABC.


A

Phân tích phần thuận
Từ M kẻ MK  BC và kẻ đường

P

cao AH của  ABC.
Dễ thấy MK=

AH
2

Q

M

.

 ABC cố định nên AH không

đổi suy ra MK không đổi.

B

D

K

H

C

- Vậy điểm M ln ln
cách BC một đoạn khơng

đổi bằng

AH

. Ta
có thể
2

thấy ở đây là:
M( ): M là trung điểm
của AD.
M( ’): M cách BC một
đoạn không đổi.
Như vậy là ta thay việc tìm quỹ tích
điểm M, trung điểm của đoạn thẳng
AN, bằng việc tìm quỹ tích của điểm
M ln cách cạnh BC một đoạn
khơng đổi bằng
AH

, mà quỹ tích này thì ta đã biết tìm,
là dạng bài tốn quỹ tích cơ bản thứ 3.
2

Ví dụ 7: Cho một tam giác cố định
ABC. Một điểm D di chuyển trên
cạnh đáy BC. Qua D người ta kẻ
đường thẳng song song với cạnh AC
cắt cạnh AB ở E và đường thẳng song
song với cạnh AB cắt cạnh AC ở F.

Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn
thẳng EF.
Phân tích phần thuận
A


-

Vì F
DF//AEQvà

P
M
E

DE//AF
nên

B
D
C

tứ

giác
AEDF

là

hình bình

hành, hai
đường
chéo

EF

và

AD

giao nhau
tại

trung

điểm, vậy
M là trung
điểm

của

EF cũng là
trung điểm
của

AD.

Bài

tốn

được đưa
về

việc

tìm

quỹ

tích

của

trung điểm
M

của

đoạn
thẳng AD.

Tính chất ở đây là: M( ) 
M là trung điểm của EF.


-

Tính chất ’ ở đây là: M( ’)  M là trung điểm của AD.
Và ta đã thay việc tìm quỹ tích trung điểm của EF bằng việc tìm quỹ tích

trung điểm của AD, mà quỹ tích này thì ta đã có cách đưa về quỹ tích cơ bản
trong ví dụ 6.
Cần lưu ý là khi thay các điểm M( ) bằng các điểm M( ’) mà M( )
 M(

’) thì tập hợp các điểm M( ) chỉ là một tập hợp con (một bộ phận) của

tập hợp các điểm M( ’), như trong ví dụ 6 tập hợp các điểm M( ’) là hai
đường thẳng song song và cách đường thẳng BC một đoạn AH , còn tập hợp các
2

điểm M(

) là đường trung bình PQ song song với cạnh BC của tam giác ABC

mà thôi.
Trong nhiều trường hợp ta không thành công trong việc đưa về các quỹ tích
cơ bản mà nhờ vào thao tác dự đốn quỹ tích ta thấy quỹ tích có thể là một
đường cố định nào đó. Trong trường hợp này ta tìm cách chứng minh hình chứa
các điểm của quỹ tích là một hình cố định.
Ví dụ 8: Cho nửa đường trịn đường kính AB và một điểm P di động trên nửa
đường tròn. Tiếp tuyến tại P cắt đường thẳng song song với AP, kẻ từ tâm O của
nửa đường tròn, tại điểm M. Tìm tập hợp các điểm M.
t M

Phân tích phần thuận
Nối MB; do OM//AP nên
O1  A (đồng vị)

P

O2  P1 (so le trong)

Mặt

khác

OA=OP)

A  P1

1
2

(vì

1
A

Vậy O1  O2
O1  O2 


OP  OB   OPM  OBM
OM chung 

O

B

 OBM  OPM

mà OPM  900 (góc giữa tiếp tuyến với bán kính đi qua tiếp
điểm). Vậy OMB  900  BM  AB
AB cố định, điểm B cố định mà MB 
AB  M luôn chạy trên tia At vng góc
với AB tại B.
Qua các ví dụ trên đây, ta thấy để
tiến hành việc chứng minh phần thuận,
ta cần tìm ra cho được mối liên hệ giữa
điểm cần tìm tập hợp với các điểm cố
định, tìm cách sử dụng các yếu tố không
đổi và việc biểu diễn các liên hệ đó.
-

Nếu trong đầu bài có một điểm
cố định, ta có thể nghĩ đến tập
hợp điểm cần tìm là một đường
trịn.

-

Nếu trong đầu bài có hai điểm cố
định A, B thì ta nối điểm cần tìm
tập hợp M với A, B và thử tính
góc AMB hoặc thử chứng minh
MA=MB.

-

Nếu trong đầu bài xuất hiện
một đường thẳng cố định thì ta
thử tính khoảng cách từ điểm cần
tìm quỹ tích đến đường thẳng cố
định ấy.

