Kinh tế lượng - Chương 9

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 1 Thục Đoan/Hào Thi
CHƯƠNG 9


Tương Quan Chuỗi

P
hương pháp bình phương tối thiểu đã chứng tỏ mang lại các ước lượng về thông số có một vài
tính chất mong muốn, với điều kiện các số hạng sai số (u
t
) thỏa mãn một số giả thiết. Đặc biệt,
các ước lượng có tính không thiên lệch, nhất quán, và hiệu quả nhất. Khi một nhà nghiên cứu xử
lý dữ liệu dạng chuỗi thời gian, một số vấn đề đặc biệt phát sinh thường dẫn đến kết quả là vi
phạm vài giả thiết cần để phát ra những tính chất tốt đã liệt kê. Trong chương này, chúng ta sẽ
khảo sát một dạng vi phạm các giả thiết cơ bản về các số hạng nhiễu. Thứ nhất ta xem xét
những ẩn ý của việc bỏ qua sự vi phạm này và dùng thủ tục bình phương tối thiểu thường (OLS).
Ta có thể kỳ vọng rằng, như trong trường hợp phương sai của sai số thay đổi, vài tính chất có
thể không còn giữ được nữa. Thứ hai, ta kiểm đònh sự có mặt của sự vi phạm này, và cuối cùng
thảo luận các phương pháp có thể lựa chọn cho các vấn đề.
Giả thiết 3.6 trong Chương 3 phát biểu rằng các số hạng sai số u
t
và u

s
, cho các quan sát
khác nhau t và s, là phân phối độc lập. Tính chất này gọi là độc lập chuỗi. Từ Chương 2, Phần
2.3, u
t
và u
s
ẩn ý độc lập rằng chúng không tương quan. Khi một nhà nghiên cứu đang phân tích
dữ liệu chuỗi thời gian, giả thiết này thường sẽ bò vi phạm. Các số hạng sai số cho các thời đoạn
không quá cách xa có thể có tương quan. Tính chất này được gọi là tương quan chuỗi hay tự
tương quan (các thuật ngữ này sẽ được sử dụng thay thế nhau). Trong Chương 3 ta đã liệt kê
một số nhân tố giải thích cho sự có mặt của số hạng sai số u
t
. Đó là (1) các biến bò loại bỏ, (2)
bỏ qua sự phi tuyến, (3) các sai số đo lường, và (4) hoàn toàn ngẫu nhiên, các tác động không
dự đoán được. Ba nhân tố đầu tiên trong các nhân tố này có thể dẫn đến các sai số tương quan
chuỗi. Ví dụ, giả sử một biến phụ thuộc Y
t
tương quan với các biến độc lập X
t1
và X
t2
, nhưng nhà
nghiên cứu không tính đến biến X
t2
trong mô hình. Tác động của biến này sẽ được bao gộp qua
số hạng sai số u
t
. Bởi vì nhiều biểu hiện chuỗi thời gian kinh tế có chiều hướng theo thời gian,
X

t2
có thể phụ thuộc vào X
t-1,2
, X
t-2,2
, . . .. Điều này sẽ biến thành sự tương quan rõ ràng giữa u
t

và u
t-1
, u
t-2
, . . ., do đó vi phạm giả thiết độc lập chuỗi. Vậy, các chiều hướng trong các biến bò
loại bỏ có thể tạo sự tự tương quan trong các sai số.
Tương quan chuỗi cũng có thể được gây nên bởi đặc trưng sai về dạng hàm số. Ví dụ, giả
sử mối quan hệ giữa Y và X là bậc hai nhưng ta giả thiết là đường thẳng. Vậy số hạng sai số u
t

sẽ phụ thuộc vào X
2
. Nếu X tăng hoặc giảm theo thời gian, u
t
cũng sẽ biểu hiện chiều hướng như
vậy, cho thấy sự tự tương quan.
Sai số có hệ thống trong đo lường cũng gây nên sự tự tương quan. Ví dụ, giả sử một công
ty đang cập nhật số liệu hàng hóa tồn kho trong một thời đoạn cho trước. Nếu có một sai sót có
tính hệ thống xảy ra trong cách đo lường, dự trữ tồn kho tích lũy sẽ phản ánh các sai số đo
lường tích lũy. Các sai số này sẽ cho thấy như là sự tương quan chuỗi.
Một ví dụ của tương quan chuỗi, xét sự tiêu thụ điện theo các giờ khác nhau trong ngày.
Bởi vì dạng thay đổi nhiệt độ là tương tự giữa các thời đoạn liên tiếp, ta có thể kỳ vọng dạng

