HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN docx

TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG

Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng
Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn

Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1)
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ ĐỀ-CÁC TRONG KHÔNG GIAN
. x’Ox: trục hoành
. y’Oy: trục tung
. z’Oz: trục cao
. O : gốc tọa độ
.
1 2 3
, ,
e e e

: véc tơ đơn vị
1 2 3
/
( ; ; )
đ n
M x y z OM xe xe xe
   

  

1
/
2 3 1 1 2 2 3 3

( ; ; )
đ n
a a a a a a e a e a e
   

 
  


II. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ TỌA ĐỘ ĐIỂM VÀ TỌA ĐỘ VÉC TƠ
* Định lý 1: Nếu
1 2 3
( ; ; )
a a a a


và
1 2 3
( ; ; )
b b b b


,
( )
k



1,
1 1

2 2
3 3
a b
a b a b
a b



  




 

2,
1 1 2 2 3 3
( ; ; )
a b a b a b a b
    
 

3,
1 1 2 2 3 3
( ; ; )
a b a b a b a b
    
 

4,

1 2 3
. ( ; ; )
k a ka ka ka



5,
2 2 2
1 2 3
a a a a
  


6,
a

cùng phương
b

!k
  

sao cho
.
a k b

 

1 1
2 2 1 2 3 1 2 3

3 3
: : : :
a kb
a kb a a a b b b
a kb



   





Nếu
0
a

 
thì số k trong
trường hợp này được xác định
như sau:

+) k > 0 khi
a

cùng hướng
b


+) k < 0 khi
a

ngược hướng
b


a
k
b




* Định lý 2: Cho
( ; ; )
A A A
A x y z
,
( ; ; )
B B B
B x y z
,
( ; ; )
C C C
C x y z

1,
( ; ; )
B A B A B A

AB x x y y z z
   

2,
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
AB AB x x y y z z
      


3, Điểm chia đoạn thẳng theo tỷ số k: Điểm M được gọi là chia đoạn AB theo tỷ
số k
( 1)
k

nếu như:
.
MA k MB

 

Nếu A (x
A
, y
A
, z
A
), B (x
B

, y
B
, z
B
) và
.
MA k MB

 

( 1)
k

thì
. . .
; ;
1 1 1
A B A B A B
M M M
x kx y ky z kz
x y z
k k k
  
  
  

Đặc biệt: M là trung điểm của AB
; ;
2 2 2
A B A B A B

M M M
x x y y z z
x y z
  
   

4, A, B, C thẳng hàng khi
AB

cùng phương
AC


* Định lý 3: Tích vô hướng của 2 véc tơ
1 2 3
( ; ; )
a a a a


,
1 2 3
( ; ; )
b b b b


là:
1,
1 1 2 2 3 3
.
a b ab a b a b

  
 
2,
. . .cos( , )
ab a b a b

     

+)
. 0
a b a b
  
   
+)
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
.
cos( , )
.
.
a b a b a b
ab
a b
a b
a a a b b b
 
 
   
 

 
 

* Định lý 4: Tích có hướng của 2 véc tơ:
1 2 3
( ; ; )
a a a a


,
1 2 3
( ; ; )
b b b b


là:
3 32 1 1 2
3 32 1 1 2
; ; ;
a a
a a a a
ab
b b
b b b b

 
 

 
 

 
 



TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG

Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng
Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn

Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1)
+) Nếu
a

cùng phương
b


; 0
a b
 
 
 
  
+)
,
sin( , )
.
a b
a b

a b
 
 

 
 
 

* Định lý 5: Các ứng dụng:

1,
1
;
2
ABC
S AB AC

 

 
 

2,
;
hbhABCD
S AB AD
 

 
 

3,
1
; .
6
ABCD
V AB AC AD
 

 
  


4,
' ' ' '
; . '
ABCDA B C D
V AB AD AA
 

 
  


5,
, ,
a b c
  
đồng phẳng
; . 0

a b c
 
 
 
  

6,
a

cùng phương
, . 0
b a b c
 
 
 
   

7,
;
a b
a b c
a c



 


 




 
  
 


