Tổ hợp, xác suất ppt

Tổ hợp - Xác suất
Các bài toán về công thức
,
k k
n n
C A
và
n
P
D05: Tính giá trị của biểu thức
4 3
1
3
( 1)!
n n
A A
M
n
+
+
=
+
, biết rằng
2 2 2 2
1 2 3 4
2 2 149
n n n n
C C C C
+ + + +
+ + + =
.

ĐS:
5n =
và
3
4
M =
B07: Chứng minh rằng
1
1 1
1 1 1 1
2
k k k
n n n
n
n C C C
+
+ +
 
+
+ =
 ÷
+
 
.
D03 (dự bị): Tìm n biết
2 2 2 3 3 3
2 100
n n
n n n n n n
C C C C C C

− −
+ + =
ĐS: n = 4
A04 (dự bị): Cho tập A gồm n phần tử,
7n ≥
. Tìm n, biết rằng số tập con gồm 7 phần tử của tập A bằng hai
lần số tập con gồm 3 phần tử của tập A.
ĐS:
7 3
2 11
n n
C C n= ⇔ =
A05 (dự bị): Tìm
{ }
0;1;2; ;2005k ∈
sao cho
2005
k
C
đạt giá trị lớn nhất.
ĐS:
1002 1003k k= ∨ =
B05 (dự bị): Tìm n biết
2 2
2 6 12
n n n n
P A P A+ − =
.
ĐS: n = 2 hoặc n = 3
Chuyên Lương Văn Chánh - Phú Yên: Chứng minh rằng

*
2
2
1
,
2
2 1
n
n
n
C
n
n
> ∀ ∈
+
¥
.
Gợi ý:
2
2
1.3.5 (2 1)
2 2.4.6 (2 )
n
n
n
C n
n
−
=
và

2 1 2 1
2
2 1
n n
n
n
− −
<
+
Đại học An ninh: Giải phương trình
4
4
2
143
0
4
n
n n
A
P P
+
+
− <
.
Đại học Bách khoa Hà Nội: Giải hệ phương trình
2 5 90
5 2 80
y y
x x
y y

x x
A C
A C

+ =


− =


.
ĐS: x = 5; y = 2
Đại học Bách khoa Hà Nội: Giải bất phương trình
2 2 3
2
1 6
10
2
x x x
A A C
x
− ≤ +

Các bài toán chọn số
A03 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có 4 chữ số khác nhau?
ĐS: 952 số
A03 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác
nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3?
ĐS: 192 số
B03 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác

nhau và tổng của ba chữ số đầu nhỏ hơn tổng của ba chữ số cuối một đơn vị?
ĐS: 108 số
D03 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số
gồm 7 chữ số khác nhau.
ĐS: 90720 số
D04 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 2156 gồm 4 chữ số khác nhau?
ĐS: 311 số

Tổ hợp - Xác suất
B05 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6 chữ
số khác nhau và tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8?
ĐS: 1440 số
D05 (dự bị): Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số
khác nhau và nhất thiết phải có mặt chữ số 1 và 5?
ĐS: 1200 số
A06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau? Tính
tổng của tất cả các chữ số tự nhiên đó.
ĐS: 96 số và tổng S = 2599980
B06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có 5
chữ số khác nhau, trong đó có đúng 2 chữ số lẻ và chúng đứng cạnh nhau?
ĐS: 360 số
D06 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có
5 chữ số khác nhau.
ĐS: 360 số
D07 (dự bị): Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên chẵn mà mỗi số gồm có
4 chữ số khác nhau.
ĐS: 420 số
A07 (dự bị): Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm có 4 chữ số khác nhau?
ĐS: 2016 số
A08 (dự bị): Cho tập hợp E = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7}. Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 4 chữ số khác

nhau được lập từ các chữ số của E?
ĐS: 320 số
Toán học & Tuổi trẻ: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số và
chia hết cho 4?
ĐS: 1620 số
Đại học An ninh 2001: Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong
đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần.
ĐS: 720 số
Đại học Huế 2001: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số nào lặp lại đúng 3 lần?
ĐS: 8676 số
Đại học Ngoại thương TP HCM 2001: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
ĐS: 480 số
Đại học Quốc gia TP HCM 2001: Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt đúng
2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số khác có mặt không quá một lần.
ĐS: 11340 số

Các bài toán chọn người, chọn đồ vật
B04: Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15
câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao
cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2?
ĐS: 56875
B05: Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gổm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công
đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ?
ĐS: 207900

Tổ hợp - Xác suất
D06: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh
lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2
trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?