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 2 Thục Đoan/Hào Thi
tiêu thụ là tương quan giữa các thời đoạn lân cận. Nếu mô hình không được đặc trưng một cách
thích hợp, tác động này có thể để lộ sự tương quan cao giữa các sai số từ các thời đoạn gần kề.
Một ví dụ khác của tương quan chuỗi được tìm thấy trong dữ liệu thò trường chứng khoán. Giá
của một chứng khoán đặc biệt nào đó hoặc một chỉ số thò trường chứng khoán tại thời điểm
đóng cửa của những ngày liên tiếp hoặc trong những giờ liên tiếp có thể tương quan theo chuỗi.

} VÍ DỤ 9.1
DATA6-6 có dữ liệu hàng năm về dân số nông trại theo phần trăm tổng dân số tại Mỹ. Hình
9.1 là đồ thò của dân số nông trại và giá trò phù hợp thu được từ xu hướng thời gian tuyến tính
của dạng hàm FARMPOP = α + β TIME + u, trong đó TIME là t từ 1 đến 44. Phần Máy Tính
Thực Hành 9.1 có các hướng dẫn để chạy lại ví dụ này. Từ biểu đồ ta lưu ý rằng trong những
thời đoạn ban đầu thì các giá trò thực tế nằm phía trên đường bình phương tối thiểu, trong
những thời đoạn giữa các điểm phân tán tụ họp ở phía dưới đường thẳng, và trong các thời
đoạn sau cùng chúng lại nhất quán nằm phía trên đường thẳng. Do đó ta kỳ vọng sự tương
quan cao giữa các sai số của các thời đoạn liên tiếp và gần kề nhau, như vậy vi phạm giả thiết
độc lập chuỗi. Thực tế, hệ số tương quan giữa u
t
và u
t-1
là 0,97. Một phương cách hữu dụng để

nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi là biểu đồ phần dư. Đây đơn giản là một đồ thò của
các số dư ước lượng u
t
theo thời gian t, Hình 9.2 minh họa biểu đồ số dư này cho trường hợp
dân số nông trại. Ta quan sát thấy một xu hướng rõ ràng các phần dư liên tiếp tụ tập về một
phía của đường thẳng số không hoặc phía kia. Đây là một dấu hiệu theo dạng đồ thò cho thấy
sự có mặt của tự tương quan. Nếu u
t
là độc lập, sự tụ họp này có thể sẽ không xảy ra.


} Hình 9.1 Minh Họa của Tự Tương Quan
















0 5 10 15 20 25 30 35 40 45
18

16
14
12
10
8
6
4
2
0
Time
Farmpop
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 3 Thục Đoan/Hào Thi
} Hình 9.2 Minh Họa của Biểu Đồ Phần Dư

Từ sự thảo luận và các ví dụ này rõ ràng sự tự tương quan thực sự vi phạm Giả thiết 3.6.
Bây giờ ta tiếp tục thảo luận các hệ quả khi bỏ qua sự tự tương quan, trình bày các kiểm đònh
thích hợp để nhận dạng sự có mặt của tương quan chuỗi, và cuối cùng thảo luận các phương
pháp ước lượng có thể chọn lựa.

} 9.1 Tương Quan Chuỗi Bậc Nhất

Đầu tiên, ta xét trường hợp đặc biệt nhất của tương quan chuỗi gọi là tương quan chuỗi bậc
nhất. Mặc dù ta dùng mô hình hồi qui tuyến tính đơn để khảo sát các vấn đề, tất cả kết quả
cũng khái quát hóa cho trường hợp hồi qui bội. Nếu tương quan chuỗi tồn tại, thì Cov(u
t
, u
s
) ≠
0 với t ≠ s, nghóa là, sai số cho thời đoạn t là tương quan với sai số cho thời đoạn s. Giả thiết
của tự tương quan bậc nhất được phát biểu chính thức như sau:

GIẢ THIẾT 9.1

Y
t
= α + βX
t

+ u
t
(9.1)

u
t
= ρu
t-1
+ ε
t
–1 < ρ < 1 (9.2)

Vậy sai số u
t
quan hệ với sai số của thời đoạn trước (u
t-1
), một số hạng sai số mới (ε
t
), và
một thông số mới ρ, ρ phải có trò tuyệt đối nhỏ hơn 1, nếu không, tác động bùng nổ có thể xảy
ra. Bởi vì ρ là hệ số của số hạng sai số trễ một thời đoạn, được gọi là hệ số tự tương quan bậc
nhất. Quá trình được mô tả bởi Phương trình (9.2) được gọi là quá trình tự hồi qui bậc nhất,
được biết đến phổ biến hơn là AR(1). Sau này trong chương này (Phần 9.5) ta xét các quá
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng

Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 4 Thục Đoan/Hào Thi
trình tự hồi qui bậc cao hơn. Các sai số mới ε
t
được giả thiết để thỏa mãn các điều kiện sau
đây:

GIẢ THIẾT 9.2

Các sai số ε
t
tuân theo phân phối một cách độc lập và đồng nhất với trò trung bình là 0 và
phương sai không đổi sao cho E(ε
t
) = 0, E(ε
2
t
) = σ
2
ε
< ∞, và E(ε
t
ε
t-s
) = 0 với s ≠ 0.

Vậy các số hạng sai số mới được giả thiết để có cùng tính chất với các tính chất mà thủ
tục OLS giả thiết u
t

phải có. Trong tài liệu chuỗi thời gian, một chuỗi tuân theo Giả thiết 9.2
được gọi là chuỗi có tính nhiễu trắng với trò trung bình là 0. Bởi vì u
t
phụ thuộc vào u
t-1
, ta có
thể kỳ vọng là chúng tương quan. Lưu ý rằng u
t
không phụ thuộc trực tiếp vào u
t-2
; tuy nhiên,
lại phụ thuộc gián tiếp qua u
t-1
bởi vì u
t-1
phụ thuộc trực tiếp vào u
t-2
. Vậy, u
t
tương quan với tất
cả sai số quá khứ. Nếu đồng phương sai là dương, thì có tự tương quan dương, và khi đồng
phương sai âm, ta có tự tương quan âm. Trong Phụ lục Phần 9.A.2 cho thấy Cov(u
t
, u
t-1
) = σ
2
ρ
s
,

với s ≥ 0.

} 9.2 Các Hệ Quả khi Bỏ Qua Tương Quan Chuỗi

Trong Chương 3 ta đã chứng minh rằng theo Giả thiết 3.3 và 3.4, (nghóa là u
t
có trò trung bình
là 0 và không tương quan với X
t
), các ước lượng OLS là không thiên lệch và nhất quán. Vì sự
chứng minh các tính chất này không phụ thuộc vào Giả thiết 3.6, giả thiết bò vi phạm bởi sự có
mặt của tự tương quan, các ước lượng OLS (và các dự báo dựa trên chúng) là không thiên lệch
và nhất quán ngay cả khi các số hạng sai số tương quan theo chuỗi. Vấn đề là sự hiệu quả của
các ước lượng. Trong chứng minh đònh lý Gauss-Markov đã thiết lập sự hiệu quả (Phần 3.A.4),
một trong các bước liên quan việc cực tiểu phương sai của tổ hợp tuyến tính ∑a
t
u
t
:


( )
∑∑∑∑
≠
+σ=
st
stst
22
ttt
)u,u(CovaaauaVar (9.3)

trong đó tổng kép là theo mọi t và s có giá trò khác nhau. Nếu Cov(u
t
, u
s
) ≠ 0, số hạng thứ hai
bên tay phải sẽ không triệt tiêu. Do vậy, cực tiểu ∑a
t
2
σ
2
(sẽ đưa ra các phương trình chuẩn
OLS) không tương đương với việc cực tiểu Phương trình (9.3). Vì lý do này, ước lượng không
thiên lệch tuyến tính tốt nhất (BLUE) cực tiểu phương trình (9.3) sẽ không giống như ước
lượng OLS. Nói cách khác, ước lượng OLS không phải BLUE và do vậy không hiệu quả. Vậy,
hệ quả khi bỏ qua sự tự tương quan giống như khi bỏ qua phương sai của sai số thay đổi; nghóa
là các dự báo và ước lượng là không thiên lệch và nhất quán nhưng không hiệu quả. Tuy nhiên,
có một điều nên biết trước. Nếu các biến X có bao gồm một biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ
như Y
t-1
thì tương quan chuỗi sẽ cho ra các ước lượng OLS không nhất quán. Điều này được
chứng minh trong chương kế tiếp.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 5 Thục Đoan/Hào Thi
Ta có thể cho thấy rằng nếu tương quan chuỗi trong u
t
là dương và biến độc lập X
t
tăng
lên theo thời gian (trường hợp thường thấy), thì phương sai phần dư ước lượng (
2
ˆ
σ
) sẽ là một
ước lượng quá thấp và giá trò của R
2
sẽ là một ước lượng quá cao. Nói cách khác, độ thích hợp
sẽ bò phóng đại và các sai số chuẩn ước lượng sẽ nhỏ hơn các sai số chuẩn thực sự. Các điểm
này được minh họa trong Hình 9.3, một biểu đồ phân tán tiêu biểu, với sự trợ giúp của mô hình
hồi qui đơn. Đường đậm là đường hồi qui “thực”
α
+
β
X. Giả sử có tự tương quan dương; nghóa
là, đồng phương sai giữa hai số hạng nhiễu ngẫu nhiên liên tiếp là dương. Giả sử thêm rằng
điểm phân tán đầu tiên (X
1
, Y
1
) nằm phía trên đường hồi qui thực. Điều này nghóa là u
1
sẽ

