Tuyển tập bất đẳng thức pptx

Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
1
PHẦN I: LUYỆN TẬP CĂN BẢN


I. Chứng minh BðT dựa vào ñịnh nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
 
≥
 
 
3
3 3
a b a b
2 2

2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2
a b a b
2 2

3. Cho a + b ≥ 0 chứng minh:
+ +
≥
3 3
3
a b a b

2 2

4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a

5. Chứng minh: Với a ≥ b ≥ 1:
+ ≥
+
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b

6. Chứng minh:
( )
+ + + ≥ + +
2 2 2
a b c 3 2 a b c
; a , b , c ∈ R
7. Chứng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e

8. Chứng minh:

+ + ≥ + +
2 2 2
x y z xy yz zx

9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3

b. Chứng minh:
+ + + +
 
≥
 
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3

10. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4

11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b

12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz

13. Chứng minh:
+ + + ≥ − + +
4 4 2 2
x y z 1 2xy(xy x z 1)

14. Chứng minh: Nếu a + b ≥ 1 thì:
+ ≥
3 3
1
a b
4

15. Cho a, b, c là số ño ñộ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca ≤ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).

b. abc ≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)
c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0





II. Chứng minh BðT dựa vào BðT CÔSI:


1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥

(a b)(b c)(c a) 8abc ; a,b,c 0

2. Chứng minh:
+ + + + ≥ ≥
2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0

3. Chứng minh:
( )( )( )
( )
+ + + ≥ +
3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
với a , b , c ≥ 0
4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
   
   
m m
m 1
a b
1 1 2
b a
, với m ∈ Z
+

5. Chứng minh:

+ + ≥ + + ≥
bc ca ab
a b c ; a,b,c 0
a b c

6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3
x y
3x y 16 ; x,y 0
4

7. Chứng minh:
+ ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
.
8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1
, a > 0
9. Chứng minh:

(
)
(
)
(
)
+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
2
10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
 
+ + ≤ + +
 
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c

11. Cho a , b ≥ 1 , chứng minh:
≥ − + −
ab a b 1 b a 1
.
12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. Chứng minh: xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( )( )

≥ − −
3
a 3 a b b c c
.
14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c ≥ 16abc.
b) (1 – a)(1 – b)(1 – c) ≥ 8abc
c)
   
+ + + ≥
   
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥
−
1
x 3
x y y

16. Chứng minh:
a)
+
≥
+
2

2
x 2
2
x 1
,∀x ∈ R b)
+
≥
−
x 8
6
x 1
, ∀x > 1 c)
+
≥
+
2
2
a 5
4
a 1

17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0
a b b c c a 2

18. Chứng minh:

+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R
19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +
a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
20. Cho a , b , c > 0. C/m:
+ + ≤
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc

21. Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + ≥
4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)
b.
+ + ≥

3
a b c 3 abc
với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s )
22. Chứng minh:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0
23. Chứng minh:
+ + ≥
3 94
2 a 3 b 4 c 9 abc

24. Cho
= +
x 18
y
2 x
, x > 0. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
25. Cho
= + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
26. Cho
= + > −
+
3x 1

y , x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
27. Cho
= + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
28. Cho
= +
−
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
29. Cho
+
=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
30. Tìm GTNN của
+ +
=
2

x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.
31. Tìm GTNN của
= +
2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)
33. Cho y = x(6 – x) , 0 ≤ x ≤ 6 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN.
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3 ≤ x ≤
5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,
− ≤ ≤
5
x 5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
−
1
2

≤

x
≤

5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
37. Cho
=
+
2
x
y
x 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
3
38. Cho
( )
=
+
2
3
2
x
y
x 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN

III. Chứng minh BðT dựa vào BðT Bunhiacôpxki

1. Chứng minh: (ab + cd)
2

≤
(a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) BðT Bunhiacopxki
2. Chứng minh:
+ ≤
sinx cosx 2

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2

≥
7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2

≥

725
47
.
5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2

≥

2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4

≥
2.
7. Cho a + b
≥
1 Chứng minh:
+ ≥
2 2
1
a b
2

Lời giải
:

I. Chứng minh BðT dựa vào ñịnh nghĩa và tính chất cơ bản:

1. Cho a, b > 0 chứng minh:
+ +
 
≥
 
 
3
3 3
a b a b
2 2
(*)
(*)
⇔

+ +
 
− ≥
 
 
3
3 3
a b a b
0

2 2

⇔

( )( )
+ − ≥
2
3
a b a b 0
8
. ðPCM.
2. Chứng minh:
+ +
≤
2 2
a b a b
2 2
()
 a + b
≤
0 , () luôn ñúng.
 a + b > 0 , ()
⇔

+ + +
− ≤
2 2 2 2
a b 2ab a b
0
4 2

⇔

( )
−
≥
2
a b
0
4
, ñúng.
Vậy:
+ +
≤
2 2
a b a b
2 2
.
3. Cho a + b
≥
0 chứng minh:
+ +
≥
3 3
3
a b a b
2 2

⇔

( )
+ +
≤
3
3 3
a b a b
8 2


⇔

( )
(
)
− − ≤
2 2
3 b a a b 0

⇔

( ) ( )
− − + ≤
2
3 b a a b 0
, ðPCM.
4. Cho a, b > 0 . Chứng minh:
+ ≥ +
a b
a b
b a

()
()
⇔

+ ≥ +
a a b b a b b a

⇔

( ) ( )
− − − ≥
a b a a b b 0


⇔

( )
(
)
− − ≥
a b a b 0

⇔

( ) ( )
− + ≥
2
a b a b 0
, ðPCM.
5. Chứng minh: Với a

≥
b
≥
1:
+ ≥
+
+ +
2 2
1 1 2
1 ab
1 a 1 b
()

⇔

+ − − ≥
+ +
+ +
2 2
1 1 1 1
0
1 ab 1 ab
1 a 1 b
⇔
( )
( )
( )
( )
− −
+ ≥

+ + + +
2 2
2 2
ab a ab b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab


⇔

(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
− −
+ ≥
+ + + +
2 2
a b a b a b
0
1 a 1 ab 1 b 1 ab

⇔

−
 

− ≥
 
+
+ +
 
2 2
b a a b
0
1 ab
1 a 1 b


⇔

( )( )
 
− + − −
≥
 
 
+
+ +
 
2 2
2 2
b a a ab b ba
0
1 ab
1 a 1 b

⇔

( ) ( )
( )
( )( )
− −
≥
+ + +
2
2 2
b a ab 1
0
1 ab 1 a 1 b
, ðPCM.
 Vì : a
≥
b
≥
1
⇒
ab
≥
1
⇔
ab – 1
≥
0.
6. Chứng minh:
( )
+ + + ≥ + +

2 2 2
a b c 3 2 a b c
; a , b , c
∈
R

⇔

( ) ( ) ( )
− + − + − ≥
2 2 2
a 1 b 1 c 1 0
. ðPCM.
7. Chứng minh:
( )
+ + + + ≥ + + +
2 2 2 2 2
a b c d e a b c d e


⇔

− + + − + + − + + − + ≥
2 2 2 2
2 2 2 2
a a a a
ab b ac c ad d ae e 0
4 4 4 4

Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy

4

⇔

       
− + − + − + − ≥
       
       
2 2 2 2
a a a a
b c d e 0
2 2 2 2
. ðPCM
8. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
x y z xy yz zx


⇔

+ + − − − ≥
2 2 2
2x 2y 2z 2xy 2yz 2zx 0


⇔

( )
( )

( )
− + − + − ≥
2 2
2
x y x z y z 0

9. a. Chứng minh:
+ + + +
≥ ≥
a b c ab bc ca
; a,b,c 0
3 3


+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca


+ + + + + + + + +
 
= ≥
 
 
2
2 2 2
a b c a b c 2ab 2bc 2ca ab bc ca
3 9 3

⇔

+ + + +
≥
a b c ab bc ca
3 3

b. Chứng minh:
+ + + +
 
≥
 
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3


(
)
(
)
+ + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 a b c a b c 2 a b c


( ) ( )
≥ + + + + + = + +

2
2 2 2
a b c 2 ab bc ca a b c


⇒

+ + + +
 
≥
 
 
2
2 2 2
a b c a b c
3 3

10. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2
2 2
a
b c ab ac 2bc
4


⇔

( )
− − + + − ≥

2
2 2
a
a b c b c 2bc 0
4

⇔

( )
 
− − ≥
 
 
2
a
b c 0
2
.
11. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2
a b 1 ab a b


⇔
+ + − − − ≥
2 2
2a 2b 2 2ab 2a 2b 0

⇔
− + + + + + + + ≥
2 2 2 2
a 2ab b a 2a 1 b 2b 1 0


⇔
( ) ( ) ( )
− + − + − ≥
2 2 2
a b a 1 b 1 0
.
12. Chứng minh:
+ + ≥ − +
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz


⇔
+ + − + − ≥
2 2 2
x y z 2xy 2xz 2yz 0
⇔ (x – y + z)
2
≥ 0.
13. Chứng minh:
+ + + ≥ − + +
4 4 2 2
x y z 1 2x(xy x z 1)

⇔
+ + + − + − − ≥
4 4 2 2 2 2
x y z 1 2x y 2x 2xz 2x 0


⇔
( )
( ) ( )
− + − + − ≥
2
2 2
2 2
x y x z x 1 0
.
14. Chứng minh: Nếu a + b
≥ 1 thì:
+ ≥
3 3
1
a b
4


° a + b ≥ 1 ⇒ b ≥ 1 – a ⇒ b
3
= (1 – a)
3
= 1 – a + a

2
– a
3


⇒ a
3
+ b
3
=
 
− + ≥
 
 
2
1 1 1
3 a
2 4 4
.
15. Cho a, b, c là số ño ñộ dài 3 cạnh của 1 tam giác. Chứng minh:
a. ab + bc + ca
≤ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
 ab + bc + ca
≤ a

2
+ b
2
+ c
2
⇔ (a – b)
2
+ (a – c)
2
+ (b – c)
2


> − > − > −
a b c , b a c , c a b


⇒
> − +
2 2 2
a b 2bc c
,
> − +
2 2 2
b a 2ac c
,
> − +
2 2 2
c a 2ab b

⇒ a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca).
b. abc
≥ (a + b – c)(a + c – b)(b + c – a)

( )
> − −
2
2 2
a a b c
⇒
( )( )
> + − + −
2
a a c b a b c


( )
> − −
2
2 2
b b a c
⇒
( )( )

