Giáo trình hình họa

Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
I HC À NNG
TRNG I HC BÁCH KHOA
KHOA S PHM K THUT
0










BÀI GING


HÌNH HA









GVC - ThS NGUYN 

À NNG - 2005
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
1
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
M U

A. MC CH V YấU CU
1) Mc ớch
Hỡnh ho l mt mụn hc thuc lnh vc Hỡnh hc, nhm:
Nghiờn cu cỏc phng phỏp biu din cỏc hỡnh trong khụng gian lờn mt mt m thụng
thng l mt phng hai chiu
Nghiờn cu cỏc phng phỏp gii cỏc bi toỏn trong khụng gian bng cach gii chỳng trờn
cỏc hỡnh biu din phng ú
Cung cp mt s kin thc hỡnh hc c bn hc tip mụn V k thut v gii quyt mt s
vn liờn quan n chuyờn mụn.
2) Yờu cu ca hỡnh biu din
Hỡnh biu din phi n gin, rừ rng, chớnh xỏc. Cỏc hỡnh biu din phi tng ng vi mt
hỡnh nht nh trong khụng gian; ngi ta gi tớnh cht ny l tớnh phn chuyn hay tớnh tng
ng hỡnh hc ca hỡnh biu din
3) Mt s ký hiu v quy c
Trong bi ging ny s dựng nhng ký hiu v qui c sau:

im Ch in nh: A, B, C,
ng thng Ch thng nh: a,b,c,
Mt phng Ch Hy lp hoc ch vit hoa nh: , , , , A, B, C,
S liờn thuc Ký hiu nh: im Aa; ng thng a mp ( ), bmp(Q),
Vuụng gúc nh: a b
Giao nh: A= d l
Kt qu = nh: g= mp mp
Song song // nh: d // k
Trựng nh: A B

B. CC PHẫP CHIU
I. PHẫP CHIU XUYấN TM
1) Cỏch xõy dng
Trong khụng gian cho mt phng P v mt im S khụng thuc mp(P ).(Hỡnh 1)
Ngi ta thc hin phộp chiu mt im A bt k nh sau:
V ng thng SA, ng thng ny ct mt phng P ti im A

Ta cú cỏc nh ngha:
P : Mt phng hỡnh chiu
A

A
S
P
S : Tõm chiu
SA : ng thng chiu hoc tia chiu
A : Hỡnh chiu xuyờn tõm ca im A t tõm
chiờỳ S lờn mt phng hỡnh chiu P .
Hỡnh 1
Phộp chiu c xõy dng nh trờn c gi l phộp

chiu xuyờn tõm vi tõm chiu S v mt phng hỡnh
chiu P.
Mt phộp xuyờn tõm c xỏc nh khi bit tõm chiu S v mt phng hỡnh chiu P.
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
2
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Chỳ ý
a) Hỡnh l mt tp hp im. Vy chiu mt hỡnh ta chiu mt s im thnh phn ca hỡnh
xỏc nh hỡnh ú
b) Nu trong khụng gian clic ta b sung thờm cỏc yu t vụ tn thỡ:
_ Hai ng thng son g song xem nh ct nhau ti mt im vụ tn:
a // b a b = M

Nh vy biu din mt im vụ tn ta biu din nú bng mt phng ng thng
_ Hai mt phng son g song xem nh ct nhau theo mt ng thng vụ tn
mp // mp mp mp = d


2) Tớnh cht
1. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca mt ng thng khụng i qua tõm chiu l mt ng thng
Khi chiu ng thng a, cỏc tia chiu SA, SB hỡnh thnh mt mt phng (SAB) gi l mt
phng chiu. Do ú hỡnh chiu a(A'B')= mp(SAB) mp(P) (hỡnh 2)
2. Hỡnh chiu xuyờn tõm ca nhng ng thng song song núi chung l nhng ng thng
ng qui
Gi s cho a // b nờn cỏc mp(S,a) v mp(S,b) s giao vi mp(P) cho cỏc giao tuyn a, b ct
nhau ti im M (M l hỡnh chiu xuyờn tõm ca im M

ca ng thng a, b) (hỡnh 3)

Hỡnh 2 Hỡnh 3
P
P
S
M'
S
A

B
B'
A
'
a
a'
a
b
b'
a'
A
B
B'
A

II. PHẫP CHIU SONG SONG
1) Cỏch xõy dng
Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm khi tõm chiu S xa vụ
tn
Nh vy phộp chiu song song c xỏc nh khi bit mt phng hỡnh chiu P v phng chiu s
A

P
A
t
s



H
ỡ
nh 4





Ngi ta chiu song song im A bng cỏch qua A v ng thng t song song vi phng s, v
giao im A = t mp(P ) thỡ A l hỡnh chiu song song ca im A t phng chiu s lờn mt
phng hỡnh chiu P (hỡnh 4).

2) Tớnh cht
Phộp chiu song song l trng hp c bit ca phộp chiờu xuyờn tõm nờn cú nhng tớnh cht
ca phộp chiu xuyờn tõm. Ngoi ra phộp chiu song song cú nhng tớnh cht sau:

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
3
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
1. Hỡnh chiu song song ca nhng ng thng khụng song song vi phng chiu l nhng
ng thng song song.
Gi s cho a // b nờn cỏc mt phng chiu thuc a, b song song nhau, do ú giao tuyn ca chỳng
vi mt phng hỡnh chiu P l nhng ng thng song song: a // b (hỡnh 5)







Hỡnh 5 Hỡnh 6
P
P
s
s
a
'
b
'
b
a
C
'
B
'
A

'
C
B
A

2. T s n ca ba im phõn bit thng hng bng t s n ca ba im phõn bit hỡnh chiu
ca chỳng

Cho ba im A, B ,C phõn bit thng hng, chiu thnh ba im A, B, C cng phõn bit thng
hng.(hỡnh 6). Theo nh lý Thalet, ta cú:

''
''
BC
AC
CB
CA
=


Ký hiu t s n ca ba im A,B,C nh sau: (ABC) = (ABC)
III. PHẫP CHIU VUễNG GểC
1) Cỏch xõy dng
Phộp chiu vuụng gúc l trng hp c bit ca phộp chiờu
song song khi phng chiu s vuụng gúc vi mt phng hỡnh
chiu P : s P (hỡnh 7)
P
s

Hỡnh 7
2) Tớnh cht
Phộp chiu vuụng gúc cú nhng tớnh cht ca phộp chiu song song; Ngoi ra cũn cú nhiu tớnh
cht, chỳng ta s nghiờn cu cỏc chng sau.
IV. NHN XẫT
Ta cú th dựng cỏc phộp chiu trờn biu din vt th trong khụng gian lờn mt mt phng.
Tuy nhiờn vi mi hỡnh chiờu thỡ cha xỏc nh c mt vt th duy nht trong khụng gian
Vỡ vy mt hỡnh chiu cha m bo c tớnh phn chuyn ca hỡnh biu din.

Trong cỏc bi sau chỳng ta s nghiờn cu phng phỏp cỏc hỡnh chiu vuụng gúc m cỏc
hỡnh biu din m bo tớnh phn chuyn c gi l thc .