dương. Bởi vì u
2
và u
1
là tương quan dương, u
2
có thể dương, làm cho (X
2
, Y
2
) cũng nằm phía
trên đường thẳng. Do đó, một vài điểm phân tán đầu tiên có thể nằm phía trên đường hồi qui
thực. Giả sử một trong các điểm phân tán ngẫu nhiên nằm phía dưới đường hồi qui thực bởi do
bản chất ngẫu nhiên của các số hạng u. Như vậy một vài điểm kế tiếp cũng có thể nằm phía
dưới đường hồi qui thực.

} Hình 9.3 Ước Lượng Quá Thấp của Phương Sai Phần Dư

Bởi vì thủ tục bình phương tối thiểu làm cực tiểu tổng bình phương các độ lệch, đường
“thích hợp” sẽ trông như đường đứt nét. Phương sai thực của các sai số được xác đònh bởi độ
lệch của (X
t
, Y
t
) so với đường hồi qui thực, rõ ràng sẽ lớn hơn phương sai phần dư ước lượng,
được tính từ các độ lệch xung quanh đường thích hợp. Do đó, tổng bình phương sai số tính toán
(ESS) sẽ nhỏ hơn giá trò thực, và R
2
sẽ lớn hơn giá trò thực.
Trong trường hợp tổng quát, các phương sai của các hệ số hồi qui sẽ bò thiên lệch. Để
biết thêm phân tích chi tiết bản chất của thiên lệch, bạn đọc có quan tâm nên tham khảo Phần
8.3 sách của Kmenta (1986).

Đường “thực”
(“true” line)
Đường “thích hợp”
(“fitted” line)
Y
X
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 6 Thục Đoan/Hào Thi
Tác Động Lên các Kiểm Đònh các Giả Thuyết

Chúng ta vừa biện luận rằng trong trường hợp thông thường khi mà tương quan chuỗi là dương
và biến độc lập tăng lên theo thời gian, các sai số chuẩn ước lượng nhỏ hơn các sai số thực, và
do đó sẽ là ước lượng quá thấp. Điều này có nghóa là các trò thống kê t sẽ là các ước lượng quá
cao, và do vậy một hệ số hồi qui có vẻ có ý nghóa nhưng thực tế có thể là không. Các phương
sai ước lượng của các thông số sẽ thiên lệch và không nhất quán. Vì vậy, các kiểm đònh t và F
không còn hợp lệ.

Tác Động Lên Dự Báo

Mặc dù các dự báo sẽ không thiên lệch (bởi vì các ước lượng không thiên lệch), nhưng chúng
không hiệu quả với các phương sai lớn hơn. Bằng cách lưu ý đến tương quan chuỗi trong các
phần dư, có thể sẽ phát ra các dự báo tốt hơn các dự báo phát ra theo thủ tục OLS. Điều này
được chứng minh cho cấu trúc sai số của quá trình tự hồi qui bậc nhất AR(1) được đònh rõ trong
Phương trình (9.2).
Giả sử ta bỏ qua Phương trình (9.2) và thu được các ước lượng OLS
α
ˆ
và
β
ˆ
. Ta đã thấy
trong Phần 3.9 rằng dự đoán OLS sẽ là
tt
X

ˆ
ˆ
Y
ˆ
β+α=
. Bởi vì u
t
là ngẫu nhiên, nó không thể dự
đoán; và do vậy ta đặt nó bằng với giá trò trung bình của nó, bằng không. Tuy nhiên, trong
trường hợp của tương quan chuỗi bậc nhất, u
t
có thể dự đoán từ Phương trình (9.2), với điều
kiện
ρ
có thể ước lượng được (gọi là
ρ
ˆ
). Ta có
1tt
u
ˆ
ˆ
u
ˆ
−
ρ=
. Tại thời điểm t, phần dư cho thời
đoạn trước (
1t
u

