Phương pháp tìm nguyên hàm tích phân luyện thi ĐH

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 1/25
PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN

A. BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM

Nguyên hàm cơ bản Nguyên hàm mở rộng
1.
Caxadx +=
∫

2.
C
x
dxx +
+
=
+
∫
1
1
α
α
α

(
)
1≠
α

3.
∫
+= Cx
x
dx
ln

4.
C
a
a
dxa
x
x
+=
∫
ln

5.
Cedxe
xx
+=
∫

6.
Cxdxx +=
∫
sin.cos

7.

Cxdxx +−=
∫
cos.sin

8.
∫ ∫
+=+= Ctgxdxxtg
x
dx
)1(
cos
2
2

9.
∫ ∫
+−=+= Cgxdxxg
x
dx
cot)cot1(
sin
2
2

10.
∫
+= Cx
x
dx
2

1.
C
bax
a
dxbax +
+
+
=+
+
∫
1
)(1
)(
1
α
α
α
(
)
1,0 ≠≠ xa

2.
∫
++=
+
Cbax
a
b
ax

dx
ln
1

)0(
≠
a

3.
Ce
a
dxe
baxbax
+=
++
∫
1

)0(
≠
a

4.
Cbax
a
dxbax ++=+
∫
)sin(
1
)cos(

)0(
≠
a

5.
Cbax
a
dxbax ++−=+
∫
)cos(
1
)sin(

)0(
≠
a

6.
∫ ∫
++=
+
dxbaxtg
bax
dx
))(1(
)(cos
2
2

Cbaxtg
a
++= )(
1

)0(
≠
a

7
∫ ∫
++=
+
dxbaxg
bax
dx
))(cot1(
)(sin
2
2


Cbaxg
a
++−= )(cot
1

)0(
≠

a

8.
∫
++=
+
Cbax
a
bax
dx 2

)0(
≠
a

9.
∫
+
+
−
=
−
C
ax
ax
a
ax
dx
ln
2

1
22

)0(
≠
a

10.
∫
+++=
+
Caxx
ax
dx
2
2
ln


B. PH
ƯƠNG PHÁP TÌM TÍCH PHÂN CÁC DẠNG HÀM SỐ

I. Tích phân hàm đa th
ức
1) Tích phân dạng
( )
b
a
A= P x dx
∫

Phương pháp:
Sử dụng công thức nguyên hàm cơ bản.
2) Tích phân của hàm số chứa giá trị tuyệt đối
Phương pháp: Xét dấu biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối sau đó chuyển tích phân
trong dấu giá trị tuyệt đối về dạng quen thuộc hơn có thể sử dụng công thức nguyên hàm.
II. Tích phân hàm hữu tỷ
1) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A= dx
n
x
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 2/25
Phương pháp: Chia P(x) cho x
n
để đưa tích phân về dạng
b
a
A= Q , dx
k
a
x

x
 
 
 
∫
trong đó
Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý:
+) Hàm số
1
y
x
=
có một nguyên hàm là hàm số
ln
y x
=

+) Hàm số
1
n
y
x
=
(n nguyên dương, n>2) có một nguyên hàm là hàm
số
( )
1
1
1

n
y
n x
−
= −
−

2) Tích phân dạng
(
)
b
a
P x
A= dx
ax
b
+
∫

Phương pháp:
Chia P(x) cho (ax+b) để đưa tích phân về dạng
( )
b
a
A= Q + dx
ax
k
x
b
 

 
+
 
∫

trong đó Q(x) là một hàm đa thức.
Chú ý:
+) Hàm số
1
y
ax b
=
+
có một nguyên hàm là hàm số
1
ln
y ax b
a
= +

3) Tích phân dạng
(
)
( )
b
a
P x
A= dx (k , 1)
ax
k

N k
b
∈ >
+
∫

Phương pháp:

1. Đặt
ax
t b
= +
ta có:
+)
t b
x
a
−
=

+)
dt
dt adx dx
a
= ⇒ =

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay các kết quả trên vào tích phân A ta đưa A về dạng
(
)

b'
a'
A= dt
k
Q t
t
∫

4) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có hai nghiệm x
1,
x
2
)
Phương pháp:
Thực hiện biến đổi tích phân như sau:

( )( )

2
1 2
dx dx
A
ax bx c a x x x x
β β
α α
= =
+ + − −
∫ ∫
=
( )( ) ( )
(
)
(
)
( )( )
1 2
1 2 2 1 1 2
1 1
x x x x dx
dx
a x x x x a x x x x x x
β β
α α
− − −
 
 
=
− − − − −

∫ ∫


( ) ( )
( )
2 1
2 1 2 1 2 1
1 1 1 1
ln ln |
dx x x x x
a x x x x x x a x x
β
β
α
α
 
− = − − −
 
− − − −
 
∫

Chú ý:
+) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
có 2 nghiệm x
1

, x
2
thì khi đó f(x)
được biểu diễn dưới dạng tích như sau: f(x) = a(x – x
1
)(x – x
2
).
+)
( )( )
1 1 1 1
x m x n m n x m x n
 
= −
 
− − − − −
 

5) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2

f(x) = ax + bx + c
vô nghiệm)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 3/25

( )
2
2
2
1
0
2
2
dx dx dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α
= = = >
+ +
 

 
 
+ +
+ +
 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫

1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ =
⇒
= +

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A được
(
)
2

' '
2
' '
1 tan
1 1
tan
C u du
A du
a C u C
a C
β β
α α
+
= =
+
∫ ∫

Chú ý:
+) Nếu tam thức bậc hai
2
( )
f x ax bx c
= + +
vô nghiệm, khi đó ta luôn biểu diễn
tam thức về dạng
2
( )
2
b
f x a x C

a
 
 
= + +
 
 
 
 
 
(C>0).
6) Tích phân dạng
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có nghiệm kép)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:

2 2
2
1 1

2
2 2
dx dx dx b
A x
ax bx c a a a
b b
a x x
a a
β
β β β
α
α α α
 
= = = = − +
 
+ +
 
   
+ +
   
   
∫ ∫ ∫

7) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c

β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có hai nghiệm x
1,
x
2
)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:

(
)
(
)
( )( )
(
)
( )( )
2
1 2 1 2
1
mx n dx mx n dx mx n dx
A

ax bx c a x x x x a x x x x
β β β
α α α
+ + +
= = =
+ + − − − −
∫ ∫ ∫


(
)
( )( )
(
)
( )( ) ( )( )
( )( )
1 1 1
1
1 2 1 2 1 2
1
2 1 2
1 1
m x x n mx m x x
mx n
dx dx
a x x x x a x x x x x x x x
mx nm dx dx
a x x a x x x x
β β
α α

