Tuyển tập và hệ thống các bài toán tổ hợp

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

4

22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có thể lập được bao nhiêu số gồm 8 chữ số từ các chữ số: 1, 2, 3, 4,
5, 6 trong đó các chữ số 1 và 6 đều có mặt 2 lần, các chữ số khác
có mặt 1 lần.
23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Có bao nhiêu số khác nhau gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số
của mỗi số là một số chẵn.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Tìm tất cả các số tự nhiên có đúng 5 chữ số sao cho trong mỗi số đó
chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng liền trước.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Một đồn cảnh sát khu vực có 9 người. Trong ngày, cần cử 3 người
làm nhiệm vụ ở đòa điểm A, 2 người ở đòa điểm B, còn 4 người
thường trực tại đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân công?
26. (ĐH GTVT 2000)
Một lớp học có 20 học sinh, trong đó có 2 cán bộ lớp. Hỏi có bao
nhiêu cách cử 3 người đi dự hội nghò Hội sinh viên của trường sao
cho trong 3 người đó có ít nhất một cán bộ lớp.
27. (HV Quân y 2000)
Xếp 3 viên bi đỏ có bán kính khác nhau và 3 viên bi xanh giống nhau
vào một dãy 7 ô trống. Hỏi:
1. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp khác nhau sao cho 3 viên bi đỏ xếp cạnh
nhau và 3 viên bi xanh xếp cạnh nhau?
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9?
29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)

Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số khác nhau lớn hơn 500000?
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Với các số: 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể thành lập được bao nhiêu số tự
nhiên gồm 4 chữ số khác nhau và trong đó phải có mặt chữ số 0.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Một lớp học sinh mẫu giáo gồm 15 em, trong đó có 9 em nam, 6 em
nữ. Cô giáo chủ nhiệm muốn chọn một nhóm 5 em để tham dự trò
chơi gồm 3 em nam và 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
32. (ĐH An ninh khối D 2001)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4. Hỏi có thể thành lập được bao nhiêu số
có bảy chữ số từ những chữ số trên, trong đó chữ số 4 có mặt đúng
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

1

Phần 1. BÀI TOÁN ĐẾM

1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
Cho tập hợp A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
1. Có bao nhiêu tập con X của tập A thoả điều kiện X chứa 1 và
không chứa 2.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau
lấy từ tập A và không bắt đầu bởi 123.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Một học sinh có 12 cuốn sách đôi một khác nhau, trong đó có 2 cuốn
sách Toán, 4 cuốn sách Văn và 6 cuốn sách Anh. Hỏi có bao nhiêu
cách xếp tất cả các cuốn sách lên một kệ sách dài, nếu các cuốn
sách cùng môn được xếp kề nhau?
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
Một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có 6 ghế. Người

ta muốn xếp chỗ ngồi cho 6 học sinh trường A và 6 học sinh trường
B vào bàn nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách xếp trong mỗi trường hợp
sau:
1. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì khác
trường với nhau.
2. Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
Cho tập X = {0,1,2,3,4,5,6,7}. Có thể lập được bao nhiêu số n gồm 5
chữ số khác nhau đôi một từ X (chữ số đầu tiên phải khác 0) trong
mỗi trường hợp sau:
1. n là số chẵn.
2. Một trong ba chữ số đầu tiên phải bằng 1.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta
chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số
bi lấy ra không có đủ cả 3 màu?
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu có ghi số thứ tự từ 1 đến 5 cạnh
nhau.
1. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau?
2. Có bao nhiêu cách xếp để các phiếu phân thành hai nhóm chẵn lẻ
riêng biệt (chẳng hạn 2, 4, 1, 3, 5)?
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

2

Người ta viết các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 lên các tấm phiếu, sau đó xếp
thứ tự ngẫu nhiên thành một hàng.
1. Có bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số được sắp thành?

2. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số được sắp thành?
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
Xét những số gồm 9 chữ số, trong đó có năm chữ số 1 và bốn chữ số
còn là 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số như thế, nếu:
1. Năm chữ số 1 được xếp kề nhau.
2. Các chữ số được xếp tuỳ ý.
9. (ĐH Hàng hải 1999)
Có bao nhiêu cách sắp xếp năm bạn học sinh A, B, C, D, E vào một
chiếc ghế dài sao cho:
1. Bạn C ngồi chính giữa.
2. Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế.
10. (HV BCVT 1999)
Hỏi từ 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu
số gồm 6 chữ số khác nhau, sao cho trong các chữ số đó có mặt số
0 và 1.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)
Từ 5 chữ số 0, 1, 3, 5, 7 có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số
khác nhau và không chia hết cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
Một thầy giáo có 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 5 cuốn
sách Văn, 4 cuốn sách Nhạc và 3 cuốn sách Hoạ. Ông muốn lấy ra
6 cuốn và tặng cho 6 học sinh A, B, C, D, E, F mỗi em một cuốn.
1. Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn
sách thuộc 2 thể loại Văn và Nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng?
2. Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi một trong
ba loại sách trên đều còn lại ít nhất một cuốn. Hỏi có bao nhiêu cách
chọn?
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được
chọn ra để lập một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau

nếu:
1) phải có ít nhất là 2 nữ.
2) chọn tuỳ ý.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
Cho các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Từ các chữ số đã cho ta có thể lập
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

3

được:
1. Bao nhiêu số chẵn có bốn chữ số và bốn chữ số đó khác nhau
từng đôi một.
2. Bao nhiêu số chia hết cho 5, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
3. Bao nhiêu số chia hết cho 9, có ba chữ số và ba chữ số đó khác
nhau từng đôi một.
15. (ĐH Y HN 2000)
Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lí nam. Lập
một đoàn công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán
học và nhà vật lí. Hỏi có bao nhiêu cách?
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 ta lập các số mà mỗi số có năm chữ số
trong đó các chữ số khác nhau từng đôi một. Hỏi
1. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt chữ số 2.
2. Có bao nhiêu số trong đó phải có mặt hai chữ số 1 và 6.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn ra 5 người sao cho:
1. Có đúng 2 nam trong 5 người đó.
2. Có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ trong 5 người đó.

18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Từ 3 chữ số 2, 3, 4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5
chữ số, trong đó có mặt đủ 3 chữ số trên.
19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số
là một số lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
Có 9 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ, 4 viên bi vàng có kích thước đôi một
khác nhau.
1. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó có đúng 2 viên bi
đỏ.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 6 viên bi, trong đó số bi xanh bằng số
bi đỏ.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 5 thẻ trắng và 5 thẻ đen, đánh dấu mỗi loại theo các số 1, 2, 3, 4,
5. Có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các thẻ này thành một hàng sao
cho hai thẻ cùng màu không nằm liền nhau.
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

8

Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ.
Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về
giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ.
61. (ĐH khối A 2005 dự bò 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng
chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.
62. (ĐH khối B 2005 dự bò 1)
Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu

cách lập một nhóm đồng ca gồm 8 người, biết rằng trong nhóm đó
phải có ít nhất 3 nữ.
63. (ĐH khối B 2005 dự bò 2)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên, mỗi số gồm 5 chữ số khác nhau và nhất thiết phải có 2 chữ
số 1, 5.
64. (ĐH khối D 2006)
Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh,
gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần
chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ, sao cho 4 học sinh này thuộc
không quá 2 trong 3 lớp trên. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy?
65. (CĐ GTVT III khối A 2006)
Từ một nhóm gồm 15 học sinh khối A, 10 học sinh khối B, 5 học sinh
khối C, chọn ra 15 học sinh sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A và
đúng 2 học sinh khối C. Tính số cách chọn.
66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số, trong đó chữ số 0 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 1 có mặt đúng 1 lần và hai chữ số còn lại phân
biệt?
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm hai chữ số khác nhau? Tính tổng
của tất cả các số đó.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Cho 2 đường thẳng d
1
, d
2
song song với nhau. Trên đường thẳng d
1

cho 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d
2
cho 8 điểm phân biệt.
Hỏi có thể lập được bao nhiêu tam giác mà 3 đỉnh của mỗi tam giác
lấy từ 18 điểm đã cho.


Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

5

3 lần, còn các chữ số khác có mạt đúng 1 lần.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Một nhóm gồm 10 học sinh, trong đó có 7 nam và 3 nữ. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dài sao cho 7
học sinh nam phải đứng liền nhau.
34. (HV Chính trò quốc gia 2001)
Một đội văn nghệ có 10 người, trong đó có 6 nữ và 4 nam.
1. Có bao nhiêu cách chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người
bằng nhau và mỗi nhóm có số nữ như nhau.
2. Có bao nhiêu cách chọn ra 5 người mà trong đó không có quá 1
nam.
35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Cho 8 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số
gồm 6 chữ số khác nhau, trong đó nhất thiết phải có mặt chữ số 4.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số sao cho không có chữ số
nào lặp lại đúng 3 lần?
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
Từ một nhóm học sinh gồm 7 nam và 6 nữ, thầy giáo cần chọn ra 5

em tham dự lễ mittinh tại trường với yêu cầu có cả nam và nữ. Hỏi có
bao nhiêu cách chọn?
38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Trong số 16 học sinh có 3 học sinh giỏi, 5 khá, 8 trung bình. Có bao
nhiêu cách chia số học sinh đó thành 2 tổ, mỗi tổ có 8 người sao cho
ở mỗi tổ đều có học sinh giỏi và mỗi tổ có ít nhất 2 học sinh khá.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên mà mỗi số có 5 chữ số khác nhau và trong đó phải có chữ số
5.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có thể tìm được bao nhiêu số gồm 3 chữ số khác nhau đôi một?
2. Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có 5 chữ số đôi một khác nhau?
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể thiết lập được bao nhiêu số có 6
chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau?
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Có 6 học sinh nam và 3 học sinh nữ xếp thành một hàng dọc. Hỏi có
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

6

bao nhiêu cách xếp để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ 3 học
sinh nữ. (Khi đổi chỗ 2 học sinh bất kì cho nhau ta được một cách
xếp mới).
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số có
9 chữ số mà chữ số 9 đứng ở vò trí chính giữa?
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)

1. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau, trong
đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1.
2. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số, biết rằng chữ số 2 có mặt
đúng 2 lần, chữ số 3 có mặt đúng 3 lần và các chữ số còn lại có mặt
không quá một lần.
45. (ĐHSP HN II 2001)
Tính tổng tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau đôi một
được lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)
Cho A là một hợp có 20 phần tử.
1. Có bao nhiêu tập hợp con của A?
2. Có bao nhiêu tập hợp con khác rỗng của A mà có số phần tử là số
chẵn?
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Có bao nhiêu số chẵn có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ
các chữ số 1, 2, 3, 4, 5.
2. Có bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau được tạo thành từ các
chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 mà các số đó nhỏ hơn số 345.
48. (ĐH Văn Lang 2001)
Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 học
sinh để đi làm công tác “Mùa hè xanh”. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
nếu trong 5 học sinh đó phải có ít nhất:
1. Hai học sinh nữ và hai học sinh nam.
2. Một học sinh nữ và một học sinh nam.
49. (ĐH Y HN 2001)
Với các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập được bao nhiêu số
chẵn có ba chữ số khác nhau và không lớn hơn 789?
50. (ĐH khối D dự bò 1 2002)
Đội tuyển học sinh giỏi của một trường gồm 18 em, trong đó có 7 học
sinh khối 12, 6 học sinh khối 11, 5 học sinh khối 10. Hỏi có bao

nhiêu cách cử 8 học sinh trong đội đi dự trại hè sao cho mỗi khối có
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

7

ít nhất một em được chọn.
51. (ĐH khối A 2003 dự bò 2)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau và chữ số 2 đứng cạnh chữ số 3.
52. (ĐH khối B 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
mà mỗi số có 6 chữ số và thoả mãn điều kiện: sáu chữ số của mỗi
số là khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn
tổng của 3 chữ số cuối một đơn vò.
53. (ĐH khối B 2003 dự bò 2)
Từ một tổ gồm 7 học sinh nữ và 5 học sinh nam cần chọn ra 6 em
trong đó số học sinh nữ phải nhỏ hơn 4. Hỏi có bao nhiêu cách chọn
như vậy?
54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1)
Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự
nhiên chẵn mà mỗi số gồm 7 chữ số khác nhau?
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. Tìm số giao điểm tối đa của:
a) 10 đường thẳng phân biệt.
b) 6 đường tròn phân biệt.
2. Từ kết quả của câu 1) hãy suy ra số giao điểm tối đa của tập hợp
các đường nói trên.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò)
Cho đa giác lồi n cạnh. Xác đònh n để đa giác có số đường chéo gấp
đôi số cạnh.

57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được bao nhiêu số gồm 3 chữ
số khác nhau và nhỏ hơn 245.
58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Từ 5 chữ số 0, 1, 2, 5, 9 có thể lập được bao nhiêu số lẻ, mỗi số gồm
4 chữ số khác nhau.
59. (ĐH khối B 2004)
Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu
hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có
thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau
và nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu
hỏi dễ không ít hơn 2.
60. (ĐH khối B 2005)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

12

2. Lập một số có 9 chữ số thoả mãn yêu cầu; thực chất là việc xếp
các số 2, 3, 4, 5 vào 4 vò trí tuỳ ý trong 9 vò trí (5 vò trí còn lại đương
nhiên dành cho chữ số 1 lặp 5 lần).
Vậy: có tất cả =
4
9
9!
A
5!
= 6.7.8.9 = 3024 số.
9. (ĐH Hàng hải 1999)
1. Xếp C ngồi chính giữa: có 1 cách.
Xếp A, B, D, E vào 4 chỗ còn lại: có 4! = 24 cách.