> + − + −
2
b b c a a b c


( )
> − −
2
2 2
c c a b
⇒
( )( )
> + − + −
2
c b c a a c b


⇒
( ) ( ) ( )
> + − + − + −
2 2 2
2 2 2
a b c a b c a c b b c a

⇔
(
)
(
)
(

)
> + − + − + −
abc a b c a c b b c a

c. 2a
2
b
2
+ 2b
2
c
2
+ 2c
2
a
2
– a
4
– b
4
– c
4
> 0
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
5

⇔ 4a
2
b
2

+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – a
4
– b
4
– 2a
2
b
2
– c
4
> 0

⇔ 4a
2
b
2
+ 2c
2
(b
2
+ a
2
) – (a
2

+ b
2
)
2
– c
4
> 0

⇔ (2ab)
2
– [(a
2
+ b
2
) – c
2
]
2
> 0 ⇔ [c
2
– (a – b)
2
][(a + b)
2
– c
2
] > 0

⇔ (c – a + b)(c + a – b)(a + b – c)(a + b + c) > 0 . ñúng

° Vì a , b , c là ba cạnh của tam giác

⇒ c – a + b > 0 , c + a – b > 0 , a + b – c > 0 , a + b + c > 0.
II. Chứng minh BðT dựa vào BðT CÔSI:


1. Chứng minh:
+ + + ≥ ≥
(a b)(b c)(c a) 8abc ; a, b, c 0

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm:

⇒
+ ≥
a b 2 ab
,
+ ≥
b c 2 bc
,
+ ≥
a c 2 ac


⇒
( )( )( )
+ + + ≥ =
2 2 2
a b b c a c 8 a b c 8abc
.
2. Chứng minh:

+ + + + ≥ ≥
2 2 2
(a b c)(a b c ) 9abc ; a,b,c 0

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm:

⇒
+ + ≥
3
a b c 3 abc
,
+ + ≥
3
2 2 2 2 2 2
a b c 3 a b c


⇒
( )
(
)
+ + + + ≥ =
3
2 2 2 3 3 3
a b c a b c 9 a b c 9abc
.
3. Chứng minh:
( )( )( )
( )
+ + + ≥ +

3
3
1 a 1 b 1 c 1 abc
, với a , b , c ≥ 0.

(
)
(
)
(
)
+ + + = + + + + + + +
1 a 1 b 1 c 1 a b c ab ac bc abc.


+ + ≥
3
a b c 3 abc
,
+ + ≥
3
2 2 2
ab ac bc 3 a b c


( )( )( )
( )
+ + + ≥ + + + = +
3
3

2 2 2
3 3
1 a 1 b 1 c 1 3 abc 3 a b c abc 1 abc

4. Cho a, b > 0. Chứng minh:
+
   
+ + + ≥
   
   
m m
m 1
a b
1 1 2
b a
, với m ∈ Z
+


+
         
+ + + ≥ + + = + +
         
         
≥ =
m m m m m
m m 1
a b a b b a
1 1 2 1 . 1 2 2
b a b a a b

2 4 2

5. Chứng minh:
+ + ≥ + + >
bc ca ab
a b c ; a, b, c 0
a b c

 Áp dụng BðT Côsi cho hai số không âm:

+ ≥ =
2
bc ca abc
2 2c
a b ab
, + ≥ =
2
bc ba b ac
2 2b
a c ac
, + ≥ =
2
ca ab a bc
2 2a
b c bc


⇒
+ + ≥ + +
bc ca ab

a b c
a b c
.
6. Chứng minh:
+
≥ − ≥
6 9
2 3
x y
3x y 16 ; x,y 0
4
()
()
⇔
+ + ≥
6 9 2 3
x y 64 12x y
⇔
( )
( )
+ + ≥
3
3
2 3 3 2 3
x y 4 12x y

Áp dụng BðT Côsi cho ba số không âm:

( )
( )

+ + ≥ =
3
3
2 3 3 2 3 2 3
x y 4 3x y 4 12x y
.
7. Chứng minh:
+ ≥ −
+
4 2
2
1
2a 3a 1
1 a
()
()
⇔
+ + + + ≥
+
4 4 2 2
2
1
a a a 1 4a
1 a
.
Áp dụng BðT Côsi cho 4 số không âm:
+
+
4 4 2
2

1
a , a , a 1,
1 a


( )
+ + + + ≥ + =
+ +
4 4 2 4 4 2 2
4
2 2
1 1
a a a 1 4 a a a 1 4a
1 a 1 a

8. Chứng minh:
( )
> −
1995
a 1995 a 1
() , a > 0
()
⇔
> − ⇔ + >
1995 1995
a 1995a 1995 a 1995 1995a



+ > + = + + + + ≥ =


1995
1995 1995 1995 1995
1994 soá
a 1995 a 1994 a 1 1 1 1995 a 1995a

Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
6
9. Chứng minh:
(
)
(
)
(
)
+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a 6abc
.

°
(
)
(
)
(
)
+ + + + + = + + + + +
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a 1 b b 1 c c 1 a a a b b b c c c a

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 6 số không âm:

°
+ + + + + ≥ =
6
2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 6 6
a a b b b c c c a 6 a b c 6abc

10. Cho a , b > 0. Chứng minh:
 
+ + ≤ + +
 
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c


°
≤ =
+
2 2
a a 1
2ab 2b
a b
,
≤ =

+
2 2
b b 1
2bc 2c
b c
,
≤ =
+
2 2
c c 1
2ac 2a
a c


° Vậy:
 
+ + ≤ + +
 
 
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 1 1 1 1
2 a b c
a b b c a c

11. Cho a , b
≥ 1 , chứng minh:
≥ − + −
ab a b 1 b a 1
.

°
( ) ( )
= − + ≥ − = − + ≥ −
a a 1 1 2 a 1, b b 1 1 2 b 1


°
≥ − ≥ −
ab 2b a 1 , ab 2a b 1


°
≥ − + −
ab a b 1 b a 1

12. Cho x, y, z > 1 và x + y + z = 4. C/m: xyz
≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1)

°
(
)
(
)
= − + = − + + + −
x x 1 1 x 1 x y z 3


( ) ( )
( )

( )
( )
( )
( )
= − + − + − + − ≥ − − −
2
4
x 1 x 1 y 1 z 1 4 x 1 y 1 z 1

Tương tự:
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
y 4 x 1 y 1 z 1
;
( )
( )
( )
≥ − − −
2
4
z 4 x 1 y 1 z 1


⇒ xyz ≥ 64(x – 1)(y – 1)(z – 1).
13. Cho a > b > c, Chứng minh:
( )( )

≥ − −
3
a 3 a b b c c
.

°
( ) ( ) ( )( )
= − + − + ≥ − −
3
a a b b c c 3 a b b c c

14. Cho: a , b , c > 0 và a + b + c = 1. Chứng minh:
a) b + c
≥ 16abc.

°
+
 
≥
 
 
2
b c
bc
2
⇔
( )
+ −
   
≤ = = −

   
   
2 2
2
b c 1 a
16abc 16a 16a 4a 1 a
2 2


°
( ) ( )
(
)
( ) ( )
 
− = − − = − − − ≤ − = +
 
2 2
2
4a 1 a 1 a 4a 4a 1 a 1 1 2a 1 a b c

b) (1 – a)(1 – b)(1 – c)
≥ 8abc

° (1 – a)(1 – b)(1 – c) = (b + c)(a + c)(a + b) ≥
=
2 bc.2 ac.2 ab 8abc

c)
   

+ + + ≥
   
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c


°
+ + +
   
+ = ≥
   
   
4
2
1 a a b c 4 a bc
1
a a a


°
+ ≥
4
2
1 4 ab c
1
b b
°
+ ≥

4
2
1 4 abc
1
c c


   
+ + + ≥
   
   
1 1 1
1 1 1 64
a b c

15. Cho x > y > 0 . Chứng minh:
( )
+ ≥
−
1
x 3
x y y


( )
( )
( )
( )
−
= − + + ≥ =

− −
3
x y y
1
VT x y y 3 3
x y y x y y

16. Chứng minh:
a)
+
≥
+
2
2
x 2
2
x 1
⇔
+ ≥ +
2 2
x 2 2 x 1
⇔
+ + ≥ +
2 2
x 1 1 2 x 1

b)
+
−
x 8

x 1
=
− +
= − + ≥ − =
− − −
x 1 9 9 9
x 1 2 x 1 6
x 1 x 1 x 1

c.
( ) ( )
+ + ≥ + = +
2 2 2
a 1 4 2 4 a 1 4 a 1
⇔
+
≥
+
2
2
a 5
4
a 1

17. Chứng minh:
+ +
+ + ≤ >
+ + +
ab bc ca a b c
; a, b, c 0

a b b c c a 2

Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
7

° Vì :
+ ≥
a b 2 ab


⇒ ≤ =
+
ab ab ab
a b 2
2 ab
, ≤ =
+
bc bc bc
b c 2
2 bc
, ≤ =
+
ac ac ac
a c 2
2 ac


°
+ + ≥ + +
a b c ab bc ca

, dựa vào:
+ + ≥ + +
2 2 2
a b c ab bc ca
.

°
+ + + +
+ + ≤ ≤
+ + +
ab bc ca ab bc ac a b c
a b b c c a 2 2

18. Chứng minh:
+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y
, ∀x , y ∈ R

°
( )
= ≤ =
+
+
2 2 2
4 2 2

x x x 1
8
1 16x 2.4x
1 4x


°
( )
= ≤ =
+
+
2 2 2
4 2 2
y y y 1
8
1 16y 2.4y
1 4y


+ ≤
+ +
2 2
4 4
x y 1
4
1 16x 1 16y

19. Chứng minh:
+ + ≥
+ + +

a b c 3
b c a c a b 2
; a , b , c > 0
ðặt X = b + c , Y = c + a , Z = a + b.