========================




GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
4
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
Bài 1 IM

I.  THC CA IM
I.1 H thng hai mt phng hình chiu vuông góc
a) Cách xây dng
Trong không gian cho hai mt phng P
1
và P
2

vuông góc nhau, đ d hình dung đt P
1
nm
ngang, P
2
thng đng. Ta nhn đc h thng hai mt phng hình chiu vuông góc (hình 1.1)










Hình 1.1 Hình 1.2
x

A
x
(III)
Cao<0, xa
<0
(II)
Cao>0, xa <0
(I)
Cao>0, xa >0
A
X

A
2
A
1
A
1
A
2
A
X
P
1
(IV)
Cao<0, xa
>0
P
2

Xét mt đim A bt k trong không gian.
_ Chiu vuông góc đim A ln lt lên P
1
và P
2
ta nhn đc các hình chiu A
1
, A
2

_ Quay mp P
1

quanh trc x mt góc 90
0
theo chiu mi tên qui c nh (hình 1.1) đn trùng
P
2
. Vì mp (A A
1
A
2
) ⊥ P
1
và P
2
nên s vuông góc vi trc x ti đim A
X
. Do đó sau khi
quay đn v trí mi ba đim A
1
, A
X
, A
2
thng hàng và vuông góc trc x (hình1.2)

b) Các đnh ngha
_ P
1
Mt phng hình chiu bng
_ P
2

Mt phng hình chiu đng
_ x = P
1
∩P
2
Trc hình chiu
_ A
1
Hình chiu bng ca đim A
_ A
2
Hình chiu đng ca đim A
_ A
1
A
2
( ⊥ x) ng gióng
_ A
1
A
x
 xa ca đim A, qui c dng nu A
1
nm phía di trc x
_ A
2
A
x
 cao ca đim A, qui c dng nu A
2

nm phía trên trc x
_ (A
1
, A
2
) Cp đim hình chiu này gi là đ thc ca đim A.Tht vy t A
1
, A
2
ta
có th dng li đc đim A theo th t ngc li vi cách dng đ thc
ca nó

 H thng P
1
và P
2
chia không gian ra làm 4 góc phn t:
_
Góc phn t 1 - Là phn không gian nm trên P
1
và trc P
2

_ Góc phn t 2 - Là phn không gian nm trên P
1
và sau P
2

_

Góc phn t 3 - Là phn không gian nm di P
1
và sau P
2

_
Góc phn t 4 - Là phn không gian nm di P
1
và trc P
2


+ Mt phng phân giác 1. Là mt phng phân giác ca P
1
và P
2
đi qua góc phn t th 1 và góc
phn t th 3.
Nhng đim thuc mt phng phân giác1 có đ thc là mt cp đim hình chiu đng và hình
chiu bng đi xng nhau qua trc hình chiu x
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
5
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
+ Mt phng phân giác 2. Là mt phng phân giác ca P
1
và P
2
đi qua góc phn t th 2 và góc
phn t th 4.

Nhng đim thuc mt phng phân giác 2 có đ thc là mt cp đim hình chiu đng và hình
chiu bng trùng nhau
(Hình 1.3) là hình không gian biu din mt phng phân giác 1, mt phng phân giác 2 và các
góc phn t ca h thng hai mt phng hình chiu vuông góc P
1
và P
2


Phân giác 2 Phân giác 1
P
2
P
2
A

A
2
P
1
x
A
1
x

P
1
Hình 1.3 Hình 1.4

Nu ta đt trc hình chiu x vuông góc vi mt phng ca t giy thì h thng hai mt phng

hình chiu P
1
, P
2
và hai mt phng phân giác 1, 2 đc biu din nh (hình 1.4)

Tóm li
 thc ca mt đim trong không gian là mt cp đim hình chiu đng và hình chiu bng có
th phân bit hoc trùng nhau

I.2 H thng ba mt phng hình chiu vuông góc

a) Cách xây dng
Thêm vào mt phng P
3
vuông góc vi P
1
và P
2
, thng P
3
đt phía bên phi ngi quan sát, ta
nhn đc h thng ba mt phng hình chiu vuông góc nh (hình 1.5)

Hình 1.5 Hình 1.6
x

A

P
2
y
z
0
A
z
A
1
P
1

x
z
y’

y
A
y
A
1

45
A
y
A
2
A
3
A
y
’
A
z
A
2
A
x
A
3
P
3
0
A
x
Gi y = P
1
∩ P
3
; z = P
2
∩P

3
Xét mt đim A bt k trong không gian.
_ Chiu vuông góc đim A ln lt lên các mt phng P
1
, P
2
, P
3
ta nhn đc các hình chiu
A
1
, A
2
,

A
3
.
_ Quay các mp P
1
, P
3
ln lt quanh các trc x, trc z mt góc 90
0
theo chiu mi tên qui c
nh (hình 1.5). Trc y đc tách ra làm hai phn, mt phn trc y theo mp P
1
đn trùng vi trc
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
6

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
z, mt phn trc y theo mp P
3
n trựng vi trc x. Sau khi quay ta nhn c hỡnh biu din
nh (hỡnh1.6)
b) Cỏc nh ngha
_ P
3
Mt phng hỡnh chiu cnh
_ A
2
A
z
xa cnh ca im A, qui c dng nu A
2
nm phớa bờn trỏi trc z
_ A
3
Hỡnh chiu cnh ca im A

Chỳ ý
_ A
2
A
z
= 0 A
y
= 0 A
y
=

A
x
A
1

_ Vỡ hai hỡnh chiu biu din thc ca mt im nờn ta d dng v c hỡnh chiu th ba
ca im ú

Vớ d
Cho thc ca im B (B
1
, B
2
) (hỡnh 1.7a). Hóy v hỡnh chiu th ba ca im B.








Hỡnh 1.7a Hỡnh 1.7b
Hỡnh chiu cnh B
3
ca im B c v theo chiu mi tờn nh (hỡnh 1.7b) ,vi 0B
y'
= 0B
y

II. Quan h gia to cỏc v thc ca mt im trong khụng gian
Nu ly ba mt phng hỡnh chiu P
1
, P
2
, P
3
lm ba mt phng to cỏc; ba trc hỡnh chiu x,
y, z lm ba trc to cỏc (hỡnh 1.8)

Vi im A (x
A
, y
A
, z
A
) bt k trong khụng gian, ta cú:
_ Honh x
A
= 0A
x
: xa cnh ca im A
_ Tung y
A
= A
x
A
1
: xa ca im A

_ Cao z
A
= A
1
A : cao ca im A
Nh vy
Nu cho to cỏc ca mt im trong khụng
gian thỡ ta d dng v c thc cu im ú.
P
2
P
3
0
z
y
x
A
1
A

A
x

y
A
z
A
x
A
x

y
B
2
B
2
B
1
x
B
1
y
B
Z
B
y
B
Y
B
3
Hỡnh 1.8
P
1

Vớ d
Cho to cỏc ca cỏc im A (2, 3, 4); B
(4, -2, -5). Hóy v thc ca chỳng.
-2
+4
y