Vậy: có 24 cách xếp thoả yêu cầu.
2. Xếp A và E ngồi ở hai đầu ghế: có 2! = 2 cách.
Xếp B, C, D vào 3 chỗ còn lại: có 3! = 6 cách.
Vậy: có 2.6 = 12 cách xếp thoả yêu cầu.
10. (HV BCVT 1999)
* Số các số có 6 chữ số khác nhau là:
-
65
1010
AA
= 9.9.8.7.6.5 = 136080
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 0 là:

6
9
A
= 9.8.7.6.5.4 = 60480
* Số các số có 6 chữ số khác nhau và đều khác 1 là:
-
65
99
AA
= 8.8.7.6.5.4 = 53760
Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau trong đó đều có mặt 0 và 1 là:
136080 – 60480 – 53760 = 21840 số.
11. (ĐHQG HN khối B 2000)
* Trước hết ta tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau:
Có 4 khả năng chọn chữ số hàng ngàn (không chọn chữ số 0)
Có
3

4
A
khả năng chọn 3 chữ số cuối.
Þ Có 4.
3
4
A
= 4.4! = 96 số.
* Tìm số các số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5:
Nếu chữ số tận cùng là 0: có
3
4
A
= 24 số
Nếu chữ số tận cùng là 5: có 3 khả năng chọn chữ số hàng nghìn,
có
2
3
A
= 6 khả năng chọn 2 chữ số cuối. Vậy có 3.6 = 18 số
Do đó có 24 + 18 = 42 số gồm 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 5.
Vậy có: 96 – 42 = 54 số gồm 4 chữ số khác nhau và không chia hết
cho 5.
12. (ĐHQG TPHCM khối A 2000)
1. Số cách tặng là số cách chọn 6 cuốn sách từ 9 cuốn có kể thứ tự.
Vậy số cách tặng là
6
9
A
= 60480

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

9

BÀI GIẢI

1. (ĐHQG TPHCM khối A đợt 1 1999)
1.
{}
{ }
Ì
ì
ì
=È
ïï
ỴÛ
íí
Ì
ï
ï
ỵ
Ï
ỵ
XA
X1Y
1X
Y3,4,5,6,7,8
2X
.
Do đó số các tập X bằng số các tập con Y của tập hợp {3,4,5,6,7,8}

Mà số các tập con Y của {3,4,5,6,7,8} là: 2
6
= 64.
Vậy có 64 tập con X của A chứa 1 và không chứa 2.
2. Gọi * m là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau lấy từ A.
* n là số các số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác
nhau lấy từ A và bắt đầu bởi 123.
* p là số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu đề bài.
Ta cần tính p. Hiển nhiên p = m – n
· Tính m: Lập một số chẵn
54321
aaaaa
gồm 5 chữ số khác nhau a
1
,
a
2
, a
3
, a
4
, a
5
Ỵ A, có nghóa là:
Lấy a
1
từ {2, 4, 6, 8} ® có 4 cách
Lấy a
2

, a
3
, a
4
, a
5
từ 7 số còn lại của A ® có
4
7
A
= 7.6.5.4 = 840 cách
Do đó: m = 4.840 = 3360.
· Tính n: Lập một số chẵn
21
123aa
bắt đầu bởi 123; a
1
,a
2
Ỵ A; a
1
≠ a
2

Lấy a
1
từ {4,6,8} ® có 3 cách
Lấy a
2
từ A \ {1,2,3,a

1
} ® có 4 cách
Do đó: n = 3.4 = 12
Vậy: số p cần tìm là: p = 3360 – 12 = 3348.
2. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 1 1999)
Bước 1: Đặt 3 nhóm sách lên kệ dài: 3! cách
Bước 2: Trong mỗi nhóm ta có thể thay đổi cách xếp đặt sách:
Nhóm sách Toán: 2! cách
Nhóm sách Văn: 4! cách
Nhóm sách Anh: 6! cách
Kết luận: có 3!2!4!6! = 6.2.24.720 = 207360 cách.
3. (ĐHQG TPHCM khối AB đợt 2 1999)
1. Giai đoạn 1: Xếp chỗ ngồi cho hai nhóm học sinh, có 2 cách xếp:
A B A B A B B A B A B A

B A B A B A A B A B A B
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

10

Giai đoạn 2: Trong nhóm học sinh của trường A, có 6! cách xếp các
em vào 6 chỗ.
Tượng tự, có 6! cách xếp 6 học sinh trường B vào 6 chỗ.
Kết luận: có 2.6!6! = 1036800 cách
2. Học sinh thứ nhất trường A ngồi trước: có 12 cách chọn ghế để
ngồi.
Sau đó, chọn học sinh trường B ngồi đối diện với học sinh thứ nhất
trường A: có 6 cách chọn học sinh trường B.
Học sinh thứ hai của trường A còn 10 chỗ để chọn, chọn học sinh
trường B ngồi đối diện với học sinh thứ hai trường A: có 5 cách chọn,

v.v…
Vậy: có 12.6.10.5.8.4.6.3.2.1.1 = 2
6
.6!.6! = 33177600 cách.
4. (ĐHQG TPHCM khối D đợt 2 1999)
1. Xem các số chắn hình thức
abcde
(kể cả a = 0), có 4 cách chọn e
Ỵ {0,2,4,6}, vì là số chẵn.
Sau đó chọn a, b, c, d từ X \ {e}, số cách chọn là:
4
7
A
= 840
Vậy: có 4.840 = 3360 số chẵn hình thức.
Ta loại những số có dạng
0bcde
. Có 3 cách chọn e, và
3
6
A
cách
chọn b, c, d từ X \ {0,e}. Vậy có 3.
3
6
A
= 360 số chẵn có dạng
0bcde
.
Kết luận: có 3360 – 360 = 3000 số thoả yêu cầu đề bài.

2. n =
abcde

* Xem các số hình thức
abcde
(kể cả a = 0). Có 3 cách chọn vò trí
cho 1. Sau đó chọn chữ số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {1}: có
4
7
A
cách.
Như thế: có 3.
4
7
A
= 2520 số hình thức thoả yêu cầu đề bài.
* Xem các số hình thức
0bcde
. Có 2 cách chọn vò trí cho 1. Chọn chữ
số khác nhau cho 3 vò trí còn lại từ X \ {0,1}, số cách chọn là
3
6
A
.
Như thế: có 2.
3
6
A
= 240 số hình thức dạng
0bcde

.
Kết luận: số các số n thoả yêu cầu đề bài là: 2520 – 240 = 2280 số.
5. (ĐH Huế khối A chuyên ban 1999)
Số cách chọn 4 bi trong số 15 bi là:
4
15
C
= 1365.
Các trường hợp chọn 4 bi đủ cả 3 màu là:
* 2 đỏ + 1 trắng + 1 vàng: có
211
456
CCC
= 180
* 1 đỏ + 2 trắng + 1 vàng: có
121
456
CCC
= 240
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

11

* 1 đỏ + 1 trắng + 2 vàng: có
112
456
CCC
= 300
Do đó số cách chọn 4 bi đủ cả 3 màu là: 180 + 240 + 300 = 720
Vậy số cách chọn để 4 bi lấy ra không đủ 3 màu là: 1365 – 720 =

645.
6. (ĐH Huế khối D chuyên ban 1999)
1. * Xếp các phiếu số 1, 2, 3, 5 có 4! = 24 cách.
* Sau đó xếp phiếu số 4 vào cạnh phiếu số 2 có 2 cách.
Vậy: có 2.24 = 48 cách xếp theo yêu cầu đề bài.
2. * Khi nhóm chẵn ở bên trái, nhóm lẻ ở bên phải. Số cách xếp cho
2 số chẵn là 2! cách. Số cách xếp cho 3 số lẻ là: 3! cách.
Vậy có 2.6 = 12 cách.
* Tương tự cũng có 12 cách xếp mà nhóm chẵn ở bên phải, nhóm lẻ
ở bên trái.
Vậy: có 12 + 12 = 24 cách.
7. (ĐH Huế khối RT chuyên ban 1999)
Số có 6 chữ số khác nhau có dạng:
abcdef
với a ≠ 0
1. Vì số tạo thành là số lẻ nên f Ỵ {1, 3, 5}.
Do đó: f có 3 cách chọn
a có 4 cách chọn (trừ 0 và f)
b có 4 cách chọn (trừ a và f)
c có 3 cách chọn (trừ a, b, f)
d có 2 cách chọn (trừ a, b, c, f)
e có 1 cách chọn (trừ a, b, c, d, f)
Vậy: có 3.4.4.3.2.1 = 288 số
2. Vì số tạo thành là số chẵn nên f Ỵ {0, 2, 4}.
* Khi f = 0 thì (a,b,c,d,e) là một hoán vò của (1,2,3,4,5). Do đó có 5! số
* Khi f Ỵ {2, 4} thì:
f có 2 cách chọn
a có 4 cách chọn
b có 4 cách chọn
c có 3 cách chọn

d có 2 cách chọn
e có 1 cách chọn
Do đó có 2.4.4.3.2.1 = 192 số.
Vậy: có 120 + 192 = 312 số chẵn.
8. (HV Ngân hàng TPHCM 1999)
1. Gọi 11111 là số a. Vậy ta cần sắp các số a, 2, 3, 4, 5. Do đó số có
9 chữ số trong đó có 5 chữ số 1 đứng liền nhau là: 5! = 120 số.
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

16

1234567
aaaaaaa
mà tổng các chữ số là một số chẵn.
Vậy có tất cả: 9.10
5
.5 = 45.10
5
số.
24. (ĐH Sư phạm Vinh khối DGM 2000)
Theo yêu cầu của bài toán và số 0 không đứng trước bất kì số nào
nên các số có 5 chữ số chỉ có thể tạo thành từ các số {1, 2, 3, 4, …,
8, 9} = T. Ứng với mỗi bộ 5 chữ số phân biệt bất kì trong T chỉ có 1
cách sắp xếp duy nhất thoả mãn đứng sau lớn hơn chữ số liền trước.
Vậy số các số cần tìm là: =
5
9
9!
C
5!4!

= 126.
25. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Có tất cả: ==
324224
969597
C.CC.CC.C
= 1260 cách
26. (ĐH GTVT 2000)
Có 2 khả năng:
* 1 cán bộ lớp và 2 học sinh thường: có
12
218
C.C

* 2 cán bộ lớp và 1 học sinh thường: có
21
218
C.C

Vậy số chọn là:
12
218
C.C
+
21
218
C.C
= 324 cách.
27. (HV Quân y 2000)
1. Trước hết xếp 3 viên bi đỏ vào 7 ô trống. Do các viên bi đỏ khác

nhau nên số cách xếp là
3
7
A
.
Sau đó xếp 3 viên bi xanh vào 4 ô còn lại. Do các viên bi xanh giống
nhau nên số cách xếp là
3
4
C
.
Vậy số cách xếp khác nhau là:
3
7
A
.
3
4
C
= 840 cách.
2. Trước hết ta cần chú ý về màu, để đỏ đứng cạnh nhau và xanh
đứng cạnh nhau chỉ có 6 cách xếp.
Sau đó, do các viên bi đỏ khác nhau, nên ta hoán vò các viên bi đỏ
với nhau. Số các hoán vò là 3!
Vậy số cách xếp khác nhau để các viên bi đỏ đứng cạnh nhau và
các viên bi xanh đứng cạnh nhau là: 6.3! = 36 cách.
28. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CPB 2000)
Các số có 6 chữ số, chia hết cho 9, viết theo thứ tự tăng là:
100008, 100017, 100035, …, 999999
Các số lẻ có 6 chữ số, chia hết cho 9, lập thành một cấp số cộng:

u
1
= 100017, 100035, …, u
n
= 999999
với công sai d = 18. Do đó:
u
n
= u
1
+ (n – 1)d Û 999999 = 100017 + (n – 1).18 Û n = 50000
Vậy tất cả có 50000 số lẻ gồm 6 chữ số, chia hết cho 9.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

13

2. Nhận xét: không thể chọn sao cho cùng hết 2 loại sách.
Số cách chọn 6 cuốn sách từ 12 cuốn sách là:
6
12
A
= 665280
Số cách chọn sao cho không còn sách Văn là:
5
6
A.7
= 5040
Số cách chọn sao cho không còn sách Nhạc là:
42
68

A.A
= 20160
Số cách chọn sao cho không còn sách Hoạ là:
33
69
A.A
= 60480
Số cách chọn cần tìm là: 665280 – (5040 + 20160 + 60480) = 579600
13. (ĐH Huế khối A chuyên ban 2000)
1. Để có ít nhất là 2 nữ thì ta phải chọn:
* 2 nữ, 4 nam ® có
24
1530
C.C
cách
hoặc * 3 nữ, 3 nam ® có
33
1530
C.C
cách
hoặc * 4 nữ, 2 nam ® có
42
1530
C.C
cách
hoặc * 5 nữ, 1 nam ® có
51
1530
C.C
cách

hoặc * 6 nữ ® có
6
15
C
cách
Vậy: có
24
1530
C.C
+
33
1530
C.C
+
42
1530
C.C
+
51
1530
C.C
+
6
15
C
cách
2. Nếu chọn tuỳ ý thì số cách chọn là:
6
45
C

.
14. (ĐH Huế khối DRT chuyên ban 2000)
1. Số chẵn gồm bốn chữ số khác nhau có dạng:

abc0
hoặc
abc2
hoặc
abc4

* Với số
abc0
ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3 cách chọn c.
Þ Có 5.4.3 = 60 số
* Với số
abc2
hoặc
abc4
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b, 3
cách chọn c.
Þ Có 4.4.3 = 48 số
abc2
và 48 số
abc4