β β
α α
 
− + + −
+
= = +
 
− − − − − −
 
+
= +
− − −
∫ ∫
∫ ∫

8) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2

f(x) = ax + bx + c
vô nghiệm)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:

(
)
(
)
(
)
( )
2
2
2
1
0
2
2
mx n dx mx n dx mx n dx
A C
ax bx c a
b
b
x C
a x C
a
a
β β β
α α α

+ + +
= = = >
+ +
 
 
 
+ +
+ +
 
 
 
 
 
 
 
∫ ∫ ∫

1. Đặt
( )
2
tan 1 tan
2
b
x C u dx C u du
a
+ = ⇒ = +
,
tan
2
b

x C u
a
= −

2. Đổi cận của tích phân
3. Thay vào A.
9) Tích phân dạng
(
)
2
mx n dx
A
ax bx c
β
α
+
=
+ +
∫
(trong đó
2
f(x) = ax + bx + c
có nghiệm kép)
Phương pháp:
Ta biến đổi tích phân như sau:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 4/25
( ) ( )
2 2 2

2
1 1
2 2
2
2
2 2 2
b mb
mb
m x n
n
mx n dx mx n dx
m dx
a a
a
A dx dx
b
ax bx c a a a
b b b
x
a x x x
a
a a a
β β β β β
α α α α α
   
+ + −
−
   
+ +
   

= = = = +
+ +
     
+
+ + +
     
     
∫ ∫ ∫ ∫ ∫



III. Tích phân hàm vô t
ỷ
1) Tích phân dạng:
( , , )
n
f ax b x C dx
β
α
+
∫
A =

Phương pháp:

1. Đặt u =
n
ax b
+
n

u ax b
⇒ = +
n
u b
x
a
−
⇒ =
1
.
n
n u
dx du
a
−
⇒ =

2. Đổi cận theo biến mới.
3. Thay các kết quả trên vào A, ta đưa về tích phân hàm hữu tỷ.
2) Tích phân dạng:
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp

: Đặt
2
u ax ax bx c
= + + +


(
)
2
2 2
2
2 2
2 2
2 2
b b
ax a ax bx c ax
du a dx dx
ax bx c ax bx c
b b
a ax bx c ax au
dx dx
ax bx c ax bx c
 
+ + + + +
 
⇒
= + =
 
+ + + +
 

 
+ + + + +
= =
+ + + +


2
2
dx du
b
ax bx c
au
⇒ =
+ +
+

3) Tích phân dạng:
2
dx
ax bx c
β
α
+ +
∫
A =
(Hệ số a âm)
Phương pháp
:
1. Biến đổi:
( )

( )
2
1
0
dx
A k
a
k x m
β
α
= >
−
− +
∫

2. Đặt
sin cos
2 2
x m k t t dx k tdt
π π
 
+ = − ≤ ≤
⇒
=
 
 

3. Tính các giá trị cận theo biến mới.
4. Thay vào A được:
' ' '

2 2
' ' '
1 cos 1 cos 1 cos
cos
sin 1 sin
k tdt tdt tdt
A
t
a a a
k k t t
β β β
α α α
= = =
− − −
− −
∫ ∫ ∫

4) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a dương)
Phương pháp:

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 5/25

Đặt:
2
2
2
2
2
ax b
du dx
u ax bx c
ax bx c
b
dv dx
v x
a
+

=


 
= + +
+ +
⇒
 
=



= +





( )
2
2
2
2
2
2
b
ax b x
b
a
A x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
 
+ +
 
 
 
⇒ = + + + −
 
 
+ +

∫


(
)
2
2
2
2
2
2
ax bx C
b
x ax bx c dx
a
ax bx c
β
α
β
α
+ +
 
= + + + −
 
 
+ +
∫

Ta có:
(

)
(
)
(
)
2 2
1
2 2
2 2 2
2 2
ax bx C ax bx c C c
A dx dx
ax bx c ax bx c
β β
α α
+ + + + + −
= =
+ + + +
∫ ∫


2
2
2
C c dx
A
ax bx c
β
α
−

= +
+ +
∫

Vậy ta được:
2
2
2
2 2
b C c dx
A x ax bx c A
a
ax bx c
β
α
β
α
 
−
 
= + + + − +
 
 
 
 
+ +
 
∫

2
2
1 2
2 2 2
b C c dx
A x ax bx c
a
ax bx c
β
α
β
α
 
−
 
⇒ = + + + −
 
 
 
+ +
 
∫

Tính
2
2
dx
A
ax bx c
β

α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên) và thay vào A.
5) Tích phân dạng:
2
A ax bx c dx
β
α
= + +
∫
(Hệ số a âm)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:

2
2
2
b c b
A a x x dx a C x dx
a a a
β β
α α
 
= − − − − = − − +
 
 
∫ ∫

1. Đặt
sin cos
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π
 
+ = − ≤ ≤ ⇒ =
 
 

2. Đổi cận tích phân.
3. Thay vào A được:
'
2
'
sin cos
A a C C t tdt
β
α
= − −
∫


'
2
'
'
2

'
'
2
'
1 sin .cos
os .cos
os
C a t tdt
C a c t tdt
C a c tdt
β
α
β
α
β
α
= − −
= −
= −
∫
∫
∫

5) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β

α
+
+ +
∫
A =
(Hệ số a dương)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 6/25

( )
2
2
2 2
m bm
ax b n
a a
A dx
ax bx c
β
α
+ + −
=
+ +
∫


(

)
2 2
2
2 2
ax b
m mb dx
dx n
a a
ax bx c ax bx c
β β
α α
+
 
+ −
 
 
+ + + +
∫ ∫

Tính:
(
)
1
2
2ax b
A dx
ax bx c
β
α
+

=
+ +
∫
đặt
2
u ax bx c
= + +

Tính
2
2
dx
A
ax bx c
β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
6) Tích phân dạng:
(
)
2
mx n dx
ax bx c
β
α
+
+ +

∫
A =
(Hệ số a âm)
Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:

(
)
(
)
2
2
1 1
2
mx n dx mx n dx
A
a b c a
b
x x
C x
a a
a
β β
α α
+ +
= =
− −
 
− − −
− +

 
 
∫ ∫

1. Đặt
sin cos
2 2 2
b
x C t t dx C tdt
a
π π
 
+ = − ≤ ≤ ⇒ =
 
 