-
z
+
B
Z
B
Y
y
+
z
-
-5
Hỡnh 1.9
+2
+3
x
-
x
+
x
+
y
+
z
-
A
Y
A
X
A

z
y
-
z
+
+4
A
1
A
2
B
2
B
1
B
X
thc ca cỏc im A, B c biu din nh
(hỡnh 1.9), chỳ ý chiu dng ca cỏc trc x, y,
z .
x
-
Trong ú:
OA
x
= +2; OA
Y
= +3; OA
Z
= +4
OB

x
= +4; OB
Y
= -2; OB
Z
= -5

III. MT VI V D GII SN

Vớ d 1
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt

7
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
Hãy v đ thc ca các đim sau:
_ im A thuc mt phng P
1

_ im B thuc mt phng P
2

_ im C thuc mt phng Phân giác 1
_ im D thuc mt phng Phân giác 2
_ im E thuc trc hình chiu x



Gii
_ im A thuc mt phng P
1

nên có A
1
≡ A; A
2
∈ x
_ im B thuc mt phng P
2
nên có B
2
≡ B; B
1
∈ x
_ im C thuc mt phng phân giác 1 nên có C
1
và C
2
đi xng nhau qua trc x
_ im D thuc mt phng phân giác 2 nên có D
1
≡ D
2

_ im E thuc trc hình chiu x nên có E
1
≡ E
2
∈ x ; (Hình 1.10)

Hình 1.10 Hình 1.11

F
2
A
1
o
y
y’
z
x
H
Y ’
F
Y
H
3
H
2
H

1
G
2
G
3
G
Y ’
G
1
F
Y ’
F
Y
G
Y
F
3
F
1
E
1
≡E
2
D
1
≡D
2
C
1
C

2
B
1
B
2
x
 Ví d 2
Cho đ thc ca các đim F, G, H (hình 1.11). Hãy v hình chiu cnh ca chúng và cho bit
chúng thuc góc phn t th my?
Gii

Hình chiu cnh ca các đim F, G, H đc v theo chièu mi tên bt đu đi t hình chiu bng
F
1
, G
1
, H
1
tip theo là mi tên đi qua hình chiu đng F
2
, G
2
, H
2
. Ta s xác đnh đc các hình
chiu cnh F
3
, G
3
, H

3
; (Hình 1.11)
_ im F có đ cao dng, đ xa âm nên đim F thuc góc phn t th 2
_ im G có đ cao âm, đ xa âm nên đim G thuc góc phn t th 3
_ im H có đ cao âm, đ xa dng nên đim H thuc góc phn t th 4

================







GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût

8
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
Bài 2 NG THNG

I.  THC CA NG THNG
 thc ca đng thng đc xác đnh bi đ thc ca hai đim thuc đng thng đó.
Gi s đng thng d đc xác đnh bi hai đim A(A
1
, A
2
) và B (B
1
, B
2

) thì :
Hai đim A
1
, B
1
xác đnh hình chiu bng d
1
ca đng thng d
Hai đim A
2
, B
2
xác đnh hình chiu đng d
2
ca đng thng d (hình 2.1)

B
2
d
1
d
2
A
2
B
1
A
1
x
d

1
d
2
x







Hình 2.1 Hình 2.2

Nu d là đng thng thng (d
1
, d
2
không vuông góc trc hình chiu x ), thì khi biu din đ
thc ca đng thng d không cn biu din hai đim thuc nó (hình 2.2) .

 Chú ý
_ Nhng đng thng thuc mt phng phân giác1 có hình chiu đng và hình chiu bng di
xng nhau qua trc hình chiu x
_ Nhng đng thng thuc mt phng phân giác 2 có hình chiu đng và hình chiu bng
trùng nhau

II. CÁC V TRÍ C BIT CA NG THNG
II. 1 Loi đng thng song song vi mt mt phng hình chiu
1) ng bng (h)
a) nh ngha: ng bng là đng thng song song vi mt phng hình chiu bng

Gi h là đng bng, ta có: h // P
1
(hình 2.3a)
h
2
h
1
B
1
A
2

B
2
β
A
1
A

B
A
1

B
1
A
2

B
2

h
1
h
2
h
β
x

x
β
P
2
P
1











Hình 2.3a Hình 2.3b

b) Tính cht:
• Hình chiu đng ca đng bng song song vi trc x : h
2

// x (hình 2.3b)
• Hình chiu bng ca đng bng hp vi trc x mt góc bng góc ca đng bng hp vi
mt phng hình chiu đng : (h
1
, x) = (h , P
2
) = β
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
9
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
• Hình chiu bng ca mt đon thng thuc đng bng, bng chính nó.
Gi s A, B ∈ h ⇒ A
1
B
1
= AB (hình 2.3b)

2) ng mt (f)
a) nh ngha: ng mt là đng thng song song vi mt phng hình chiu đng:
Gi f là đng mt, ta có: f // P
2
(hình 2.4a)

C
D
f
2
f
1
D
1
C
2
D
2
α
C
1
f
1
f
2
f
P
1
P
2
x
x
D
1

C
2

D
2
α
α
C
1
Hình 2.4a Hình 2.4b
b) Tính cht
• Hình chiu bng ca đng mt song song vi trc x : f
1
// x (hình 2.4b)
• Hình chiu đng ca đng mt hp vi trc x mt góc bng góc ca đng mt hp vi
mt phng hình chiu bng : (f
2
, x) = (f , P
1
) = α
• Hình chiu đng ca mt đon thng thuc đng mt, bng chính nó.
Gi s C, D ∈ f ⇒ C
2
D
2
= CD (hình 2.4b)

3) ng cnh (p)
a) nh ngha:
ng cnh là đng thng song song vi mt phng hình chiu cnh: p // P

3
(hình 2.5a)











Hình 2.5a Hình 2.5b
b) Tính cht
• Hình chiu đng và hình chiu bng ca đng cnh, trùng nhau và vuông góc vi trc x:
p
1
≡ p
2
⊥ x
. Hai hình chiu này cha biu din đc mt đng cnh c th trong không
gian. Vì vy đ biu din mt đng cnh c th ta cn phi biu din đ thc ca hai đim
thuc đng cnh đó; (hình 2.5b) biu din đng cnh p đc xác đnh bng hai đim E, F

• Hình chiu cnh ca đng cnh ln lt hp vi trc y’, z các góc bng góc ca đng
cnh hp vi mt phng hình chiu bng và mt phng hình chiu đng :
(p
3
, y’) = (p , P

1
) = α
(p
3
, z) = (p , P
2
) = β
z
x
z
x

P
2
p
2
p
1
E
2
F
2

α
E
1
P
1
α
β

F
1
E
3

F
3
E
1

F
1

E
2

F
2
E
3

F
3
β

β
α
0
y

0
y
’
y
P
3
P
3
p
2
p
1
P
P
3
F
E
• Hình chiu cnh ca mt đon thng thuc đng cnh, bng chính nó.
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
10
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
Gi s E, F ∈ p ⇒ E
3
F
3
= EF (hình 2.5b)