-

Nếu trong đầu bài xuất hiện hai
đường thẳng song song thì hãy
liên tưởng đến tập hợp các điểm
cách đều hai đường thẳng song


so

đo

đ

ng

ạn

ị

O

Ví dụ

th

n

P

9: Cho

ẳn

h

một

g

,

đường

P

trịn

N.

tâm O,

Ph
ân
tíc
h
ph
ần
th
uậ
n

bán
kính R
và một
điểm P
ở
ngồi

P

đường
trịn,

c

một

ố

điểm
N

c
ũ

s

n

u

g

y
c
r

ố

a
đ
t

ị

r

n

u

h

n

.

g
di

chuyể
n trên
đường
trịn.

N

đ
ị
n
h
,

đ

ố

i

i

ể
m

Tìm
tập

I
M

O

I

.

c

T

ủ

r

a

o

hợp
trung
điểm

M của

c
ố


n

kí1
nh R .

g

2

N
M

t
P

a
m
g
i
á
c
P
O
N

t
h
ì
IM=

1
1

ON 
R

=khơng
đổi.
2
2

- Vậy M
thuộc
đường
trịn
tâm I
bán

I

O


Trong nhiều bài tập, khi chứng minh phần thuận, ta tìm được hình (H’)
chứa các điểm M có tính chất , nhưng do những điều kiện hạn chế khác của

bài tốn, tập hợp các điểm M cần tìm là hình (H) chỉ là một bộ phận của hình
(H’). Trong trường hợp này, ta phải thức hiện thêm một công việc nữa: giới hạn
quỹ tích.
Có nhiều cách nhìn nhận vị trí của phần giới hạn quỹ tích. Ta có thể coi
phần giới hạn là một bộ phận của việc chứng minh phần thuận. Ta cũng có thể
đặt phần giới hạn vào phần đảo, hoặc tách phần giới hạn thành một phần riêng
biệt, ngang với phần thuận và phần đảo.
Trong quá trình dạy học sinh, tôi đặt giới hạn vào trong phần thuận. Làm như
vậy sẽ tránh được việc chọn nhầm phải những điểm khơng thuộc quỹ tích khi
tiến hành chứng minh phần đảo. Thơng thường, ta tìm các điểm giới hạn của quỹ
tích bằng cách xét các điểm của quỹ tích trong các trường hợp giới hạn, như
trong ví dụ sau:
Ví dụ 10: Cho một góc vng xOy, đỉnh O. Trên cạnh Ox có một điểm A cố
định và trên cạnh Oy có một điểm B cố định. Một điểm C thay đổi di chuyển
trên đoạn thẳng OB. Gọi H là hình chiếu của điểm B trên tia AC. Tìm tập hợp
các điểm H.
Giải
1) Phần thuận.
Vì H là hình chiếu của B trên

y
B

AC nên BH  AC  BHA  90

0

Hai điểm A, B cố định. Điểm H
ln ln nhìn hai điểm A, B dưới

H
C

một góc vng nên H nằm trên
O

đường trịn đường kính AB.

Chú ý: Đường trịn này cũng đi
qua đỉnh O của góc vng xOy.

A

x


Giới hạn: Vì điểm C di chuyển trong đoạn OB nên điểm H khơng thể di
chuyển trên cả đường trịn đường kính AB. Ta phải tìm giới hạn.
 Khi điểm C đến vị trí điểm B thì điểm H cũng đến vị trí điểm B.
 Khi điểm C đến vị trí điểm O, đầu mút của đoạn thẳng OB, thì điểm H
cũng đến vị trí điểm O.
- Vậy khi điểm C di chuyển trên đoạn OB thì điểm H di chuyển trên cung
OHB của đường trịn đường kính AB.
Như vậy, để tìm giới hạn quỹ tích điểm C, vì điểm C chỉ di chuyển trong
đoạn thẳng OB nên ta xét các điểm của quỹ tích khi điểm C dần đến các đầu nút
của đoạn thẳng OB, tức là khi C  B và khi C  O.
Ví dụ 11: Cho một hình vng cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
MAB  PCB.

Tìm tập hợp các điểm M.
Phần thuận

D

C

Ta có: MAB  PCB
P1  P2 (đối đỉnh)
 MAB  P2

 900

 PCB  P1

A

P 1
2

B

M

 AMP  90 hay AMC  90
0

0

Điểm M nhìn hai điểm cố định A,C dưới một góc vng nên M nằm trên đường

trịn đường kính AC (cũng là đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD).
Giới hạn. Khi P  B thì M  B
Khi P  A thì M  A
Vậy M chỉ di chuyển trên cung nhỏ AB thuộc đường trịn đường kính AC.
Qua các ví dụ trên đây, như ví dụ 10, ta thấy hình (H) tìm được trong khi
chứng minh phần thuận (đường trịn đường kính AB) chứa tất cả những điểm
nhìn hai điểm cố định A, B dưới một góc vng nhưng chỉ có những điểm thuộc


cung OHB mới là hình chiếu của điểm B trên tia AC mà thơi. Việc tìm giới hạn
giúp chúng ta loại bỏ được những điểm khơng thuộc về quỹ tích cần tìm.
3.2 Chứng minh phần đảo
Thơng thường điểm di động cần tìm quỹ tích M phụ thuộc vào sự di động
của một điểm khác, điểm P chẳng hạn. Trong phần đảo ta làm như sau: Lấy một
vị trí P’ khác của P và ứng với nó ta được điểm M’ trên hình H mà trong phần
thuận ta đã chứng minh được đó là hình chứa những điểm M có tính chất