° a + b + c =
1
2
(X + Y + Z)

°
+ − + − + −
= = =
Y Z X Z X Y X Y Z
a , b , c
2 2 2


°
 
     
+ + = + + + + + −
     
 
+ + +      
 
a b c 1 Y X Z X Z Y
3
b c a c a b 2 X Y X Z Y Z

[ ]
≥ + + − =
1 3
2 2 2 3
2 2
.
Cách khác:


°
     
+ + = + + + + + −
     
+ + + + + +
     
a b c a b c
1 1 1 3
b c a c a b b c a c a b


( ) ( ) ( )
[ ]
 
= + + + + + + + −
 
+ + +
 
1 1 1 1
a b b c c a 3

2 b c a c a b

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho ba số không âm:

°
( ) ( ) ( )
[ ]
 
+ + + + + + + ≥ − =
 
+ + +
 
1 1 1 1 9 3
a b b c c a 3
2 b c a c a b 2 2

20. Cho a , b , c > 0. C/m:

+ + ≤
+ + + + + +
3 3 3 3 3 3
1 1 1 1
abc
a b abc b c abc c a abc


°
( )
(
)

( )
+ = + − + ≥ +
3 3 2 2
a b a b a ab a a b ab


⇒
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
a b abc a b ab abc ab a b c
, tương tự

°
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
b c abc b c bc abc bc a b c


°
( ) ( )
+ + ≥ + + = + +
3 3
c a abc c a ca abc ca a b c


( ) ( ) ( )
+ +
 

≤ + + =
 
+ + + + + + + +
 
1 1 1 1 a b c
VT
ab a b c bc a b c ca a b c a b c abc

21. Áp dụng BðT Côsi cho hai số chứng minh:
a.
+ + + ≥
4
a b c d 4 abcd
với a , b , c , d ≥ 0 (Côsi 4 s)

+ ≥ + ≥
a b 2 ab , c d 2 cd


( )
(
)
+ + ≥ + ≥ ≥
4
a b cd 2 ab cd 2 2 ab. cd 4 abcd

b.
+ + ≥
3
a b c 3 abc

với a , b , c ≥ 0 , (Côsi 3 s )

+ + + +
+ + + ≥
4
a b c a b c
a b c 4. abc
3 3

⇔
+ + + +
≥
4
a b c a b c
abc
3 3
⇔
+ + + +
 
≥
 
 
4
a b c a b c
abc
3 3

Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
8

⇔
+ +
 
≥
 
 
3
a b c
abc
3
⇔
+ + ≥
3
a b c 3 abc
.
22. Chứng minh:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c a bc b ac c ab
; a , b , c > 0

°
+ ≥
3 2
a abc 2a bc
,
+ ≥
3 2
b abc 2b ac
,

+ ≥
3 2
c abc 2c ab


°
(
)
+ + + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
a b c 3abc 2 a bc b ac c ab


⇒
(
)
(
)
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2
2 a b c 2 a bc b ac c ab
,
vì :
+ + ≥
3 3 3
a b c 3abc

Vậy:
+ + ≥ + +
3 3 3 2 2 2

a b c a bc b ac c ab

23. Chứng minh:
+ + ≥
3 94
2 a 3 b 4 c 9 abc

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 9 số không âm:

°
= + + + + + + + + ≥
3 3 3 94 4 4 4
VT a a b b b c c c c 9 abc

24. Cho
= +
x 18
y
2 x
, x > 0. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.
 Áp dụng BðT Côsi cho hai số không âm:
= + ≥ =
x 18 x 18
y 2 . 6
2 x 2 x


° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
= ⇔ = ⇔ = ±
2

x 18
x 36 x 6
2 x
, chọn x = 6.
Vậy: Khi x = 6 thì y ñạt GTNN bằng 6
25. Cho
= + >
−
x 2
y ,x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.

−
= + +
−
x 1 2 1
y
2 x 1 2

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm
−
−
x 1 2
,
2 x 1
:

− −
= + + ≥ + =

− −
x 1 2 1 x 1 2 1 5
y 2 .
2 x 1 2 2 x 1 2 2


° Dấu “ = ” xảy ra ⇔
( )
=

−
= ⇔ − = ⇔

= −−

2
x 3
x 1 2
x 1 4
x 1(loaïi)
2 x 1

Vậy: Khi x = 3 thì y ñạt GTNN bằng
5
2

26. Cho
= + > −
+
3x 1

y , x 1
2 x 1
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.

+
= + −
+
3(x 1) 1 3
y
2 x 1 2

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm
(
)
+
+
3 x 1 1
,
2 x 1
:

( ) ( )
+ +
= + − ≥ − = −
+ +
3 x 1 1 3 3 x 1 1 3 3
y 2 . 6
2 x 1 2 2 x 1 2 2

° Dấu “ = ” xảy ra ⇔ ⇔
( )
( )

= −

+

= ⇔ + = ⇔

+
= − −


2
6
x 1
3 x 1 1 2
3
x 1
2 x 1 3
6
x 1(loaïi)
3

Vậy: Khi
= −
6
x 1
3

thì y ñạt GTNN bằng
−
3
6
2

27. Cho
= + >
−
x 5 1
y ,x
3 2x 1 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTNN.

−
= + +
−
2x 1 5 1
y
6 2x 1 3

 Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số không âm
−
−
2x 1 5
,
6 2x 1
:
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
9

− − +
= + + ≥ + =
− −
2x 1 5 1 2x 1 5 1 30 1
y 2 .
6 2x 1 3 6 2x 1 3 3

Dấu “ = ” xảy ra

⇔
( )

+
=

−

= ⇔ − = ⇔

−
− +
=


2
30 1
x
2x 1 5
2

2x 1 30
6 2x 1
30 1
x (loaïi)
2

Vậy: Khi
+
=
30 1
x
2
thì y ñạt GTNN bằng
+
30 1
3

28. Cho
= +
−
x 5
y
1 x x
, 0 < x < 1 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.

°
( )
− + − −
= + = + + ≥ + = +
− − −

x 5 1 x 5x x x 1 x 1 x
f(x) 5 5 2 5 5 2 5 5
1 x x 1 x x 1 x x

Dấu “ = ‘ xảy ra
⇔
− −
 
= ⇔ = ⇔ =
 
− −
 
2
x 1 x x 5 5
5 5 x
1 x x 1 x 4
(0 < x < 1)

° Vậy: GTNN của y là
+
2 5 5
khi
−
=
5 5
x
4

29. Cho
+

=
3
2
x 1
y
x
, x > 0 . ðịnh x ñể y ñạt GTNN.

°
+
= + = + + ≥ =
3
3
2 2 2 2 3
x 1 1 x x 1 x x 1 3
x 3
2 2 2 2
4
x x x x


° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= =
2
x x 1
2 2
x
⇔
=
3

x 2
.

° Vậy: GTNN của y là
3
3
4
khi
=
3
x 2

30. Tìm GTNN của
+ +
=
2
x 4x 4
f(x)
x
, x > 0.

°
+ +
= + + ≥ + =
2
x 4x 4 4 4
x 4 2 x. 4 8
x x x

° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
=
4
x
x
⇔ x = 2 (x > 0).

° Vậy: GTNN của y là 8 khi x = 2.
31. Tìm GTNN của
= +
2
3
2
f(x) x
x
, x > 0.

°
 
 
+ = + + + + ≥ =
 
 
 
 
3
2
2 2 2 2
2
5

3 3 3 3 5
2 x x x 1 1 x 1 5
x 5
3 3 3 3
27
x x x x


° Dấu “ = ‘ xảy ra ⇔
= ⇔ =
2
5
3
x 1
x 3
3
x
⇔ x = 2 (x > 0).

° Vậy: GTNN của y là
5
5
27
khi =
5
x 3
.
32. Tìm GTLN của f(x) = (2x – 1)(3 – 5x)

° f(x) = –10x

2
+ 11x – 3 =
   
− − − = − − + ≤
   
   
2
2
11x 11 1 1
10 x 3 10 x
10 20 40 40


° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
=
11
x
20


° Vậy: Khi
=
11
x
20
thì y ñạt GTLN bằng
1
40
.
33. Cho y = x(6 – x) , 0

≤ x ≤ 6 . ðịnh x ñể y ñạt GTLN.
 Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm x và 6 – x (vì 0 ≤ x ≤ 6):

°
( ) ( )
= + − ≥ −
6 x 6 x 2 x 6 x
⇒ x(6 – x) ≤ 9
° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ x = 6 – x ⇔ x = 3
° Vậy: Khi x = 3 thì y ñạt GTLN bằng 9.
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
10
34. Cho y = (x + 3)(5 – 2x) , –3
≤ x ≤
5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN.
 y = (x + 3)(5 – 2x) =
1
2
(2x + 6)(5 – 2x)
 Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm 2x + 6 và 5 – 2x ,
 
− ≤ ≤
 
 
5
3 x
2
:

°
( ) ( ) ( )( )
= + + − ≥ + −
11 2x 6 5 2x 2 2x 6 5 2x
⇒
1
2
(2x + 6)(5 – 2x) ≤
121
8


° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 6 = 5 – 2x ⇔
= −
1
x
4


° Vậy: Khi
= −
1
x
4
thì y ñạt GTLN bằng
121
8
.
35. Cho y = (2x + 5)(5 – x) ,

− ≤ ≤
5
x 5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN.
 y = (2x + 5)(5 – x) =
1
2
(2x + 5)(10 – 2x)
 Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm 2x + 5 , 10 – 2x ,
 
− ≤ ≤
 
 
5
x 5
2
:

°
( ) ( ) ( )( )
+ + − ≥ + −
2x 5 10 2x 2 2x 5 10 2x
⇒

1
2
(2x + 5)(10 – 2x) ≤
625
8

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 5 = 10 – 2x ⇔
=
5
x
4


° Vậy: Khi
=
5
x
4
thì y ñạt GTLN bằng
625
8

36. Cho y = (6x + 3)(5 – 2x) ,
−
1
2
≤ x ≤
5
2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN
 y = 3(2x + 1)(5 – 2x)
 Áp dụng BðT Côsi cho 2 số không âm 2x + 1 , 5 – 2x ,
 
− ≤ ≤

 
 
1 5
x
2 2
:

°
( ) ( ) ( )( )
+ + − ≥ + −
2x 1 5 2x 2 2x 1 5 2x
⇒
(2x + 1)(5 – 2x) ≤ 9

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔ 2x + 1 = 5 – 2x ⇔ x = 1

° Vậy: Khi x = 1 thì y ñạt GTLN bằng 9.
37. Cho
=
+
2
x
y
x 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN

°
+ ≥ =
2 2
2 x 2 2x 2x 2

⇔
≥
+
2
1 x
2 2
2 x
⇒
≤
1
y
2 2


° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇒
2
x 2 và x > 0 x= 2


° Vậy: Khi
=
x 2
thì y ñạt GTLN bằng
1
2 2
.
38. Cho
( )
=

+
2
3
2
x
y
x 2
. ðịnh x ñể y ñạt GTLN

°
+ = + + ≥
3
2 2 2
x 2 x 1 1 3 x .1.1
⇔
( )
( )
+ ≥ ⇒ ≤
+
2
3
2 2
3
2
x 1
x 2 27x
27
x 2

° Dấu “ = “ xảy ra ⇔
= ⇔ = ±
2
x 1 x 1


° Vậy: Khi
= ±
x 1
thì y ñạt GTLN bằng
1
27
.