Vậy có: 60 + 48 + 48 = 156 số chẵn.
2. Số chia hết cho 5 và gồm ba chữ số có dạng
ab0
hoặc
ab5

.
* Với số
ab0
ta có: 5 cách chọn a, 4 cách chọn b.
Þ Có 5.4 = 20 số
* Với số
ab5
ta có: 4 cách chọn a, 4 cách chọn b.
Þ Có 4.4 = 16 số
Vậy có: 20 + 16 số cần tìm.
3. Gọi
abc
là số chia hết cho 9 gồm ba chữ số khác nhau. Khi đó
{a,b,c} có thể là: {0,4,5}, {1,3,5}, {2,3,4}.
* Khi {a,b,c} = {0,4,5} thì các số phải tìm là: 405, 450, 504, 540
® có 4 số
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

14

* Khi {a,b,c} = {1,3,5} hay {2,3,4} thì số phải tìm là hoán vò của 3 phần
tử ® có 3! = 6 số.
Vậy có: 4 + 6 + 6 = 16 số cần tìm.
15. (ĐH Y HN 2000)
Số cách chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí
nam là:
111
534
C.C.C
= 5.3.4 = 60

Số cách chọn 1 nhà toán học nữ, 2 nhà vật lí nam là:
12
34
C.C
= 18
Số cách chọn 2 nhà toán học nữ, 1 nhà vật lí nam là:
21
34
C.C
= 12
Vậy: có 60 + 18 + 12 = 90 cách chọn
16. (ĐH Cần Thơ khối D 2000)
Xét số năm chữ số
12345
aaaaa

1. Xếp chữ số 2 vào một trong năm vò trí: có 5 cách xếp
Sau đó xếp 5 chữ số còn lại vào 4 vò trí còn lại: có
4
5
A
= 120 cách.
Vậy có 5.120 = 600 số.
2. Xếp các chữ số 1 và 6 vào 5 vò trí: có
2
5
A
cách.
Xếp 4 chữ số còn lại vào 3 vò trí còn lại: có
3

4
A
= 24 cách.
Vậy có
2
5
A
.
3
4
A
= 480 số.
17. (ĐH Thái Nguyên khối AB 2000)
1. Chọn 2 nam và 3 nữ: có
23
1010
C.C
= 5400 cách.
2. Có ít nhất 2 nam và 1 nữ, có các kiểu chọn sau:
* 2 nam và 3 nữ: có 5400 cách
* 3 nam và 2 nữ: có
32
1010
C.C
= 5400 cách
* 4 nam và 1 nữ: có
41
1010
C.C
= 2100 cách

Vậy có: 5400 + 5400 + 2100 = 12900 cách.
18. (ĐH Thái Nguyên khối D 2000)
Tất cả có 9.10.10.10.10 = 90000 số tự nhiên có 5 chữ số. Trong các
số có 5 chữ số này, xét các số không có mặt các chữ số 2, 3, 4. Loại
này có: 6 cách chọn chữ số hàng vạn
7 cách chọn chữ số hàng nghìn
7 cách chọn chữ số hàng trăm
7 cách chọn chữ số hàng chục
7 cách chọn chữ số hàng đơn vò
Do đó có 6.7.7.7.7 = 14406 số.
Vậy tất cả có: 90000 – 14406 = 75594 số có 5 chữ số, trong đó có
mặt đủ các chữ số 2, 3, 4.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

15

19. (ĐH Thái Nguyên khối G 2000)
Xét một số có 4 chữ số tuỳ ý đã cho
1234
aaaa
. Có hai khả năng:
1. Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là số chẵn thì có thể lấy a

5
Ỵ {1, 3, 5, 7, 9} và
lập được 5 số có 5 chữ số
12345
aaaaa
với tổng các chữ số là một số
lẻ.
2. . Nếu a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
là số lẻ thì có thể lấy a
5
Ỵ {0, 2, 4, 6, 8} và
lập được 5 số có 5 chữ số
12345
aaaaa
với tổng các chữ số là một số
lẻ.
Vì có tất ca 9.10.10.10 = 9000 số có 4 chữ số, mỗi số có 4 chữ số
này lại sinh ra 5 số có 5 chữ số có tổng các chữ số là một số lẻ, nên
có tất cả 9000.5 = 45000 số có 5 chữ số mà tổng các chữ số là một
số lẻ.
20. (ĐH Cần Thơ khối AB 2000)
1. Có:
2

5
C
cách chọn ra 2 viện bi đỏ.

4
13
C
cách chọn ra 4 viên bi còn lại.
Vậy có:
2
5
C
.
4
13
C
= 7150 cách chọn
2. Có các trường hợp xảy ra:
* 3 xanh, 3 đỏ, 0 vàng ® có
33
95
C.C
cách
* 2 xanh, 2 đỏ, 2 vàng ® có
222
954
C.C.C
cách
* 1 xanh, 1 đỏ, 4 vàng ® có
114

954
C.C.C
cách
Vậy có tất cả:
33
95
C.C
+
222
954
C.C.C
+
114
954
C.C.C
= 3045 cách.
21. (ĐH Đà Lạt khối ADV 2000)
Có 2 khả năng:
1. Các thẻ trắng ở vò trí lẻ, các thẻ đen ở vò trí chẵn ® có 5!5! cách
2. Các thẻ trắng ở vò trí chẵn, các thẻ đen ở vò trí lẻ ® có 5!5! cách
Vậy tất cả có: 5!5! + 5!5! cách.
22. (ĐH Sư phạm HN 2 khối A 2000)
Có 8 ô trống, cần chọn ra 1 ô điền chữ số 2, 1 ô điền chữ số 3, 1 ô
điền chữ số 4, 1 ô điền chữ số 5. Sau đó trong 4 ô còn lại, cần chọn
2 ô điền chữ số 1, cuối cùng còn lại 2 ô điền chữ số 6.
Vậy có tất cả có: 8.7.6.5.
2
4
C
.1 = 10080 số thoả yêu cầu đề bài.

23. (ĐH Sư phạm Vinh khối ABE 2000)
Số các số có 6 chữ số
123456
aaaaaa
là 9.10
5
số
Với mỗi số có 6 chữ số
123456
aaaaaa
ta lập được 5 số có 7 chữ số
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

20

· Trường hợp 2: Số tạo thành không chứa số 0:
Có 5 cách chọn vò trí cho chữ số 5.
Số cách chọn 4 chữ số còn lại là:
4
5
A

Þ Số các số thu được là: 5.
4
5
A
= 600 số.
Vậy có tất cả: 960 + 600 = 1560 số.
40. (HV Ngân hàng TPHCM khối A 2001)
1. Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm, 9 cách chọn chữ số hàng chục,

8 cách chọn chữ số hàng đơn vò. Vậy có 9.9.8 = 648 số.
2. · Trường hợp 1: Chữ số tận cùng bằng 0. Bốn chữ số đứng đầu
được chọn tuỳ ý trong 7 chữ số còn lại nên số các số tạo thành là:
4
7
A
= 840
· Trường hợp 2: Chữ số tận cùng khác 0.
* Chữ số tận cùng có 3 cách chọn (từ 2, 4, 6)
* Chữ số đứng đầu có 6 cách chọn
* 3 chữ số còn lại được chọn tuỳ ý trong 6 chữ số còn lại.
Þ Số các số tạo thành: 3.6.
3
6
A
= 2160
Vậy có tất cả: 840 + 2160 = 3000 số.
41. (ĐH Ngoại thương TPHCM khối A 2001)
Số các số gồm 6 chữ số khác nhau là: 6! = 720
Trong đó, số các số có chứa 16 là 5! = 120
số các số có chứa 61 là 5! = 120
Vậy số các số cần tìm là: 720 – 240 = 480 số.
42. (ĐH Nông nghiệp I HN khối A 2001)
Đánh số vò trí đứng từ 1 đến 9.
Để có đúng 2 học sinh nam đứng xen kẽ với 3 học sinh nữ thì mỗi
học sinh nữ đứng cách nhau một, tức là 3 học sinh nữ đứng ở các vò
trí (1;3;5); (2;4;6); (3;5;7); (4;6;8); (5;7;9).
Có 5 cặp 3 vò trí của 3 học sinh nữ.
Cách xếp 3 bạn nữ vào mỗi cặp 3 vò trí là 3!. Cách xếp 6 bạn nam
vào 6 vò trí còn lại là 6!.

Vậy tất cả số cách xếp là: 5.3!.6! = 21600 cách.
43. (HV Quan hệ quốc tế 2001)
Ta chỉ có 1 cách chọn vò trí cho chữ số 9.
Khi đó số cách xếp 8 chữ số còn lại là 8!
Vậy tất cả có: 8! = 40320 số.
44. (ĐH Quốc gia TPHCM 2001)
1. Số được xét có dạng:
123456
aaaaaa
. Xếp chữ số 0 vào các vò trí từ
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

17

29. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối G CB 2000)
Xét số lẻ có 6 chữ số khác nhau, lớn hơn 500000:
x =
123456
aaaaaa

Từ giả thiết Þ a
1
Ỵ {5,6,7,8,9}, a
6
Ỵ {1,3,5,7,9}
Có 2 khả năng:
1. a
1
lẻ:
* a

1
có 6 cách chọn
* a
6
có 4 cách chọn
* sau khi chọn a
1
, a
6
, cần chọn
2345
aaaa
, mỗi cách chọn ứng với
một chỉnh hợp chập 4 của 8 phần tử.
Vậy khả năng thứ nhất có: 6.4.
4
8
A
= 40320 số
2. a
1
chẵn:
* a
1
có 2 cách chọn
* a
6
có 5 cách chọn
*
2345

aaaa
có
4
8
A
cách chọn
Vậy khả năng thứ hai có: 2.5.
4
8
A
= 16800 số
Kết luận: Tất cả có: 40320 + 16800 = 57120 số cần tìm.
30. (CĐSP Nha Trang 2000)
Số các số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau được viết từ 6 chữ số: 0,
1, 2, 3, 4, 5 là: 5.
3
5
A
= 300
Trong các số nói trên, số các số tự nhiên không có mặt chữ số 0 là:

4
5
A
= 120
Vậy số các số tự nhiên thoả mãn yêu cầu là: 300 – 120 = 180 số.
31. (CĐSP Nhà trẻ – Mẫu giáo TƯ I 2000)
Chọn 3 em nam: có
3
9

C
cách
Chọn 2 em nữ: có
2
6
C
cách
Vậy có:
3
9
C
.
2
6
C
= 1260 cách.
32. (ĐH An ninh khối D 2001)
Giả sử số có 7 chữ số lập được viết trong 7 ô của hình sau:

Thế thì:
* Có 6 cách chọn vò trí cho chữ số 0 (trừ ô số 1)
* Sau khi đã chọn vò trí cho số chữ 0 ta còn
3
6
C
= 20 cách chọn vò trí
cho 3 chữ số 4.
* Sau khi đã chọn vò trí cho chữ số 0 và chữ số 4, ta còn 3! = 6 cách
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

18

chọn cho 3 chữ số còn lại.
Vậy số các số lập được là: 6.20.6 = 720 số.
33. (ĐH Cần Thơ 2001)
Coi 7 học sinh nam đứng liền nhau như một vò trí mà thôi thì số cách
để bố trí 7 học sinh đứng liền nhau xen kẽ với 3 học sinh nữ bằng 4!.
Nhưng để xếp 7 học sinh nam đứng liền nhau thì lại có 7! cách.
Vậy tất cả có: 4!7! = 120960 cách.
34. (HV Chính trò quốc gia 2001)
1. Chia đội văn nghệ thành hai nhóm có số người bằng nhau và mỗi
nhóm có số nữ như nhau tức là chia mỗi nhóm có 5 người mà trong
đó có 3 nữ và 2 nam Þ số cách chia là:
32
64
C.C
= 120
2. * Số cách chọn ra 5 người mà không có nam là:
5
6
C
= 6
* Số cách chọn ra 5 người mà có 1 nam (và 4 nữ) là:

41
64
C.C
= 60
Vậy số cách chọn ra 5 người mà có không quá 1 nam là:
6 + 60 = 66.