2. Đổi cận tích phân.
3. Thay vào A được:
'
2
'
[ ( sin ) ] cos
1
2
sin
b
m C t n C tdt
a
A
a

C C t
β
α
− +
=
−
−
∫


'
'
[ ( sin ) ] cos
1
2
cos
b
m C t n C tdt
a
t
a
β
α
− +
=
−
∫


'

'
1
( sin )
2
mb
m C t n dt
a
a
β
α
= + −
−
∫


7) Tích phân dạng:
ax b
dx
cx d
β
α
+
+
∫
A =

Phương pháp:
Ta biến đổi như sau:

ax b ax b

A dx dx
cx d
ax b cx d
β β
α α
+ +
= =
+
+ +
∫ ∫


( )
2 2
2 2
(2 ) ( )
2 2
2
2 2
a an
mx n b
ax b
m m
dx dx
mx nx k mx nx k
mx n dx
a an dx
b
m m
mx nx k mx nx k

β β
α α
β β
α α
+ + −
+
= =
+ + + +
+
 
+ −
 
 
+ + + +
∫ ∫
∫ ∫

Tính
(
)
1
2
2
mx n dx
A
mx nx k
β
α
+
=

+ +
∫
đặt
2
u mx nx k
= + +

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 7/25
Tính
2
2
dx
A
mx nx c
β
α
=
+ +
∫
(Đây là dạng tích phân đã nêu ở trên).
Chú ý:
+) Khi dùng tính chất
A A
B
B
=
ta nên xét xem A và B cùng dấu dương hay
cùng dấu âm để vận dụng cho chính xác.

8) Tích phân dạng:
( )
2
,
A f ax bx c x dx
β
α
= + +
∫

Phương pháp:
Đây là dạng tích phân khá phức tạp nên ta chỉ xét một số dạng đơn giản
mà ta có thể vận dụng phương pháp đổi biến số nhằm đạt mục đích sau:
+) Đại số hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
+) Lượng giác hóa biểu thức dưới dấu tích phân.
Cụ thể:
a. Cách 1: Đặt
2
t ax bx c
= + +

b. Cách 2, trong một số trường hợp đặc biệt, ta sử dụng phương pháp lượng giác hóa
biểu thức dưới dấu tích phân.
Dạng tích phân Đổi biến số Điều kiện biến số
2 2
( ,
f x a x dx
β
α
−

∫

sin
x a t
=

;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 

2 2
( ,
f x x a dx
β
α
−
∫

cos
a
x
t
=
0; ;
2 2

t
π π
π
   
∈ ∪
 
 
   

2 2
( ,
f x x a dx
β
α
+
∫

tan
x a t
=

;
2 2
t
π π
 
∈ −
 
 

IV. Tích phân hàm lượng giác
1. Tích phân dạng:
sin
n
A xdx
β
α
=
∫
hoặc
os
n
A c xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:

a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k
∈
N), ta biến đổi như sau:

( )
( )
2 2
1 cos2 1
sin sin 1 cos2

2 2
k
k
k
k
k
x
A xdx x dx dx x dx
β β β
α α α
−
 
= = = = −
 
 
∫ ∫ ∫ ∫

Ta tiếp tục khai triển và hạ bậc cho đến khi thu được các số hạng đều là bậc nhất.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k
∈
N), ta biến đổi như sau:

( ) ( )
2 1 2 2 2
sin sin .sin sin .sin 1 cos .sin
k k
k k
A xdx x xdx x xdx x xdx
β β β β
α α α α

+
= = = = −
∫ ∫ ∫ ∫

1. Đặt
cos sin sin
u x du xdx xdx du
= ⇒ = − ⇒ = −

2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vào A để đưa về tích phân của hàm đa thức.
Trường hợp đối với
os
n
A c xdx
β
α
=
∫
giải tương tự.
2. Tích phân dạng:
tan
n
A xdx
β
α
=
∫
hoặc
cot

n
A xdx
β
α
=
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 8/25
Phương pháp:
a) Trường hợp n = 1 hoặc n = 2 ta giải trực tiếp như sau:

sin
tan ln cos
cos
x
A xdx dx x
x
β β
β
α
α α
= = = −  
 
∫ ∫
(Tử là đạo hàm của mẫu)


( )

[ ]
2 2
tan tan 1 1 tan
A xdx x dx x x
β β
β
α
α α
 
= = + − = −
 
∫ ∫

b) Trường hợp
3
n
≥
, ta biến đổi như sau:

( )
( )
2 2 2 2
2 2 2
tan tan .tan tan . 1 tan 1
tan . 1 tan tan
n n n
n n
A xdx x xdx x x dx
x x dx xdx
β β β

α α α
β β
α α
− −
− −
 
= = = + −
 
= + −
∫ ∫ ∫
∫ ∫

Tính
( )
2 2
1
tan . 1 tan
n
A x x dx
β
α
−
= +
∫
dặt u = tanx để đưa về dạng đa thức.
Tính
2
2
tan
n

A xdx
β
α
−
=
∫
ta lặp lại quá trình trên cho đến khi thu được kết quả bậc nhất
hoặc bậc hai.
Trường hợp đối với
cot
n
A xdx
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
3. Tích phân dạng:
sin
n
dx
A
x
β
α
=
∫
hoặc
os
n

dx
A
c x
β
α
=
∫

Phương pháp:

a) Trường hợp n là số chẵn (n = 2k, k là số nguyên và k > 1). Ta biến đổi như sau:

( )
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1
. . 1 cot .
sin sin sin sin sin sin
k
k
k k
dx dx dx dx
A x
x x x x x x
β β β
α α α
−
 
= = = = +
 

 
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa về dạng
tích phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp n là số lẻ (n = 2k+1, k là số nguyên và k > 0). Ta biến đổi như sau:

( ) ( )
2 1 2 2
2 2
sin sin sin
sin sin
sin 1 cos
k k
k k
dx xdx xdx xdx
A
x x
x x
β β β β
α α α α
+ +

= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
cos sin
u x du xdx
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả vào A để đưa vè dạng
tích phân của hàm hữu tỷ
Trường hợp đối với
cos
n
dx
A
x
β
α
=
∫
ta giải tương tự.
4. Tích phân dạng:
cos sin
dx
A
a x b x c
β
α
=
+ +

∫

Phương pháp:

1. Đặt
tan
2
x
t = , khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 9/25