ˆ
−
) là biết. Do đó, dự đoán AR(1) sẽ là

)X
ˆ
ˆ
Y(
ˆ
X
ˆ
ˆ
u
ˆ
ˆ
X
ˆ
ˆ
Y
~
1t1tt1ttt −−−
β−α−ρ+β+α=ρ+β+α=
(9.4)

tận dụng sự việc
1t1t1t
X
ˆ
ˆ
Yu

ˆ
−−−
β−α−=
. Phương trình (9.4) sử dụng sự có mặt của tương quan
chuỗi để phát ra dự đoán; vậy Y
t
sẽ hiệu quả hơn Y
t
thu được theo thủ tục OLS. Thủ tục ước
lượng
ρ
được mô tả trong Phần 9.3.
Các kết quả thu được trong phần này được tóm tắt trong Tính chất 9.1.


Tính chất 9.1

Nếu tương quan chuỗi giữa các số hạng nhiễu ngẫu nhiên trong mô hình hồi qui bò bỏ qua và
thủ tục OLS được dùng để ước lượng các thông số, thì sẽ có các tính chất sau:

a. Các ước lượng và các dự báo dựa trên chúng sẽ vẫn không thiên lệch và nhất quán. Tuy
nhiên tính chất nhất quán sẽ không còn nếu các biến phụ thuộc có hiệu ứng trễ được gộp
vào xem như các biến giải thích.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng

Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 7 Thục Đoan/Hào Thi
b. Các ước lượng OLS không còn BLUE nữa và sẽ không hiệu quả. Các dự báo cũng sẽ
không hiệu quả.
c. Các phương sai ước lượng của các hệ số hồi qui sẽ thiên lệch và không nhất quán, và do đó
các kiểm đònh các giả thuyết sẽ không còn hợp lệ. Nếu tương quan chuỗi là dương và biến
độc lập X
t
tăng lên theo thời gian, thì các sai số chuẩn sẽ là các ước lượng quá thấp của các
giá trò thực. Điều này có nghóa rằng R
2
tính toán sẽ là một ước lượng quá cao, cho thấy một
sự thích hợp tốt hơn so với tồn tại trên thực tế. Cũng vậy, các trò thống kê t trong trường
hợp như vậy sẽ có khuynh hướng có ý nghóa hơn giá trò thực sự của chúng.


} 9.3 Kiểm Đònh Tương Quan Chuỗi Bậc Nhất

Trong phần này, ta giới hạn trong kiểm đònh tự tương quan bậc nhất. Thủ tục được tổng quát
hóa trong Phần 9.5 cho trường hợp của các bậc cao hơn.

Kiểm đònh Durbin-Watson

Mặc dù biểu đồ phần dư là một phương pháp đồ thò hữu ích để nhận dạng sự có mặt của tương
quan chuỗi, các kiểm đònh chính thức cho tự tương quan vẫn là cần thiết. Trong phần này, ta
trình bày kiểm đònh phổ biến nhất cho tương quan chuỗi bậc nhất, gọi là kiểm đònh Durbin-
Watson (DW) (Durbin and Watson, 1950, 1951). Một kiểm đònh dựa trên phương pháp nhân
tử Lagrange được thảo luận trong Chương 6 và 8 được trình bày trong phần tiếp theo.
Các bước thực hiện kiểm đònh Durbin-Watson cho AR(1) được mô tả cho mô hình hồi qui

bội sau đây:

Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t2
+
β
3
X
t3
+ . . . +
β
k
X
tk
+ u
t
(9.5)
u
t
=
ρ
u

t-1
+
ε
t
-1
<

ρ

<
1

Bước 1 Ước lượng mô hình bởi bình phương tối thiểu thông thường và tính toán các
phần dư
t
u
ˆ
là
tkktttt
XXXXY
βββββ
...
ˆ
−−−−−−
3333221

Bước 2 Tính toán thông kê Durbin-Watson:


∑

∑
=
=
=
=
−
−
=
nt
1t
2
t
2
nt
2t
1tt
u
ˆ
)u
ˆ
u
ˆ
(
d
(9.6)

sau này sẽ cho thấy có giá trò trong khoảng từ 0 đến 4. Phân phối chính xác của
d phụ thuộc vào các quan sát trên các biến X. Durbin và Watson đã cho thấy
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 8 Thục Đoan/Hào Thi
rằng phân phối của d bò giới hạn bởi 2 phân phối. Các phân phối này được dùng
để xây dựng các vùng giới hạn cho kiểm đònh Durbin-Watson.
Bước 3a Để kiểm đònh H
0
:
ρ
= 0 đối lại
ρ