35. (ĐH Giao thông vận tải 2001)
Giả sử số cần tìm có dạng: A =
123456
aaaaaa
.
+ Nếu a
1
= 4 thì các chữ số còn lại của A là một trong 7 chữ số 0, 1,
2, 3, 5, 6, 7. Vậy có
5
7
A
= 2520 số.
+ Nếu a
1
≠ 4 thì vì a
1
≠ 0 nên chỉ có 6 cách chọn a
1
. Vì số 4 phải có
đúng một trong 5 vò trí còn lại là a
2
, a
3
, a
4
, a
5
, a
6

. Khi đó các vò trí
khác (không có chữ số 4) sẽ chỉ còn
4
6
A
số khác nhau. Vậy trường
hợp này có 6.5.
4
6
A
= 10800 số.
Vậy tất cả có: 2520 + 10800 = 13320 số.
36. (ĐH Huế khối ABV 2001)
· Số các số tự nhiên có 4 chữ số là: 9.10.10.10 = 9000 số
· Ta tìm số các số tự nhiên có 1 chữ số lặp lại đúng 3 lần:
+ Số 0 lặp lại đúng 3 lần ứng với số tự nhiên
a000
với a Ỵ
{1,2,3, ,9} Þ có 9 số
+ Số 1 lặp lại đúng 3 lần ứng với các số:
*
a111
với a Ỵ {2,3,4, …,9} Þ có 8 số
*
1b11
với b Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
*
11c1
với c Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
*

111d
với d Ỵ {0,2,3,…, 9} Þ có 9 số
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

19

Þ có 8 + 9 + 9 + 9 = 35 số
+ Tương tự với mỗi số từ 2 đến 9 ta cũng tìm được 35 số tự nhiên sao
cho mỗi chữ số trên lặp lại đúng 3 lần.
Do đó số các số tự nhiên có một chữ số lặp lại đúng 3 lần là:
9 + 9.35 = 324 số
· Vậy số các số tự nhiên gồm 4 chữ số mà trong đó không có chữ số
nào lặp lại đúng 3 lần là: 9000 – 324 = 8676 số.
37. (ĐH Huế khối DHT 2001)
* Số cách chọn 5 em từ 13 em là:
5
13
C
= 1287
* Số cách chọn 5 em toàn nam là:
5
7
C
= 21
* Số cách chọn 5 em toàn nữ là:
5
6
C
= 6
Vậy số cách chọn 5 em có cả nam và nữ là: 1287 – (21 + 6) = 1260

38. (HV Kỹ thuật quân sự 2001)
Mỗi tổ có 1 hoặc 2 học sinh giỏi. Vì không phân biệt thứ tự của 2 tổ
nên số cách chia phải tìm là số cách tạo thành một tổ có 8 học sinh
trong đó phải có 1 học sinh giỏi và ít nhất 2 học sinh khá. Các học
sinh còn lại tạo thành tổ thứ hai.
· Trường hợp 1: Có 2 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có
2
5
C
= 10 cách chọn 2 học sinh khá.
* Có
5
8
C
= 56 cách chọn 5 học sinh trung bình.
Þ Có: 3.10.56 = 1680 cách.
· Trường hợp 2: Có 3 học sinh khá:
* Có 3 cách chọn 1 học sinh giỏi.
* Có
3
5
C
= 10 cách chọn 3 học sinh khá.
* Có
4
8
C
= 70 cách chọn 4 học sinh trung bình.

Þ Có: 3.10.70 = 2100 cách.
Vậy có tất cả: 1680 + 2100 = 3780 cách.
39. (ĐH Kinh tế quốc dân 2001)
Ta sử dụng 5 ô sau để viết số có 5 chữ số:

· Trường hợp 1: Số tạo thành chứa chữ số 0:
Có 4 cách chọn vò trí cho chữ số 0. Sau đó còn 4 cách chọn vò trí cho
chữ số 5. Số cách chọn 3 chữ số cọn lại là:
3
5
A

Þ Số các số thu được là: 4.4.
3
5
A
= 960 số
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

24

Ta coi cặp (2;3) chỉ là một phần tử “kép”, khi đó chỉ có 5 phần tử là 0,
1, (2; 3), 4, 5. Số hoán vò của 5 phần tử này là P
5
, phải loại trừ số
trường hợp phần tử 0 ở vò trí đầu gồm P
4
trường hợp. Chú ý rằng đối
với phần tử kép, ta có thể giao hoán nên số trường hợp sẽ được
nhân đôi. Nên số các số tự nhiên thoả mãn đề bài là: 2(P

5
– P
4
) =
192 số.
52. (ĐH khối B 2003 dự bò 1)
Coi số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau được chọn từ tập 6 chứ số
đã cho có dạng:
123456
aaaaaa
(a
i
Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6}; a
i
≠ a
j
)
sao cho: a
1
+ a
2
+ a
3
= a
4
+ a
5
+ a
6
– 1

Û a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
= 2(a
4
+ a
5
+ a
6
) – 1
Û 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 2(a
4
+ a
5
+ a
6
) – 1
Û a
4
+ a
5

+ a
6
= 11 Þ a
1
+ a
2
+ a
3
= 10 (1)
Vì a
1
, a
2
a
3
Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6} nên hệ thức (1) chỉ có thể thoả mãn
trong 3 khả năng sau:
· a
1
, a
2
, a
3
Ỵ {1; 3; 6}
· a
1
, a
2
, a
3

Ỵ {1; 4; 5}
· a
1
, a
2
, a
3
Ỵ {2; 3; 5}
Mỗi bộ số a
1
, a
2
, a
3
nêu trên tạo ra 3! hoán vò, và mỗi hoán vò đó lại
được ghép với 3! hoán vò của bộ số a
4
, a
5
, a
6
. Vì vậy tổng cộng số
các số tự nhiên gồm 6 chữ số thoả mãn yêu cầu đề bài là: 3.3!.3! =
108 số.
53. (ĐH khối B 2003 dự bò 2)
Có 3 khả năng:
· 5 nam và 1 nữ: có
51
57
C.C

cách
· 4 nam và 2 nữ: có
42
57
C.C
cách
· 3 nam và 3 nữ: có
33
57
C.C
cách
Vậy tất cả có:
51
57
C.C
+
42
57
C.C
+
33
57
C.C
= 7 + 5.21 + 10.35 = 462
cách.
54. (ĐH khối D 2003 dự bò 1)
Các số phải lập là chẵn nên phải có chữ số đứng cuối cùng là 0 hoặc
2, 4, 6, 8.
· Trường hợp chữ số đứng cuối là 0: thì 6 chữ số còn lại là một chỉnh
hợp chập 6 của 8 phần tử. Do đó có

6
8
A
số thuộc loại này.
· Trường hợp chữ số đứng cuối là một trong các chữ số 2, 4, 6, 8: thì
6 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 6 của 8 phần tử (kể cả số có
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

21

a
2
đến a
6
: có 5 cách xếp. Còn lại 5 vò trí, ta chọn 5 trong 8 chữ số để
xếp vào 5 vò trí này: có
5
8
A
cách.
Vậy tất cả có: 5.
5
8
A
= 33600 cách.
2. Số được xét có dạng:
1234567
aaaaaaa
.
Chọn 2 vò trí để xếp hai chữ số 2: có

2
7
C
cách.
Chọn 3 vò trí để xếp ba chữ số 3: có
3
5
C
cách.
Còn 2 vò trí, chọn 2 chữ số tuỳ ý để xếp vào 2 vò trí này: có 2!
2
8
C

cách.
Như vậy nếu xét cả các số bắt đầu bằng chữ số 0 thì có:

2
7
C
.
3
5
C
.2!
2
8
C
= 11760 số.
Trong các số này, cần loại bỏ các số bắt đầu bới chữ số 0.

Đối với các số
234567
0aaaaaa
:
* Chọn 2 vò trí để xếp chữ số 2: có
2
6
C
cách.
* Chọn 3 vò trí để xếp ba chữ số 3: có
3
4
C
cách.
* Chọn 1 số để xếp vào vò trí còn lại: có 7 cách.
Như vậy loại này có:
2
6
C
.
3
4
C
.7 = 420 số.
Vậy tất cả có: 11760 – 420 = 11340 số.
45. (ĐHSP HN II 2001)
Kí hiệu X là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau
đôi một lập từ 6 chữ số 1, 3, 4, 5, 7, 8.
Xét x =
12345

aaaaa
Ỵ X.
Nếu chọn a
5
= 1 thì
1234
aaaa
ứng với một chỉnh hợp chập 4 của 5
phần tử 3, 4, 5, 7, 8 Þ có
4
5
A
số có chứ hàng đơn vò là 1.
Tương tự có
4
5
A
số có chứ hàng đơn vò là 3; …
Þ Tổng tất cả chữ số hàng đơn vò của các phần tử x Ỵ X là:
(1 + 3 + 4 + 5 + 7 + 8).
4
5
A
= 3360.
Lập luận tương tự, tổng tất cả chữ số hàng chục của các phần tử x Ỵ
X là: 3360.10; …
Vậy tổng tất cả các phần tử của X là:
S = 3360 + 3360.10 + 3360.100 + 3360.1000 + 3360.10000
= 3360.11111 = 3732960.
46. (ĐHSP TPHCM khối DTM 2001)

1. Số tập con của A là: ++++
01220
20202020
CCC C
= 2
20

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

22

2. Số tập con khác rỗng của A có số phần tử chẵn là:
T = +++
2420
202020
CC C

Ta có: 0 = (1 – 1)
20
= -+-+
01220
20202020
CCC C

Þ ++++
02420
20202020
CCC C
= +++
1319

202020
CC C

Þ ++++
01220
20202020
CCC C
= 2
(
)
++++
02420
20202020
CCC C
Þ T = +++
2420
202020
CC C
= -
20
0
20
2
C
2
= 2
19
– 1.
47. (ĐH Thái Nguyên khối D 2001)
1. Xét các số chẵn x =

abc
với 3 chữ số khác nhau; a, b, c Ỵ
{1;2;3;4;5} = E.
Vì x chẵn nên c Ỵ {2;4} Þ có 2 cách chọn c.
Với mỗi cách chọn c, có
2
4
A
cách chọn
bc
.
Vậy tất cả có: 2.
2
4
A
= 24 số chẵn.
2. Xét x =
abc
với 3 chữ số khác nhau thuộc E = {1;2;3;4;5;6}
* Nếu a ≥ 4 thì x > 345.
* Nếu a = 1 hoặc 2 thì với mọi chỉnh hợp chập 2 (b,c) của E \ {a} ta
đều có x =
abc
< 345. Loại này có: 2.
2
5
A
= 40 số.
* Nếu a = 3 thì x =
3bc

< 345 Û
{
}
é
=Ỵ
ê
==
ë
b1hoặc2;cE\a,b
b4;c1hoặc2

Loại này có: 2.4 + 1.2 = 10 số.
Vậy có tất cả: 40 + 10 = 50 số.
48. (ĐH Văn Lang 2001)
1. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 2 học sinh nữ và 2 học sinh
nam thì có 2 trường hợp:
* 2 nam và 3 nữ: có
23
1010
C.C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
32
1010
C.C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
23
1010
C.C

= 10800 cách.
2. Nếu trong 5 học sinh phải có ít nhất 1 học sinh nữ và 1 học sinh
nam thì có 4 trường hợp:
* 1 nam và 4 nữ: có
14
1010
C.C
cách.
* 2 nam và 3 nữ: có
23
1010
C.C
cách.
* 3 nam và 2 nữ: có
32
1010
C.C
cách.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

23

* 4 nam và 1 nữ: có
41
1010
C.C
cách.
Vậy tất cả có: 2.
14
1010

C.C
+ 2.
23
1010
C.C
= 15000 cách.
49. (ĐH Y HN 2001)
Ta xét các trường hợp sau:
1. Chữ số hàng đơn vò là 2, 4, 6 Þ có 3 cách chọn chữ số hàng đơn
vò.
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: Khi đã chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 5 cách chọn chữ số hàng trăm. Sau khi đã chọn chữ số hàng
đơn vò và hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng chục.
Þ Số các số thu được là: 3.5.7 = 105 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: Sau khi chọn chữ số hàng đơn vò, ta
còn 6 cách chọn chữ số hàng chục.
Þ Số các số thu được là: 3.6 = 18 số.
2. Chữ số hàng đơn vò là 8:
a) Chữ số hàng trăm nhỏ hơn 7: có 6 cách chọn chữ số hàng trăm.
Sau khi đã chọn chữ số hàng trăm, ta còn 7 cách chọn chữ số hàng
chục.
Þ Số các số thu được là: 6.7 = 42 số.
b) Chữ số hàng trăm bằng 7: có 6 cách chọn chữ số hàng chục.
Þ Số các số thu được là: 6 số.
Vậy tất cả có: 105 + 18 + 42 + 6 = 171 số.
50. (ĐH khối D dự bò 1 2002)
Tổng số cách chọn 8 học sinh từ 18 em của đội tuyển là:
8
18
C

=
43758
Tổng số cách trên được phân làm hai bộ phận rời nhau:
Bộ phận I gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em sao cho mỗi khối
đều có em được chọn (số cách phải tìm).
Bộ phận II gồm các cách chọn từ đội tuyển ra 8 em chỉ gồm 2 khối
(lưu ý là số em thuộc mỗi khối đều ít hơn 8 nên không có cách chọn
nào mà cả 8 em thuộc cùng một khối).
Bộ phận II có thể chia thành ba loại:
· 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 11: có
8
13
C
cách.
· 8 em được chọn từ khối 12 hoặc 10: có
8
12
C
cách.
· 8 em được chọn từ khối 11 hoặc 10: có
8
11
C
cách.
Vậy số cách phải tìm là:
8
18
C
– (
8

13
C
+
8
12
C
+
8
11
C
) = 41811 cách.
51. (ĐH khối A 2003 dự bò 2)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

28

· Chọn 13 học sinh trong số 25 học sinh khối A và B. Số cách chọn
bất kì là:
13
25
C
= 5200300
Số cách chọn được 4 học sinh khối A và 9 học sinh khối B là:
49
1510
CC

Số cách chọn được 3 học sinh khối A và 10 học sinh khối B là:
310
1510

CC

Þ Số cách chọn sao cho có nhiều nhất 4 học sinh khối A là:

49
1510
CC
+
310
1510
CC
= 13650 + 455 = 14105
Þ Số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

(
)
-+
1349310
2515101510
CC.CC.C = 5186195
· Vậy số cách chọn sao cho có ít nhất 5 học sinh khối A là:

(
)
éù
-+
ëû
21349310
52515101510
CCC.CC.C = 51861950

66. (CĐ Tài chính – Hải quan khối A 2006)
Chọn 2 vò trí xếp chữ số 0: có
2
4
C
cách.
Chọn 1 vò trí xếp chữ số 1: có 3 cách.
Chọn 2 chữ số xếp vào 2 vò trí còn lại: có cách.
Vậy tất cả có:
2
4
C
.3.
2
8
A
= 1008 số thoả yêu cầu đề bài.
67. (CĐ Xây dựng số 3 khối A 2006)
· Gọi
ab
là số tự nhiên phải tìm Þ a ≠ 0
Do
ab
chẵn nên b Ỵ {0, 2, 4, 6, 8}
Có 2 trường hợp:
* Nếu b = 0 thì a Ỵ {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Þ có 9 cách chọn a.
Þ có 9 số
a0

* Nếu b ≠ 0 thì b Ỵ {2, 4, 6, 8} Þ có 4 cách chọn b.