II.2 Loi đng thng vuông góc vi mt mt phng hình chiu
(thì song song vi hai mt phng hình chiu còn li )

1) ng thng chiu bng (d)
a) nh ngha:
ng thng chiu bng là đng thng vuông góc vi mt phng hình chiu bng: d⊥P
1

(Hình 2.6a )








d
2
x

P
2
x
B
2
A
2
A
B
2
A
2

d
2
d
A
1
≡B
1
≡d
1
A
1
≡
B
1
≡
d
1
B
P
1

Hình 2.6a Hình 2.6b
b) Tính cht
• Hình chiu bng ca đng thng chiu bng suy bin thành mt đim: d
1
mt đim
• ng thng chiu bng va là đng mt va là đng cnh nên có nhng tính cht ca hai
loi đng này, tc:
- Hình chiu đng ca đng thng chiu bng vuông góc vi trc x:: d
2

⊥ x
- Hình chiu đng và hình chiu cnh ca đon thng thuc đng thng chiu bng, bng
nhau và bng chính nó. Gi s A, B ∈ d ⇒ A
2
B
2
= A
3
B
3
= AB ; (hình 2.6b)

2) ng thng chiu đng (k)
a) nh ngha:
ng thng chiu đng là đng thng vuông góc vi mt phng hình chiu đng.
Gi k là đng thng chiu đng, ta có: k ⊥P
2
(Hình 2.7a )









Hình 2.7a Hình 2.7b
x
k

1

D
1
C
1

C
2

≡ D
2
≡ k
2
x
P
2
P
1
C
1

C
D
1
D
C
2

≡ D

2
≡ k
2
k
1

k

b) Tính cht:
• Hình chiu đng ca đng thng chiu đng suy bin thành mt đim: k
2
mt đim
• ng thng chiu đng va là đng bng va là đng cnh nên có nhng tính cht ca
hai loi đng này, tc:
- Hình chiu bng ca đng thng chiu đng vuông góc vi trc x: : k
1
⊥ x
- Hình chiu bng và hình chiu cnh ca đon thng thuc đng thng chiu đng bng
nhau và bng chính nó. Gi s C, D ∈ k ⇒ C
1
D
1
= C
3
D
3
= CD (hình 2.7b)

GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
11

Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
3) ng thng chiu cnh (l)
a) nh ngha
ng thng chiu cnh là đng thng vuông góc vi mt phng hình chiu cnh
Gi l là đng thng chiu cnh, ta có: l ⊥P
3
(Hình 2.8a )











Hình 2.8a Hình 2.8b
b) Tính cht:
- Hình chiu cnh ca đng thng chiu cnh suy bin thành mt đim: l
3
- mt đim
• ng thng chiu cnh va là đng bng va là đng mt nên có nhng tính cht ca hai
loi đng này, tc:
- Hình chiu bng và hình chiu đng ca đng thng chiu cnh song song nhau và song
song vi trc x: l
1
// l
2

// x .
- Hình chiu bng và hình chiu đng ca đon thng thuc đng thng chiu cnh bng
nhau và bng chính nó: Gi s E, F ∈ l ⇒ E
1
F
1
= E
2
F
2
= EF (hình 2.8b)

III. S LIÊN THUC CA IM VÀ NG THNG
Sau đây s trình bày hai đnh lý không chng mimh
1) im thuc đng thng thng
ng thng thng là đng thng không phi là đng đng cnh
nh lý
iu kin cn và đ đ mt đim thuc mt đng thng thng là các hình chiu cùng tên ca
đim và đng thng đó thuc nhau
Cho đim A(A
1
, A
2
) và đng thng d(d
1
, d
2
),
(hình2.9); đnh lý trên đc vit di dng:

Hình 2.9
2) im thuc đng cnh
nh lý
iu kin cn và đ đ đim C thuc đng cnh AB là t s đn ca ba đim A, B, C trên các
hình chiu bng nhau .
Cho đim C (C
1
, C
2
) và đng cnh AB (A
1
B
1
, A
2
B
2
), đnh lý trên đc vit di dng:

⎩
⎨
⎧
∈
∈
⇔∈
22
11

dA
dA
dA
A
1
A
2
d
2
d
1
x
x

P
2
y
z
0
x
z
y'
y
l
2
E
3
≡F
3
≡l

3
l
2
E
2
E
2
F
2
F
1
E
1
F
2
E
1
F
1
E
F
l
1
l
P
1
P
3
E
3

≡ F
3
≡l
3
l
1
0
C ∈ AB ⇔ (A
1
B
1
C
1
) = (A
2
B
2
C
2
)

GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
12
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
 Ví d
Cho đng cnh AB (A
1
B
1
, A

2
B
2
) và hình chiu đng C
2
ca đim C; (hình 2.10). Hãy v hình
chiu bng C
1
ca đim C bit C∈ AB .
 v đim C
1
ta thc hin nh sau:
_ V tia A
1
t bt k, đt trên đó các đim C’, B’sao cho: A
1
C’ = A
2
C
2
; C’B’ = C
2
B
2

_ Ni B’B
1

_ ng thng v qua đim C’song song vi
phng B’B

1
ct đng thng A
1
B
1
ti đim C
1
là
đim cn v;
Tht vy, theo đnh lý Thalet, ta có:
(A
1
B
1
C
1
) = (A
1
B’C‘)
Mà (A
1
B’C‘) = (A
2
B
2
C
2
) ⇒ (A
1
B

1
C
1
) = (A
2
B
2
C
2
)
tho mãn đnh lý trên ; (Hình 2.10)
Hình 2.10

3) Vt ca đng thng
Vt ca đng thng là giao đim ca đng thng vi mt phng hình chiu
t
B
’
C’
C
1
B
1
A
A
C
2
B
2
x

a) Vt bng (M)
_ nh ngha:
Vt bng ca đng thng là giao đim ca đng thng vi mt phng hình chiu bng
Gi M là vt bng ca đng thng d, ta có: M = d ∩ P
1
( Hình 2.11a)

_ Tính cht
+ Hình chiu bng ca vt bng trùng vi chính nó : M
1
≡ M
+ Hình chiu đng ca vt bng thuc trc x : M
2
∈ x ( Hình 2.11b)
d
2
d
1
N
1
M
1
N
2
x
x
M
2
d

2
N
2
≡
N
M
2
N
1
d
1
M
1
≡M
d
P
1
P
2









Hình 2.11a Hình 2.11b
b) Vt đng (N)

_ nh ngha
Vt đng ca đng thng là giao đim ca đng thng vi mt phng hình chiu đng
Gi N là vt đng ca đng thng d, ta có: N = d ∩ P
2
; ( Hình 2.11a)

_ Tính cht
+ Hình chiu đng ca vt đng trùng vi chính nó : N
2
≡ N
+ Hình chiu bng ca vt đng thuc trc x : N
1
∈ x ; (hình 2.11b)

IV.PHNG PHÁP TAM GIÁC
Phng pháp tam giác dùng đ xác đnh đ dài tht ca mt đon thng và góc nghiêng ca đon
thng đó to vi mt phng hình chiu
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
13
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005

Gi s có đon thng AB, chiu vuông góc nó xung P
1
đc A
1
B
1
; (hình 2.12).
K AC // A
1

B
1

Trong tam giác vuông ACB, ta có: AC = A
1
B
1
và BC = ⏐BB
1
- AA
1
⏐: Hiu đ cao ca A, B.
Vi nhn xét này ta có th v đc đ dài tht ca đon thng AB nh sau:

“V mt tam giác vuông có mt cnh góc vuông A
1
B
1
là hình chiu bng ca đon thng AB,
cnh góc vuông còn li B
1
B
0
bng hiu đ cao hai đu mút A, B; thì cnh huyn A
1
B
0
là đ dài
tht ca đon thng cn tìm và góc nghiêng
α

= (B
0
A
1
B
1
) là góc ca đon thng AB hp vi
mt phng hình chiu bng “.