>
0 (kiểm đònh một phía), tìm trong Bảng A.5,
Phụ lục A, các giá trò tới hạn cho thống kê Durbin-Watson, và viết các số d
L
và
d
U
. Lưu ý rằng bảng này cho giá trò k
’
, là số các hệ số hồi qui được ước lượng,
ngoại trừ số hạng hằng số. Bác bỏ H
0
nếu d

≤
d
L
. Nếu d
≥
d
U
, ta không thể bác
bỏ H
0
. Nếu d
L

<
d
<
d
U
, kiểm đònh chưa thể kết luận.
Bước 3b Để kiểm đònh tương quan chuỗi âm (nghóa là, cho H
1
:
ρ

<
0), dùng 4 – d. Điều
này được thực hiện khi d lớn hơn 2. Nếu 4 – d
≤
d
L

, ta kết luận rằng có tự tương
quan âm ý nghóa. Nếu 4 – d
≥
d
U
, ta kết luận rằng không có tự tương quan âm.
Kiểm đònh chưa thể kết luận nếu d
L

<
4 – d
<
d
U
.

Sự chưa thể kết luận của kiểm đònh DW phát sinh từ thực tế rằng phân phối mẫu nhỏ cho
trò thống kê DW d phụ thuộc vào các biến x và d khó tính toán. Để khắc phục điều này, Durbin
và Watson xếp thành bảng các giá trò tới hạn cho các phân phối của các giới hạn đối với d, với
các giá trò khác nhau của kích thước mẫu n và số các hệ số k’, không bao gộp số hạng sai số.
Savin và White (1977) mở rộng kết quả này cho trường hợp của nhiều biến giải thích. Khi
kiểm đònh là chưa thể kết luận, ta có thể thử dùng kiểm đònh nhân tử Lagrande được mô tả tiếp
sau. Các dạng hàm hoặc các thủ tục ước lượng khác có thể được chọn lựa để thử. Vài chương
trình như SHAZAM có tính đến giá trò p có lưu ý đến điều thực tế là phân phối của d phụ thuộc
vào các giá trò của các biến giải thích.
Từ các phần dư ước lượng ta có thể thu được một ước lượng của các hệ số tương quan
chuỗi bậc nhất là


∑

∑
=
=
=
=
−
=ρ
nt
1t
2
t
nt
2t
1tt
u
ˆ
u
ˆ
u
ˆ
ˆ
(9.7)

Ước lượng này xấp xỉ bằng với ước lượng thu được khi hồi qui
t
u
ˆ
theo
1t
u

ˆ
−
mà không có một số
hạng không đổi. Trong Phụ lục 9.A cho thấy rằng trò thống kê DW d xấp xỉ bằng 2(1 -
ρ
ˆ
). Vậy

d
≈
2(1 -
ρ
ˆ
) (9.6a)

Bởi vì
ρ
có thể sắp từ – 1 đến + 1, khoảng giá trò cho d là 0 đến 4. Khi
ρ
bằng 0, d bằng 2. Vậy
thì, một trò thống kê DW có giá trò gần bằng 2 nghóa là không có tương quan chuỗi bậc nhất.
Tự tương quan dương mạnh nghóa là
ρ
gần với +1. Điều này biểu hiện các giá trò thấp của d.
Tương tự, các giá trò của d gần 4 cho biết một sự tương quan chuỗi âm mạnh; nghóa là
ρ
gần
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 9 Thục Đoan/Hào Thi
với –1. Các trạng thái khác nhau có thể có được mô tả trong biểu đồ sau. Giả thuyết không là
H
0
:
ρ
= 0.










Kiểm đònh DW là không hợp lệ nếu vài biến X là hiệu ứng trễ của biến phụ thuộc –
nghóa là, nếu chúng có dạng Y
t-1
, Y
t-2
, . . . . Các bài toán phát sinh bởi các biến có hiệu ứng trễ
được khảo sát trong Chương 10.

} VÍ DỤ 9.2 B

Trong ví dụ dân số nông trại, biểu đồ phần dư được trình bày trong Hình 9.2, trò thống kê DW
là d = 0,056. (Xem Phần Máy Tính Thực Hành 9.1.) Số quan sát là 44 và k’ = 1. Đối với kiểm
đònh một phía, các giá trò giới hạn thu được (theo phép nội suy) từ Bảng 5.A là d
L
= 1,47 và d
U

= 1,56. Vì d
<
d
L
, kiểm đònh này bò bác bỏ tại mức 5 phần trăm. Vì vậy ta kết luận rằng tương
quan chuỗi trong các phần dư có ý nghóa tại mức 5 phần trăm.