Khi đó có 8 cách chọn a.
Þ có 4.8 = 32 số
ab

Vậy tất cả có: 9 + 32 = 41 số cần tìm.
· Đặt S là tổng của 41 số đó.
S = (10 + 12 + 14 + … + 96 + 98) – (22 + 44 + 66 + 88)
= 45.
+
1098
2
– 10.22 = 45.54 – 220 = 2210.
68. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
· Hai đỉnh thuộc d
1
, một đỉnh thuộc d
2
: có
2
10
C.8
tam giác
· Hai đỉnh thuộc d
2
, một đỉnh thuộc d
1
: có
2
8
C.10

tam giác
Vậy tất cả có:
2
10
C.8
+
2
8
C.10
= 640 tam giác.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

25

chữ số 0 đứng đầu). Vậy số các số loại này là: 4.
(
)
-
65
87
AA
.
Vậy tất cả có:
6
8
A
+ 4.
(
)
-

65
87
AA
= 90720 số.
55. (CĐ Sư phạm khối A 2002)
1. a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa 1 giao điểm Þ Số giao
điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt là
2
10
C
= 45 điểm.
b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa 2 giao điểm Þ Số giao điểm
tối đa của 6 đường tròn phân biệt là 2.
2
6
C
= 30 điểm.
2. Vì 1 đường thẳng và 6 đường tròn có tối đa 12 giao điểm. Do đó số
giao điểm tối đa giữa 10 đường thẳng và 6 đường tròn là: 10.12 =
120.
Vậy số giao điểm tối đa của tập hợp các đường đã cho là:
45 + 30 + 120 = 195 điểm.
56. (CĐ Sư phạm khối A 2002 dự bò)
Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác tương ứng một tổ hợp chập 2
của n phần tử Þ Số đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác là:
2
n
C

Một đoạn thẳng nối 2 đỉnh của đa giác hoặc là cạnh hoặc là đường

chéo
Þ
2
n
C
= n + 2n Û
-
n(n1)
2
= 3n Û n
2
– n = 6n
Û n
2
– 7n = 0 Û
=
é
ê
=
ë
n7
n0(loại)

Vậy n = 7.
57. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Gọi số cần tìm là: x =
123
aaa

Vì x < 245 nên a

1
= 1 hoặc a
1
= 2
· a
1
= 1: x =
23
1aa

a
2
, a
3
là chỉnh hợp chập 2 của 4 phần tử: 2, 3, 4, 5
Þ Có:
2
4
A
= 4.3 = 12 số
· a
1
= 2: x =
23
2aa

a
2
có 2 khả năng:
* a

2
< 4 Þ a
2
Ỵ {1, 3} Þ a
2
có 2 cách chọn, a
3
có 3 cách chọn trong 3
số còn lại Þ Có 2.3 = 6 số
* a
2
= 4; a
3
≠ 5, 2, 4 Þ a
3
có 2 cách chọn Þ Có 2 số
Þ Có 6 + 2 = 8 số x =
23
2aa

Vậy có tất cả: 12 + 8 = 20 số thoả yêu cầu đề bài.
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

26

58. (CĐ Sư phạm Quảng Ngãi 2002)
Số cần tìm có dạng:
1234
aaaa
.

Chọn a
4
từ {1, 5, 9} Þ có 3 cách chọn.
Chọn a
1
từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {0, a
4
} Þ có 3 cách chọn.
Chọn a
2
từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a
1
, a
4
} Þ có 3 cách chọn.
Chọn a
3
từ {0, 1, 2, 5, 9} \ {a
1
, a
2
, a
4
} Þ có 2 cách chọn.
Vậy tất cả có: 3.3.3.2 = 54 số thoả mãn yêu cầu đề bài.
59. (ĐH khối B 2004)
Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ là 2 hoặc 3, nên có các trường hợp
sau:
* Đề có 2 câu dễ, 2 câu trung bình, 1 câu khó Þ có
221

15105
C.C.C
đề.
* Đề có 2 câu dễ, 1 câu trung bình, 2 câu khó Þ có
212
15105
C.C.C
đề.
* Đề có 3 câu dễ, 1 câu trung bình, 1 câu khó Þ có
311
15105
C.C.C
đề.
Vậy tất cả có:

221
15105
C.C.C
+
212
15105
C.C.C
+
311
15105
C.C.C
= 23625 + 10500 + 22750
= 56875 đề.
60. (ĐH khối B 2005)
Có

14
312
CC
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ
nhất. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ
nhất, thì có
14
28
CC
cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh
thứ hai. Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh
thứ nhất và tỉnh thứ hai, thì có
14
14
CC
cách phân công các thanh niên
tình nguyện về tỉnh thứ ba.
Vậy tất cả có:
14
312
CC
.
14
28
CC
.
14
14
CC
= 207900 cách phân công.

61. (ĐH khối A 2005 dự bò 1)
Gọi x =
123456
aaaaaa
là số cần lập.
YCBT: a
3
+ a
4
+ a
5
= 8 Þ a
3
, a
4
, a
5
Ỵ {1, 2, 5} hoặc a
3
, a
4
, a
5
Ỵ {1, 3,
4}
a) Khi a
3
, a
4
, a

5
Ỵ {1, 2, 5}
· Có 6 cách chọn a
1

· Có 5 cách chọn a
2

· Có 3! cách chọn a
3
, a
4
, a
5

· Có 4 cách chọn a
6

Þ Có: 6.5.6.4 = 720 số x.
b) Khi a
3
, a
4
, a
5
Ỵ {1, 3, 4}, tương tự ta cũng có 720 số x.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

27

Vậy tất cả có: 720 + 720 = 1440 số x.
62. (ĐH khối B 2005 dự bò 1)
Ta có các trường hợp:
· 3 nữ và 5 nam: có
35
510
CC
= 2520 cách.
· 4 nữ và 4 nam: có
44
510
CC
= 1050 cách.
· 5 nữ và 3 nam: có
53
510
CC
= 120 cách.
Vậy tất cả có: 2520 + 1050 + 120 = 3690 cách.
63. (ĐH khối B 2005 dự bò 2)
· Cách 1: Gọi x =
12345
aaaaa
là số cần lập.
Trước tiên ta có thể xếp 1 và 5 vào 2 trong vò trí: có
2
5
A
= 20 cách.
Sau đó, ta có 5 cách chọn 1 chữ số cho vò trí còn lại đầu tiên.

4 cách chọn 1 chữ số cho vò trí còn lại thứ hai.
3 cách chọn 1 chữ số cho vò trí còn lại thứ ba.
Vậy tất cả có: 20.5.4.3 = 1200 số.
· Cách 2:
* Bước 1: Xếp 1, 5 vào 2 trong 5 vò trí: có
2
5
A
= 20 cách.
* Bước 2: có
3
5
A
= 60 cách xếp 3 trong 5 số còn lại vào 3 vò trí còn
lại.
Vậy có 20.60 = 1200 số.
64. (ĐH khối D 2006)
Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là:
4
12
C
= 495
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một em được tính như
sau:
· Lớp A có 2 học sinh, các lớp B, C mỗi lớp 1 học sinh.
Þ Số cách chọn là:
211
543
CCC
= 120

· Lớp B có 2 học sinh, các lớp A, C mỗi lớp 1 học sinh:
Þ Số cách chọn là:
121
543
CCC
= 90
· Lớp C có 2 học sinh, các lớp A, B mỗi lớp 1 học sinh:
Þ Số cách chọn là:
112
543
CCC
= 60
Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có ít nhất một học sinh là:
120 + 90 + 60 = 270
Vậy số cách chọn phải tìm là: 495 – 270 = 225 cách.
65. (CĐ GTVT III khối A 2006)
· Số cách chọn 2 học sinh khối C là:
2
5
C
= 10
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

32

nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá
+
n1
2
.

30. (ĐH Vinh khối DTM 2001)
Chứng minh rằng:

++++=-
022442000200020002001
2001200120012001
C3C3C 3C2(21)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)
Cho k và n là các số nguyên thoả mãn: 9 ≤ k ≤ n. Chứng minh rằng:

(
)
+-
£
2
nnn
2nk2nk2n
C.CC
32. (ĐH khối A 2002)
Cho khai triển nhò thức:

(
)
(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
-


-

-
+=+++
++
n
nn1
xx
x1x1x1
01
33
222
nn
n1n
xxx1
n1n
33
2
nn
22C2C22
C22C2

(n là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó =
31
nn
C5C
và số
hạng thứ tư bằng 20. Tìm n và x.
33. (ĐH khối B 2002)
Cho đa giác đều A
1
A
2
…A
2n
(n ≥ 2, n nguyên) nội tiếp đường tròn (O).
Biết rằng số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, …, A
2n

nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
,
A
2
, …, A
2n
. Tìm n?

34. (ĐH khối D 2002)
Tìm số nguyên dương n sao cho:
++++
012nn
nnnn
C2C4C 2C
= 243
35. (ĐH dự bò 2 2002)
Tìm số n nguyên dương thoả mãn bất phương trình:
-
+
3n2
nn
A2C ≤ 9n.
36. (ĐH dự bò 4 2002)
Giả sử n là số nguyên dương và:
(1 + x)
n
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
k
x
k

+ … + a
n
x
n

Biết rằng tồn tại số k nguyên (1 ≤ k ≤ n – 1) sao cho
-+
==
k1kk1
aaa
2924
.
Hãy tính n.
37. (ĐH dự bò 6 2002)
Gọi a
1
, a
2
, …, a
11
là các hệ số trong khai triển sau:
(x + 1)
10
.(x + 2) = x
11
+ a
1
x
10
+ a

2
x
9
+ … + a
11
.
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

29

Phần II. BIỂU THỨC TỔ HP – NHỊ THỨC NEWTON

1. (CĐSP TPHCM 1999)
Tìm số tự nhiên k thoả mãn hệ thức:
++
+=
kk2k1
141414
CC2C
2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
Tính tổng: ++++
678910
1010101010
CCCCC

trong đó
k
n
C
là số tổ hợp chập k của n phần tử.

3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
Tìm các số nguyên dương x thoả: ++=-
1232
xxx
C6C6C9x14x

4. (ĐH Bách khoa HN 1999)
Tính tổng: S =
-
-+-++-
1234n1n
nnnnn
C2C3C4C (1).nC

trong đó n là số tự nhiên lớn hơn 2.
5. (ĐHQG HN khối A 2000)
Chứng minh rằng:
+
+£+
kk110001001
2001200120012001
CCCC
(trong đó k nguyên, 0 ≤ k ≤ 2000û)
6. (ĐHQG HN khối B 2000)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của biểu thức sau:

ỉư
ç÷
+
ç÷

èø
17
4
3
3
2
1
x
x
, x ≠ 0
7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
Giải bất phương trình: -£+
223
2xxx
16
AA.C10
2x

8. (ĐHSP HN khối A 2000)
Trong khai triển nhò thức
-
ỉư
ç÷
+
ç÷
èø
n
28
3
15

xxx , hãy tìm số hạng không phụ
thuộc vào x, biết rằng

++=
nn1n2
nnn
CCC79

9. (ĐHSP HN khối BD 2000)
Biết tổng tất cả các hệ số của khai triển nhò thức (x
2
+ 1)
n
bằng 1024,
hãy tìm hệ số a (a là số tự nhiên) của số hạng ax
12
trong khai triển
đó.
10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)
Tính tổng: S = ++++
+
012n
nnnn
111
CCC C
23n1

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

30

11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Chứng minh:

+++++=
n11n12n33n44nn1
nnnnn
2C2C2C2C nCn.3

12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)
Tìm hệ số của x
31
trong khai triển của f(x) =
ỉư
+
ç÷
èø
40
2
1
x
x

13. (ĐH Thuỷ lợi 2000)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ≥ 2, ta luôn có:

-
++++=
2222
234n

1111n1

n
AAAA

14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
Cho đa thức P(x) = (1 + x)
9
+ (1 + x)
10
+ (1 + x)
11
+ … + (1 + x)
14
có
dạng khai triển là: P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
14
x
14
.
Hãy tính hệ số a
9

.
15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)
Với n là số nguyên dương, hãy chứng minh các hệ thức sau:
1. ++++
012n
nnnn
CCC C
= 2
n

2.
-
++++
1352n1
2n2n2n2n
CCC C = ++++
0242n
2n2n2n2n
CCC C

16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)
Tính tổng: S = ++++
0122000
2000200020002000
C2C3C 2001C
17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
Khai triển đa thức: P(x) = (1 + 2x)
12
thành dạng:
a

0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
12
x
12

Tìm max(a
1
, a
2
, …, a
12
).
18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Tính tích phân: I = -
ò
1
2n
0
x(1x)dx
(n Ỵ N*)
Từ đó chứng minh rằng:

-

-+-++=
++
n
0123n
nnnnn
1111(1)1
CCCC C
24682(n1)2(n1)

19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Tìm hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
(x + 1)
4
+ (x + 1)
5
+ (x + 1)
6
+ (x + 1)
7

20. (ĐH An Ninh khối A 2001)
Tìm các số âm trong dãy số x
1
, x
2
, …, x
n
, … với

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

31

x
n
=
+
+
-
4
n4
n2n
A
143
P4P
(n = 1, 2, 3, …)
21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)
Chứng minh rằng với n là số tự nhiên, n ≥ 2, ta có:
+++
222
23n
111

AAA
=
-
n1
n
.