ĐS: 225
D02 (dự bị): Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học sinh khối 12, 6 học sinh
khối 11 và 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối
có ít nhất một em được chọn.
ĐS: 41811 cách
B03 (dự bị): Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em trong đó số học sinh nữ phải
nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
ĐS: 462 cách
D05 (dự bị): Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập một nhóm
đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó phải có ít nhất 3 nữ?
ĐS:
3 5 4 4 5 3
5 10 5 10 5 10
C C C C C C+ +
D06 (dự bị): Một lớp có 33 học sinh, trong đó có 7 nữ và 26 nam. Cần chia lớp học thành 3 tổ, tổ 1 có 10
học sinh, tổ 2 có 11 học sinh, tổ 3 có 12 học sinh sao cho trong mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách chia như vậy?
ĐS:
3 7 2 9 2 8 3 8 2 8 2 9
7 26 4 19 7 26 5 18 7 26 5 18
C C C C C C C C C C C C+ +
Chuyên Lê Quý Đôn - TP Hồ Chí Minh: Có 10 viên bi đỏ có bán kính khác nhau, 5 viên bi xanh có bán
kính khác nhau và 3 viên bi vàng có bán kính khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 9 viên bi có đủ ba
màu?
ĐS: 42910 cách
Đại học Cần Thơ 2001: Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp
xếp 10 học sinh trên thành một hàng ngang sao cho 7 học sinh nam phải đứng liền nhau?
ĐS:
Học viện Chính trị Quốc gia 2001: Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
a. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như

nhau?
b. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1 nam?
ĐS: a. 120 cách b. 66 cách
Học viện Kỹ thuật quân sự 2001: Một nhóm 16 học sinh gồm 3 giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao nhiêu
cách chia số học sinh đó thành 2 tổ (không phân biệt tổ 1 với tổ 2) , mỗi tổ có 8 người sao cho ở mỗi tổ đều
có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất hai học sinh khá.
ĐS: 3780 cách

Các bài toán hình học
B06 (dự bị): Cho hai đường thẳng song song a và b. Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt, trên đường
thẳng b có n điểm phân biệt (
2n ≥
). Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho. Tìm n.
ĐS:
2 2
10
10 2800 20
n
C nC n+ = ⇔ =
A07 (dự bị): Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lượt cho 1, 2, 3 và n điểm phân
biệt khác A, B, C, D. Tìm n biết số tam giác có ba đỉnh lấy từ n + 6 điểm đã cho là 439 tam giác.
ĐS:
3 3 3
6 3
439 10
n n
C C C n
+
− − = ⇔ =

Tổ hợp - Xác suất
NHỊ THỨC NEWTON
*****
A04: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1 (1 )x x
 
+ −
 
.
ĐS: 238
D04: Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Newton của
7
3
4
1
x
x
 
+
 ÷
 
với
0x >
.

ĐS: 35
A06: Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Newton của
7
4
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
với
0x ≠
, biết rằng:
1 2 20
2 1 2 1 2 1
2 1
n
n n n
C C C
+ + +
+ + + = −
.
ĐS:
10n =
và hệ số bằng 210.

D07: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển thành đa thức của
5 2 10
(1 2 ) (1 3 )x x x x− + +
.
ĐS:
4 4 3 3
5 10
( 2) 3 3320C C− + =
A08: Cho khai triển
0 1
(1 2 )
n n
n
x a a x a x+ = + + +
, trong đó
*
n ∈¥
và các hệ số
0 1
, , ,
n
a a a
thỏa mãn hệ
thức
1
0
4096

2 2
n
n
a a
a + + + =
. Tìm n và số lớn nhất trong các số
0 1
, , ,
n
a a a
.
ĐS:
12n =
và số lớn nhất là
8 8
8 12
2 126720a C= =
.
D08: Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức
1 3 2 1
2 2 1 2
2048
n
n n n
C C C
−
+
+ + + =
.
ĐS:

6n =

A12: Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
1 3
5
n
n n
C C
−
=
. Tìm số hạng chứa
5
x
trong khai triển nhị thức
Newton của
2
1
14
n
nx
x
 
−
 ÷
 
với
0x ≠
.
ĐS:
7n =

và số hạng cần tìm là
5
35
16
x−
A02 (dự bị): Giả sử
0 1
(1 )
n n
n
x a a x a x+ = + + +
. Biết rằng
( )
1 1
1 1
2 9 24
k k k
a a a
k n
− +
= = ≤ ≤ −
. Tính n.
ĐS:
10n =

D02 (dự bị): Cho
( ) ( )
10
11 10 9
1 2 11

1 2 x x x a x a x a+ + = + + + +
. Tính
5
a
.
ĐS:
5
672a =
B04 (dự bị): Biết rằng
100 100
0 1 100
(2 ) x a a x a x+ = + + +
. Chứng minh rằng
2 3
a a<
. Với giá trị nào của k thì
1k k
a a
+
<

( )
0 99k≤ ≤
?
ĐS:
2 98 3 97
2 3 100 100
2 2 6 98a a C C< ⇔ < ⇔ <
;
1

0 32
k k
a a k
+
< ⇔ ≤ ≤
B04 (dự bị): Giả sử
0 1
(1 2 )
n n
n
x a a x a x+ = + + +
. Biết rằng
0 1
729
n
a a a+ + + =
. Tìm n và số lớn nhất
trong các số
0 1
, , ,
n
a a a
.
ĐS:
6n =
và số lớn nhất là
4 4
4 12
2a C=
.

