Giáo trình hình họa bài 7

Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Bi 7
CC PHẫP BIN I HèNH CHIU


I. KHI NIM
Ta ó bit rng ln thõt ca mt on thng thuc ng bng th hin ngay hỡnh chiu
bng. Giao im ca ng thng vi mt phng, nu ng thng chiu hoc mt phng chiu
thỡ ta bit c mt hỡnh chiu ca giao im m khụng cn s dng mt phng phu tr.
Nhng
i vi ng thng thng, mt phng thng thỡ trong hỡnh ho ngi ta dựng cỏc
phộp bin i hỡnh chiu bin ng thng, mt phng ny v cỏc v trớ c bit m v trớ
mi ny d dng gii c bi toỏn. Sau khi gii xong cú loi bi toỏn cn phi a nghim v v
trớ ban u.

II. PHẫP THAY I MT PHNG HèNH CHIU
Phộp thay i mt phng hỡnh chiu l mt phộp bin i m trong ú h thng mt phng hỡnh
chiu thay i cũn vt th c biu din thỡ ng yờn

II.1 Thay i mt phng hỡnh chiu ng
a) nh ngha
Thay i mt phng hỡnh chiu ng P
2
l dựng mt mt phng P
2

P
1
lm mt phng hỡnh
chiu ng mi

Gi trc hỡnh chiu mi l s : s = P
2
P
1
Xột mt im A bt k. Chiu vuụng gúc im A ln lt lờn cỏc mt phng hỡnh chiu P
1
, P
2
,
P
2
ta nhn c cỏc hỡnh chiu l: A
1,
A
2
, A
2
(Hỡnh 7.1a)











P

1
P
2
P
2

A
2
A
S
s
x
A
X
A
1
A
A
2
A
2
A
S
A
X
s
P
2

P

1
x
A
2
A
1
A
2
Hỡnh 7.1a Hỡnh 7.1b

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng A
1
ca im A trong h thng mi v c khụng i
_ cao ca im A trong h thng mi v c bng nhau: A'
2
A
s
= A
2
A
x
(Hỡnh 7.1a)

Qui c
_ Sau khi quay P
2
quanh trc s n trựng vi P
1
ri tip tc quay P

1
quanh trc x theo chiu
qui c n trựng vi P
2
ta nhn c thc ca im A trong h thng c v mi (Hỡnh 7.1b)
_ hai phớa trc hỡnh chiu mi s ngi ta thng ghi hai mt phng hỡnh chiu mi P
1
v P
2

vi qui c nh sau: Nu cao ca im A dng thỡ A
2
c t v phớa cú ghi ch P
2


Vớ d 1
Cho on thng AB (A
1
B
1
, A
2
B
2
); (Hỡnh 7.2). Hóy thay i mt phng hỡnh chiu ng AB
tr thnh ng mt trong h thng mi.
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
42
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005

Giải
Để AB trở thành đường mặt trong hệ thống mới thì
ta phải chọn mp P’
2
// AB, tức chọn trục s // A
1
B
1

Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ được
A’
2
B’
2
(Hình 7.2)

Nhận xét
_ A’
2
B’
2
= AB
_ (A’
2
B’
2
, s) = (AB, P
1
) = α

Hình 7.2

 Ví dụ 2
Cho mặt phẳng (ABC) và điểm M (Hnh 7.3). Bằng phương pháp thay đổi mặt phẳng hình chiếu
đứng; hãy xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC)

Giải

_ Để mp(ABC) trở thành mặt phẳng chiếu
đứng trong hệ thống mới thì ta phải chọn
mp P’
2
vuông góc với đường bằng BD của
mặt phẳng (ABC) , tức chọn trục s ⊥ B
1
D
1

_
Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ
đựơc hình chiếu đứng mới của mp(ABC)
suy biến thành đoạn thẳng A’
2
C'
2
_ Để xác định khoảng cách từ điểm M đến
mp(ABC), ta vẽ : MH ⊥ mp(ABC)

Dễ thấy MH là đường mặt trong hệ thống mới
nên : M’

2
H'
2
⊥ A
2
‘C'
2

và M
1
H
1
// s Hình 7.3
H
2
được xác định nhờ độ cao cũ bằng độ cao mới (Hình 7.3) .
_ Khoảng cách từ điểm M đến mp(ABC) chính là đoạn M’
2
H'
2
= MH

II.2 Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng
a) Định nghĩa
Thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng P
1
là dùng một mặt phẳng P’
1
⊥
P

2
làm mặt phẳng hình
chiếu bằng mới








x
B
1
B’
2
A’
2
s
P
1
P
2
’
A
2
M’
2
A’
2

M
2
D
2
C
2
B
2
D
1
H'
2
H
1
M
1
B
1
A
1
C
1
C'
2
B’
2
≡D’
2
s
x

P
1
P
2
’
H
2
B
2
B
1
B’
1
x
s
P
1
’
P
2
B
X
B
S
P
2
P
1
B
x

B
X
B
1
B’
1
B
S
B
2
s
B’
1
P
1
’
α
B
2
A
1
A
2
Hình 7.4a Hình 7.4b

Gọi trục hình chiếu mới là s : s = P’
1
∩ P
2
GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût

43
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
Xột mt im B bt k. Chiu vuụng gúc im B ln lt lờn cỏc mt phng hỡnh chiu P
1
, P
2
,
P
1
ta nhn c cỏc hỡnh chiu l: B
1,
B
2
, B
1
(Hỡnh 7.4a)

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu ng B
2
khụng i trong h thng mi v c
_ xa ca im B trong h thng mi v c bng nhau: B'
1
B
s
= B
1
B
x
( Hỡnh 7.4a)

Qui c
_ Quay P
1
quanh trc s n trựng vi P
2
ri quay P
1
quanh trc x theo chiu qui c n trựng
vi P
2
ta nhn c thc ca im B trong h thng c v mi (Hỡnh 7.4b)
_ hai phớa trc hỡnh chiu mi s ngi ta thng ghi hai mt phng hỡnh chiu mi P
1
v P
2

vi qui c nh sau: Nu xa ca im B dng thỡ B
1
c t v phớa cú ghi ch P
1


Vớ d 1
Cho ng mt AB (A
1
B
1
, A
2

B
2
) .Hóy thay i mt phng hỡnh chiu bng AB tr thnh
ng thng chiu bng trong h thng mi

Gii
- AB tr thnh ng thng chiu bng trong h thng
mi thỡ ta phi chn mp P
2
AB, tc chn trc s A
2
B
2
.
- p dng xa mi bng xa c ta v c A
1
B
1

(Hỡnh 7.5)
Hỡnh 7.5
A
2
B
1
A
1
B
2
B

1
A
1
s
x
P
2
P
1

A
2
C
2
B
2
O
2
o
1
B
1
A
1
C'
1
o'
1
A
1

J
1

I
1
s
P
1

P
2
I
1
I
2
C
1
B
1
Gii
- v c tõm O ca ng trũn ni tip tam giỏc ABC,
ta phi xỏc nh ln tht ca tam giỏc ABC
- Thay i mt phng hỡnh chiu bng mp (ABC) tr
thnh mt phng bng trong h thng mi, ta phi chn
mp P
1
// (ABC) s // A
2
C
2

.
x
- p dng xa mi bng xa c ta v c hỡnh chiu
bng mi ca tam giỏc l: A
1
B
1
C'
1
.
- Trong tam giỏc ny ta v hai ng phõn giỏc A
1
I
1
v
C'
1
J
1
giao nhau ti O
1
- l tõm ca ng trũn ni tip
tam giỏc A
1
B
1
C'
1
. Tr v hỡnh chiu ban u ta cú (O
1

,
O
2
) l thc ca tõm O ca ng trũn ni tip tam giỏc
ABC cn tỡm.

Hỡnh 7.6
3) Thay i liờn tip hai mt phng hỡnh chiu
i vi mt s bi toỏn ta cn phi thay i liờn tip hai mt phng hỡnh chiu cú h thng hai
mt phng hỡnh chiu mi phự hp vi bi toỏn , chng hn:
_ H P
1
P
2
thay i P
2
h P
1
P
2
tip tc thay i P
1
h P
2
P
1
, hoc
_ H P
1
P

2
thay i P
1
h P
2
P
1
tip tc thay i P
2
h P
1
P
2


Chỳ ý
1) i vi ng thng:
_ a ng thng thng v ng bng hoc ng mt trong h thng mi ta phi thay
i mt phng hỡnh chiu mt ln
_ a ng bng hoc ng mt v ng thng chiu ng hoc chiu bng trong h
th
ng mi ta phi thay i mt phng hỡnh chiu mt ln.
GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
44
Baìi giaíng HÇNH HOAû 2005
_ Để đưa đường thẳng thường về đường thẳng chiếu trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt
phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần:
+ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 1 đưa đường thẳng thường về đường bằng hoặc
đường mặt trong hệ thống mới
+ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 2 đưa đường b

ằng hoặc đường mặt đó về đường thẳng
chiếu đứng hoặc chiếu bằng trong hệ thống mới

2) Đối với mặt phẳng:
_ Để đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng trong hệ
thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần
_ Để đưa mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu đứng về mặt phẳng mặt hoặc mặt phẳng
bằng trong hệ thống mới ta phải thay đổi mặt phẳng hình chiếu một lần
_ Để đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng bằng hoặc mặt phẳng mặt trong hệ thống mới ta phải
thay
đổi mặt phẳng hình chiếu liên tiếp hai lần:
+ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 1 đưa mặt phẳng thường về mặt phẳng chiếu bằng
hoặc mặt phẳng chiếu đứng trong hệ thống mới
+ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu lần 2 đưa mặt phẳng chiếu bằng hoặc mặt phẳng chiếu
đứng đ
ó về mặt phẳng mặt hoặc mặt phẳng bằng trong hệ thống mới
(Hình 7.7) biểu diễn các hình chiếu của điểm A bằng cách thay đổi mặt phẳng hình chiếu đứng
P
2
→ P’
2
rồi tiếp tục thay đổi mặt phẳng hình chiếu bằng P
1
→ P’
1
. Khi vẽ A’
1
, lấy độ xa mới
A’
1