22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Giải hệ phương trình:
ì
+=
ï
í
-=
ï
ỵ
yy
xx
yy
xx
2A5C90
5A2C80

23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
1. Tính tích phân: I = +
ò
1
6
0
(x2)dx

2. Tính tổng: S = ++++++
65432
0123456
6666666
2222221
CCCCCCC

1234567

24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)
Chứng minh rằng với mọi số x ta có: x
n
=
=
-
å
n
kk
n
n
k0
1
C(2x1)
2
(n Ỵ N) (*)
25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)
Với mỗi n là số tự nhiên, hãy tính tổng:
S = +++++
+
012233nn
nnnnn
1111
CC.2C.2C.2 C.2
234n1

26. (ĐH Hàng hải 2001)
Chứng minh:

-
++++=+
022442n2n2n12n
2n2n2n2n
CC.3C.3 C.32(21)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 1, ta có:


++++
1n12n23n3n
nnnn
C.32.C.33.C.3 n.C
= n.4
n–1

28. (ĐHSP HN khối A 2001)
Trong khai triển của
ỉư
+
ç÷
èø
10
12
x
33
thành đa thức:
a
0

+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
9
x
9
+ a
10
x
10
(a
k
Ỵ R)
hãy tìm hệ số a
k
lớn nhất (0 ≤ k ≤ 10).
29. (ĐH Vinh khối AB 2001)
Cho n là một số nguyên dương cố đònh. Chứng minh rằng
k
n
C
lớn
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

36

Cho A =
ỉưỉư
-+-
ç÷
ç÷
èø
èø
2010
3
2
11
xx
x
x
. Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu
thức A sẽ gồm bao nhiêu số hạng?
69. (CĐ KT Y tế I 2006)
Tìm số tự nhiên n thoả mãn đẳng thức sau:


++++++=+
0222k2k2n22n22n2n1516
2n2n2n2n2n
CC3 C3 C3C32(21)

70. (CĐ Xây dựng số 2 2006)
Chứng minh:
-
-++-=+++
0n1n1nn01n

nnnnnn
C3C3 (1)CCC C

71. (CĐ KT Y tế 1 2005)
Giải bất phương trình:
+
+-<
22
x1x
2C3A200

72. (CĐBC Hoa Sen khối D 2006)
Tìm hệ số của x
29
y
8
trong khai triển của (x
3
– xy)
15
.
73. (CĐ Sư phạm TPHCM khối DM 2006)
Khai triển biểu thức (1 – 2x)
n
ta được đa thức có dạng:
a
0
+ a
1
x + a

2
x
2
+ … + a
n
x
n

Tìm hệ số của x
5
, biết a
0
+ a
1
+ a
2
= 71.


BÀI GIẢI

1. (CĐSP TPHCM 1999)

++
+=
kk2k1
141414
CC2C (0 ≤ k ≤ 12, k Ỵ N)
Û +=
-+-+-

14!14!14!
2
k!(14k)!(k2)!(12k)!(k1)!(13k)!

Û +=
+++-
111
2
(14k)(13k)(k1)(k2)(k1)(13k)

Û (k + 1)(k + 2) + (14 – k)(13 – k) = 2(k + 2)(14 – k)
Û k
2
– 12k + 32 = 0 Û k = 4 hoặc k = 8
Vậy: k = 4 hoặc k = 8
2. (ĐHDL Kỹ thuật công nghệ khối D 1999)
S = ++++
678910
1010101010
CCCCC

=
(
)
++++-
0191010
1010101010
11
CC CCC
22

= -
105
10
11
.2C
22
= 386.
3. (ĐH Ngoại ngữ HN chuyên ban 1999)
++=-
1232
xxx
C6C6C9x14x
(x Ỵ N, x ≥ 3)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

33

Hãy tính hệ số a
5
.
38. (ĐH khối A 2003)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhò thức Newton của
ỉư
+
ç÷
èø
n
5

3
1
x
x
, biết rằng:
+
++
-=+
n1n
n4n3
CC7(n3)
(n nguyên dương, x > 0).
39. (ĐH khối B 2003)
Cho n là số nguyên dương. Tính tổng:

+

++++
+
23n1
012n
nnnn
212121
CCC C
23n1

40. (ĐH khối D 2003)
Với n là số nguyên dương, gọi a
3n–3
là hệ số của x

3n–3
trong khai triển
thành đa thức của (x
2
+ 1)
n
(x + 2)
n
. Tìm n để a
3n–3
= 26n.
41. (ĐH khối D 2003 dự bò 2)
Tìm số tự nhiên n thoả mãn:


++
2n2233n3
nnnnnn
CC2CCCC = 100
42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ta đều có:

-
++++=++++
1352n10242n
2n2n2n2n2n2n2n2n
CCC CCCC C

43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
1. Giải phương trình: ++

123
xxx
C6C6C
= 9x
2
– 14x
2. Chứng minh rằng: +++++
1351719
2020202020
CCC CC
= 2
19

44. (CĐ khối AD 2003)
Chứng minh rằng: P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ nP
n
= P
n+1
– 1
45. (CĐ Giao thông II 2003)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n ≥ 2, ta đều có:

-
ỉư

-
£
ç÷
è-ø
n1
n
01n
nnn
22
CC C
n1

46. (CĐ Giao thông III 2003)
1. Tính tổng: S =
-
-+-++-
1234n1n
nnnnn
C2C3C4C (1)nC
(n > 2)
2. Tính tổng: T = ++++
+
012n
nnnn
111
CCC C
23n1

biết rằng n là số nguyên dương thoả điều kiện:

++=
nn1n2
nnn
CCC79

47. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

34

Chứng minh rằng:


++=
0k1k12k2k
2n22n22n2n
CCCCCCC

(với n, k Ỵ Z
+
;n ≥ k + 2)
48. (CĐ Tài chính kế toán IV 2003 dự bò)
Giải bất phương trình: £
3nnn
n2n3n
(n!)C.C.C720

49. (CĐ Công nghiệp HN 2003)
Cho đa thức: P(x) = (16x – 15)

2003
. Khai triển đa thức đó dưới dạng:
P(x) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
2003
x
2003

Tính tổng S = a
0
+ a
1
+ a
2
+ … + a
2003
.
50. (CĐ Khí tượng thuỷ văn khối A 2003)
Tìm số nguyên dương n thoả mãn đẳng thức: +=
32
nn
A2C16n

51. (CĐ Nông Lâm 2003)
Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhò thức Newton của:

ỉư
+
ç÷
èø
15
12
x
33
.
52. (CĐ Cộng đồng Tiền Giang 2003)
Hãy khai triển nhò thức Newton (1 – x)
2n
, với n là số nguyên dương.
Từ đó chứng minh rằng:

-
+++-=+++
132n1242n
2n2n2n2n2n2n
1C3C (2n1)C2C4C 2nC

53. (ĐH khối A 2004)
Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của [1 + x
2
(1 – x)]

8
.
54. (ĐH khối D 2004)
Tìm các số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức Newton của:

ỉư
+
ç÷
èø
7
3
4
1
x
x
với x > 0
55. (ĐH khối A 2005)
Tìm số nguyên dương n sao cho:

+
+++++
-+-+++
1223342n2n1
2n12n12n12n12n1
C2.2C3.2C4.2C (2n1).2C = 2005
56. (ĐH khối D 2005)
Tính giá trò của biểu thức: M =
+
+
+

43
n1n
A3A
(n1)!

biết
++++
+++
2222
n1n2n3n4
C2C2CC = 149.
57. (ĐH khối A 2005 dự bò 2)
Tìm hệ số của x
7
trong khai triển đa thức (2 – 3x)
2n
, trong đó n là số
nguyên dương thoả mãn:
+
++++
++++=
1352n1
2n12n12n12n1
CCC C1024

58. (ĐH khối D 2005 dự bò 1)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

35

Tìm k Ỵ {0; 1; 2; …; 2005} sao cho
k
2005
C đạt giá trò lớn nhất.
59. (ĐH khối D 2005 dự bò 2)
Tìm số nguyên n > 1 thoả mãn đẳng thức: 2P
n
+ 6 -
22
nnn
APA
= 12.
60. (ĐH khối A 2006)
Tìm hệ số của số hạng chứa x
26
trong khai triển nhò thức Newton của
ỉư
+
ç÷
èø
n
7
4
1
x
x
, biết rằng:
+++
+++=-
12n20

2n12n12n1
CC C21

61. (ĐH khối B 2006)
Cho tập A gồm n phần tử (n ≥ 4). Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử
của A bằng 20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm kỴ{1,2,…, n}
sao cho số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất.
62. (CĐ Bán công Hoa Sen khối A 2006)
Giải hệ phương trình:
+
ì
=
ï
ï
í
ï
=
ï
ỵ
xx
yy2
xx
yy
1
C:C
3
1
C:A
24

63. (CĐ KT–KT Cần Thơ khối AB 2006)
Tìm số tự nhiên n sao cho: -=
nnn
456
111
CCC

64. (CĐ Sư phạm TPHCM khối A 2006)
Tính tổng S =
+
+
++++
012n
nnnn
1111
123n1
1.C2.C3.C(n1).C

AAAA

Biết rằng: ++=
012
nnn
CCC211

65. (CĐ Sư phạm TPHCM khối BT 2006)
Khai triển biểu thức (1 – 2x)
n
ta được đa thức có dạng:
a

0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
n
x
n

Tìm hệ số của x
5
, biết a
0
+ a
1
+ a
2
= 71.
66. (CĐ Điện lực TPHCM 2006)
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhò thức
ỉư
+
ç÷
èø
n
2
3

1
x
x
, biết
rằng: +=
13
nn
CC13n
(n là số tự nhiên lớn hơn 2, x là số thực khác 0).
67. (CĐ Kinh tế TPHCM 2006)
Tìm n Ỵ N sao cho:
++++
++++=
0242n
4n24n24n24n2
CCC C256

68. (CĐ Kinh tế đối ngoại khối AD 2006)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

40

Thật vậy,
++
-
+++++=+
222222
234kk1k1
11111k11

k
AAAAAA
=
-
+
+
k11
k(k1)k

=
-+
=
++
2
(k1)1k
(k1)kk1

Vậy:
-
++++=
2222
234n
1111n1

n
AAAA
, "n ≥ 2
14. (ĐH Thuỷ lợi II 2000)
a
9

= 1 + ++++
99999
1011121314
CCCCC

= 1 + ++++
12345
1011121314
CCCCC

= 1 + 10 + +++
11.1012.11.1013.12.11.1014.13.12.11.10
2624120

= 3003
15. (ĐH Y Dược TPHCM 2000)
1. (1 + x)
n
= ++++
0122nn
nnnn
CCxCx Cx

Cho x = 1 Þ ++++
012n
nnnn
CCC C
= 2
n

2. (1 – x)
2n
= -+-++
0122332n2n
2n2n2n2n2n
CCxCxCx Cx

Cho x = 1 Þ đpcm.
16. (ĐH An ninh nhân dân khối DG 2000)
Có (x + 1)
2000
=
=
å
2000
ii
2000
i0
Cx
(1)
Trong (1) cho x = 1 ta được
=
å
2000
i
2000
i0
C = 2
2000

Đạo hàm 2 vế của (1) theo x, ta có: 2000.(x + 1)
1999
=
-
=
å
2000
ii1
2000
i1
i.Cx

Cho x = 1 ta được:
=
å
2000
i
2000
i1
i.C = 2000.2
1999
= 1000.2
2000

Do đó: S =
==
+
åå
20002000
ii

20002000
i0i1
Ci.C = 1001.2
2000
.
17. (HV Kỹ thuật quân sự 2000)
P(x) = (1 + 2x)
12
= a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ … + a
12
x
12

a
k
=
kk
12
C.2
; a
k
< a

k+1
Û k <
23
3

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

37

Û x + 3x
2
– 3x + x
3
– 3x
2
+ 2x = 9x
2
– 14x
Û x(x
2
– 9x + 14) = 0 Û
=
é
ê
=
ê
ê
=
ë
x0(loại)

x2(loại)
x7(nhận)
Vậy: x = 7
4. (ĐH Bách khoa HN 1999)
S =
-
-+-++-
1234n1n
nnnnn
C2C3C4C (1).nC
(n > 2)
Xét đa thức p(x) = (1 – x)
n
. Khai triển theo công thức Newton ta được:
p(x) = (1 – x)
n
=
=
-
å
n
kkk
n
k0
(1)C.x

Suy ra: – p¢(x) = n(1 – x)
n–1
=

=
-
å
n
k1kk1
n
k1
(1).kC.x

Cho x = 1 ta được: 0 =
-
=
-
å
n
k1k
n
k1
(1).kC

=
-
-+-++-
1234n1n
nnnnn
C2C3C4C (1).nC
= S
Vậy: S = 0
5. (ĐHQG HN khối A 2000)
Ta sẽ chứng tỏ:

=<=<=<<=
02001120002199910001001
20012001200120012001200120012001
CCCCCC CC
Thật vậy, chỉ cần chứng tỏ:
+
<
kk1
20012001
CC (1) với "k = 0, 1, 2, …, 999.
Ta có: (1) Û <
-+-
2001!2001!
k!(2001k)!(k1)!(2000k)!