D04 (dự bị): Biết rằng trong khai triển nhị thức Newton của
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
tổng các hệ số của hai số hạng đầu
tiên bằng 24. Hãy tính tổng các hệ số của các số hạng chứa
k
x
với
0k >
và chứng minh rằng tổng này là
một số chính phương.

Tổ hợp - Xác suất
ĐS:
23n =
và
0 1 11 11 2
23 23 23
(2 )S C C C= + + + =
A05 (dự bị): Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
( )

2
2 3
n
x−
, biết rằng:
1 3 5 2 1
2 1 2 1 2 1 2 1
1024
n
n n n n
C C C C
+
+ + + +
+ + + + =
ĐS:
5n =
và hệ số bằng
3 7 3
10
3 2C−
.
B07 (dự bị): Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
( )
2
2
n
x +

, biết
3 2 1
8 49
n n n
A C C− + =
.
ĐS:
7n =
và hệ số bằng 280.
A08 (dự bị): Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
( )
2
1 3
n
x+
, biết
3 2
2 100
n n
A A+ =
.
ĐS:
5n =
và hệ số bằng 61236.
Đại học Vinh: Giả sử
2 3
0 1

1 2(1 ) 3(1 ) (1 )
n n
n
x x x n x a a x a x− + − + − + + − = + + +
. Tính hệ số
8
a
, biết
rằng n là số nguyên dương thỏa mãn
2 3
1 7 1
n n
C C n
+ =
.
ĐS:
9n
=
và
8 8
8 8 9
8 9 89a C C= + =
Thạch Thành I - Thanh Hóa: Giả sử
( )
10
2 12
0 1 12
1
1 2
4

x x x a a x a x
 
+ + + = + + +
 ÷
 
. Tính hệ số
8
a
.
ĐS:
8
31680a =
Tam Dương - Vĩnh Phúc: Tìm số hạng không chứa
x
trong khai triển nhị thức Newton của
10
3
2
2
x x
x
 
+
 ÷
 
với
0x >
.
ĐS: 3360
Đại học Quốc gia Hà Nội: Tìm số hạng không chứa

x
trong khai triển nhị thức Newton của
17
4 3
3
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
với
0x >
.
ĐS:
8
17
C
Hàm Rồng - Thanh Hóa: Tìm hệ số của
9
x
trong khai triển nhị thức Newton của
3
2
2
3
n
x

x
 
−
 ÷
 
, biết n là số
tự nhiên thỏa mãn
5 4 3 2 5
2
11
3 3
6
n n n n n
C C C C C
+
+ + + =
.
ĐS:
8n =
và số hạng cần tìm là
9
448
27
x−
Tứ Kỳ - Hải Dương: Tìm hệ số của
4
x
trong khai triển nhị thức Newton của
( )
8

2
1 x x+ +
.
ĐS: 266
Liên Hà - Hà Nội: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
5
3
1
n
x
x
 
+
 ÷
 
với
0x >
, biết rằng
1
4 3
7( 3)
n n
n n
C C n
+
+ +
− = +

.
ĐS:
12n =
và hệ số là
495
Trần Nguyên Hãn - Hải Phòng: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
1
2
n
x
x
 
+
 ÷
 
với
0x >
, biết rằng
2 1
1
4 6
n
n n
A C n
−
+
− = +

.
ĐS:
12n =
và hệ số là
4 8
12
2C

Tổ hợp - Xác suất
Đại học Nông nghiệp: Tìm hệ số của
8
x
trong khai triển nhị thức Newton của
40
2
2
1
x
x
 
+
 ÷
 
với
0x ≠
.
ĐS:
Đại học Thủy lợi:
9 10 14 14
0 1 14

( ) (1 ) (1 ) (1 ) P x x x x a a x a x= + + + + + + = + + +
. Tính
9
a
.
ĐS:
9
3003a =
Đại học Y Dược TP HCM: Với n là số nguyên dương, chứng minh các hệ thức sau:
0 1
0 2 2 1 3 2 1
2 2 2 2 2 2
1. 2
2.
n n
n n n
n n
n n n n n n
C C C
C C C C C C
−
+ + + =
+ + + = + + +
HẾT