Hình 2.12 Hình 2.13
α
P
1
x
B
1
A
1
B
0

B
1

B
2
B
2
A
1
α
C
A
B
Phng pháp xác đnh đ dài tht ca đon thng AB và góc nghiêng ca đon thng đó to vi
mt phng hình chiu bng P
1
đã nêu  trên gi là
phng pháp tam giác.

Tng t, ta cng có th xác đnh đc đ dài tht ca đon thng và góc nghiêng ca đon
thng to vi mt phng hình chiu đng; bng cách v mt tam giác vuông có mt cnh góc
vuông là
hình chiu đng ca đon thng, cnh góc vuông còn li bng hiu đ xa ca hai đu
mút đon thng đó
x
C
2
A
2
B

2
N
2
I
2
N
1
B
1
≡ I
1
M
2
A
1
Hình 12.14
C
1
M
1

V. MT VÀI VÍ D GIÃI SN

 Ví d 1
Cho đng thng AB. Hãy xác đnh:
a) Vt bng, vt đng ca đng thng AB
b) im C trên đng thng AB có đ cao gp đôi đ xa


Gii

a) Gi M, N ln lt là vt bng và vt đng ca đng
thng AB, ta có :
_ M
2
= A
2
B
2
∩ x ⇒ M
1
∈A
1
B
1
- là vt bng ca AB
_ N
1
= A
1
B
1
∩ x ⇒ N
2
∈ A
2
B
2
- là vt đng ca AB

b) Gi I là đim có đ cao gp đôi đ xa và B

1
≡ I
1
. ng thng N
1
I
2
ct A
2
B
2
ti đim C
2
là
hình chiu đng ca đim C cn tìm.
T C
2
∈ A
2
B
2
⇒ C
1
∈ A
1
B
1
; (Hình 2.14)

 Ví d 2

Cho đim A(A
1
, A
2
) và hình chiu đng B
2
ca đim B. Hãy xác đnh hình chiu bng ca đim
B trong các trng hp sau:

GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
14
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
a) Bit AB có đ dài l = 30 mm
b) Bit AB hp vi P
1
góc α < 90
0

c) Bit AB hp vi P
2
góc β < 90
0


Gii

a) V tam giác vuông A
1
A
0

B’ vuông ti A
1
có mt cnh góc vuông A
1
A
0
bng hiu đ cao ca
hai đim A, B; cnh huyn A
0
B’ = AB = 30mm.

Theo phng pháp tam giác thì cnh góc vuông còn li A
1
B’ bng hình chiu bng A
1
B
1
ca
AB. Nh vy B
1
là giao đim ca đng tròn (A
1
, A
1
B’) vi đng gióng qua B
2
;
(Hình 2.15a)

β
90
0
-α
l= 30 mm
x
xx
A
2
B
0
A
2
A
2
B
2

B
2
B
2
B’
B
1
H
B’
B
1
B
1
B’
B’
B’
A
0
A
0
A
1
A
1
A
1
Hình 2.15a Hình 2.15b Hình 2.15c

b) V tam giác vuông A
1

A
0
B’ vuông ti A
1
có mt cnh góc vuông A
1
A
0
bng hiu đ cao ca
hai đim A, B. Vì (AB, P
1
) = α nên theo phng pháp tam giác thì cnh huyn A
0
B’ hp vi
cnh A
1
A
0
góc 90
0
- α và cnh góc vuông còn li A
1
B’ bng hình chiu bng A
1
B
1
ca AB.
Nh vy B
1
đc v là giao đim ca đng tròn (A

1
, A
1
B’) vi đng gióng qua B
2
;
(Hình 2.15b)

c) V tam giác vuông A
2
B
2
B
0
vuông ti B
2
có mt cnh góc vuông A
2
B
2
. Vì (AB, P
2
) = β nên
theo phng pháp tam giác thì cnh huyn A
2
B
0
hp vi cnh A
2
B

2
góc β và cnh góc vuông
còn li B
2
B
0
bng hiu đ xa ca hai đim A, B, tc: B
2
B
0
= HB
1
= HB’
1
; (Hình 2.15c)

 Ví d 3
Cho đim A(A
1
, A
2
). Hãy v đng thng đi qua đim A và nghiêng vi mpP
1
, mpP
2
ln lt
các góc nhn α, β nh hình 2.16a

Gii
_ Gi s có đon thng AB nghiêng vi mpP

1
, mpP
2
ln lt các góc α, β.
_
Gia hình chiu đng A
2
B
2
, hiu đ xa ca A,B; đ dài tht ca AB và góc nghiêng ca AB
hp vi mpP
2
liên quan nhau bi tam giác vuông A
2
B
2
B
0
; (Hình 2.16b)
_ Gia hình chiu bng A
1
B
1
, hiu đ cao ca A,B; đ dài tht ca AB và góc nghiêng ca AB
vi mpP
1
liên quan nhau bi tam giác vuông A
1
B
1

B
0
; (Hình 2.16b)

GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
15
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005


















t
t
x
A
1

A
2
B
2
B
2

B
2

B
1

B
1
B
1

B
1
B
2

B
1
B
2
B
0
A

1

A
2



a) b) c)

Hỡnh 2.16

_ T (Hỡnh 2.16b), ta v thc ca im B (Hỡnh 2.16c) nh sau:
V hai ng thng t, t // x v cỏch A
2
on bng B
1
B
0
(hiu cao ca A, B)
V ng trũn (A
2
, A
2
B
2
), ct t, t ti 4 im B
2
, B
2
, B

1
, B
2
l cỏc hỡnh chiu ng ca
cỏc im B cn dng
ng trũn (A
1
, A
1
B
1
), ct cỏc ng giúng qua cỏc im B
2
, B
2
, B
2
, B
2
ti 4 im B
1
,
B
1
, B
1
, B
1
l cỏc hỡnh chiu bng ca cỏc im B cn dng; (Hỡnh 1.16c)
_

Bi toỏn cú 4 nghim

( hiu k hn hóy tham kho thờm bai s17
*
sỏch
BI TP HèNH HO GII SN ca cựng
tỏc gi)