( )
2 2
2
1 1 2
1 tan 1
2 2 2 1
x dt
dt dx t dx dx
t
 
= + = + ⇒ =
 
+
 


2

2 2
1 2
cos , sin
1 1
t t
x x
t t
−
= =
+ +

2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả ở trên vào A để đưa A vè dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
5. Tích phân dạng:
sin
cos sin
xdx
A
a x b x
β
α
=
+
∫
;
cos
cos sin
xdx
B
a x b x

β
α
=
+
∫

Phương pháp:

Ta nên kết hợp cả hai dạng trên để hỗ trợ tính một trong hai tích phan bằng cách dùng
các tổ hợp kết quả sau:

sin cos cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx a x b x
bA aB dx dx
a x b x a x b x a x b x
β β β β
α α α α
+
+ = + = =
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫



cos sin cos sin
ln cos sin
cos sin cos sin cos sin
b xdx a xdx b x a x
bB aA dx a x b x

a x b x a x b x a x b x
β β β
β
α
α α α
−
− = − = = +
+ + +
∫ ∫ ∫

Từ hai kết quả trên, ta giải tìm A hoặc tìm B tùy theo yêu cầu của bài toán.
6. Tích phân dạng:
sin .cos
n m
A x xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:

a) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ: Giả sử m là số lẻ (m = 2k +1), ta
biến đổi như sau:

( )
( )
2 2
2
sin .cos .cos sin . cos .cos

sin . 1 sin .cos
k
n k n
k
n
A x x xdx x x xdx
x x xdx
β β
α α
= =
= −
∫ ∫
∫

Đến đây, ta đặt
sin cos
u x du xdx
= ⇒ =
, đổi cận và chuyển tích phân cần tính về dạng tích
phân của hàm đa thức.
b) Trường hợp cả m, n đều là số chẵn: Ta thực hiện biến đổi như sau:

( ) ( )
'
2 2 ' 2 2
sin .cos sin . cos
k k
k k
A x xdx x x dx
β β

α α
= =
∫ ∫

Đến đây ta đặt u = tanx, khi đó:

( )
2
2
1 tan
1
du
du x dx dx
t
= +
⇒
=
+


2
2
1
cos
1
x
u
=
+
,

2
2
2
sin
1
u
x
u
=
+

Đổi cận tích phân, thay các kết quả trên vào A và chuyển A về dạng tích phân hàm hữu tỷ.
7. Tích phân dạng:
2 2
( cos sin ).sin 2
A f a x b x c xdx
β
α
= + +
∫

Phương pháp:

1. Đặt
2 2
cos sin
u a x b x c
= + +
, khi đó ta có:
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 10/25

(
)
(
)
2 .sin .cos sin 2
du b a x xdx b a xdx
= − = −

2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả trên vào A và đưa A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
8. Tích phân dạng:
cos .sin
m n
dx
A
x x
β
α
=
∫

Phương pháp:

a) Trường hợp hai số m và n đều là số chẵn (m = 2k, n = 2k')
Ta thực hiện biến đổi như sau:

' 1

2 2 ' 2 2 ' 2 2 2 2 2
1 1
. .
cos .sin cos .sin .sin cos sin sin
k k
k k k k
dx dx dx
A
x x x x x x x x
β β β
α α α
−
−
   
= = =
   
   
∫ ∫ ∫


( ) ( ) ( )
' 1 ' 1
2 2 2
2 2 2
1
1 tan . 1 cot . 1 . 1 cot .
sin cot sin
k
k k k
dx dx

x x x
x x x
β
α
− −
 
= + + = + +
 
 
∫ ∫

Đến đây, ta đặt
2
cot
sin
dx
u x du
x
= ⇒ = −
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
b) Trường hợp có ít nhất một trong hai số m, n là số lẻ (giả sử m = 2k + 1)
Ta thực hiện biến đổi như sau:

( ) ( )
1 1
2 1 2 2
2 2
cos cos cos
cos .sin cos .sin

cos .sin 1 sin .sin
k k
k n k n
n n
dx xdx xdx xdx
A
x x x x
x x x x
β β β β
α α α α
+ +
+ +
= = = =
−
∫ ∫ ∫ ∫

Đến đây, ta đặt
sin cos
u x du xdx
= ⇒ =
, đổi cận và thay các kết quả trên vào A để chuyển
A về dạng tích phân hàm số hữu tỷ.
V. Tích phân hàm mũ và logarit
1. Tích phân dạng:
( )
x
A f e dx
β
α
=

∫
,
( )
x
B f a dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
1. Đổi biến
x
u e
=
, tính dx theo u và du.
2. Đổi cận tích phân.
3. Thay các kết quả vừa tính được vào A ta thu được tích phân của hàm số đa
thức hoặc hàm số hữu tỷ.
Trường hợp tích phân
( )
x
B f a dx
β
α
=
∫
tương tự.
2. Tích phân dạng:
(ln )

A f x dx
β
α
=
∫
,
( )
log
a
B f x dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Sử dụng phương pháp tích phân từng phần
Đặt:
ln
dx
u x
du
x
dv dx
v x

=
=



⇒
 
=


=


Áp dụng công thức tích phân từng phần để chuyển tích phân cần tính về tích phân hàm
đa thức hoặc hàm hữu tỷ.
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 11/25
Trường hợp tích phân
( )
log
a
B f x dx
β
α
=
∫
tương tự.
VI. Phương pháp tích phân từng phần
1. Tích phân dạng:
( )
cos
A P x xdx
β
α

=
∫
,
( )
sin
B P x xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
(
)
(
)
'
cos sin
u P x du P x dx
dv xdx v x
 = =
 
⇒
 
= =
 
 

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

( ) ( )
sin ' sin
A P x x P x xdx
β
β
α
α
= −
∫

Để tính tích phân
( )
' sin
P x xdx
β
α
∫
ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu
được kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân
( )
sin
B P x xdx
β
α
=
∫
tương tự.
2. Tích phân dạng:

( )
ln
A P x xdx
β
α
=
∫
,
( )
log
a
B P x xdx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
( )
( ) ( )
ln
dx
du
u x
x
dv P x dx
v P x dx Q x

=

=

 
⇒
 
=



= =

∫

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

( )
(
)
ln
Q x
A Q x x dx
x
β
β
α
α
= −
∫

Tích phân

(
)
Q x
dx
x
β
α
∫
: sẽ có dạng tích phân của hàm số đa thức ta đã biết cách tính.
Trường hợp tích phân
( )
log
a
B P x xdx
β
α
=
∫
tương tự.
3. Tích phân dạng:
( )
x
A P x e dx
β
α
=
∫
,
( )
x

