Hệ thức lượng trong toán học - hệ thống kiến thức

Chuyên đề 9: HỆ THỨC LƯNG TRONG TAM GIÁC
TÓM TẮT GIÁO KHOA
I. Các ký hiệu:
• A, B, C: là các góc đỉnh A, B, C
• a, b, c : là độ dài các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C
• h
a
, h
b
, h
c
: là độ dài các đường cao hạ từ các đỉnh A, B, C
• m
a
, m
b
, m
c
: là độ dài các đường trung tuyến kẻ từ A, B, C
• l
a
, l
b
, l
c
: là độ dài các đường phân giác trong kẻ từ A, B, C
• R : là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
• r : là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
• p =
2
1

(a+b+c) : là nữa chu vi tam giác ABC
• S : là diện tích tam giác ABC
c
a
b
m
a
l
a
h
a
H D
M
B
A
C

II. Các hệ thức lượng trong tam giác vuông :
Trong tam giác vuông ABC . Gọi b
'
, c
'
là độ dài các hình chiếu các cạnh góc vuông lên cạnh huyền ta có
các hệ thức:

⎩
⎨
⎧
==
==

⎩
⎨
⎧
==
==
=
+=
=
+=
==
gBbtgCbc
gCctgBcb
BaCac
CaBab
cbha
cbh
cbh
cba
cabab
cot
cot
.7
cos.sin.
cos.sin.
.6 5
111
.4
3
.2
1

222
''2
222
''2




c &
2





46
c b
a
h
c'
b'
H
A
B
C


II.
Các hệ thức lượng trong tam giác thường
1.

Đònh lý hàm số CÔSIN:
Trong tam giác ABC ta luôn có :


C
abbac
Bcaacb
Abccba
cos2
cos2
cos2
222
222
222
−+=
−+=
−+=


47


c
b
a
A
B
C

Ghi nhớ: Trong một tam giác, bình phương mỗi cạnh bằng tổng bình phương hai cạnh kia trừ đi hai

lần tích hai cạnh ấy với côsin của góc xen giữa chúng.
Hệ quả: Trong tam giác ABC ta luôn có :


bc
acb
A
2
cos
222
−+
= ,
ac
bca
B
2
cos
222
−+
= ,
ab
cba
C
2
cos
222
−+
=

2.

Đònh lý hàm số SIN:
Trong tam giác ABC ta có :


R
C
c
B
b
A
a
2
sinsinsin
===


Hệ quả: Với mọi tam giác ABC, ta có:


CRcBRbARa sin2,sin2,sin2
=
=
=


c
a
b
O
A

B
C


Ghi nhớ:
Trong một tam giác, tỷ số giữa một cạnh của tam giác và sin của góc đối diện với cạnh đó bằng đường
kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
3. Đònh lý về đường trung tuyến:
Trong tam giác ABC ta có :


42
42
42
222
2
222
2
222
2
cba
m
bca
m
acb
m
c
b
a
−

+
=
−
+
=
−
+
=


48








4. Đònh lý về diện tích tam giác:

Diện tích tam giác ABC được tính theo các công thức sau:


))()((.5
.4
4
.3
sin
2

1
sin
2
1
sin
2
1
.2
2
1
2
1
2
1
.1
cpbpappS
prS
R
abc
S
AbcBacAabS
chbhahS
cba
−−−=
=
=
===
===

c
a
b
m
a
M
B
A
C
c
a
b
h
a
H
B
A
C

5. Đònh lý về đường phân giác:


ba
C
ab
l

ca
B
ac
l
cb
A
bc
l
cba
+
=
+
=
+
=
2
cos2
;
2
cos.2
;
2
cos.2


CÁC DẠNG TOÁN CƠ BẢN
Dạng 1: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC
Để chứng minh đẳng thức lượng giác A=B ta có thể thực hiện theo một trong các phương pháp sau
Phương pháp 1: Biến đổi vế này thành vế kia
Phương pháp 2: Xuất phát từ một một hệ thức đúng đã biết để suy ra đẳng thức cần chứng minh

VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a)
AB
sinA sinB sinC 4.cos .cos .cos
22
++=
C
2

b)
222
sin A sin B sin C 2 2cosA.cosB.cosC++=+
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh các đẳng thức sau:
a) (
tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC++=
Δ
ABC không vuông)
b)
AB BC CA
tg .tg tg .tg tg .tg 1
22 22 22
++
=


Dạng 2: CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC LƯNG GIÁC TRONG TAM GIÁC

I. Bất đẳng thức trong tam giác :
Nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì :

•
a > 0, b > 0, c > 0
•

bc abc−<<+

•

ca bca−<<+

•

ab cab−<<+

•

abc ABC>>⇔ > >

II. Các bất đẳng thức cơ bản :
1.
Bất đẳng thức Cauchy:


49

Cho hai số không âm a; b ta có :
2
ab
ab
+

≥

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a=b

Tổng quát :
Cho
n số không âm a
1
,a
2
, a
n
ta có :

12
12

.
n
n
n
aa a
aa a
n
+
++
≥

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi a
1

= a
2
= = a
n

2 . Bất đẳng thức Bunhiacốpski :
Cho bốn số thực a,b,x,y ta có :

22222
()()()ax by a b x y+≤+ +
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi ay = bx
Tổng quát :
Cho hai bộ số (, và ta có :
12
, )
n
aa a
12
( , , , )
n
bb b