=====================
















GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt

16
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt

Bi 3 V TR TNG I GIA HAI
NG THNG



Ttrong khụng gian, hai ng thng cú cỏc v trớ tng i: giao nhau, song song v chộo nhau
I. HAI NG THNG GIAO NHAU
1) Hai ng thng thng giao nhau
ng thng thng l ng thng khụng phi l ng cnh 35

nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng giao nhau l cỏc hỡnh chiu cựng tờn ca chỳng
giao nhau ti cỏc im nm trờn mt ng giúng
Cho hai ng thng a,b (hỡnh 3.1), nh lý trờn c vit thnh:
a
2

I
2

b
2
17






=

=
x
I

I

I
b a
I
b

=
I
b a
22 2
21
1 1 1
x
b
1
a
1
I
1



a

Hỡnh 3.1
2) Mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau
nh lý
iu kin c
n v mt ng thng thng v mt ng cnh giao nhau l cỏc hỡnh chiu
cựng tờn ca chỳng giao nhau ti cỏc im tho mn thc ca im thuc ng cnh ú
Cho ng thng thng d v ng cnh AB,
nh lý trờn c vit thnh:





Hỗnh 3.2
A
2
t
B
x
d
1
I
2
B
2
A
1

B
1
I
1
I
J
1
J
2
d
2








=
=

=


=
)
(
)
(

1 2221 1
222 2
111 1
I
B
A
I

B

A

I
B
A

d

I
B
A

d

I
A
B
d

Vớ d
Cho ng cnh AB v hỡnh chiu ng d
2
ca ng thng d. Hóy v hỡnh chiu bng d
1
ca
ng thng d, bit d i qua im J v ct AB ti im I

Gii
Hỡnh chiu bng I
1
ca im I AB c v bng cỏch ng dng nh lý
Thalet nh sau:
_ V tia A
1
t bt k ri t lờn ú cỏc on A
1
I = A
2
I
2
v IB = I
2
B
2

_ Ni BB
1

ng thng qua I song song vi BB
1
ct A
1
B
1
ti im I
1
; ta cú:(A
1
B
1
I
1
) = (A
2
B
2
I
2
)
I AB. Vy d
1
I
1
J
1
(Hỡnh 3.2)
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005

II. HAI NG THNG SONG SONG
1) Hai ng thng thng song song
nh lý
iu kin cn v hai ng thng thng song song nhau l cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn
ca chỳng song song nhau
Cho hai ng thng thg a,b; (hỡnh 3.3),
nh lý trờn c vit thnh:




Hỗnh 3.3
Chng minh
_ iu kin cn: Gi s a // b nờn cỏc cp mt phng chiu qua a, b song song nhau, do ú
chỳng s ct mt phng hỡnh chiu bng v mt phng hỡnh chiu ng theo cỏc cp giao tuyn
song song nhau, tc l a
1
// b
1
v a
2
// b
2
.
_
iu kin : Gi s cú hai ng thng thng a, b tho món a
1
// b
1
v a

2
// b
2
. Bng cỏch
xõy dng ngc li phộp chiu vuụng gúc, cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng
hỡnh chiu bng qua a
1
, b
1
s ct cp mt phng song song vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu
ng qua a
2
, b
2
theo hai giao tuyn a, b song song nhau .

3) Hai ng cnh song song
Xột hai ng cnh cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng nhau

nh lý
iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l cú hai ng thng ta trờn chỳng
giao nhau hoc song song nhau
Cho hai dng cnh EF v GH,
nh lý trờn c vit thnh:

Hỡnh 3.4 Hỡnh 3.5
Chng minh
_ iu kin cn: Gi s EF // GH, thỡ bn im E, F, G, H ng phng nờn s cú hai ng
thng EH, GF ta trờn chỳng giao nhau ti I hoc song song nhau ( õy xột giao nhau)
_
iu kin
:
Gi s cú hai ng cnh EF, GH cú cỏc cp hỡnh chiu cựng tờn khụng trựng
nhau v cú hai ng thng ta trờn chỳng EH GF = I hoc EH // GF. Thỡ bn im E, F, G, H
ng phng nờn hai ng cnh ú song song nhau, tc: EF // GH (Hỡnh 3.4)

Chỳ ý
Ngoi ra ta cú th phỏt biu nh lý trờn nh sau:
iu kin cn v hai ng cnh song song nhau l hỡnh chiu cnh ca chỳng song
song nhau (Hỡnh 3.5)
a
2
b
2
x
b
1
a
1

22
11
//
//
//
ba
ba
ba

x
z
y'
y
E
3
x
0
F
3
H
3
G
3
H
1
G
1
F
1

E
1
H
1
G
1
F
1
E
1
I
1
I
2
G
2
H
2
F
2
E
2
F
2
H
2
G
2
E
2

=

GFEH
IGFEH
GHEF
//
//

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
18
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Vớ d
Cho ng cnh AB v im M; (Hỡnh 3.6). Hóy v ng thng MN // AB

Gii
Vỡ AB l ng cnh nờn MN // AB cng l ng cnh. Trong mp(MAB), v N tho món
MN // AB, gi s bit trc N
2
hóy v N
1
nh sau:
Gi I = AN BM I
2
B
2
M
2

M N
2
A
2
I
2
; N
1
A
1
I
1

I
1
B
1
M
1








Hỗnh 3.6 Hỗnh 3.7
x
d

1
d
2
c
1
c
2
N
1
M
1
B
1
A
1
I
1
I
2
M
2
N
2
B
2
A
2
x

III. HAI NG THNG CHẫO NHAU
Hai ng thng khụng tho món song song hoc giao nhau thỡ chộo nhau; (Hỡnh 3.7) biu din
hai ng thng c, d chộo nhau.
IV. HèNH CHIấ CA GểC VUễNG
nh lý
iu kin cn v mt gúc vuụng chiu xung mt phng hỡnh chiu thnh mt gúc vuụng
l gúc vuụng ú cú mt cnh song song vi mt phng hỡnh chiu v cnh gúc vuụng cũn li
khụng vuụng gúc vi mt phng hỡnh chiu ú.








Hỡnh 3.8 Hỡnh 3.9 Hỡnh 3.10
d
1
c
1
c
2
d
2
x

x
B
1

O
1
A
1
A
2
O
2
B
2
A
O
B
1
B
O
1
A
1
P

Chng minh
_ iu kin cn: Gi s cú AOB = 90
0
v OA // P
1
. Chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh
chiu bng ta nhn c A
1
O

1
B
1
(Hỡnh 3.8), cn chng minh A
1
O
1
B
1
= 90
0

Ta cú: A
1
O
1
// AO
AO OB v AO OO
1
AO mp(B OO
1
) AO O
1
B
1
M A
1
O
1
// AO A

1
O
1
O
1
B
1

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
19
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
_ iu kin : Gi s AOB = 90
0
chiu vuụng gúc xung mt phng hỡnh chiu bng c
gúc A
1
O
1
B
1
= 90
0
, ta cn chng minh gúc vuụng AOB cú mt cnh song song mt phng hỡnh
chiu bng P
1
; ta cú : A
1
O
1
mp(OO

1
B
1
) (1)
B
1
O
1
mp(OO
1
A
1
A) B
1
O
1
AO
M B O AO AO mp(OO
1
B
1
) (2)
T (1) v (2), AO // A
1
O
1
, tc AO // mp(P
1
)
(Hỡnh 3.9) biu din thc ca gúc vuụng AOB, cú cnh OA // mp(P

1
).