. Ta

sẽ phải chứng minh M’ cũng có tính chất .
Ví dụ 10:
2) Phần đảo.
Lấy một điểm C’ bất kì trên đoạn OB.

y
B

Nối AC’ và tia AC’ cắt cung OHB tại
H'

một điểm H’. Nối BH’ góc BH’A là
góc nội tiếp trong nửa đường tròn nên
BH ' A  900  BH '  AC' H '

là hình

H

C'

C

O

A

x

chiếu của điểm B trên tia AC’.
 Kết luận: Tập hợp các hình chiếu H của điểm B trên tia AC là cung OB
thuộc đường trịn đường kính AB (phần thuộc nửa mặt phẳng khơng chứa
tia Ox, bờ là đường thẳng Oy).
Ví dụ 11: Cho một hình vng cố định ABCD và một điểm P di động trên cạnh
AB. Trên tia CP và bên ngoài đoạn thẳng CP ta lấy một điểm M sao cho:
MAB  PCB.

Tìm tập hợp các điểm M.
Phần đảo

D

C

Lấy một điểm P’ bất kì thuộc cạnh
AB của hình vng. Tia CP’ cắt
cung nhỏ AB của đường trịn đường
kính AC tại điểm M’.

P' 1
A

2

M'

B


Ta có

AM 'C  900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và P'

 P'2
1

suy ra M ' AB
 P'CB



Kết
luận:
Tập
hợp
các
điểm
M là
cung
AB
(khơn
g
chứa
đỉnh
C)
của
đườn
g trịn
ngoại
tiếp
hình
vn
g
ABC
D.
Lưu
ý:
Tuy
vậy,

t

minh phần đảo bằng cách lấy một điểm M’

Giíi h¹n:

r

thuộc hình (H), ứng với nó ta có một vị trí

V× ®iÓm A

o

khác của các yếu tố chuyển động mà M’ phụ

chØ ch¹y

n

thuộc, sau đó ta chứng minh trong những điều

trên Ox,

g

kiện ấy M’ có tính chất . Chúng ta sẽ xột vớ d

điểm B chỉ

c th sau õy.

chạy trờn

n

Vớ d 12: Cho một góc vng xOy. Một điểm A chạy

Oy và đoạn

h

trờn cnh Ox, mt im B chy trờn cnh Oy sao

th¼ng AB

i

cho độ dài đoạn thẳng AB ln bằng một đoạn l cho

chØ di

ề

trước. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB.

chun

u

trong gãc

G

xOy nên ta

iải

ph¶i giíi

b

Phần thuận:

à

Nối OI. Tam

y B0
B'

i

giỏc AOB

B
II'

t

vuụng m

o

OI l

,
t
a
c
h

n
g

-

I

O

A'A

I0

x
A0

Khi
điểm

A
đến

trung

trựng
với

tuyn

điểm
O

nờn
OI

tích.

1

ỏ
n

hạn quỹ

1
2

AB

l

= khụng đổi. Điểm O cố

2

định, điểm I cách điểm O một on
khụng
i

l

nờn I nm trờn ng
2

thì
điểm
B
đến
vị
trí

l

trũn tõm O bỏn kớnh .
2

Bo và
điểm

I
đ
ế
n
v
ị
t
r
í
I
1

t
r
u
n
g
đ
i
ể
m
c
ủ
a
đ
o
ạ
n

-

Khi điểm B đến trựng với điểm O thì điểm
A đến vị trí Ao và điểm I đến vị trí I0 trung
điểm của đoạn thẳng OA0.


Trng THCS Vit on

T khoa hc t
- Vậy khi đoạn thẳng AB di chuyển trong góc xOy thìnhiờn
điểm I nằm trờn cung tròn
I0I1 thuộc đờng tròn tâm O bán kính

l
2

, tức là cung phần tư đường trịn nằm

trong góc xOy.
Phần đảo: Lấy điểm I’ thuộc cung phần tư I0I1. Quay cung trịn tâm I’, Bán
kính

l
2

Ta có

, cắt Ox ở A và Oy ở B’.
OI ' A' cân nên I 'OA'  I ' A'O

Do vậy

OI ' A'  1800  2I 'OA'
Tương tự OI ' B'  1800  2I 'OB'
 OI ' A'OI ' B'  3600  2.900  1800

I ' A'  I ' A' 

Suy ra ba điểm A’, I’, B’ thẳng hàng. Ta lại có

l
2  A' B'  l và I’ là

trung điểm của A’B’.
 Kết luận: Quỹ tích trung điểm I của đoạn thẳng AB là cung I0I1 thuộc
đường tròn tâm O, bán kính

l
2

(phần nằm trong góc xOy).