III. Chứng minh BðT dựa vào BðT Bunhiacôpxki


1. Chứng minh: (ab + cd)
2
≤ (a
2
+ c
2
)(b
2
+ d
2
) () BðT Bunhiacopxki
()
⇔ + + ≤ + + +

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a b 2abcd c d a b a d c b c d

⇔
+ − ≥
2 2 2 2
a d c b 2abcd 0
⇔
( )
− ≥
2
ad cb 0
.
2. Chứng minh:
+ ≤
sinx cosx 2

 Áp dụng BðT Bunhiacopski cho 4 số 1 , sinx , 1 , cosx :
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
11

°
+ =
sinx cosx
( )
( )
+ ≤ + + =
2 2 2 2
1. sinx 1. cosx 1 1 sin x cos x 2

3. Cho 3a – 4b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 4b
2
≥ 7.
 Áp dụng BðT Bunhiacopski cho 4 số
3 , 3a , 4 , 4 b
:

°
( )
( )
+ = + ≤ + +
2 2
3a 4b 3. 3a 4. 4b 3 4 3a 4b
⇔ 3a
2
+ 4b
2
≥ 7.
4. Cho 2a – 3b = 7. Chứng minh: 3a
2
+ 5b
2
≥
725
47
.

− = −

2 3
2a 3b 3 a 5 b
3 5

 Áp dụng BðT Bunhiacopski cho 4 số
−
2 3
, 3 a , , 5 b
3 5
:

°
( )
 
− ≤ + +
 
 
2 2
2 3 4 9
3 a 5 b 3a 5b
3 5
3 5
⇔ 3a
2
+ 5b
2
≥
735
47
.

5. Cho 3a – 5b = 8. Chứng minh: 7a
2
+ 11b
2
≥
2464
137
.

− = −
3 5
3a 5b 7 a 11b
7 11

 Áp dụng BðT Bunhiacopski cho 4 số
−
3 5
, 7 a , , 11b
7 11
:

°
( )
 
− ≤ + +
 
 
2 2
3 5 9 25
7 a 11b 7a 11b

7 11
7 11
⇔ 7a
2
+ 11b
2
≥
2464
137
.
6. Cho a + b = 2. Chứng minh: a
4
+ b
4
≥ 2.
 Áp dụng BðT Bunhiacopski:

°
( )
( )
= + ≤ + +
2 2
2 a b 1 1 a b
⇔ a
2
+ b
2
≥ 2

°

( )
( )
( )
≤ + ≤ + +
2 2 4 4
2 a b 1 1 a b
⇔ a
4
+ b
4
≥ 2
7. Cho a + b
≥ 1 Chứng minh:
+ ≥
2 2
1
a b
2


°
( )
( )
≤ + ≤ + + ⇔ + ≥
2 2 2 2 2 2
1
1 a b 1 1 a b a b
2

PHẦN II. ðỀ THI ðẠI HỌC

1. (CðGT II 2003 dự bị)
Cho 3 số bất kì x, y, z. CMR:
+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z

2. (CðBC Hoa Sen khối A 2006)

Cho x, y, z > 0 và xyz = 1. Chứng minh rằng: x
3
+ y
3
+ z
3
≥ x + y + z.
3. (CðKTKT Cần Thơ khối A 2006)
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
12
Cho 3 số dương x, y, z thoả x + y + z
≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = x + y + z +
+ +
1 1 1
x y z

4. (CðSPHCM khối ABTDM 2006)
Cho x, y là hai số thực dương và thoả x + y =
5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =
+
4 1
x 4y
.
5. (CðKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Cho 4 số dương a, b, c, d. Chứng minh bất ñẳng thức:

+ + +
+ + + + + + + +

a b c d
a b c b c d c d a d a b
< 2
6. (CðKT Cao Thắng khối A 2006)
Chứng minh rằng nếu x > 0 thì (x + 1)
2
 
+ +
 
 
2
1 2
1
x
x
≥ 16.
7. (CðKTKTCN1 khối A 2006)
Cho 3 số dương a, b, c. Ch. minh rằng:
+ + + + + +
+ + ≥
a b c a b c a b c
9
a b c

8. (CðKTYTế1 2006)
Cho các số thực x, y thay ñổi thoả mãn ñiều kiện: y
≤ 0; x
2
+ x = y + 12.
Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = xy + x + 2y + 17

9. (CðBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho x, y, z > 0; x + y + z = xyz. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = xyz.
10. (Học viện BCVT 2001)
Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c thoả mãn ñiều kiện: a + b + c = 1 thì:

 
+ + ≥ + +
 
 
a b c a b c
1 1 1 a b c
3
3 3 3 3 3 3

11. (ðH ðà Nẵng khối A 2001 ñợt 2)
Cho ba số dương a, b, c thoả a
2
+ b
2
+ c
2
= 1. Chứng minh:

+ + ≥
+ + +
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3
2
b c c a a b

12. (ðH Kiến trúc HN 2001)
Cho các số a, b, c thoả:

+ + =


+ + =


2 2 2
a b c 2
ab bc ca 1

Chứng minh:
− ≤ ≤ − ≤ ≤ − ≤ ≤
4 4 4 4 4 4
a ; b ; c
3 3 3 3 3 3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Cho
∆ABC có 3 cạnh là a, b, c và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:

 
+ + ≥ + +
 
− − −
 
1 1 1 1 1 1
2

p a p b p c a b c

14. (ðH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Cho 3 số x, y, z > 0. Chứng minh rằng:

+ + ≤ + +
+ + +
3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y
2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z

15. (ðH PCCC khối A 2001)
Ch. minh rằng với a ≥ 2, b ≥ 2, c ≥ 2 thì:
+ + +
+ + >
b c c a a b
log a log b log c 1

16. (ðH Quốc gia HN khối D 2001)
Ch. minh rằng với mọi x ≥ 0 và với mọi
α > 1 ta luôn có: x
α
+ α – 1 ≥ αx.
Từ ñó chứng minh rằng với 3 số dương a, b, c bất kì thì:

+ + ≥ + +
3 3 3
3 3 3
a b c a b c

b c a
b c a

17. (ðH Thái Nguyên khối D 2001)
Cho a ≥ 1, b ≥ 1. Chứng minh rằng:
− + − ≤
a b 1 b a 1 ab
(*)
18. (ðH Vinh khối A, B 2001)
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ñộ dài ba cạnh của một tam giác có chu vi bằng 3 thì: 3a
2
+ 3b
2
+ 3c
2

+ 4abc ≥ 13
19. (ðH Y Thái Bình khối A 2001)
Cho a, b, c là những số dương và a + b = c. Ch. minh rằng:
+ >
2 2 2
3 3 3
a b c

20. (ðHQG HN khối A 2000)
Với a, b, c là 3 số thực bất kì thoả ñiều kiện a + b + c = 0. Chứng minh rằng: 8
a
+ 8
b
+ 8

c
≥ 2
a
+ 2
b
+ 2
c

Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
13
21. (ðHQG HN khối D 2000)
Với a, b, c là 3 số thực dương thoả ñiều kiện: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng:

+ + +
+ + ≥
2 2 2 2 2 2
b 2a c 2b a 2c
3
ab bc ca

22. (ðH Bách khoa HN khối A 2000)
Cho 2 số a, b thoả ñiều kiện a + b ≥ 0. Ch. minh rằng:
+ +
 
≥
 
 
3
3 3
a b a b

2 2

23. (ðHSP TP HCM khối DE 2000)
Cho 3 số a, b, c bất kì. Chứng minh các BðT:
a) a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca b) (ab + bc + ca)
2
≥ 3abc(a + b + c)
24. (ðH Nông nghiệp I khối A 2000)
Cho 3 số dương a, b, c thoả ñiều kiện abc = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
+ +
+ + +
2 2 2 2 2 2
bc ca ab
a b a c b c b a c a c b

25. (ðH Thuỷ lợi II 2000)
Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c ta ñều có:
(a + 1).(b + 1).(c + 1) ≥
(
)
+
3
3
1 abc

26. (ðH Y HN 2000)
Giả sử x, y là hai số dương thoả ñiều kiện
+ =
2 3
6
x y
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng x + y.
27. (ðH An Giang khối D 2000)
Cho các số a, b, c ≥ 0. Chứng minh: a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ðH Tây Nguyên khối AB 2000)
CMR với mọi x, y, z dương và x + y + z = 1 thì xy + yz + zx >
+
18xyz
2 xyz

29. (ðH An Ninh khối A 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 3 ta ñều có: n
n + 1
> (n + 1)
n

30. (CðSP Nha Trang 2000)
Cho 2 số thực a, b thoả ñiều kiện: a, b ≥ –1 và a + b = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
+ + +
a 1 b 1

31. (CðSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chứng minh BðT sau ñây luôn luôn ñúng với mọi số thực x, y, z bất kì khác không:
+ + ≥
+ +
2 2 2 2 2 2
1 1 1 9
x y z x y z

BðT cuối cùng luôn ñúng
⇒ BðT cần chứng minh ñúng.
32. (ðH Y Dược TP HCM 1999)
Cho 3 số a, b, c khác 0. Chứng minh:
+ + ≥ + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a

33. (ðH Hàng hải 1999)

Cho x, y, z ≥ 0 và x + y + z ≤ 3. Chứng minh rằng:

+ + ≤ ≤ + +
+ + +

+ + +
2 2 2
x y z 3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
1 x 1 y 1 z

34. (ðH An ninh HN khối D 1999)
Cho 3 số x, y, z thay ñổi, nhận giá trị thuộc ñoạn [0;1]. Chứng minh rằng:
2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (*)
35. (ðại học 2002 dự bị 1)
Gọi x, y, z là khoảng cách từ ñiểm M thuộc miền trong của
∆ABC có 3 góc nhọn ñến các cạnh BC, CA, AB. Chứng
minh rằng:

+ +
+ + ≤
2 2 2
a b c

x y z
2R
(a, b, c là các cạnh của ∆ABC, R là bán kính ñường tròn ngoại tiếp). Dấu “=” xảy
ra khi nào?
36. (ðại học 2002 dự bị 3)
Giả sử x, y là hai số dương thay ñổi thoả mãn ñiều kiện x + y =
5
4
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =
+
4 1
x 4y

37. (ðại học 2002 dự bị 5)
Giả sử a, b, c, d là 4 số nguyên thay ñổi thoả mãn 1 ≤ a < b < c < d ≤ 50.
Chứng minh bất ñẳng thức:
+ +
+ ≥
2
a c b b 50
b d 50b
và tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S =
+
a c
b d
.
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
14
38. (ðại học 2002 dự bị 6)
Cho tam giác ABC có diện tích bằng

3
2
. Gọi a, b, c lần lượt là ñộ dài các cạnh BC, CA, AB và h
a
, h
b
, h
c
tương ứng là
ñộ dài các ñường cao kẻ từ các ñỉnh A, B, C. Chứng minh rằng:

 
 
+ + + + ≥
 
 
 
 
a b c
1 1 1 1 1 1
3
a b c h h h

39. (ðại học khối A 2003)
Cho x, y, z là 3 số dương và x + y + z
≤ 1. Chứng minh rằng:

+ + + + + ≥
2 2 2
2 2 2

1 1 1
x y z 82
x y z

40. (ðại học khối A 2003 dự bị 1)
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = sin
5
x +
3
cosx
41. (ðại học khối A 2003 dự bị 2)
Tính các góc của tam giác ABC, biết rằng:

− ≤



−
=


4p(p a) bc (1)
A B C 2 3 3
sin sin sin (2)
2 2 2 8

trong ñó BC = a, CA = b, AB = c, p =
+ +
a b c
2

.
42. (ðại học khối A 2005)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn :
+ + =
1 1 1
4
x y z
.
Chứng minh rằng:
+ + ≤
+ + + +
1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z

43. (ðại học khối B 2005)
Chứng minh rằng với mọi x
∈ R, ta có:

     
+ + ≥ + +
     
     
x x x
x x x
12 15 20
3 4 5
5 4 3

Khi nào ñẳng thức xảy ra?

44. (ðại học khối D 2005)
Cho các số dương x, y, z thoả mãn xyz = 1. Chứng minh rằng:

+ + + +
+ +
+ + ≥
3 3 3 3
3 3
1 x y 1 y z
1 z x
3 3
xy yz zx

Khi nào ñẳng thức xảy ra?
45. (ðại học khối A 2005 dự bị 1)
Cho 3 số x, y, z thoả x + y + z = 0. CMR:
+ + + + +
x y z
3 4 3 4 3 4
≥ 6
46. (ðại học khối A 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng với mọi x, y > 0 ta có:
( )
 
 
+ + +
 
 
 
 

 
2
y 9
1 x 1 1
x
y
≥ 256
ðẳng thức xảy ra khi nào?
47. (ðại học khối B 2005 dự bị 1)
Cho 3 số dương a, b, c thoả mãn: a + b + c =
3
4
. Chứng minh rằng:

+ + + + + ≤
3 3 3
a 3b b 3c c 3a 3

Khi nào ñẳng thức xảy ra?
48. (ðại học khối B 2005 dự bị 2)
Chứng minh rằng nếu 0
≤ y ≤ x ≤ 1 thì
− ≤
1
x y y x
4
.
ðẳng thức xảy ra khi nào?
49. (ðại học khối D 2005 dự bị 2)
Cho x, y, z là 3 số dương và xyz = 1. CMR:

+ + ≥
+ + +
2 2 2
x y z 3
1 y 1 z 1 x 2

50. (ðại học khối A 2006)
Cho 2 số thực x ≠ 0, y ≠ 0 thay ñổi và thoả mãn ñiều kiện:
(x + y)xy = x
2
+ y
2
– xy.
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
15
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =
+
3 3
1 1
x y
.
51. (ðại học khối B 2006)
Cho x, y là các số thực thay ñổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A =
( ) ( )
− + + + + + −
2 2
2 2
x 1 y x 1 y y 2

LỜI GIẢI



1. (CðGT II 2003 dự bị)
Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy, xét các ñiểm:
A
 
+
 
 
 
y 3
x ; z
2 2
, B
 
+
 
 
 
3 3
0; y z
2 2
, C
 
−
 
 
y z

;0
2 2

Ta có: AB =
 
 
+ + = + +
 
 
 
 
 
2
2
2 2
y 3
x y x xy y
2 2

AC =
 
 
+ + = + +
 
 
 
 
 
2
2

2 2
z 3
x z x xz z
2 2

BC =
 
 
− + + = +
 
 
 
 
 
2
2
2 2
y z 3
(y z) y yz+z
2 2 2

Với 3 ñiểm A, B, C ta luôn có: AB + AC ≥ BC

⇒
+ + + + ≥ +
2 2 2 2 2 2
x xy y x xz+z y yz+z

2. (CðBC Hoa Sen khối A 2006)
x

3
+ y
3
+ z
3
≥ 3
3 3 3
3
x y z
⇒ 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) ≥ 6

x
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
x
⇒ x
3
+ 2 ≥ 3x (1)
Tương tự: y
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3

3
y
⇒ y
3
+ 2 ≥ 3y (2)
z
3
+ 1 + 1 ≥ 3
3
3
z
⇒ z
3
+ 2 ≥ 3z (3)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế suy ra bất ñẳng thức cần chứng minh.
3. (CðKTKT Cần Thơ khối A 2006)

• Cách 1:
Theo BðT Côsi: 1
≥ x + y + z ≥ 3
3
xyz
> 0

+ + ≥
3
1 1 1 3
x y z
xyz

Từ ñó: A
≥ 3
3
xyz
+
3
3
xyz

ðặt: t =
3
xyz
, ñiều kiện: 0 < t ≤
1
3

Xét hàm số f(t) = 3t +
3
t
với 0 < t ≤
1
3

f
′(t) = 3 –
2
3
t
=
−

2
2
3(t 1)
t
< 0, ∀t ∈
 


 
1
0;
3

Bảng biến thiên:

1
3


Từ bảng biến thiên ta suy ra: A ≥ 10. Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
1
3

Vậy A
min
= 10 ñạt ñược khi x = y = z =
1
3
.
• Cách 2:

Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
16
Theo BðT Côsi: 1
≥ x + y + z ≥ 3
3
xyz
> 0 ⇔
3
1
xyz
≥ 3
x +
≥
1 2
9x 3
, y +
≥
1 2
9y 3
, z +
≥
1 2
9z 3

Từ ñó: A=
   
   
+ + + + + + + +
   
   

   
   
1 1 1 8 1 1 1
x y z
9x 9y 9z 9 x y z
≥ 2 +
3
8 3
9
xyz
≥ 10
Dấu "=" xảy ra khi x = y = z =
1
3
.Vậy A
min
= 10 ñạt ñược khi x = y = z =
1
3

4. (CðSPHCM khối ABT 2006)
Ta có: x + y =
5
4
⇔ 4x + 4y – 5 = 0
A =
+
4 1
x 4y
=

+ + −
4 1
4x+ 4y 5
x 4y
⇒ A ≥ 2
4
.4x
x
+ 2
1
.4y
4y
– 5

⇒ A ≥ 5
Dấu "=" xảy ra
⇔

=



=




+ =



>

4
4x
x
1
4y
4y
5
x y
4
x,y 0
⇔
=



=


x 1
1
y
4
. Vậy A
min
= 5.
5. (CðKTKT Cần Thơ khối B 2006)
Vì a, b, c, d > 0 nên ta luôn có:

+ < + =
+ + + + + +
a c a c
1
a b c c d a a c a c


+ < + =
+ + + + + +
b d b d
1
b c d d a b b d b d

Cộng vế theo vế các BðT trên ta ñược ñpcm.
6. (CðKT Cao Thắng khối A 2006)
Ta có: (x + 1)
2
 
+ +
 
 
2
1 2
1
x
x
≥
16 (1)
⇔
(x + 1)

2
 
+
 
 
2
1
1
x
≥
16

⇔
(x + 1)
 
+
 
 
1
1
x
≥
4 (do x > 0)
⇔
(x + 1)
2

≥
4x
⇔

(x – 1)
2

≥
0 (2)
(2) luôn ñúng nên (1) ñược chứng minh.
7. (CðKTKTCN1 khối A 2006)
Xét vế trái của BðT ñã cho: VT =
+ + + + + + + +
b c a c a b
1 1 1
a a b b c c

= 3 +
     
+ + + + +
     
     
b a c a c b
a b a c b c

Do a, b, c > 0 nên theo BðT Côsi ta có:

+ ≥ =
b a b a
2 . 2
a b a b
;
+ ≥ =
b c b c

2 . 2
c b c b
;
+ ≥ =
c a c a
2 . 2
a c a c

Khi ñó: VT
≥
3 + 2 + 2 + 2 = 9 (ñpcm).
8. (CðKTYTế1 2006)
y
≤
0, x
2
+ x = y + 12
⇒
x
2
+ x – 12
≤
0
⇒
– 4
≤
x
≤
3
y = x

2
+ x – 12
⇒
A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7
ðặt f(x) = A = x
3
+ 3x
2
– 9x – 7 với – 4
≤
x
≤
3
f
′
(x) = 3x
2
+ 6x – 9 ; f
′
(x) = 0
⇔
x = 1 hoặc x = – 3
f(–4) = 13, f(–3) = 20, f(1) = –12, f(3) = 20
Vậy maxA = 20 (x = 3, y = 0), minA = –12 (x = 1, y = –10).
9. (CðBC Hoa Sen khối D 2006)
Ta có: x + y + z

≥
3
3
xyz

⇔
xyz
≥
3
3
xyz

⇔
(xyz)
2

≥
27
⇔
xyz
≥
3
3

Dấu "=" xảy ra
⇔
x = y = z =
3
.
Vậy minA = 3

3
.
10. (Học viện BCVT 2001)
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
17
Ta có hàm số f(x) =
x
1
3
là hàm nghịch biến nên:
(a – b)
 
−
 
 
a b
1 1
3 3
≤ 0,
∀
a, b.