Chỳ ý
nh lý trờn cng ỳng cho trng hp hai ng thng chộo nhau m vuụng gúc vi nhau.
(Hỡnh 3.10) biu din hai ng thng c, d chộo nhau m vuụng gúc nhau, vi c // P
1


Vớ d
C
1
x
B
2
C
2
H
1
B
1
A
1
H
2
A
2
Hóy v hỡnh chiu bng C
1
ca im C, bit rng tam giỏc

ABC cõn ti C, cho AB l ng bng, (Hỡnh 3.11) .

Gii
Gi H l trung im ca AB, vỡ tam giỏc ABC cõn ti C nờn
CH AB, v li AB // mp (P
1
)., nờn theo nh lý trờn, ta cú
C
1
H
1
A
1
B
1
.
T ú ta v c C
1
l giao im ca ng giúng qua C
2
vi
ng thng A
1
B
1
ti H
1
Hỗnh 3.11

V. MT VI V D GII SN

d
1
x
c
1
A
2
b
1
B
1
B
2
c
2
d
2
b
2
a
1

A
1
a
2
Vớ d 1
Cho ba ng thng a, b, c chộo nhau; (Hỡnh 3.12). Hóy v
ng thng d song song vi c ct c a v b; trong ú a mp (P

1
)

Gii

Gi s ng thng d cn dng ct a, b ln lt ti A, B. Vỡ a
mp (P
1
) nờn A
1
a
1
. V li d // c nờn d
1
qua A
1
v d
1
// c
1
Vỡ d b = B; t d
1
b
1
= B
1
B
2
b
2

V d
2
qua B
2
v d
2
// c
2
; (Hỡnh 3.12)
Vy d l ng thng thng cn v
Hỡnh 3.12
Vớ d 2
Cho hai ng thng AB, CD chộo nhau; (Hỡnh 3.13). Hóy xỏc nh khong cỏch v dng on
vuụng gúc chung ca hai ng thng ú trong cỏc trng hp sau õy:
a) CD mp (P
1
); AB l ng thng thng
b) CD mp (P
2
); AB l ng cnh
c) CD mp (P
3
); AB l ng thng thng
Gii
a) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
1
) nờn M
1
C

1
D
1
v MN l on ng bng
V li MN AB M
1
N
1
A
1
B
1
ti N
1
. T N
1
A
1
B
1
N
2
A
2
B
2
M
2
N
2

// x; (Hỡnh 3.13a)
Kt lun: M
1
N
1
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
20
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
b) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
2
) nờn M
2
C
2
D
2
v MN l on ng mt
V li MN AB M
2
N
2
A
2
B
2
ti N
2
. T N

2
A
2
B
2
N
1
A
1
B
1
M
1
N
1
// x; (Hỡnh 3.13b)
Kt lun: M
1
N
1
= M
2
N
2
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau

x
o
z
y
x
A
1
C
1
C
2
C
2
B
3
N
3
B
2
A
2
t
M
1

N
1
B
N

C
1
D
1
B
1
A
1
M
2
C
2
D
2
N
2
B
2
A
2
B
1
N
1
A

1
N
2
A
2
B
2
M
2
M
1
C
1
D
1
D
2
N
1
M
1
M
2
B
1
D
1
D
2
N

2
A
3
M
3
C
3
D
3
x
y

Hỡnh 3.13a Hỡnh 3.12b Hỡnh 3.12c

c) Gi MN l on vuụng gúc chung ca AB v CD, vi N AB, M CD
Vỡ CD mp (P
3
) nờn M
3
C
3
D
3
v MN l on ng cnh
V li MN AB M
3
N
3
A
3

B
3
ti N
3
.
T N
3
A
3
B
3
N
2
A
2
B
2
, M
2
N
2
// z v N
1
A
1
B
1
, M
1
N

1
// y; (Hỡnh 3.13c)
Kt lun: M
3
N
3
= MN - l khong cỏch gia hai ng thng AB, CD chộo nhau

Vớ d 3
x
A
0
f
2
D
2
C
2
B
2
A
2
f
1
D
1
C
1
B
1

A
1
Cho dim A(A
1
, A
2
) v ng mt f (f
1
, f
2
);
(Hỡnh 3.14). Hóy dng hỡnh vuụng ABCD, bit rng
B,C thuc ng mt f

Gii
_ ABCD l hỡnh vuụng nờn AB BC
_ vỡ B,C f nờn AB f A
2
B
2
f
2
B
1
f
1

_ Bng phng phỏp tam giỏc, xỏc nh di tht
ca on AB l on B
2

A
0

_ Vỡ BC = AB B
2
C
2
= B
2
A
0
C
1
f
1

V D tho món AD // BC; (Hỡnh 3.14)


Hỗnh 3.14

===================




GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt

21
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005

Bi 4 MT PHNG

I . THC CA HAI MT PHNG
thc ca mt phng cú th c xỏc nh bi mt trong cỏc cỏch sau õy:
_ Ba dim phõn bit khụng thng hng, mp(ABC); (Hỡnh 4.1a)
_ Mt im v mt ng thng khụng thuc nhau, mp(M, d) ; (Hỡnh 4.1b)
_ Hai ng thng giao nhau, mp(a, b) ; (Hỡnh 4.1c)
_ Hai ng thng song song, mp(m, l) ; (Hỡnh 4.1d)








a) mp(ABC) b) mp(M, d) c) mp(a, b) d) mp(m // l)
B
2
a
2
M
2
d
2
m
2
A
2
C

2
b
2
l
2
x

x

x
x

a
1
m
1
C
1
d
1
A
1
M
1
l
1
b
1
B
1

Hỡnh 4.1
Ngoi ra ngi ta cũn biu din mt phng bng hai vt ca chỳng nh sau:

VT CA MT PHNG
Vt ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu

1) Vt bng ca mt phng
a) nh ngha:
Vt bng ca mt phng l giao tuyn ca mt phng vi mt phng hỡnh chiu bng
Gi m l vt bng ca mt phng thỡ: m = mp mpP1 ; (Hỡnh 4.2a)
Ký hiu : m


b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca vt bng trựng vi chớnh nú: m
1
m


_ Hỡnh chiu ng ca vt bng trựng vi trc x : m
2
x ; (hỡnh 4.2b)

Hỡnh 4.2a Hỡnh 4.2b Hỡnh 4.3a Hỡnh 4.3b

2) Vt ng ca mt phng

x
P
2
P
1
m

n

P
2
n

n

n

m
2


n
1

x
m
2


n
1



x
x

m

m m


P
1
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
22
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
a) nh ngha:
Vt đng ca mt phng là giao tuyn ca mt phng vi mt phng hình chiu đng
Gi n là vt đng ca mt phng α thì: n = mpα ∩ mpP
2
(Hình 4.2a)