Ví dụ 13: Cho một góc vuông xOy, hai điểm A, B cố định trên cạnh Ox và một
điểm M di động trên cạnh Oy. Đường thẳng vng góc với MA kẻ từ A cắt
đường thẳng vng góc với MB kẻ từ B tại điểm N. Tìm tập hợp các điểm N.
Giải
Phần thuận.
- Kẻ NH  Ox.
Gọi I là trung điểm đoạn thẳng MN.

z

y

1

Do IA=IB(= MN) nên I nằm trên
2

N

I

M

trung trực của đoạn thẳng AB. Nếu
gọi K là trung điểm của AB thì

O

A

K

BHx

IK  AB.

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường

- 20 -


Trường THCS Việt đồn

Tổ khoa học tự

Ta l¹i cã IK//OM//NH mà I là trung điểm của MNnhiờn
nờn K là trung ®iĨm cđa

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
- 21 -


Trng THCS Vit on

OH OH=2OK=không đổi. Vậy điểm N di

T khoa hc t
chuyểnnhiờn
trờn tia Hz vuông gúc

với

cạnh Ox tại điểm H sao cho OH=2OK.
Phần đảo.
Lấy điểm M trờn Oy, nối MA. Đờng vuông gúc với MA kẻ từ A cắt tia Hz
tại N. Nối NB và Mb.
Ta cần chứng minh: NB MB
Gọi I là trung điểm của MN.

Ta có:

1
I ' A  ' 2M ' N

(1) (I’A lµ trung tuyến ứng với cạnh huyền MN của tam

giỏc vuông MAN)
Mặt khỏc I là trung điểm của MN, K là trung điểm của OH nờn IK//MO
IK AB mà K là trung điểm của AB nờn IK là đờng trung trùc cña AB, cho

ta

I’A=I’B
Từ

(2)

(1) và (2)
=I’M’=I’N’

suy

ra

1
I ' B  ' 2M ' N

z

y

N'

I'

Hay tam giác M’BN’ vng góc tại
B. Vậy N’B  M’B

'

M
O

A

K

BH

x

 Kết luận: Tập hợp các điểm N là tia Hz nằm trong góc xOy, vng góc với
cạnh Ox tại điểm H, sao cho OH=2OK (K là trung điểm của đoạn thẳng
AB).
Lưu ý: Trong bài toán này, liên hệ giữa hai điểm M và N phải thông qua
các giả thiết: M  Oy, MAN  1v, MBN  1v và N là giao điểm của hai
đường vuông góc kẻ từ A với MA, kẻ từ B với MB. Do vậy ta phải chọn
một trong ba phương hướng sau đây để chứng minh phần đảo:
 Chứng minh M’ Oy

 Chứng minh M ' AN '  900

Giáo viên: Trần Thị Thanh Hường
- 22 -


 Chứng minh M ' AN '  900
- Nếu chú ý rằng cách dựng các điểm M, N là như nhau thì ngay từ đầu ta đã
có thể dự đoán tập hợp của N phải là một tia tương tự như Oy và trong khi
chứng minh phần đảo, sau khi lấy một điểm N’ Hz, và dựng lại điểm M’, giao
điểm của các đường vng góc với N’A kẻ từ A với đường vng góc với N’B
kẻ từ B, thì việc chứng minh M’Oy có thể được lặp lại y hệt như phần thuận.
Như vậy, việc lựa chọn giả thiết để xây dựng “kế hoạch” chứng minh phần
đảo là rất quan trọng. Nếu khéo chọn, nhiều khi sẽ giảm bớt được các khó khăn
trong việc chứng minh và có thể cho ta những lời giải hay.

Tổng quát: khi chứng minh phần đảo của bài tốn quỹ tích, sau khi lấy
điểm M bất kì thuộc hình vừa tìm được, ta phải chứng minh rằng điểm M
có tính chất T nêu trong đề bài. Tính chất T này thường được tách làm hai
nhóm tính chất T1 và T2. Ta dựng các điểm chuyển động cịn lại thoả mãn
tính chất T1 rồi chứng minh M và các điểm ấy thoả mãn tính chất T 2. Như
thế, tuỳ theo cách chia nhóm T 1 và T2 mà có nhiều cách chứng minh đảo
đối với cùng một bài toán.