B P x a dx
β
α
=
∫

Phương pháp:
Đặt:
(
)
(
)
'
x x
u P x du P x dx
dv e dx v e
 =  =
 
⇒
 
= =
 
 

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

( ) ( )
'
x x
A P x e P x e dx

β
β
α
α
= −
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 12/25
Để tính tích phân
( )
'
x
P x e dx
β
α
∫
ta thực hiện lại cách làm như trên cho đến khi thu được
kết quả cần tìm.
Trường hợp tích phân
( )
x
B P x a dx
β
α
=
∫
tương tự.
4. Tích phân dạng:

cos
x
A xe dx
β
α
=
∫
,
sin
x
B xa dx
β
α
=
∫

Phương pháp:

Đặt:
cos sin
x x
u x du xdx
dv e dx v e
= = −
 
⇒
 
= =
 

Theo công thức tích phân từng phần ta có:

cos sin
x x
A xe xe dx
β
β
α
α
= +
∫

Để tính tích phân
sin
x
xe dx
β
α
∫
ta thực hiện lại các bước như trên, kết qủa thu được sẽ
biểu diễn qua A, ta thu được một phương trình và từ đó tìm ra A.
Trường hợp tích phân
sin
x
B xa dx
β
α
=
∫
tương tự.

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 13/25
C. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Tính các tích phân sau đây:

1/I =
1
2
0
(3 5 1)
x x dx
− +
∫

2/I =
1
2
1
2
(2 1)( 3)
x x x dx
+ − +
∫

3/I =
4
1
1
x dx

x
 









 
+
∫

4/I =
3
2
4
3tg x dx
π
π
∫

5/I =
4
2
6
(2cotg x 5)dx
π

π
+
∫

6/I =
2
0
1 cosx
dx
1 cosx
π
−
+
∫

7/ I =
∫
2
0
π
sin
2
x.cos
2
xdx
8/I =
∫
3
0
π

(2cos
2
x-3sin
2
x)dx
9 / I =
2
2
s i n ( x )
4
d x
s i n ( x )
4
π
− π
π
−
π
+
∫

10 / I =
∫
−
3
6
π
π
(tgx-cotgx)
2

dx

11/ I =
4
4
0
cos x dx
π
∫

12 / I =
2
3
0
sin x dx
π
∫

13*/ I =
3
3
2
3
sin x sin x
cotgx dx
sin x
π
π
−
∫

14/I =
2
4
0
sin x dx
π
∫

15/I =
∫
3
4
22
2
cos
2
sin
1
π
π
xx
dx
16/I =
∫
4
6
π
π
cotg2x dx

17/I =
2
2
sin x
4
e sin 2xdx
π
π
∫

18/ I =
∫
+
4
0
2
2
cos
π
x
e
tgx

19/ I =
∫
2
4
4
sin

1
π
π
x
dx
20/ I =
∫
4
0
6
cos
1
π
x
dx
21/I =
dxxxnsix )cos(2cos
44
2
0
+
∫
π


Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 14/25
22/ I =
2

3
0
cos xdx
π
∫

23/ I =
3
2
0
4sin x
dx
1 cosx
π
+
∫

24/ I =
1
3 2
0
x 1 x dx
−
∫

25/I =
1
5 2
0
x 1 x dx

+
∫

26/I =
1
0
x
dx
2x 1
+
∫

27/I =
1
x
0
1
dx
e 4
+
∫

28/I =
2
x
1
1
dx
1 e
−

−
∫

29/I =
2x
2
x
0
e
dx
e 1
+
∫

30/I =
x
1
x
0
e
dx
e 1
−
−
+
∫

31/I =
e
2

1
ln x
dx
x(ln x 1)
+
∫

32/I =
7
3
3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫

33/I =
2
3
2
0
(x 3) x 6x 8 dx
− − +
∫

.34/I =
1

2 2
3
1
dx
x 4 x
−
∫

35/I =
4
2
2
1
dx
x 16 x
−
∫

36*/I =
6
2
2 3
1
dx
x x 9
−
∫


37/I =

2
2 2
1
x 4 x dx
−
−
∫

38/I =
2
2 3
0
x (x 4) dx
+
∫

39/I =
2
4
4 3
3
x 4
dx
x
−
∫

40*/I =
2
2

2
2
x 1
dx
x x 1
−
−
+
+
∫

41/I =
ln 2
x
0
e 1dx
−
∫

42/I =
1
0
1
dx
3 2x
−
∫

43/I =
2

5
0
sin xdx
π
∫

44*/I =
3
0
1
dx
cosx
π
∫

45/I =
2x
1
x
0
e
dx
e 1
−
−
+
∫

46/I =
ln3

x
0
1
dx
e 1
+
∫

47/I =
4
2
6
1
dx
sin x cot gx
π
π
∫

48/I =
3
2
e
1
ln x 2 ln x
dx
x
+
∫

49/I =
e
1
sin(ln x)
dx
x
∫

50/I =
1
3 4 5
0
x (x 1) dx
−
∫



Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 15/25
51/I =
1
2 3
0
(1 2x)(1 3x 3x ) dx
+ + +
∫

52/I =

2
3
1
1
dx
x 1 x
+
∫

53/I =
3
2 2
6
tg x cot g x 2dx
π
π
+ −
∫

54/I =
1
2 3
0
(1 x ) dx
−
∫

55*/I =
1
2x

0
1
dx
e 3
+
∫

56/I =
x
ln3
x 3
0
e
dx
(e 1)+
∫

57/I =
0
2x
3
1
x(e x 1)dx
−
+ +
∫

58/I =
2
6

3 5
0
1 cos x sin x.cos xdx
π
−
∫

59*/I =
2 3
2
5
1
dx
x x 4
+
∫

60/I =
4
0
x
dx
1 cos2x
π
+
∫

61/I =
2x
ln5

x
ln 2
e
dx
e 1
−
∫

62/I =
2
e
1
x 1
.ln xdx
x
+
∫

63/I =
2
1
0
x
dx
(x 1) x 1
+ +
∫

64/I =
2

0
sin x.sin 2x.sin3xdx
π
∫



65/I =
2
4 4
0
cos2x(sin x cos x)dx
π
+
∫

66*/I =
2
3 3
0
( cos x sin x)dx
π
−
∫

67/I =
7
3
8 4
2

x
dx
1 x 2x+ −
∫

68*/I =
2
0
4cos x 3sin x 1
dx
4sin x 3cosx 5
π
− +
+ +
∫

69/I =
9
3
1
x. 1 xdx
−
∫

70/I =
2
3
0
x 1
dx

3x 2
+
+
∫

71*/I =
6
0
x
sin dx
2
π
∫

72*/I =
2
0
x
dx
2 x 2 x
+ + −
∫

73/I =
3
3 2
0
x . 1 x dx
+
∫

74**/I =
1
2
0
ln(1 x)
dx
x 1
+
+
∫

75/I =
2
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫

76/I =
e
1
cos(ln x)dx
π
∫

77*/I =

2
2
0
4 x dx
+
∫

78/I =
2
1
x
dx
1 x 1
+ −
∫

79/I =
e
1
1 3ln x ln x
dx
x
+
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 16/25
80/I =
3