III. PHƯƠNG TRÌNH CÁC ĐƯỜNG, MẶT TRONG KHÔNG GIAN
1. Phương trình mặt cầu
a. Phương trình tổng quát: x
2
+y
2
+z
2
+2Ax+2By+2Cz+D=0 điều kiện A
2
+B
2
+C
2
-D>0
Tâm I(-A, -B, -C), Bán kính R=
DCBA 
222

b. Phương trình chính tắc: (x - x
0
)
2

+ (y - y
0
)
2
+ (z-z
0
)
2
= R
2
Tâm I(x
0
;y
0
;z
0
), bán kính R
2. Phương trình mặt phẳng
a. Phương trình tổng quát: Ax + By + Cz + D = 0 (A
2
+B
2
+C
2


0)
Véc tơ pháp tuyến (véc tơ nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) ký hiệu
n


(A;B;C)
b. Phương trình tham số:








sctczz
sbtbyy
sataxx
210
210
210
với s, t là tham số
Có 2 véc tơ chỉ phương (nằm trên mặt phẳng hoặc nằm trên đường thẳng // với mặt phẳng,
chúng không cộng tuyến nhau) ký hiệu
);;();;;(
22221111
cbaucbau



3. Phương trình đường thẳng
a. Phương trình tổng quát:






0
0
2112
1111
DzCyBxA
DzCyBxA
Véc tơ chỉ phương


21
,nnu




với


1111
;; CBAn

,


2221
;; CBAn


b. Phương trình tham số








ctzz
btyy
atxx
0
0
0
Véc tơ chỉ phương


cbau ;;

và điểm


000
;; zyxM

thuộc đường thẳng, t là tham số


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG

Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng
Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn

Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1)
c. Phương trình chính tắc:
c
zz
b
yy
a
xx
000





Véc tơ chỉ phương


cbau ;;

và điểm


000
;; zyxM
thuộc đường thẳng

IV. BÀI TẬP LẬP PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU
2. Những mặt cầu đặc biệt
a. Mặt cầu có tâm I(x
0
;y
0
;z
0
) đi qua A(x
A
;y
A
;z
A
) PT : (x-x
0
)
2
+(y-y
0
)
2
+(z-z
0
)
2
={(x
A
-x
0

)
2
+(y
A
-y
0
)
2
+ (z
A
-z
0
)
2
}
2

b. Mặt cầu chùm
+) Mặt cầu qua giao của 1 mặt phẳng và 1 mặt cầu khác
m(ax + by + cz + d) + n(x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D) = 0 với n
2
+ m
2
0



+) Mặt cầu qua giao của 2 mặt cầu khác
m(x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2A
1
x + 2B
1
y + 2C
1
z + D
1
) + n(x
2
+ y
2
+ z
2
+ 2Ax + 2By + 2Cz + D) = 0 với n
2
+m
2
0


c. Mặt cầu có đường kính A(x
A
;y
A
;z
A
), B (x
B
;y
B
;z
B
)
Phương trình : (x-
2
BA
xx 
)
2
+(y-
2
BA
yy 
)
2
+(z-
2
BA
zz 
)

2
=
4
)()()(
222
ABABAB
zzyyxx 


d. Mặt cầu biết tâm I(x
0
;y
0
;z
0
), tiếp xúc mặt phẳng (P) Ax+By+Cz+D=0
Phương trình : (x - x
0
)
2
+ (y - y
0
)
2
+ (z - z
0
)
2
=
2

222
000










CBA
DCzByAx

II. BÀI TẬP
A. Mặt cầu liên quan tới đường tròn
1. Xác định tâm và bán kính đường tròn có phương trình





0922
100
)1()2()3(
222
zyx
zyx

2. ĐH khối A năm 2009: Cho (P): 2x-2y-z-4 = 0 và (S): x
2
+y
2
+z
2
– 2x – 4y -6z – 11 = 0. Xác
định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn tạo bởi (P) cắt (S)
3. Cho đường tròn C:






0122
017664
222
zyx
zyxzyx
, (Q): x + y + z + 3 = 0. Lập (S) tâm
thuộc (Q), chứa C
B. Mặt cầu có tâm thuộc một đường thẳng và tiếp xúc với hai mặt phẳng
4. Cho d:


2
1
1
1

2




zyx
, (P): x + y - 2z + 5 = 0, (Q): 2x - y + z + 2 = 0. Lập (S) tâm thuộc d
và tiếp xúc (P), (Q)
5. Cho d:
2
3
1
2
2
1





zyx
, (P
1
): 2x - y - z - 6=0, (P
2
): 2x + y + 2z - 1=0. Lập phương trình mặt
cầu có tâm thuộc d và tiếp xúc với (P
1
), (P
2

)


TRUNG TÂM BỒI DƯỠNG VĂN HÓA HẢI PHÒNG

Địa chỉ: Số 15 Điện Biên Phủ, P. Máy Tơ, Q Ngô Quyền,Tp. Hải Phòng
Điện thoại: 031.3.652679 Hotline: 0989.991.243 Website: luyenthihaiphong.edu.vn

Thầy Lưu Trọng Đại (0912281198) Hình học giải tích trong không gian (Bài 1)
6. Cho (R
1
): 2x + 4y - z - 7=0, (R
2
): 4x + 5y + z - 14=0, (P): x + 2y - 2z - 2=0, (Q): x + 2y - 2z + 4 = 0. Lập
(S) tâm thuộc giao tuyến của (R
1
) và (R
2
) và tiếp xúc (P), (Q)
C. Lập phương trình mặt cầu khác
7. D:


1
1
2
3
1 zyx





, (P): 2x+y-2z+2=0.Lập (S) tâm thuộc D, tiếp xúc (P) và bán kính = 1

8. Cho đường thẳng (d)


1
2
2
1
1




zyx
, (P): 2x - y - 2z - 2=0. Lập (S) tâm thuộc d, cách (P)
1 khoảng = 3 và mặt cầu này cắt (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính = 3
9. I(2;3;-1); D:





0843
020345
zyx
zyx
. Lập (S) tâm I sao cho (S) cắt D tại A, B sao cho AB=16

10. I(1;2;-2), (P): 2x + 2y + z + 5=0. Lập (S) tâm I sao cho giao tuyến của mặt cầu và (P) là
đường tròn có chu vi=8


11. Cho (P):
6
x - y + 3z - 4=0. Viết phương trình mặt cầu đối xứng với mặt cầu có tâm là gốc
toạ độ và tiếp xúc với (P) qua (P)
12. Lập phương trình mặt cầu qua A(1;2;-4), B(1;-3;1), C(2;2;3) tâm thuộc Oxy
13. Lập phương trình mặt cầu qua 2 điểm A(3;-1;2), B(1;1;-2) và tâm thuộc Oz
14. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1;3) tiếp xúc Oxy
15. Lập phương trình mặt cầu có tâm I(1;4;-7) tiếp xúc (P): 6x + 6y - 7z + 42 = 0.
16. ĐH khối D năm 2012: Cho (P): 2x + y – 2z + 10 = 0 và điểm I(2;1;3). Viết phương trình cầu
tâm I và cắt (P) theo một đường tròn có R=4.
17. ĐH khối A, A1 năm 2012: Cho d:
1 2
1 2 1
x y z
 
 
và điểm I(0;0;3). Viết phương trình mặt
cầu tâm I và cắt d tại 2 điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông tại I.
18. ĐH khối B năm 2012: Cho d:
1
2 1 2
x y z

 

và điểm A(2;1;0), B(2;3;2). Viết phương trình

mặt cầu đi qua 2 điểm A, B và có tâm thuộc d.
19. ĐH khối A năm 2010: Cho A(0;0;-2) và

:
2 2 3
2 3 2
x y z
  
 
. Tính khoảng cách từ A
đến

. Viết phương trình mặt cầu tâm A cắt

tại 2 điểm B và C sao cho BC = 8.
20. CĐ khối A, B, D năm 2010: Cho A(1;-2;3), B(-1;0;1) và (P): x + y + z + 4 = 0. Tìm tọa độ
hình chiếu vuông góc của A trên (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có
6
AB
R 
, có tâm thuộc
đường thắng AB và (S) tiếp xúc với (P).