⇒

+ ≤ +
a b a b
a b b a
3 3 3 3
,
∀

a, b. (1)
Tương tự:
+ ≤ +
b c c b
b c b c
3 3 3 3
(2)

+ ≤ +
c a c a
c a a c
3 3 3 3
(3)
Mặt khác:
+ + = + +
a b c a b c
a b c a b c
3 3 3 3 3 3
(4)
Cộng (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta ñược:

   
+ + ≤ + + + +
   
   
a b c a b c
a b c 1 1 1
3 (a b c)
3 3 3 3 3 3

Hay
 
+ + ≤ + +
 
 
a b c a b c
a b c 1 1 1
3
3 3 3 3 3 3
(vì a + b + c = 1)
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b = c =
1
3
.
11. (ðH ðà Nẵng khối A 2001 ñợt 2)
Do a
2
+ b
2
+ c
2
= 1 nên
= =
+ − −
2
2 2 2 2
a a a
b c 1 a a(1 a )

(1)
Mà 2a
2
.(1 – a
2
)
2
≤
 
+ − + −
 
=
 
 
 
 
 
3
3
2 2 2
2a (1 a ) (1 a ) 2
3 3


⇒
a
2
.(1 – a
2
)

2
≤
4
27

⇒
a(1 – a
2
) ≤
2
3 3
(2)
Từ (1), (2) suy ra:
≥
+
2
2 2
a 3 3
a
2
b c

Do ñó:
+ + ≥ + + =
+ + +
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a b c 3 3 3 3
(a b c )
2 2

b c c a a b

Dấu “=” xảy ra
⇔


= −


= −


= −


2 2
2 2
2 2
2a 1 a
2b 1 b
2c 1 c

⇔
a = b = c =
1
3
.
12. (ðH Kiến trúc HN 2001)
Ta có:


+ + =


+ + =


2 2 2
a b c 2
ab bc ca 1

⇔


+ − = −


+ + =


2 2
(a b) 2ab 2 c
c(a b) ab 1

Ta xem ñây là hệ phương trình của a, b và ñặt
+ =


=

a b S

ab P
(S
2
– 4P ≥ 0)
Ta ñược hệ:

− = −




2 2
S 2P 2 c (1)
cS+P =1 (2)

Từ (2)
⇒
P = 1 – cS, thay vào (1) ta ñược:
S
2
– 2(1 – cS) = 2 – c
2

⇔
S
2
+ 2cS + c
2
– 4 = 0
⇔

= − −


= − +

S c 2
S c 2


•
Với S = – c – 2
⇒
P = 1 + c(c + 2) = c
2
+ 2c + 1
BðT: S
2
– 4P ≥ 0
⇔
(–c – 2)
2
– 4(c
2
+ 2c + 1) ≥ 0

⇔
–3c
2
– 4c ≥ 0

⇔

− ≤ ≤
4
c 0
3
(3)

•
Với S = –c + 2
⇒
P = 1 – c(–c + 2) = c
2
– 2c + 1
BðT: S
2
– 4P ≥ 0
⇔
(–c + 2)
2
– 4(c
2
– 2c + 1) ≥ 0

⇔
–3c
2
+ 4c ≥ 0
⇔

≤ ≤
4
0 c
3
(4)
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
18
Từ (3), (4) ta ñược:
− ≤ ≤
4 4
c
3 3

Tương tự ta chứng minh ñược:
− ≤ ≤
4 4
a,b,c
3 3

13. (Học viện NH TPHCM khối A 2001)
Trước hết, ta dễ dàng chứng minh ñược nếu x, y > 0 thì:

+ ≥
+
1 1 4
x y x y
(1)
Dấu “=” xảy ra
⇔
x = y.

Áp dụng (1) ta ñược:
+ ≥ =
− − − + −
1 1 4 4
p a p b p a p b c


+ ≥ =
− − − + −
1 1 4 4
p b p c p b p c a


+ ≥ =
− − − + −
1 1 4 4
p c p a p c p a b

Cộng 3 BðT trên vế theo vế, ta ñược:

 
 
+ + ≥ + +
 
 
− − −
 
 
1 1 1 1 1 1
2 4

p a p b p c a b c

⇔
ñpcm
Dấu “=” xảy ra
⇔
a = b = c.

14. (ðH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Áp dụng BðT Côsi cho 2 số dương x
3
, y
2
ta có:
x
3
+ y
2
≥ 2
=
3 2
x y 2xy x

⇒

≤ =
+
3 2
2 x 2 x 1
xy

2xy x
x y

Áp dụng BðT Côsi cho 2 số dương
2 2
1 1
,
x y
ta có:

 
≤ +
 
 
 
2 2
1 1 1 1
xy 2
x y

⇒

 
≤ +
 
 
+
 
3 2 2 2
2 x 1 1 1

2
x y x y

Tương tự ta cũng có:

 
≤ +
 
 
+
 
3 2 2 2
2 y
1 1 1
2
y z y z
;
 
≤ +
 
+
 
3 2 2 2
2 z 1 1 1
2
z x z x

Suy ra:
+ + ≤ + +
+ + +

3 2 3 2 3 2 2 2 2
2 y
2 x 2 z 1 1 1
x y y z z x x y z

Dấu “=” xảy ra
⇔

  
= = =
  
  
= = =
  
  
3 2 3 2 3 2
x y y z z x
vaø vaø
x y y z z x
⇔
x = y = z = 1
15. (ðH PCCC khối A 2001)
Trước hết chú ý rằng nếu a > 1, x > 1 thì hàm số y =
a
log x
là ñồng biến và dương.
Do ñó hàm số y = log
x
a =
a

1
log x
là nghịch biến.
Vì vai trò của a, b, c là như nhau, nên ta có thể giả thiết a ≥ b ≥ c. Ta ñược:
VT=
+ + + + + + +
+ + ≥ + + =
b c c a a b a b a b a b a b
log a log b log c log a log b log c log abc

Vì a, b, c ≥ 2 nên abc ≥ 2ab = ab + ab > a + b
Do ñó VT ≥ log
a+b
abc > log
a+b
(a + b) = 1.
16. (ðH Quốc gia HN khối D 2001)

•
Xét f(x) = x
α
–
α
x +
α
– 1 (x ≥ 0)
f
′
(x) =
α

(x
α
– 1
– 1); f
′
(x) = 0
⇔
x = 1

Vậy với
∀
x ≥ 0 và
α
> 1 thì f(x) ≥ 0 hay x
α
+
α
– 1 ≥
α
x.

•
BðT cần chứng minh:
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
19

     
+ + ≥ + +
     
     

3 3 3
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a

Áp dụng BðT ñã chứng minh với
α
=
3
2
, ta có:

 
+ ≥
 
 
3
2
a 1 3 a
.
b 2 2 b
;
 
+ ≥
 
 
3
2
b 1 3 b
.

c 2 2 c
;
 
+ ≥
 
 
3
2
c 1 3 c
.
a 2 2 a

Mặt khác, theo BðT Côsi ta có:

 
     
 
+ + ≥
     
 
     
 
 
3 3 3
2 2 2
1 a b c 3
2 b c a 2

Cộng 4 BðT trên, vế theo vế, ta có:

 
       
 
+ + + ≥ + + +
     
 
 
       
 
 
3 3 3
2 2 2
3 a b c 3 3 a b c 3
2 b c a 2 2 b c a 2

Suy ra:
     
+ + ≥ + +
     
     
3 3 3
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a

17. (ðH Thái Nguyên khối D 2001)
BðT (*)
⇔

− −

+ ≤
a b 1 b a 1
1
ab ab

⇔

   
− + − ≤
   
   
1 1 1 1
1 1 1
b b a a
(1)
Theo BðT Côsi ta có:
 
+ −
 
 
 
− ≤ =
 
 
1 1
1
1 1 1
b b
1
b b 2 2

 
+ −
 
 
 
− ≤ =
 
 
1 1
1
1 1 1
a a
1
a a 2 2

Cộng 2 BðT lại ta ñược BðT cần chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
⇔


= − =




= − =



1 1 1
1
b b 2
1 1 1
1
a a 2

⇔
a = b = 2.
18. (ðH Vinh khối A, B 2001)
Ta có: 3 – 2a = a + b + c – 2a = b + c – a > 0.
Do ñó theo BðT Côsi ta có:
(3 – 2a)(3 – 2b)(3 – 2c) ≤
− + − + −
 
 
 
3
3 2a 3 2b 3 2c
3
= 1

⇒
27 – 9(2a + 2b + 2c) + 3(4ab + 4bc + 4ca) – 8abc ≤ 1

⇔
27 – 54 + 12(ab + bc + ca) – 8abc ≤ 1

⇔
4abc ≥ 6(ab + bc + ca) – 14

⇔
3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 4abc ≥ 3(a
2
+ b
2
+ c
2
) + 6(ab + bc + ca) – 14
= 3(a + b +c)
2
– 14 = 13
ðẳng thức xảy ra
⇔
3 – 2a = 3 – 2b = 3 – 2c
⇔
a = b = c = 1.
19. (ðH Y Thái Bình khối A 2001)
Từ giả thiết ta có:
+
a b
c c
= 1
⇒

0 <
a b
,
c c
< 1
⇒

   
+ > +
   
   
2 2
3 3
a b a b
c c c c
= 1
Từ ñó suy ra:
+ >
2 2 2
3 3 3
a b c

20. (ðHQG HN khối A 2000)
ðặt x = 2
a
, y = 2
b
, z = 2
c
thì x, y, z > 0.