2
2
ln(x x)dx
−
∫

81/I =
e
2
1
(ln x) dx
∫

82/I =
2
e
e
ln x
dx
x
∫

83/I =
2
e
1
ln x
dx
ln x
∫

84/I =
2
2
1
x ln(x 1)dx
+
∫

85/I =
3
2
3
1
dx
x 3
+
∫

86/I =
1
2
0
1
dx
4 x
−
∫

87/I =

2
4
0
sin xdx
π
∫

88/I =
3
2
6
ln(sin x)
dx
cos x
π
π
∫

89/I =
2
1
cos(ln x)dx
∫

90*/I =
2
2
0
ln( 1 x x)dx
+ −

∫

91*/I =
3
2
2
1
dx
x 1
−
∫

92/I =
3
8
1
x 1
dx
x
+
∫

93/I =
3
3
2
1
x
dx
x 16

−
∫

94/I =
6
2
0
cosx
dx
6 5sin x sin x
π
− +
∫

95*/I =
2
e
2
e
1 1
( )dx
ln x
ln x
−
∫

96/I =
3
2
4

x 4 dx
−
−
∫

97/I =
2
3 2
1
x 2x x 2 dx
−
− − +
∫

98/I =
3
4
4
cos2x 1dx
π
π
+
∫

99/I =
0
cosx sin xdx
π
∫

100/I =
2
0
1 sin xdx
π
+
∫

101/I =
3
4
4
sin 2x dx
π
π
∫

102/I =
0
1 sin xdx
π
−
∫

103/I =
1
3
2
1
ln(x x 1) dx

−
 
+ +
 
 
∫

104*/I =
2
0
xsin x
dx
1 cos x
π
+
∫

105*/I =
1
2 x
1
1
dx
(x 1)(4 1)
−
+ +
∫

106*/I =
4

1
x
1
x
dx
1 2
−
+
∫

107/I =
2
4
0
xsin xdx
π
∫

108/I =
2
4
0
x cos xdx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 17/25
109/I =

6
2
0
x.sin xcos xdx
π
∫

110*/I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)
+
∫

111/I =
2x 2
0
e sin xdx
π
∫


112/I =
2
2
1

1
x ln(1 )dx
x
+
∫


113/I =
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)
+
∫

114/I =
1
2
0
1 x
x.ln dx
1 x
+
−
∫

115/I =

2
t
1
ln x
dx I 2
x
 
⇒ <
 
 
∫

116/I =
3
0
sin x.ln(cosx)dx
π
∫

117/I =
2
e
2
1
cos (ln x)dx
π
∫

118/I =
4

0
1
dx
cosx
π
∫

119*/I =
4
3
0
1
dx
cos x
π
∫

120/I =
2
1
3 x
0
x e dx
∫

121/I =
2
2
sin x 3
0

e .sin xcos xdx
π
∫

122/I =
2
4
0
sin 2x
dx
1 cos x
π
+
∫

123/I =
1
2
0
3
dx
x 4x 5
− −
∫

124/I =
2
2
1
5

dx
x 6x 9
− +
∫

125/I =
1
2
5
1
dx
2x 8x 26
−
+ +
∫

126/I =
1
0
2x 9
dx
x 3
+
+
∫

127/I =
4
2
1

1
dx
x (x 1)
+
∫


128*/I =
0
2
2
sin 2x
dx
(2 sin x)
−π
+
∫

129/I =
1
2
0
x 3
dx
(x 1)(x 3x 2)
−
+ + +
∫

130/I =

1
3
0
4x
dx
(x 1)
+
∫

131/I =
1
4 2
0
1
dx
(x 4x 3)
+ +
∫

132/I =
3
3
2
0
sin x
dx
(sin x 3)
π
+
∫

133/I =
3
3
6
4sin x
dx
1 cosx
π
π
−
∫

134/I =
3
2
6
1
dx
cosx.sin x
π
π
∫



.
Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 18/25

135/I =
3
0
sin x.tgxdx
π
∫

136/I =
3
4
1
dx
sin 2x
π
π
∫

137/I =
3
4
2 2 5
0
sin x
dx
(tg x 1) .cos x
π
+
∫

138/I =

3
2 2
3
1
dx
sin x 9cos x
π
π
−
+
∫

139/I =
2
2
cosx 1
dx
cosx 2
π
π
−
−
+
∫

140/I =
2
0
1 sin x
dx

1 3cosx
π
+
+
∫

141/I =
2
0
cosx
dx
sin x cos x 1
π
+ +
∫

142/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)
+
∫

143/I =
1
3
3

1
dx
x 4 (x 4)
−
+ + +
∫

144/I =
3
3
0
sin x
dx
cosx
π
∫

145/I =
1
0
x 1 xdx
−
∫

146/I =
6
4
x 4 1
. dx
x 2 x 2

−
+ +
∫

147/I =
0
2
1
1
dx
x 2x 9
−
+ +
∫

148/I =
3
2
1
1
dx
4x x
−
∫

149/I =
2
2
1
4x x 5dx

−
− +
∫

150/I =
2
2
2
2x 5
dx
x 4x 13
−
−
+ +
∫

151/I =
1
x
0
1
dx
3 e
+
∫

152/I =
1
4x 2x
2

2x
0
3e e
dx
1 e
+
+
∫

153/I =
4
2
7
1
dx
x 9 x
+
∫

154/I =
2
x 2
0
e sin xdx
π
∫

155/I =
4
2

4 4
0
cos x
dx
cos x sin x
π
+
∫


156/I =
1
0
3
dx
x 9 x
+ −
∫

157/I =
0
xsin xdx
π
∫

158/I =
2 2
0
x cos xdx
π

∫

159/I =
1
0
cos x dx
∫

160/I =
1
0
sin x dx
∫

161/I =
2
4
0
xsin x dx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 19/25
162/I =
2
4
0
x cos x dx