Û (k + 1) < 2001 – k
Û 2k < 2000 Û k < 1000 đúng vì k = 0, 1, 2, …, 999.
Vì vậy: £
k1000
20012001
CC,"k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức Û
=
é
ê
=
ë
k1000
k1001
)
và:

+
£
k11001
20012001
CC, "k = 0, 1, …, 2000 (đẳng thức Û
=
é
ê
=
ë
k999
k1000
)
Þ
+
+£+
kk110001001
2001200120012001
CCCC (đẳng thức Û k = 1000)
6. (ĐHQG HN khối B 2000)
Số hạng tổng quát của khai triển là:

(
)
(
)
(
)
- -
-

=
1734
17k kk
2
33
123
kk
344
1717
CxxCx (k Ỵ N, 0 ≤ k ≤ 17)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

38

Để số hạng không chứa x thì
-=
1734
k0
123
Þ k = 8
Vậy số hạng cần tìm là số hạng thứ 9 của khai triển và bằng
8
17
C
.
7. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2000)
Điều kiện:
Ỵ
ì
ï

£Ỵ
ì
ï
Û
íí
£³
ỵ
ï
ï
£
ỵ
xN
22xxN
2xx3
3x

Ta có: -£+
223
2xxx
16
AA.C10
2x

Û
1
2
.2x(2x – 1) – x(x – 1) ≤

+
6x(x1)(x2)

.10
x1.2.3

Û x
2
≤ x
2
– 3x + 12 Û x ≤ 4
Kết hợp điều kiện, ta được: x = 3, x = 4.
8. (ĐHSP HN khối A 2000)
* Xác đònh n:

++=
nn1n2
nnn
CCC79
Û 1 + n +
-
n(n1)
2
= 79
Û
=
ì
í
=-
ỵ
n12
n13(loại)

* Ta có:
-

=
ỉưỉưỉư
ç÷ç÷ç÷
+=
ç÷ç÷ç÷
èøèøèø
å
12k12k
28428
12
k
3
15315
12
k0
xxxCxx =
-
=
å
48112
12
k
k
155
12
k0
Cx

Số hạng không phụ thuộc x Û
-=
48112
k0
155
Û k = 7.
Vậy số hạng cần tìm là:
7
12
C
= 792
9. (ĐHSP HN khối BD 2000)
Ta có: (x
2
+ 1)
n
=
=
å
n
k2k
n
k0
Cx
(1)
Số k ứng với số hạng ax
12
thoả mãn phương trình: x
12
= x

2k
Þ k = 6.
Trong (1) cho x = 1 thì
=
å
n
k
n
k0
C
= 2
n

Từ giả thiết Þ
=
å
n
k
n
k0
C
= 1024 Û 2n = 1024 Û n = 10
Vậy hệ số cần tìm là:
6
10
C
= 210.
10. (ĐHSP TPHCM khối DE 2000)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

39

* Ta có: I =
++
+-
+==
++
ò
1
1
n1n1
n
0
0
(1x)21
(1x)dx
n1n1

* I = +++
ò
1
01nn
nnn
0
(CCx Cx)dx
=
+
ỉư
+++
ç÷

ç÷
+
èø
1
2n1
01n
nnn
0
xx
CxC C
2n1

= ++++
+
012n
nnnn
111
CCC C
23n1
= S
Vậy: S =
+
-
+
n1
21
n1
.
11. (ĐH Kinh tế quốc dân khối A 2000)
Ta có: (1 + x)

n
= ++++++
01223344nn
nnnnnn
CCxCxCxCx Cx

Lấy đạo hàm hai vế:
n(1 + x)
n–1
=
-
+++++
123243nn1
nnnnn
C2Cx3Cx4Cx nCx

Thay x =
1
2
, ta được:

-
+
-
=+++++
n1
1213243nn1
nnnnn
n1
3

nC2C.23C24C.2 nC2
2

Þ

+++++=
n11n12n33n44nn1
nnnnn
2C2C3.2C4.2C nCn.3

12. (ĐH Nông nghiệp I khối A 2000)

ỉư
+
ç÷
èø
40
2
1
x
x
=
-
=
ỉư
ç÷
èø
å
40k
40

kk
40
2
k0
1
Cx.
x
=
-
=
å
40
k3k80
40
k0
Cx
Hệ số của x
31
là
k
40
C
với k thoả mãn điều kiện: 3k – 80 = 31 Û k = 37
Vậy: hệ số của x
31
là ==
373
4040
40.39.38
CC

1.2.3
= 40.13.19 = 9880.
13. (ĐH Thuỷ lợi 2000)
Chứng minh bằng phương pháp qui nạp.
* Với n = 2, đpcm Û
=Û=
2
2
2
2
11
A2
2
A
đúng
* Giả sử BĐT cần chứng minh đúng với n = k (k ≥ 2), tức là ta có:

-
++++=
2222
234k
1111k1

k
AAAA

Ta cần chứng minh BĐT đúng với n = k + 1.
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

44

Ta có: (x + 1)
2001
=
=
å
2001
kk
2001
k0
C.x

(–x + 1)
2001
=
=
-
å
2001
kk
2001
k0
C.(x)

Cộng lại ta được:
(x + 1)
2001
+ (–x + 1)
2001
=

= 2
(
)
++++
0224420002000
2001200120012001
CxCxC xC
Cho x = 3 ta được:
4
2001
– 2
2001
= 2
(
)
++++
0224420002000
2001200120012001
C3C3C 3C
Þ
++++=-
022442000200020002001
2001200120012001
C3C3C 3C2(21)

31. (ĐH Y Dược TPHCM 2001)
Đặt a
k
=
+-

nn
2nk2nk
C.C với 0 ≤ k ≤ n. Ta chứng minh rằng:
a
0
> a
1
> … > a
n
(1)
Thật vậy, ta có BĐT a
k
> a
k+1
với 0 ≤ k ≤ n – 1 (2)
Û
+-++
>
+-++
(2nk)!(2nk)!(2nk1)!(2nk1)!

n!(nk)!n!(nk)!n!(nk1)!n!(nk1)!

Û
-++
>
-++
2nk2nk1
nknk1
Û (2n – k)(n + k + 1) > (n – k)(2n + k + 1)

Û 2nk + n > 0
Ta được BĐT đúng Þ (2) đúng Þ (1) đúng.
Do đó: a
k
=
(
)
+-
£
2
nnn
2nk2nk2n
C.CC= a
0

Dấu “=” xảy ra Û k = 0.
32. (ĐH khối A 2002)
Từ =
31
nn
C5C
ta có n ≥ 3 và =

n!n!
5
3!(n3)!(n1)!
Û

=
n(n1)(n2)

5n
6

Û
Û n
2
– 3n – 28 = 0 Û
=-
é
ê
=
ë
n4(loại)
n7

Với n = 7 ta có:
(
)
(
)
-
-
3
x
x1
3
32
7
C22 = 140 Û 35.2
2x–2

.2
–x
= 140
Û 2
x–2
= 4 Û x = 4.
Vậy n = 7, x = 4.
33. (ĐH khối B 2002)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

41

Þ
=
==
8
i812
i1,12
max(a)aC
= 126720
18. (ĐH Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
· Tính I bằng 2 cách:
* Đổi biến: t = 1 – x
2
Þ dt = –2xdx
Þ I =
ỉư
-
ç÷
èø

ò
0
n
1
1
tdt
2
=
ò
1
n
0
1
tdt
2
=
+
=
++
1
n1
0
11
t
2(n1)2(n1)

* Khai triển nhò thức:
x(1 – x
2
)

n
= x
(
)
-+-++-
0122436nn2n
nnnnn
CCxCxCx (1)Cx
Þ I =
+
ỉư
-+-++-
ç÷
ç÷
+
èø
1
24682n2
0123nn
nnnnn
0
xxxxx
C.C.C.C (1)C.
24682n2

=
-
-+-++
+
n

0123n
nnnnn
1111(1)
CCCC C
24682(n1)

Từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh.
19. (CĐ Cảnh sát nhân dân khối A 2000)
Hệ số của x
5
trong khai triển của biểu thức:
(x + 1)
4
+ (x + 1)
5
+ (x + 1)
6
+ (x + 1)
7

là: ++
555
567
CCC
= 1 + +
6!7!
5!1!5!2!
= 28
20. (ĐH An Ninh khối A 2001)
Ta phải tìm các số tự nhiên n > 0 thoả mãn:

x
n
=
+
+
-
4
n4
n2n
A
143
P4P
< 0 Û (n + 3).(n + 4) –
143
4
< 0
Û 4n
2
+ 28n – 95 < 0 Û
-<<
195
n
22

Vì n là số nguyên dương nên ta được n = 1, 2 Þ các số hạng âm của
dãy là x
1
, x
2
.

21. (ĐH An ninh nhân dân khối A 2001)
Ta có: =
-
2
n
n!
A
(n2)!
= n(n – 1) Þ ==-

2
n
1111
n(n1)nn1
A

Thay n lần lượt bằng 2, 3, … ta được:
+++
222
23n
111

AAA
=
-
-+-++-=-=
-
1111111n1
1
1223n1nnn

(đpcm)
22. (ĐH Bách khoa HN khối AD 2001)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

42

Đặt u =
y
x
A
; v =
y
x
C
Þ
+==
ìì
Þ
íí
-==
ỵỵ
2u5v90u20
5u2v80v10

Mà u = y!v Þ y! = 2 Þ y = 2
Þ ==-=
-
2
x
x!

Ax(x1)20
(x2)!
Û x
2
– x – 20 = 0 Û
=
ì
í
=-
ỵ
x5
x4(loại)

Vậy
=
ì
í
=
ỵ
x5
y2

23. (ĐH Dân lập Duy Tân khối A 2001)
1. I = +
ò
1
6
0
(x2)dx
=

+-
=
1
777
0
(x2)32
77

2. Ta có:
I = +
ò
1
6
0
(x2)dx
=
=
( )
++++++
ò
1
06152423334245566
6666666
0
C.2C2xC2xC2xC2xC2xCxdx

=
éù
++++++
êú

êú
ëû
1
65432
0122334455667
6666666
0
2222221
CxCxCxCxCxCxCx
1234567

= ++++++
65432
0123456
6666666
2222221
CCCCCCC
1234567
= S
Vậy: S =
-
77
32
7

24. (ĐH Đà Lạt khối D 2001)
Đặt u = 2x – 1, ta được:
(*) Û
=
+

ỉư
=
ç÷
èø
å
n
n
kk
n
n
k0
u11
Cu
2
2
Û (u + 1)
n
=
=
å
n
kk
n
k0
Cu
. Đẳng thức đúng.
25. (ĐH Đà Nẵng khối A 2001)
Có
+
==

++
ò
2
2
kkkk1kk
nnn
0
0
111
C.2C.xCxdx
k12(k1)2

Þ S = +++++
+
012233nn
nnnnn
1111
CC.2C.2C.2 C.2
234n1

=
===
ỉư
==
ç÷
ç÷
+
èø
ååå
òò

22
nnn
kkkkkk
nnn
k0k0k0
00
111
C.2CxdxCxdx
k122
=
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

43

=
+
+
+=
+
ò
2
2
n1
n
0
0
11(x1)
(x1)dx.
22n1
=

+
-
+
n1
31
2(n1)

26. (ĐH Hàng hải 2001)
Ta có: (1 + 3)
2n
= ++++
011222nn
2n2n2n2n
CC.3C.3 C.3

(1 – 3)
2n
= -+-+
011222nn
2n2n2n2n
CC.3C.3 C.3

Cộng vế theo vế hai đẳng thức trên, ta được:
4
2n
+ 2
2n
= 2
(
)

+++
0222n2n
2n2n2n
CC.3 C.3
Từ đó ta được:
-
++++=+
022442n2n2n12n
2n2n2n2n
CC.3C.3 C.32(21)

27. (ĐH Luật TPHCM khối A 2001)
Xét hàm số: f(x) = (x + 3)
n
=
-
+++
0n1n1nn
nnn
C3C.3x C.x

Ta có: f¢(x) = n(x + 3)
n–1
=

+++
1n12n2nn1
nnn
C.32C.3x nCx

Cho x = 1, ta được:
f¢(1) = n.4
n–1
=

++++
1n12n23n3n
nnnn
C.32.C.33.C.3 n.C
(đpcm)
28. (ĐHSP HN khối A 2001)
Ta có: a
k–1
≤ a
k
Û

£
k1k1kk
1010
C.2C.2
Û £

12
(k1)!(11k)!k!(10k)!