Ký hiu : n
α

b) Tính cht
_ Hình chiu đng ca vt đng trùng vi chính nó: n
2α
≡ n
α

_ Hình chiu bng ca vt đng trùng vi trc x : n
1α
≡ x ; (hình 4.2b)

 Chú ý
♦ Thc cht ca vic biu din mt phng α bng hai vt ca chúng là biu din mt phng α
bng hai đng thng m
α
, n
α
ct nhau hoc song song nhau ln lt nm trong mt phng hình
chiu bng và mt phng hình chiu đng. Do đó hai vt m
α
, n
α
ca mt phng α phi ct nhau
ti mt đim nm trên trc x (Hình 4.2a,b) hoc song song vi trc x (Hình 4.3a, b)
♦ ng thng thuc mt phng thì các vt cùng tên ca đng thng và mt phng thuc nhau

II. CÁC V TRÍ C BIT CA MT PHNG
II. 1- Loi mt phng vuông góc vi mt phng hình chiu

1) Mt phng chiu bng
a) nh ngha:
Mt phng chiu bng là mt phng vuông góc vi mt phng hình chiu bng
Gi α là mt phng chiu bng, ta có: mpα ⊥ mpP
1

b) Tính cht
_ Hình chiu bng ca mt phng chiu bng suy bin thành mt đng thng: (α
1
) → 1 đng
thng
_ Hình chiu bng ca đim, đng thng thuc mt phng chiu bng thì thuc đng thng
suy bin ca mt phng chiu bng đó
Gi s : im A ∈ mpα ; d ∈ mpα ⇒ A
1
∈ (α
1
) ; d
1
≡ (α
1
) ;
_ Vt đng ca mt phng chiu bng vuông góc vi trc x : nα ⊥ x ; (Hình 4.4)

Hình 4.4 Hình 4.5
n
α

x

x
m
β
k
2
≡ (β
2
)
d
1
≡ (α
1
)
B
2
B
1
A
2
A
1
d
2

k
1
2) Mt phng chiu đng
a) nh ngha:
Mt phng chiu đng là mt phng vuông góc vi mt phng hình chiu đng
Gi β là mt phng chiu đng: mpβ ⊥ mpP
2

b) Tính cht
_ Hình chiu đng ca mt phng chiu đng suy bin thành mt đng thng: (β
2
) → 1
đng thng
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût
23
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
_ Hình chiu đng ca đim, đng thng thuc mt phng chiu đng thì thuc đng thng
suy bin ca mt phng chiu đng đó
Gi s : im B ∈ mpβ ; k ∈ mpβ ⇒ B
2
∈ (β
2
) ; k
2
≡ (β
2
) ;
_ Vt bng ca mt phng chiu đng vuông góc vi trc x : m
β
⊥ x ; (Hình 4.5)

3) Mt phng chiu cnh
a) nh ngha:
Mt phng chiu cnh là mt phng vuông góc vi mt phng hình chiu cnh
Gi γ là mt phng chiu cnh, ta có: mpγ ⊥ mpP3

b) Tính cht
_ Hình chiu cnh ca mt phng chiu cnh suy bin thành mt đng thng: (γ3) → 1 đng
thng
_ Hình chiu cnh ca đim, đng thng thuc mt phng chiu cnh thì thuc đng thng
suy bin ca mt phng chiu cnh đó
Gi s : im C ∈ mpγ ; l ∈ mpγ ⇒ C
3
∈ (γ
3
) ; l
3
≡ (γ
3
) ; (Hình 4.6)
_ Vt bng và vt đng ca mt phng chiu cnh vuông góc vi trc z hay song song vi trc
x


z
l
2
n
γ

(Hình 4.6)




II.2 Loi mt phng song song vi mt mt phng hình chiu
(Thì vuông góc vi hai mt phng hình chiu còn li)

1) Mt phng bng
a) nh ngha:
Mt phng bng là mt phng song song vi mt phng hình chiu bng
Gi α là mt phng bng, ta có: mpα // mpP1








Hình 4.7 Hình 4.8

b) Tính cht
_ Hình chiu đng ca mt phng bng suy bin thành mt đng thng song song vi trc x:
(α
2
) // x
_ Mt phng bng va là mt phng chiu đng va là mt phng chiu cnh nên có nhng tính
cht ca hai loi mt phng này
A

1
B
2
A
2
B
1
C
1
D
1
C
2
(α
2
)
x

E
2
F
1
E
1
F
2
D
2
(β
1

)
x
m
γ
l
3
≡(γ
3
)
C
3
o
C
2
x
⎢
⎣
⎢
⎡
⊥
xnm
znm
////
,
γγ
γγ
y
’
y
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût

24
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Gi s A, B, C mp A
2
, B
2
, C
2
(
2
)
_ Hỡnh chiu bng ca mt hỡnh phng thuc mt phng bng thỡ bng chớnh nú
ABC mp A
1
B
1
C
1
= ABC ; (Hỡnh 4.7)

2) Mt phng mt
a) nh ngha
Mt phng mt l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu ng
Gi l mt phng mt, ta cú: mp // mpP
2

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca mt phng mt suy bin thnh mt ng thng song song vi trc x:
(
1

) // x
_ Mt phng mt va l mt phng chiu bng va l mt phng chiu cnh nờn cú nhng tớnh
cht ca hai loi mt phng ny
Gi s D, E, F mp D
1
, E
1
, F
1
(
1
)
_ Hỡnh chiu ng ca mt hỡnh phng thuc mt phng mt thỡ bng chớnh nú
DEF mp D
2
E
2
F
2
= DEF ; (Hỡnh 4.8)

3) Mt phng cnh
a) nh ngha
Mt phng cnh l mt phng song song vi mt phng hỡnh chiu cnh
Gi l mt phng cnh, ta cú : mp // mpP
3

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng v hỡnh chiu ng ca mt phng cnh suy bin thnh hai ng thng
trựng nhau v vuụng gúc vi trc x: (1) (2) x

_ Mt phng cnh va l mt phng chiu
bng va l mt phng chiu ng nờn cú
nhng tớnh cht ca hai loi mt phng ny

Gi s :D, K, L mp; (Hỡnh 4.9)
D
1
, K
1
, L
1
(
1
) v D
2
, K
2
,L
2
(
2
)

_ Hỡnh chiu cnh ca mt hỡnh phng thuc
mt phng cnh thỡ bng chớnh nú, gi s :
DKL mp D
3
K
3
L

3
= DKL

Hỡnh 4.9
III. S LIấN THUC CA IM, NG THNG Vi MT PHNG
z
y

x
D
2
(

2
)

K
2
L
2
D
1
L
1
K
1
D
3
K
3

L
3
y

o
(

1
)

x
d
2
A
2
E
1
E
2
F
2
C
2
B
1
Hỡnh410
F
1
C
1

B
2
A
1
d
1
(Bi toỏn c bn trờn mt phng)

Da vo hai tiờn sau õy biu din s liờn thuc ca
im, ng thng vi mt phng

1. Mt ng thng thuc mt mt phng nu nú cú hai
im thuc mt phng ú
2. Mt im thuc mt mt phng nu nú thuc mt
ng thng c
a mt phng ú

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
25