π
∫

163/I =
2
0
x cos x sin xdx
π
∫

164/I =
6
2
0
x cos x sin xdx
π
∫

165/I =
4
x
1
e dx
∫

166/I =
4
3x
0
e sin 4x dx

π
∫

167/I =
2x 2
0
e sin x dx
π
∫

168/I =
2 x
1
2
0
x e
dx
(x 2)
+
∫

169/I =
e
1
(1 x)ln xdx
+
∫

170/I =
e

2
1
x ln x dx
∫

171/I =
1
e
2
1
ln xdx
∫

172/I =
e
1
x(2 ln x)dx
−
∫

173/I =
2
e
2
e
1 1
( )dx
ln x
ln x
−

∫

174/I =
2
2
1
(x x)ln xdx
+
∫

175/I =
2
2
1
1
x ln(1 )dx
x
+
∫

176/I =
2
5
1
ln x
dx
x
∫

177/I =
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)
+
∫

178/I =
1
2
0
1 x
x ln dx
1 x
+
−
∫

179/I =
2
3
cosx.ln(1 cosx)dx
π
π
−
∫

180/
2
2
sin x 3
0
e sin xcos x dx
π
∫

181/I=
2
4
0
sin 2x
dx
1 sin x
π
+
∫

182/I =
2
4
0
sin 2x
dx
1 cos x
π
+

∫

183/I =
2
2
1
5
dx
x 6x 9
− +
∫

184/I =
2
1
0
x 3x 2
dx
x 3
+ +
+
∫

185/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)

+
∫

186/I =
1
2
0
ln(1 x)
dx
x 1
+
+
∫

187/I
4
1
6
0
1 x
dx
1 x
+
+
∫

188/I =
1
15 8
0

x 1 x dx
+
∫

189/I =
x
1
x x
0
e
dx
e e
−
+
∫

190/I=
e
1
e
ln x dx
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 20/25
.
191/I =
2
sin x

0
(e cos x)cos x dx
π
+
∫

192/I =
2
0
sin 2x.cosx
dx
1 cosx
π
+
∫

193/I =
2
0
sin 2x sin x
dx
1 3cosx
π
+
+
∫

194/I =
2
4

0
1 2sin x
dx
1 sin 2x
π
−
+
∫

195/I =
5 3
3
2
0
x 2x
dx
x 1
+
+
∫

196/I =
3
2
4
tgx
dx
cosx 1 cos x
π
π

+
∫

197/I =
2
2
1
x 1
( ) dx
x 2
−
−
+
∫

198/I =
4
2
0
x.tg x dx
π
∫

199/I =
5
3
( x 2 x 2)dx
−
+ − −
∫

200/I =
4
1
2
dx
x 5 4
−
+ +
∫

201/I =
2
1
x
dx
x 2 2 x
+ + −
∫


202/I =
2
2
1
ln(1 x)
dx
x
+
∫

203/I =
2
0
sin 2x
dx
1 cosx
π
+
∫

204/I =
2008
2
2008 2008
0
sin x
dx
sin x cos x
π
+
∫

205/I =
2
0
sin x.ln(1 cos x)dx
π
+
∫

206/I =
2
3
2
1
x 1
dx
x
+
∫

207/I =
3
4
2
0
sin x
dx
cos x
π
∫

208/I =
2
2
0
cos x.cos4x dx
π
∫

209/I =
1
2x x
0
1
dx
e e+
∫

210/I =
e
2
1
e
ln x
dx
(x 1)
+
∫

211/I =
1
0
1
dx
x 1 x
+ +
∫

212/I =
2
1
2
0
x
dx
4 x
−
∫

213/I =
1
2
0
x
dx
4 x−
∫

214/I =
1
4
2
2
0
x
dx
x 1
−

∫

215/I =
2
0
sin3x
dx
cosx 1
π
+
∫

216/I =
2
2
2
2
0
x
dx
1 x
−
∫

217/I =
2
2
4
1
1 x

dx
1 x
−
+
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 21/25
218/I =
3
7
3
2
0
x
dx
1 x
+
∫

219/I =
x
ln 2
x
0
1 e
dx
1 e
−

+
∫

220/I =
1
0
x 1 x dx
−
∫

221/I =
1
2
0
x 1dx
+
∫

222/I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫

223/I =
2
3

0
x 1
dx
x 1
+
+
∫

224/I =
1
2 2x
0
(1 x) .e dx
+
∫

225/I =
2
2
0
cosx
dx
cos x 1
π
+
∫

226/I =
7
3

3
0
x 1
dx
3x 1
+
+
∫

227/I =
2
6
1 sin 2x cos2x
dx
cosx sin x
π
π
+ +
+
∫

228/I =
x 2
1
2x
0
(1 e )
dx
1 e
+

+
∫

229/I =
3
2 3
0
x (1 x) dx
−
∫

230/I =
3
2
2
0
sin x.cos x
dx
cos x 1
π
+
∫

231/I =
1
2
2
0
4x 1
dx

x 3x 2
−
− +
∫


232*/I =
2
0
xsin x.cos xdx
π
∫

233/I =
2
0
cosx
dx
cos2x 7
π
+
∫

234/I =
4
2
1
1
dx
x (x 1)

+
∫

235/I =
2
2 3
0
sin 2x(1 sin x) dx
π
+
∫

236/I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2
+
+
∫

237/I =
4
2
7
1
dx
x x 9

+
∫

238/I =
3 4
0
xsin x cos xdx
π
∫

239/I =
2
3
2
cosx cosx cos xdx
π
π
−
−
∫

240*/I =
1
2
1
ln( x a x)dx
−
+ +
∫

241/I =
2
x
0
1 sin x
dx
(1 cosx)e
π
−
+
∫
.
242/I =
2
0
sin 2x sin x
dx
cos3x 1
π
+
+
∫

243/I =
4
2 2
0
sin 2x
dx
sin x 2cos x

π
+
∫

244/I =
2
3
2
2
0
x
dx
1 x
−
∫


.

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 22/25
245/I =
2
3
2
2
0
x
dx

1 x
−
∫

246/I =
2
1
2
2
2
1 x
dx
x
−
∫

247/I =
2
1
2
0
x
dx
4 x
−
∫

248/I =
2
2

2
3
1
dx
x x 1
−
∫

249/I =
1
5 3 6
0
x (1 x ) dx
−
∫

250/I =
2
0
sin x
dx
1 sin x
π
+
∫

251/I =
2
0
cosx

dx
7 cos2x
π
+
∫

252/I =
4
2
1
1
dx
(1 x)x+
∫

253/I =
2
3
0
x 1
dx
3x 2
+
+
∫

254*/I =
3
4
cosx sin x

dx
3 sin 2x
π
π
+
+
∫

255/I =
2
3
2
cosx cosx cos xdx
π
π
−
−
∫

256/I =
3
4
4
tg xdx
π
π
∫


.