A
t
= A
1
A
s


M’
1
x
P
1
P
2
‘
P
2
’
t
H'
1
≡A’
1
≡ B’
1
P
1
’
H'

2
B’
2
M
2
A’
2
H
1
B
1
M
1
A
1
H
2
B
2
M
2
A
2

x
P
2
’
P
1
’
t
P
2
‘
P
1
s
A
X
A
S
A
t
A’
2
A
1
A

2
A’
1
s
Hình 7.7 Hình 7.8
 Ví dụ 3
Cho đoạn thẳng AB (A
1
B
1
, A
2
B
2
) và điểm M (M
1
, M
2
) ; (Hình 7.8). Tìm khoảng cách từ điểm M
đến đoạn thẳng AB
Giải

♦ Thay đổi mặt phẳng hình chiếu để đường thẳng thường AB trở thành đường thẳng chiếu trong
hệ thống mới, trình tự thực hiện hai bước như sau:
_ Thay đổi P
2
để AB // P’
2
⇒ s // A
1

B
1
. Áp dụng độ cao mới bằng độ cao cũ ta vẽ được A’
2
B’
2

_ Thay đổi P
1
để AB ⊥P’
1
⇒ t ⊥ A’
2
B’
2
. Áp dụng độ xa mới bằng độ xa cũ ta vẽ được A’
1
≡
B’
1

♦ Vẽ MH ⊥ AB. Vì AB ⊥ P’
1
⇒ H'
1
≡ A’
1
≡ B’
1
và dễ thấy MH là đường bằng trong hệ thống

mới nên ⇒ M’
2
H'
2
// t và M’
1
H'
1
= MH thể hiện khoảng cách từ điểm M đến đoạn thẳng AB
Từ H'
2
∈ A’
2
B’
2
⇒ H
1
∈ A
1
B
1
và H
2
∈ A
2
B
2
(Hình 7.8)

GVC — ThS. Nguyãùn Âäü Khoa Sæ phaûm Kyî thuáût

45
Baỡi giaớng HầNH HOAỷ 2005
III. PHẫP QUAY QUAH TRC
Phộp quay quanh trc l mt phộp bin i hỡnh chiu m trong ú h thng mt phng hỡnh
chiu ng yờn, cũn vt th c biu din quay n v trớ mi phự hp vi yờu cu ca bi toỏn.

III.1 Phộp quay quanh trc chiu
1) Phộp quay quanh trc chiu bng
a) nh ngha
Phộp quay quanh trc chiu bng t l mt phộp bin i hỡnh chiu, sao cho :
_ Mi im M tng ng vi im M, hai im ny thuc mt phng bng vuụng gúc trc t
_ Khong cỏch t M v M n trc t bng nhau gi l bỏn kớnh quay: OM = OM
_ Gúc quay (OM,OM) =

- cú chiu cho trc (Hỡnh 7.9a)

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu ng ca ng thng ni cp im tng ng song song vi trc x: M
2
M
2
// x
_ Hỡnh chiu bng ca gúc quay (OM,OM) bng chớnh nú:
(O
1
M
1
, O
1
M

1
) = (OM,OM) = ( Hỡnh 7.9b)

Chỳ ý
Nhng im thuc trc quay t cho nh v to nh trựng nhau: gi s A t A A











Hỡnh 7.9a Hỡnh 7.9b Hỡnh 7.10a Hỡnh 7.10b

2) Phộp quay quanh trc chiu ng
a) nh ngha
Phộp quay quanh trc chiu ng t l mt phộp bin i hỡnh chiu, sao cho :
_ Mi im N tng ng vi im N, hai im ny thuc mt phng mt vuụng gúc trc t
_ Khong cỏch t N v N n trc t bng nhau gi l bỏn kớnh quay: ON = ON
_ Gúc quay (ON,ON) =

- cú hng cho trc (Hỡnh 7.10a)

b) Tớnh cht
_ Hỡnh chiu bng ca ng thng ni cp im tng ng song song vi trc x: N
1

N
1
// x
_ Hỡnh chiu ng ca gúc quay (ON,ON) bng chớnh nú:
(O
2
N
2
,O
2
N
2
) = (ON,ON) =

; (Hỡnh 7.10b)


N
O
1
N
2
O
t
1
t
2
O
2

x
t
1
t
2
O
2
N
2
N
2
N
1
N
1
t
M
M
1
M
1
M
t
1
O
1
O


M

2
M
2
M
1
M
1
t
1
O
1
t
2
x
xx
P
2
P
1
P
2
P
1
N
2
N
O
2

Chỳ ý
+ Nhng im thuc trc quay t cho nh v to nh trựng nhau. Gi s B t B B
+ i vi mt s bi toỏn ta cn phi quay liờn tip quanh hai trc chiu cú v trớ mi phự
hp vi bi toỏn

GVC ThS. Nguyóựn ọỹ Khoa Sổ phaỷm Kyợ thuỏỷt
46