} VÍ DỤ 9.3 B

Ví dụ thứ hai, xét Mô hình C trong Bài tập 4.17, liên kết tỷ lệ tử vong do bệnh tim mạch vành
với tiêu thụ thuốc lá tính trên đầu người, tiêu thụ thức ăn béo và dầu tính trên đầu người, tiêu
thụ rượu cất tính trên đầu người, và tiêu thụ bia tính trên đầu người (xem DATA4-7). Trong ví
dụ này, ta có n = 34, k’ = 4, d = 1,485, d
L
= 1,21, và d
U
= 1,728. (xem Phần Máy Tính Thực
Hành 9.2.) Bởi vì d nằm trong khoảng d
L
và d

U
, ta có một kiểm đònh chưa thể kết luận. Vài
chương trình máy tính (ví dụ, SHAZAM) tính toán chính xác giá trò p dựa trên các quan sát của
người sử dụng. Giá trò p là 0,017, là giá trò thấp, và vì vậy ta bác bỏ H
0
:
ρ
= 0 và kết luận rằng
có tự tương quan ý nghóa.
K l

Bác bỏ ρ = 0 Chấp nhận ρ = 0 Bác bỏ ρ = 0
Chưa thể
kết luận
Chưa thể
kết luận
Tự tương quan dương Tự tương quan âm
H
1
: ρ > 0
H
1
: ρ < 0
0 d
L
d
U
2 4 – d
U
4 – d

L
4
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 10 Thục Đoan/Hào Thi
} BÀI TOÁN THỰC HÀNH 9.1

Trong Ví dụ 5.1 của Chương 5 ta đã liên kết lượng nhà mới với các biến như GNP và lãi suất
và đã dùng dữ liệu chuỗi thời gian để ước lượng vài mô hình khác nhau. Dùng kiểm đònh
Durbin-Watson cho các mô hình này để kiểm đònh tương quan chuỗi bậc nhất. Cẩn thận khi
phát biểu các giả thuyết không và giả thuyết ngược lại cũng như các tiêu chuẩn chấp nhận
hoặc bác bỏ giả thuyết không. Dựa trên các kết quả của bạn, bạn có kết luận gì về các tính
chất của các ước lượng OLS thu được trong Chương 5?

Kiểm đònh Durbin-Watson có vài hạn chế làm cho kiểm đònh không hữu dụng trong
nhiều trường hợp. Ví dụ, ta hẳn đã thấy rằng kiểm đònh có thể cho các kết quả không thể kết
luận. Cũng vậy, kiểm đònh là không hợp lệ nếu các biến X bao gồm các biến phụ thuộc có
hiệu ứng trễ (thông tin thêm về điều này trong Chương 10). Thứ ba, kiểm đònh là không thể áp
dụng nếu các sai số tự hồi qui có bậc cao hơn (ví dụ, là 4 trong trường hợp dữ liệu theo quý).
Cuối cùng, nếu số biến giải thích là lớn, giới hạn d
L
và d
U

có thể không sẵn có. Nếu bất cứ
trường hợp nào trong các trường hợp này xảy ra, một lựa chọn khác là kiểm đònh LM được bàn
luận tiếp theo đây, không bò các hạn chế này (tuy nhiên, chắc chắn phải có ít nhất 30 bậc tự
do, bởi vì kiểm đònh LM là kiểm đònh mẫu lớn).

Kiểm Đònh Nhân Tử Lagrange

Kiểm đònh LM mô tả trong Chương 6 hữu dụng trong việc nhận dạng tương quan chuỗi không
chỉ với bậc nhất mà cũng cho cả các bậc cao hơn, nhưng ở đây ta tự hạn chế cho trường hợp
bậc nhất. Trường hợp tổng quát được xét đến trong Phần 9.5.