257*/I =
2
x
0
1 sin x
e dx
1 cosx
π
+
+
∫

258/I =
1
2 3
0
(1 x ) dx
−
∫

259/I =
4
2
0
x.tg xdx
π
∫

260/I=

2
2 2
0
1
dx
(4 x )+
∫

261/I =
2
1
3
0
3x
dx
x 2
+
∫

262*/I =
5
2
5
1
1 x
dx
x(1 x )
−
+
∫

263/I =
3
2
0
cosx
dx
1 sin x
π
−
∫

264/I =
2
3
6
0
sin x
dx
cos x
π
∫

265/I =
3
6
0
sin x sin x
dx
cos2x

π
+
∫

265/I =
2
3
1
dx
sin x 1 cos x
π
π
+
∫

266/I =
3
6 2
1
1
dx
x (1 x )
+
∫

267/I =
2
2
0
sin x

dx
cos x 3
π
+
∫

268/I =
2
0
sin x
dx
x
π
∫


.

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 23/25
269/I =
2
2
0
sin xcosx(1 cosx) dx
π
+
∫

270/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫


271/I =
4 4
4
0
sin x cos x
dx
sin x cos x 1
π
−
+ +
∫

272/I =
2
0
sin xcosx cos x
dx

sin x 2
π
+
+
∫

273/I =
1
1
x
3
a
e
dx
x
∫

274/I =
3 2
1
2
0
x 2x 10x 1
dx
x 2x 9
+ + +
+ +
∫

275/I =

3
1
2 3
0
x
dx
(x 1)+
∫

276/I =
1
3
0
3
dx
x 1
+
∫

277*/I =
4
1
6
0
x 1
dx
x 1
+
+
∫

278/I =
1
3
0
x
dx
(2x 1)+
∫

279/I =
7
2
1
dx
2 x 1
+ +
∫

280/I =
3
2
2
1
2
1
dx
x 1 x−
∫

281*/I =
2
1
2
0
x ln(x 1 x )
dx
1 x
+ +
+
∫

282/I =
4
2
1
(x 1) ln xdx
−
∫

283/I =
3
2
0
x ln(x 1)dx
+
∫

284/I =
3

2
2
1
3x
dx
x 2x 1
+ +
∫

285/I =
1
3 2
0
4x 1
dx
x 2x x 2
−
+ + +
∫

286/I =
1
2
2
1
2
1
dx
(3 2x) 5 12x 4x
−

+ + +
∫

287/I =
1
0
1
dx
x 1 x
+ +
∫

288/I =
2
0
cosx
dx
2 cos2x
π
+
∫

289/I =
2
4
cosx sin x
dx
3 sin 2x
π
π

+
+
∫

290/I =
2
3 3
0
(cos x sin x)dx
π
+
∫

291/I =
2
5 4
0
cos xsin xdx
π
∫

292/I =
2
4 4
0
cos2x(sin x cos x)dx
π
+
∫

293/I =
2
0
1
dx
2 sin x
π
+
∫

294/I =
2
0
1
dx
2 cos x
π
−
∫

295/I =
2
2
2
3
1
dx
x x 1
−
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 24/25
296/I =
3
7
3
2
0
x
dx
1 x
+
∫

297*/I =
2
3
1
1
dx
x 1 x
+
∫

298/I =
3
1
2

0
x
dx
x 1 x
+ +
∫

299/I =
1
2
1
1
dx
1 x 1 x
−
+ + +
∫

300/I =
3
4
6
1
dx
sin x cos x
π
π
∫

301/I =

2
0
cosx
dx
cosx 1
π
+
∫

302/I =
2
0
cosx
dx
2 cos x
π
−
∫

303/I =
2
0
sin x
dx
sin x 2
π
+
∫

304/I =

3
2
0
cos x
dx
cosx 1
π
+
∫

305/I =
2
0
1
dx
2cosx sin x 3
π
+ +
∫

306/I =
2
2
3
cosx
dx
(1 cos x)
π
π
−

∫

307/I =
4
3
0
tg x dx
π
∫

308*/I =
1
2x
1
1
dx
3 e
−
+
∫

309*/I =
2
x
sin x
dx
3 1
π
−π
+

∫

310*/I =
2
0
sin x
dx
cosx sin x
π
+
∫

311/I =
4
2
4 4
0
sin x
dx
cos x sin x
π
+
∫

312*/I =
2
2
0
tgx
dx

1 ln (cos x)
π
−
∫

313*/I =
2
0
sin x
dx
cosx sin x
π
+
∫

314*/I =
1
x 2
1
1
dx
(e 1)(x 1)
−
+ +
∫

315*/I =
1
3x 1
0

e dx
+
∫

316*/I =
2
1
2
0
x
dx
x 4
+
∫

317*/I =
3
2
4 2
0
cos x
dx
cos 3cos x 3
π
− +
∫

318*/Tìm x> 0 sao cho
2 t
x

2
0
t e
dt 1
(t 2)
=
+
∫

319*/I =
3
2
4
tan x
dx
cosx cos x 1
π
π
+
∫

320*/I =
1
2
0
3x 6x 1dx
− + +
∫

321*/I =

4
5
0
tg x dx
π
∫

Tài liệu luyện thi đại học

Biên soạn: Trang 25/25



HẾT

Chúc tất cả các em ôn tập tốt và thi đạt kết quả cao!


322/I =
4
3
6
cotg x dx
π
π
∫

323/I =
3
4

4
tg x dx
π
π
∫

324*/I =
4
0
1
dx
2 tgx
π
+
∫

325/I =
5
2
0
sin x
dx
cosx 1
π
+
∫

326/I =
3
2

6
cos2x
dx
1 cos 2x
π
π
−
∫



327*/I =
4
2
0
t gx 1
( ) dx
tgx 1
π
−
+
∫

328*/I =
1
3
1
2
x
dx

x 1
+
∫

329*/I =
3
3
2
4
1
x x
dx
x
−
∫

330/I =
x
ln3
x x
0
e
dx
(e 1) e 1
+ −
∫

331/I =
1
4

e
2
1
e
1
dx
x cos (ln x 1)
π
−
+
∫

333*/I =
4
0
ln(1 tgx)dx
π
+
∫