222 222 2
11 2 2 1 2 1 2
( ) ( )( )
nn n n
ab ab ab a a a b b b+++ ≤+++ +++

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi

12
12

n
n
a
aa
bb b
===
với quy ước rằng nếu mẫu bằng 0 thì tử cũng bằng

3) Bất đẳng thức cơ bản:

1111
()
4
≤
+
+
x
yxy
a) Cho hai số dương x, y ta luôn có:

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = y


b) Với mọi số thực x, y ta luôn có:
xyyx 2
22
≥+

Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi x = y
III. Bất đẳng thức JENSEN :
1) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) < 0
);( bax
∈
∀
(f là hàm lồi) thì
Với mọi ta có: );(, ,,
21
baxxx
n
∈

)

(
)( )()(
2121
n
xxx
f
n
xfxfxf
nn
+
+
≤
+
+

+

)2( ≥n
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
n
xxx
=
=
=

21

2) Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai f''(x) > 0
);( bax
∈
∀
(f là hàm lõm) thì
Với mọi ta có: );(, ,,
21
baxxx
n
∈

50

)

(
)( )()(
2121

n
xxx
f
n
xfxfxf
nn
+
+
≥
+
+
+

)2( ≥n
Dấu "=" xãy ra khi và chỉ khi
n
xxx
=
=
=

21


Để chứng minh đẳng thức lượng giác A
<
B (>, ≥
≤
, ) ta có thể thực hiện theo một trong các phương
pháp sau:

Phương pháp 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh đến đến một bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Phương pháp 2: Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đã biết (Cô si, BCS, ) để suy ra bất đẳng thức cần
chứng minh
VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
8
1
2
sin.
2
sin.
2
sin
≤
CBA

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
2
33
2
cos
2
cos
2
cos ≤++
CBA

b)
2

33
sinsinsin ≤++ CBA

c)
3
222
≥++
C
tg
B
tg
A
tg

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a)
8
33
2
cos.
2
cos.
2
cos ≤
CBA

b)
33≥++ tgCtgBtgA

c)

33
1
2
.
2
.
2
≤
C
tg
B
tg
A
tg


Dạng 3: NHẬN DẠNG TAM GIÁC

KIỂU ĐỀ TOÁN 1:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Δ⇒
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
biệt đặc góc có giác tamlà
đều giác tamlà
cân giác tamlà
cân vuông giác tamlà
vuông giác tamlà
ABC
trước" cho kiệnĐiều"
mãn thỏa ABC giác tam Cho
THÌ

KIỂU ĐỀ TOÁN 2:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
Δ⇔
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
biệt đặc góc có giác tamlà
đều giác tamlà
cân giác tamlà
cân vuông giác tamlà
vuông giác tamlà
ABC
trước" cho kiệnĐiều"
mãn thỏa ABC giác tam Cho
VÀ ĐỦ CẦN


51
"Điều kiện cho trước" có thể là:
•
Đẳng thức lượng giác về góc
•
Đẳng thức lượng giác + độ dài (cạnh, trung tuyến, phân giác, )
•
Đẳng thức độ dài
• Hệ đẳng thức
1) Nhận dạng tam giác vuông
Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho
trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác
2) Nhận dạng tam giác cân
Phương pháp: Sử dụng các phép biến đổi tương đương hoặc hệ quả để biến đổi "Điều kiện cho

trước" đến một đẳng thức mà từ đó ta dể dàng kết luận được tính chất của tam giác
3) Nhận dạng tam giác đều
Ngoài phương pháp đã nêu trên ta có thể giải quyết bài toán theo cách sau

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: Gồm 2 bước (áp dụng khi "Điều kiện cho trước" có dạng
đẳng thức A = B

Bước 1: CM bất đẳng thức
B
A
≥
hoặc
B
A
≤
(1)

Bước 2: Lập luận để đẳng thức ở (1) xãy ra mà khi đẳng thức (1) xảy ra thì tam giác ABC đều
VÍ DỤ MINH HỌA:
Ví dụ 1: Tam giác ABC có
tgA
A
B
BA
=
+
+
cossin
cossin
. Chứng minh rằng

Δ
ABC vuông
Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu thỏa mãn điều kiện
ABCΔ 012cos2cos2cos =+
+
+
CBA
thì tam
giác đó là tam giác vuông
Ví dụ 3: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác cân
1)
C
tgA tgB 2.cotg
2
+=
2)
sinA sinB sinC A C
cotg .cotg
sinA sin B sinC 2 2
+
+
=
+−

Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu tam giác ABC thoả mãn một trong các điều kiện sau là tam giác đều
2)
ABC
cos cos cos
222
3

1cosA1cosB1cosC
++=
+++


52
1)
1
cosA.cosB.cosC
8
=
3)
AB
cosA cosB cosC sin sin sin
22
++=++
C
2
4)
111111
AB
cosA cosB cosC
sin sin sin
22
++=++
C
2

Ví dụ 5: Xác đònh dạng của tam giác ABC biết:
1)

C
abtg(a.tgAb.tgB)
2
+= +

2)
bc a
cosB cosC sinB.sinC
+=

3)
bc
cosB cosC
a
+
+=

4)
a.cosA b.cosB c.cosC 1
abc 2
++
=
++

Ví dụ 6: Hãy tính các góc của tam giác ABC nếu trong tam giác đó ta có :

222
9
sin A sin B sin C 3cosC cos C
4

++=+ +
2

Ví dụ 7: Tính các góc của tam giác ABC biết rằng

⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
−
=
≤−
8
332
2
sin
2
sin
2
sin
)(4
CBA
bcapp

trong đó BC = a, AB = c,
2
cba
p
+

+
=



Hết

53