Û k ≤ 2(11 – k) Û k ≤
22
3

Vậy hệ số a
7
là lớn nhất: a
7
=
77
10
10
1
.C.2
3
.
29. (ĐH Vinh khối AB 2001)
Ta có:
k
n
C
=
-
n!
k!(nk)!
và
-
k1
n
C =
+
n!
(k1)!(nk1)!
Þ

-
-+
=
k
n
k1
n
C
nk1
k
C
.
Do đó:
k
n
C
>
-
k1
n
C Û
-+
>
nk1
1
k
Û k <
+
n1
2

Bảng biến thiên:

k
n
C
+
n1
2

Þ
k
n
C
lớn nhất nếu k là số tự nhiên lớn nhất không vượt quá
+
n1
2
.
30. (ĐH Vinh khối DTM 2001)
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

48

Û x(x
2
– 9x + 14) – 0 Û
=
é
ê

=
ê
ê
=
ë
x0(loại)
x7(loại)
x2
Û x = 2
2. · Cách 1:
* Ta có: (1 – x)
20
= -+ +
012219192020
2020202020
CCxCx CxCx

Cho x = 1 ta có: -+ +
0121920
2020202020
CCC CC
= 0
Þ +++=+++
02201319
202020202020
CC CCC C

Đặt: A = +++
0220
202020

CC C
; B = +++
1319
202020
CC C

Þ A = B (1)
* Ta có: (1 + x)
20
= +++++
012219192020
2020202020
CCxCx CxCx

Cho x = 1 ta có: +++++
0121920
2020202020
CCC CC
= 2
20

Þ A + B = 2
20
(2)
Từ (1) và (2) suy ra A =
20
2
2
= 2
19

(đpcm).
· Cách 2: Áp dụng công thức
-
+
=+
kk1k
n1nn
CCC
và
=
0
n
C1
, ta được:
+++++
1351719
2020202020
CCC CC
=
= +++++++
012316171819
1919191919191919
CCCCCCCC

= (1 + 1)
19
= 2
19
.
44. (CĐ khối AD 2003)

· Cách 1:
Ta có: P
n+1
– [nP
n
+ (n – 1)P
n–1
+ … + 2P
2
+ P
1
] =
= (n + 1)! – n.n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= n![(n + 1) – n] – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= n! – (n – 1).(n – 1)! – … – 2.2! – 1!
= (n – 1)![n – (n – 1)] – … – 2.2! – 1!
= (n – 1)! – (n – 2)(n – 2)! – … – 2.2! – 1!
= …
= 2! – 1.1! = 1
Vậy: P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ nP
n
= P
n+1
– 1.

· Cách 2: Chứng minh bằng qui nạp:
* Với n = 1, ta có P
1
= P
2
– 1 Û 1! = 2! – 1. Mệnh đề đúng.
* Giả sử mệnh đề đúng với n = k (k > 1), tức là ta có:
P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ kP
k
= P
k+1
– 1
* Ta cần ch. minh: P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ kP
k
+ (k +1)P
k+1
= P
k+2

– 1
Thật vậy, P
1
+ 2P
2
+ 3P
3
+ …+ kP
k
+ (k +1)P
k+1
= P
k+1
– 1 + (k +1)P
k+1

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

45

Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A
1
, A
2
, …, A
2n
là
3
2n
C

.
Gọi đường chéo của đa giác đều A
1
A
2
…A
2n
đi qua tâm đường tròn (O)
là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn.
Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A
1
, A
2
, …, A
2n
có các
đường chéo là hai đường chéo lớn. Ngược lại, với mỗi cặp đường
chéo lớn ta có các đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ
nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số cặp đường chéo lớn của
đa giác A
1
, A
2
, …, A
2n
, tức
2
n
C
.

Theo giả thiết thì:
=Û=

32
2nn
(2n)!n!
C20C20.
3!(2n3)!2!(n2)!

Û

=
2n(2n1)(2n2)n(n1)
20
62
Û 2n – 1 = 15 Û n = 8.
34. (ĐH khối D 2002)
Ta có: (x + 1)
n
=
=
å
n
kk
n
k0
Cx

Cho x = 2 ta được: 3
n

=
=
å
n
kk
n
k0
C2
Þ 3
n
= 243 Û n = 5.
35. (ĐH dự bò 2 2002)
BPT Û
³
ì
í
£
ỵ
n3
n(n - 1)(n - 2) + n(n - 1) 9n
Û
³
ì
ï
í
£
ï
ỵ
2
n3

n- 2n - 8 0

Û 3 ≤ n ≤ 4 Û n = 3 hoặc n = 4.
36. (ĐH dự bò 4 2002)
Ta có:
-+
==
k1kk1
aaa
2924
(1) (1 ≤ k ≤ n – 1)
Û
-+
==
k1kk1
nnn
CCC
2924

Û ==
+-+
1n!1n!1n!
2(k1)!(nk1)!9k!(nk)!24(k1)!(nk1)!

Û 2.(k – 1)!(n – k + 1)! = 9.k!(n – k)! = 24.(k + 1)!(n – k – 1)!
Û 2.(n – k +1)(n – k) = 9.k(n – k) = 24.(k + 1)k
Û
-+=
ì
í

-=+
ỵ
2(nk1)9k
9(nk)24(k1)
Û
+
ì
=
ï
ï
í
-
ï
=
ï
ỵ
2n2
k
11
3n8
k
11

Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

46

Để tồn tại k thoả mãn hệ thức (1), điều kiện ắt có và đủ là:
3n – 8 = 2n + 2 Û n = 10.
37. (ĐH dự bò 6 2002)

Ta có: (x + 1)
10
= x
10
+
+++++
1928379
10101010
CxCxCx Cx1

Þ (x + 1)
10
(x + 2) = x
11
+
+++++
110293892
10101010
CxCxCx Cxx
+
+
(
)
++++++
101928379
10101010
2xCxCxCx Cx1

= x
11

+
(
)
(
)
(
)
+++++++
110219328
1010101010
C2xCC.2xCC.2x

+
(
)
+
982
1010
CC.2x
+
(
)
+
109
1010
CC.2x
+ 2
= x
11
+ a

1
x
10
+ a
2
x
9
+ … + a
11

Vậy a
5
= +
54
1010
C2C
= 672.
38. (ĐH khối A 2003)
Ta có:
+
++
-=+
n1n
n4n3
CC7(n3)
Û
(
)
+
+++

+-=+
n1nn
n3n3n3
CCC7(n3)

Û
++
(n2)(n3)
2!
= 7(n + 3) Û n + 2 = 7.2! = 14 Û n = 12.
Số hạng tổng quát của khai triển là:

(
)
-
-
-
=
12k
56011k
k3kk
22
1212
C(x)xCx
Ta có:
-
6011k
2
x = x
8

Û
-
6011k
2
= 8 Û k = 4.
Do đó hệ số của số hạng chứa x
8
là =
-
4
12
12!
C
4!(124)!
= 495.
39. (ĐH khối B 2003)
Ta có: (1 + x)
n
= ++++
0122nn
nnnn
CCxCx Cx

Þ
( )
+=++++
òò
22
n0122nn
nnnn

11
(1x)dxCCxCx Cxdx

Û
+
+
ỉư
+=++++
ç÷
++
èø
2
2
23n1
n1012n
nnnn
1
1
1xxx
(1x)CxCC C
n123n1

Û
+

++++
+
23n1
012n
nnnn

212121
CCC C
23n1
=
++
-
+
n1n1
32
n1

40. (ĐH khối D 2003)
Ta có: (x
2
+ 1)
n
=

++++
02n12n222n4n
nnnn
CxCxCx C

(x + 2)
n
=

+++++
0n1n122n233n3nn
nnnnn

Cx2Cx2Cx2Cx 2C

Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

47

Dễ dàng kiểm tra n = 1, n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.
Với n ≥ 3 thì x
3n–3
= x
2n
x
n–3
= x
2n–2
x
n–1

Do đó hệ số của x
3n–3
trong khai triển thành đa thức của:
(x
2
+ 1)
n
(x + 2)
n


là: a

3n–3
= +
30311
nnnn
2.C.C2.C.C

Þ a
3n–3
= 26n Û
-+
=
2
2n(2n3n4)
26n
3
Û
=
é
ê
ê
=-
ê
ë
n5
7
n(loại)
2

Vậy: n = 5.
41. (ĐH khối D 2003 dự bò 2)

Ta có:

++
2n2233n3
nnnnnn
CC2CCCC = 100
Û
( ) ( )
++=
22
2233
nnnn
C2CCC100

Û
( )
+=
2
23
nn
CC100
Û +=
23
nn
CC10

Û

+=
n(n1)n(n1)(n2)

10
26

Û 3n(n – 1) + (n
2
– n)(n – 2) = 60
Û (n
2
– n)(n + 1) = 60
Û (n – 1)n(n + 1) = 3.4.5
Û n = 4.
42. (CĐ Xây dựng số 3 – 2002)
Ta có khai triển:
(x + 1)
2n
=

+++++
02n12n122n22n12n
2n2n2n2n2n
CxCxCx CxC

Cho x = –1 ta được:
0 =
-
-+-+ +
012342n12n
2n2n2n2n2n2n2n
CCCCC CC

Û
-
+++=+++
132n1022n
2n2n2n2n2n2n
CC CCC C

43. (CĐ Sư phạm Bến Tre khối A 2002)
1. Điều kiện:
³
ì
ï
³³
ì
ï
Û
íí
³Ỵ
ỵ
ï
ï
Ỵ
ỵ
x1
x2x3
x3xN
xN

PT Û x + +

x!x!
66
2!(x2)!3!(x3)!
= 9x
2
– 14x
Û x + 3x(x – 1) + x(x – 1)(x – 2) = 9x
2
– 14x
Tuyển tập Đại số tổ hợp Trần Só Tùng

52

Thay x = –2, ta có:

+
++++
-+-++
12232n2n1
2n12n12n12n1
C2.2C3.2C (2n1)2C = 2n + 1
Theo giả thiết ta có: 2n + 1 = 2005 Þ n = 1002.
56. (ĐH khối D 2005)
Điều kiện: n ≥ 3.
Ta có:
++++
+++
2222
n1n2n3n4
C2C2CC = 149

Û
++++
+++=
-++
(n1)!(n2)!(n3)!(n4)!
22149
2!(n1)!2!n!2!(n1)!2!(n2)!

Û n
2
+ 4n – 45 = 0 Û
=
é
ê
=-
ë
n5
n9(loại)

Vậy: n = 5.
57. (ĐH khối A 2005 dự bò 2)
Ta có: (1 + x)
2n+1
=
++
+++++
+++++
0122332n12n1
2n12n12n12n12n1
CCxCxCx Cx

Cho x = 1 ta có: 2
2n+1
=
+
+++++
+++++
01232n1
2n12n12n12n12n1
CCCC C (1)
Cho x = –1 ta có: 0 =
+
+++++
-+-+-
01232n1
2n12n12n12n12n1
CCCC C (2)
Lấy (1) – (2) Þ 2
2n+1
=
(
)
+
+++
+++
132n1
2n12n12n1
2CC C
Þ 2
2n
=

+
+++
+++
132n1
2n12n12n1
CC C = 1024 Þ 2n = 10
Ta có: (2 – 3x)
10
=
-
=
-
å
10
kk10kk
10
k0
(1)C2(3x)

Suy ra hệ số của x
7
là -
773
10
C32

58. (ĐH khối D 2005 dự bò 1)

k
2005

C lớn nhất Û
+
-
ì
³
ï
Ỵ
í
³
ï
ỵ
kk1
20052005
kk1
20052005
CC
(kN)
CC

Û
ì
³
ï
-+-
ï
í
ï
³
ï

ỵ
2005!2005!
k!(2005k)!(k1)!(2004k)!
2005!2005!
k!(2005k)!(k1)!(2006k)!
Û
+³-
ì
í
-³
ỵ
k12005k
2006kk

Û
³
ì
í
£
ỵ
k1002
k1003
Û 1002 ≤ k ≤ 1003, k Ỵ N.
Û k = 1002 hoặc k = 1003.
59. (ĐH khối D 2005 dự bò 2)
Ta có: 2P
n
+ 6 -
22
nnn

APA
= 12 (n Ỵ N, n > 1)
Trần Só Tùng Tuyển tập Đại số tổ hợp

49

= (k + 2)P
k+1
– 1 = P
k+2
– 1. (đpcm)
45. (CĐ Giao thông II 2003)
Do
==
0n
nn
CC1
nên ta có:
-
=
01n12n1
nnnnnn
CC CCC C
Áp dụng BĐT Côsi ta có:

-
-
-
ỉư
+++

£
ç÷
è-ø
n1
12n1
12n1
nnn
nnn
CC C
CC C
n1

Áp dụng khai triển (a + b)
n
=
-
=
å
n
kknk
n
k0
Cab với a = b = 1, ta có:
++++
012n
nnnn
CCC C
= 2
n
Þ

-
+++
12n1
nnn
CC C
= 2
n
– 2
Suy ra:
-
-
ỉư
-
£
ç÷
è-ø
n1
n
12n1
nnn
22
CC C
n1
(đpcm).
46. (CĐ Giao thông III 2003)
1. Ta có: (1 + x)
n
= +++++
012233nn
nnnnn

CCxCxCx Cx

Đạo hàm 2 vế, ta được:
n(1 + x)
n–1
=
-
++++
1232nn1
nnnn
C2Cx3Cx nCx

Cho x = –1
0 =
-
-+-++-
1234n1n
nnnnn
C2C3C4C (1)nC

Vậy S = 0.
2. Ta có: (1 + x)
n
= +++++
012233nn
nnnnn
CCxCxCx Cx

Þ
( )

+=+++++
òò
11
n012233nn
nnnnn
00
(1x)dxCCxCxCx Cxdx

Þ
+
+
+
ỉư
=++++
ç÷
=+
èø
1
1
n1
01223nn1
nnnn
0
0
(1x)111
CxCxCx Cx
n123n1

Þ
+

-
=++++
++
n1
012n
nnnn
21111
CCC C
n123n1

Do đó: T =
+
-
+
n1
21
n1

Ta có:

++=
nn1n2
nnn
CCC79
Û
Ỵ³
ì
ï
í
-

++=
ï
ỵ
nN,n2
n(n1)
1n79
2
Û n = 12
Vậy: T =
-
13
21
13
.