ð.kiện a + b + c = 0
⇔
xyz = 2
a+b+c
= 1, do ñó theo BðT Côsi: x + y + z ≥ 3
Mặt khác: x
3
+ 1 + 1 ≥ 3x
⇒
x
3
≥ 3x – 2
Tương tự: y
3
≥ 3y – 2; z
3
≥ 3z – 2

⇒
x
3
+ y
3
+ z
3
≥ 3(x + y + z) – 6 = (x + y + z) + 2(x + y + z – 3) ≥ x + y + z

⇒
8
a

+ 8
b
+ 8
c
≥ 2
a
+ 2
b
+ 2
c

21. (ðHQG HN khối D 2000)
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
20
Ta có:
+ +
= = +
2 2 2 2
2 2 2 2
b 2a b 2a 1 1
2.
ab
a b a b

ðặt x =
1
a
; y =
1
b

; z =
1
c
thì
giả thiết
>


+ + =

a,b,c 0
ab bc ca abc

⇔

>


+ + =

x,y,z 0
x y z 1

và ñpcm
⇔

+ + + + + ≥
2 2 2 2 2 2
x 2y y 2z z 2x 3

Theo BðT Bunhiacopxki ta có:
3(x
2
+ 2y
2
) = 3(x
2
+ y
2
+ y
2
) ≥ (x + y + y)
2


⇒

+ ≥ +
2 2
1
x 2y (x 2y)
3

Viết 2 BðT tương tự, rồi cộng lại, ta có:

+ + + + + ≥ + + =
2 2 2 2 2 2
1
x 2y y 2z z 2x (3x 3y 3z) 3
3

ðẳng thức xảy ra
⇔
x = y = z =
1
3

⇔
a = b = c = 3
22. (ðH Bách khoa HN khối A 2000)
Ta có:
+ +
 
≥
 
 
3
3 3
a b a b
2 2

⇔
4(a
3
+ b
3
) ≥ (a + b)
3

⇔
(a + b) [4(a
2
+ b
2
– ab) – (a
2
+ b
2
+ 2ab)] ≥ 0

⇔
(a + b)(3a
2
+ 3b
2
– 6ab) ≥ 0
⇔
(a + b)(a – b)
2
≥ 0
BðT cuối cùng này ñúng, nên BðT cần chứng minh là ñúng.
ðẳng thức xảy ra
⇔
a =
±
b.
23. (ðHSP TP HCM khối DE 2000)
a) a
2

+ b
2
≥ 2ab; b
2
+ c
2
≥ 2bc; c
2
+ a
2
≥ 2ca

⇒
a
2
+ b
2
+ c
2
≥ ab + bc + ca.
ðẳng thức xảy ra
⇔
a = b = c
b) (ab + bc + ca)
2
= (ab)
2
+ (bc)
2
+ (ca)

2
+ 2(abbc + bcca + caab) ≥
≥ abbc + bcca + caab + 2abc(a + b + c) = 3abc(a + b + c)
24. (ðH Nông nghiệp I khối A 2000)
Ta có:
= = =
 
+ +
+
+
 
 
2
2 2 2
2
1
bc bc 1
a
1 1
1 1
a b a c a (b c)
a
b c
b c

ðặt x =
1
a
; y =
1

b
; z =
1
c
thì
giả thiết



a, b, c > 0
abc = 1

⇔

>



x,y,z 0
xyz=1
và P =
+ +
+ + +
2 2 2
x y z
y z z x x y

Theo BðT Bunhiacopxki ta có:
(y + z + z + x + x + y).P ≥
 

+ + + + +
 
 
+ + +
 
2
x y z
y z. z x. x y.
y z z x x y


⇒
2(x + y + z).P ≥ (x + y + z)
2

⇒
P ≥
1
2
(x + y + z) ≥
=
3
1 1
.3 xyz .3
2 2


⇒
P ≥
3

2

Nếu P =
3
2
thì x = y = z = 1
⇒
a = b = c = 1
ðảo lại, nếu a = b = c = 1 thì P =
3
2
. Vậy minP =
3
2

25. (ðH Thuỷ lợi II 2000)
(a + 1).(b + 1).(c + 1) = 1 + a + b + c + ab + bc + ca + abc ≥
≥ 1 + 3
+
3
2 2 2
3
abc 3 a b c
+ abc =
(
)
+
3
3
1 abc

ðẳng thức xảy ra
⇔
a = b = c > 0.
26. (ðH Y HN 2000)
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức
21

( )
 
 
+ = + ≤ + +
 
 
 
 
 
2
2
2 3 2 3
2 3 . x . y (x y)
x y x y
= 6(x + y)

⇒
x + y ≥
(
)
+
2

2 3
6

Giá trị
(
)
+
2
2 3
6
ñạt ñược
⇔
( )

=




+

+ =

2
2 3
: x : y
x y
2 3
x y
6

⇔

+
=



+

=


2( 2 3)
x
6
3( 2 3)
y
6

Vậy min(x + y) =
+
5 2 6
6

27. (ðH An Giang khối D 2000)
Giả sử a ≥ b ≥ 0
⇒
a
c

(a – b) ≥ b
c
(a – b)
⇒
a
c + 1
+ b
c + 1
≥ ab(a
c – 1
+ b
c – 1
)
28. (ðH Tây Nguyên khối AB 2000)
Áp dụng BðT Côsi cho 6 số dương ta có:
2 = x + y + z + x + y + z ≥ 6
3
xyz
(1)
và xy + yz + zx ≥ 3
2 2 2
3
x y z
(2)
Nhân các BðT (1) và (2) vế theo vế ta ñược:
2(xy + yz + zx) ≥ 18xyz (3)
Mặt khác ta có: xyz(xy + yz + zx) > 0 (4)
Cộng các BðT (3) và (4) vế theo vế ta ñược:
(xy + yz + zx)(2 + xyz) > 18xyz
⇒

xy + yz + zx >
+
18xyz
2 xyz
(vì 2 +xyz > 0)
29. (ðH An Ninh khối A 2000)
Ta có: 3
4
= 81, 4
3
= 64
⇒
3
4
> 4
3

⇒
BðT cần chứng minh ñúng với n = 3.
Với n > 3, ñpcm
⇔
n >
+
 
 
 
n
n 1
n

⇔

 
+
 
 
n
1
1
n
< n (1)
Ta có:
 
+
 
 
n
1
1
n
=
=
∑
n
k
n
k
k 0
1
C

n
=
= 1 +
− − − +
+ + +
2 n
n n(n 1) 1 n(n 1) (n n 1) 1
. .
n 2! n!
n n

= 1 + 1 +
−
      
− + + − − −
      
      
1 1 1 1 2 n 1
1 1 1 1
2! n n! n n n
<
< 1 + 1 +
+ +
1 1

2! n!
< 1 + 1 +
−
+ +
n 1

1 1

2
2
<
< 1 + 1 +
−
+ +
n 1
1 1

2
2
+ … = 1 +
−
1
1
1
2
= 3

⇒

 
+
 
 
n
1
1

n
< 3 < n
⇒
(1)
30. (CðSP Nha Trang 2000)
Áp dụng BðT Bunhiacopxki cho hai cặp số (1, 1), (
+ +
a 1, b 1
), ta có:
A =
+ + +
1. a 1 1. b 1
≤
+ + + +
(1 1)(a 1 b 1)

mà a + b = 1 nên A ≤
6

Dấu “=” xảy ra
⇔

+ = +
a 1 b 1

⇔
a = b
⇔
a = b =
1

2
( do a + b = 1)
Vậy maxA =
6
khi a = b =
1
2

31. (CðSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
BðT cần chứng minh
⇔

     
+ + + + + + + +
     
     
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
1 1 1
x x y y z z
≥ 9
Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
22

⇔
3 +
     
+ + + + +

     
     
     
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
y z x z x y
x x y y z z
≥ 9
32. (ðH Y Dược TP HCM 1999)
Áp dụng BðT Côsi ta có:
*
+ + ≥ =
2 2 2 2 2 2
3
2 2 2 2 2 2
a b c a b c
3 . . 3
b c a b c a
(1)
*
+ ≥
2
2
a a
1 2
b
b
;
+ ≥
2

2
b b
1 2
c
c
;
+ ≥
2
2
c c
1 2
a
a


⇒

 
+ + ≥ + + −
 
 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
2 3
b c a
b c a
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta ñược:

 
 
+ + ≥ + +
 
 
 
 
 
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
2 2
b c a
b c a


⇒

+ + ≥ + +
2 2 2
2 2 2
a b c a b c
b c a
b c a

33. (ðH Hàng hải 1999)

•
Do (x – 1)
2

≥ 0 nên x
2
+ 1 ≥ 2x
⇔

+
2
2x
1 x
≤ 1
Tương tự ta cũng có:
+
2
2y
1 y
≤ 1;
+
2
2z
1 z
≤ 1
Do ñó:
+
2
2x
1 x
+
+
2
2y

1 y
+
+
2
2z
1 z
≤ 3
Hay:
+ + ≤
+ + +
2 2 2
x y z 3
2
1 x 1 y 1 z
(1)

•
Áp dụng BðT Côsi cho 3 số không âm ta có:

+ +
+ + +
≥ =
+ + +
+ + +
3
3
1 1 1
1 1
1 x 1 y 1 z
3 (1 x)(1 y)(1 z)

(1 x)(1 y)(1 z)


⇒

≤ + + +
+ +
+ + +
3
3
(1 x)(1 y)(1 z)
1 1 1
1 x 1 y 1 z
≤
+ + + + +
(1 x) (1 y) (1 z)
3
≤ 2

⇔

≤ + +
+ + +
3 1 1 1
2 1 x 1 y 1 z
(2)
Kết hợp (1) và (2) ta ñược BðT cần chứng minh.
34. (ðH An ninh HN khối D 1999)
Vì 0 ≤ x, y, z ≤ 1 nên x
2

≥ x
3
; y
2
≥ y
3
; z
2
≥ z
3
.
Suy ra: 2(x
3
+ y
3
+ z
3
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x

2
y + y
2
z + z
2
x)
Do ñó nếu ta chứng minh ñược:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3 (1)
thì (*) ñúng.
Ta có: (1 – y)(1 + y – x
2
) ≥ 0
⇔
x
2
+ y
2
– x

2
y – 1 ≤ 0 (2)
Dấu “=” ở (2) xảy ra
⇔

=


=




=


y 1
x 1
y 0

Tương tự ta cũng có: x
2
+ z
2
– z
2
x – 1 ≤ 0 (3)
y
2
+ z

2
– y
2
z – 1 ≤ 0 (4)
Cộng (2), (3), (4) vế theo vế ta ñược:
2(x
2
+ y
2
+ z
2
) – (x
2
y + y
2
z + z
2
x) ≤ 3
Vậy (1) ñúng
⇒
(*) ñúng
Nhận xét: Dấu “=” ở (*) xảy ra
⇔
(x; y; z)
∈

{
}
(1;1;1),(1;1;0),(1;0;1),(0;1;1)

35. (ðại học 2002 dự bị 1)

+ + = + +
1 1 1
x y z . ax . by . cz
a b c
≤
 
+ +
 
 
1 1 1
(ax+by+cz)
a b c

Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất đẳng thức
23
≤
 
+ +
 
 
1 1 1
.2S
a b c
=
 
+ +
 
 

1 1 1 abc
a b c 2R
=
+ +
ab bc ca
2R

≤
+ +
2 2 2
a b c
2R

Dấu “=” xảy ra
⇔

= =


= =

a b c
x y z

⇔

∆

∆


ABC đều
M trùng với trọng tâm G của ABC

36. (ðại học 2002 dự bị 3)

•
Cách 1: S =
+ + + + ≥
5
1 1 1 1 1 5
x x x x 4y
x.x.x.x.4y
≥
+ + + +
5.5
x x x x 4y
= 5
minS = 5
⇔


=



=



+ =



1 1
x 4y
x 4y
5
x y
4

⇔

=



=


x 1
1
y
4


•
Cách 2: S =
+
−
4 1
x 5 4x

= f(x), 0 < x <
5
4

f
′
(x) =
− +
−
2 2
4 4
x (5 4x)
; f
′
(x) = 0
⇔


= −


< <


2 2
x (5 4x)
5
0 x
4

⇔
x = 1
Lập bảng xét dấu f
′
(x), suy ra minS = 5.

•
Cách 3: 2 +
= +
1 2 1
x. y.
2
x 2 y
≤
+ +
4 1
x y.
x 4y
(3)
Dấu “=” ở (3) xảy ra
⇔


=




+ =



2 1
x. x 2 y. y
5
x y
4

⇔

=



+ =


x 4y
5
x y
4

⇔

=



=



x 1
1
y
4

(3)
⇔

 
 
≤ +
 
 
 
 
2
5 5 4 1
.
2 4 x 4y

⇔

+
4 1
x 4y
≥ 5
Vậy minS = 5.
37. (ðại học 2002 dự bị 5)
Vì a ≥ 1, d ≤ 50 và c > b (c, b
∈

N) nên c ≥ b + 1 thành thử:
S =
+
a c
b d
≥
+
+
1 b 1
b 50
=
+ +
2
b b 50
50b

Vậy BðT của đề ra đã được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra
⇔

=


=


= +

a 1
d 50

c b 1

ðể tìm minS, ta đặt
+ +
2
b b 50
50b
=
+ +
b 1 1
50 b 50
và xét hàm số có biến số liên tục x:
f(x) =
+ +
x 1 1
50 x 50
(2 ≤ x ≤ 48)
f
′
(x) =
−
− =
2
2 2
1 1 x 50
50
x 50x
; f
′
(x) = 0


=


≤ ≤


2
x 50
2 x 48

⇔

=
x 5 2

Bảng biến thiên:
5 2


Chuyển về biểu thức f(b) =
+ +
2
b b 50
50b
(2 ≤ b ≤ 48, b
∈
N)
Từ BBT suy ra khi b biến thiên từ 2 đến 7, f(b) giảm rồi chuyển sang tăng khi b biến thiên từ 8 đến 48. Suy ra minf(b)
= min[f(7); f(8)].

Tuyển tập Bất ñẳng thức Nguyễn ðức Thụy
24
Ta có f(7) =
+
=
49 57 53
350 175
; f(8) =
+
= >
64 58 61 53
400 200 175

Vậy minS =
53
175
khi
=


=


=


=

a 1
b 7

c 8
d 50

38. (ðại học 2002 dự bị 6)
Ta có diện tích tam giác: S =
= =
a b c
1 1 1
ah bh ch
2 2 2


⇒
h
a
=
2S
a
; h
b
=
2S
b
; h
c
=
2S
c

⇒

+ + = + +
a b c
1 1 1 1
(a b c)
h h h 2S


⇒

 
   
+ + + + = + + + +
 
   
   
 
a b c
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
(a b c)
a b c h h h 2S a b c

Áp dụng BðT Côsi ta có: (a + b + c)
 
+ +
 
 
1 1 1
a b c

≥ 9
và vì S =
3
2
, nên ta có:
 
 
+ + + + ≥ =
 
 
 
 
a b c
1 1 1 1 1 1 9
3
a b c h h h 3

39. (ðại học khối A 2003)
Với mọi
 
u,v
ta có:
+ ≤ +
   
u v u v
(*)
ðặt
 
   
= = =

 
   
   
 
  
1 1 1
a x; ; b y; ; c z;
x y z

Áp dụng bất ñẳng thức (*), ta có:
+ + ≥ + + ≥ + +
        
a b c a b c a b c

Vậy P =
+ + + + +
2 2 2
2 2 2
1 1 1
x y z
x y z

≥

 
+ + + + +
 
 
2
2

1 1 1
(x y z)
x y z


•
Cách 1:
Ta có: P
≥
 
+ + + + +
 
 
2
2
1 1 1
(x y z)
x y z
≥
( )
 
+
 
 
 
2
2
3
3
1

3 xyz 3
xyz
=
+
9
9t
t

với t =
2
3
( xyz)

⇒
0 < t
≤

+ +
 
≤
 
 
2
x y z 1
3 9

ðặt Q(t) = 9t +
9
t

⇒
Q
′
(t) = 9 –
2
9
t
< 0,
∀
t
∈
 


 
1
0;
9
⇒
Q(t) giảm trên
 


 
1
0;
9


⇒

Q(t)
≥
Q
 
 
 
1
9
= 82. Vậy P
≥

≥
Q(t) 82

Dấu "=" xảy ra
⇔
x = y = z =
1
3
.

•
Cách 2: Ta có:
(x + y + z)
2
+
 
+ +
 
 

2
1 1 1
x y z
= 81(x + y + z)
2
+
 
+ +
 
 
2
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)
2


≥
18(x + y + z).
 
+ +
 
 
1 1 1
x y z
– 80(x + y + z)
2

≥
162 – 80 = 82

Vậy P
≥

82

Dấu "=" xảy ra
⇔
x = y = z =
1
3
.
40. (ðại học khối A 2003 dự bị 1)

•
Tìm max: y = sin
5
x +
3
cosx ≤ sin
4
x +
3
cosx (1)
Ta chứng minh: sin
4
x +
3
cosx ≤
3
,

∀
x
∈
R (2)

⇔

3
(1 – cosx) – sin
4
x ≥ 0
⇔

3
(1 – cosx) – (1 – cos
2
x)
2
≥ 0

⇔
(1 – cosx).
[
3
– (1 – cosx)(1 + cosx)
2

]
≥ 0 (3)
Nguyễn ðức Thụy Tuyển tập Bất ñẳng thức

25
Theo BðT Côsi ta có:
(1 – cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) =
1
2
(2 – 2cosx)(1 + cosx)(1 + cosx) ≤
≤
 
= <
 
 
3
1 4 32
3
2 3 27

Vậy BðT (3) ñúng
⇒
(2) ñúng
⇒
y ≤
3
,
∀
x. Dấu “=” xảy ra khi cosx = 1
⇔
x = k2
π
. Vậy maxy =
3

.

•
Tìm min: Ta có y = sin
5
x +
3
cosx ≥ – sin
4
x +
3
cosx.
Tương tự như trên, ta ñược miny = –
3
, ñạt ñược khi x =
π
+ k2
π
.
41. (ðại học khối A 2003 dự bị 2)
(1)
⇔

+ + + −
≤
(a b c)(b c a)
1
bc

⇔

+ −
≤
2 2
(b c) a
1
bc

⇔

+
≤
2bc(1 cosA)
1
bc


⇔

≤
2
A 1
cos
2 4

⇔

≥
2
A 3

sin
2 4

⇔

≥
A 3
sin
2 2
(do 0 <
<
π
A
2 2
) (3)
Biến ñổi vế trái của (2) như sau:

 
= −
 
 
A B C 1 A B-C B+C
sin sin sin sin cos cos
2 2 2 2 2 2 2
≤
 
−
 
 
1 A A

sin 1 sin
2 2 2
=
= –
 
−
 
 
2
1 A A
sin sin
2 2 2
= –
 
 
 − − 
 
 
 
 
2
1 A 1 1
sin
2 2 2 4
=
 
− −
 
 
2

1 1 A 1
sin
8 2 2 2

Do (3) suy ra:
 
≤ − −
 
 
 
2
A B C 1 1 3 1
sin sin sin
2 2 2 8 2 2 2
=
− −
1 1
(4 2 3)
8 8

=
−
2 3 3
8

Dấu “=” xảy ra
⇔


=



=
 
⇔
 
= =



=


0
0
B-C
cos 1
A 120
2
A 3
B C 30
sin
2 2

42. (ðại học khối A 2005)
Với a, b > 0 ta có:
4ab
≤
(a + b)
2

⇔

+
≤
+
1 a b
a b 4ab

⇔

 
≤ +
 
+
 
1 1 1 1
a b 4 a b

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Áp dụng kết quả trên ta có:

 
≤ +
 
+
 
1 1 1 1
2x+y+z 4 2x y z

≤

 
 
+ +
 
 
 
 
1 1 1 1 1
4 2x 4 y z
=
 
+ +
 
 
1 1 1 1
8 x 2y 2z
(1)
Tương tự:

 
≤ +
 
+ + +
 
1 1 1 1
x 2y z 4 2y x z
≤

 
 
+ +
 
 
 
 
1 1 1 1 1
4 2y 4 x z
=
 
+ +
 
 
1 1 1 1
8 y 2z 2x
(2)

 
≤ +
 
+ + +
 
1 1 1 1
x y 2z 4 2z x y
≤

 
 
+ +

 
 
 
 
1 1 1 1 1
4 2z 4 x y
=
 
+ +
 
 
1 1 1 1
8 z 2x 2y
(3)
Vậy:
 
+ + ≤ + +
 
+ + + +
 
1 1 1 1 1 1
1
2x+y+z x 2y z x y 2z 4 x yz
= 1
Ta thấy trong các bất ñẳng thức (1), (2), (3) thì dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi
x = y = z. Vậy ñẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z =
3
4
.
43. (ðại học khối B 2005)

Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho 2 số dương ta có:

       
+ ≥
       
       
x x x x
12 15 12 15
2 .
5 4 5 4

⇒

   
+
   
   
x x
12 15
5 4
≥
2.3
x
(1)
Tương tự ta có:

   
+
   
   

x x
12 20
5 3
≥
2.4
x
(2)
   
+
   
   
x x
15 20
4 3

≥
2.5
x
(3)
Cộng các bất ñẳng thức (1), (2), (3), chia 2 vế của bất ñẳng thức nhận ñược cho 2 ta có ñpcm.
ðẳng thức xảy ra
⇔
(1), (2), (3) là các ñẳng thức
⇔
x = 0.