Để bắt đầu kiểm đònh này, lưu ý rằng Phương trình (9.5) có thể được viết lại là

Y
t
=
β
1
+
β
2
X
t2
+ . . . +
β
k
X
tk
+
ρ

u
t-1
+
ε
t


Do đó kiểm đònh đối với
ρ
= 0 có thể được xử lý như kiểm đònh nhân tử Lagrange (LM) đối với
việc thêm biến u
t-1
(là chưa biết, và do đó ta có thể dùng
1t
u
ˆ
−
để thay vào). Các bước thực hiện
kiểm đònh LM như sau:

Bước 1 Bước này đúng như Bước 1 của kiểm đònh DW; nghóa là ước lượng Phương trình
(9.5) theo OLS và tính toán các phần dư của nó.
Bước 2 Hồi qui
t
u
ˆ
theo một hằng số, X
t2
, . . . , X
tk

và
1t
u
ˆ
−
, dùng n – 1 quan sát từ 2 đến
n. Điều này tương tự như hồi qui phụ trong Bước 4 của Phần 6.14. Kế đến tính
toán LM = (n – 1)R
2
từ hồi qui phụ này. n – 1 được dùng bởi vì số quan sát hiệu
quả là n – 1.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 11 Thục Đoan/Hào Thi
Bước 3 Bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trò bằng không và củng cố giả
thuyết
ρ

≠
0 nếu (n – 1)R
2

>

2
1
χ
(
α
), giá trò
2
1
χ
trong phân phối chi-square với 1
bậc tự do sao cho diện tích vùng bên phải của nó là
α
. Một cách khác, tính toán
giá trò p = Prob(
2
1
χ

>
LM), vùng bên phải của LM trong phân phối
2
1
χ
. Nếu giá
trò p
<

α
, chắc chắn bác bỏ H

0
:
ρ
= 0 và kết luận rằng tự tương quan là có ý
nghóa.

Nếu đã có tương quan chuỗi trong các phần dư, ta có thể kỳ vọng
t
u
ˆ
có quan hệ với
1t
u
ˆ
−
.
Đây là động lực hậu thuẫn hồi qui phụ trong đó
1t
u
ˆ
−
được kể đến cùng với tất cả các biến độc
lập trong mô hình. Lưu ý rằng kiểm đònh LM không có tình trạng không thể kết luận như của
kiểm đònh DW. Tuy nhiên, đó là kiểm đònh mẫu lớn và cần ít nhất 30 bậc tự do để có ý nghóa.

} VÍ DỤ 9.4 B

Trong ví dụ bệnh tim, hồi qui phụ sẽ như sau (xem Phần Máy Tính Thực Hành 9.3):

t

u
ˆ
= 113,628 – 4,675 CIG – 1,579 EDFAT + 0,361 SPIRITS
(1,4) (–1,1) (–1,6) (0,1)

+ 0,207 BEER + 0,259
1t
u
ˆ
−

(0,3) (1,4)

R
2
= 0,137 n = 34 (n-1)R
2
= 4,521

Giá trò chi-square tới hạn là
2
1
χ
(0,05) = 3,841, nhỏ hơn (n-1)R
2
. Cũng vậy, giá trò p cho 4,521
là 0,033. Vậy kiểm đònh LM bác bỏ giả thuyết không của tự tương quan có giá trò bằng không,
trong khi kiểm đònh DW cho kết quả không thể kết luận.
K l

} BÀI TOÁN THỰC HÀNH 9.2
Làm lại Bài Toán Thực Hành 9.1 dùng phương pháp kiểm đònh LM.


} 9.4 Xử Lý Tương Quan Chuỗi

Thay Đổi Dạng Hàm Số
Không có thủ tục ước lượng nào có thể đảm bảo loại bỏ tương quan chuỗi bởi vì bản chất và
nguyên nhân của tự tương quan nói chung chưa biết. Như Hendry và Mizon (1978) đã biện
luận đầy thuyết phục, tương quan chuỗi có thể là triệu chứng của mô hình bò đặc trưng sai hơn
là cấu trúc sai số bò đặc trưng sai. Ví dụ, giả sử rằng quan hệ là bậc hai và đáng ra ta hồi qui Y
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 12 Thục Đoan/Hào Thi
theo X và X
2
. Nếu X tăng hoặc giảm có hệ thống theo thời gian, hồi qui của Y chỉ theo X sẽ
hiển nhiên thể hiện sự tương quan chuỗi. Không có thủ tục ước lượng tinh vi nào có thể hiệu
chỉnh vấn đề mà nó thực sự do đặc trưng sai trong phần xác đònh hơn là trong số hạng sai số.
Giải pháp ở đây là thiết lập lại mô hình có tính đến số hạng bậc hai sao cho không có tương
quan chuỗi xuất hiện. Một cách khác là dùng mô hình log-hai lần. Các vấn đề này được minh
họa trong Ví dụ 9.5. Ứng dụng Phần 9.7 trình bày một ví dụ khác trong đó mô hình đầu tiên
bộc lộ sự tự tương quan, nhưng khi các đặc trưng được cải thiện, tương quan chuỗi không còn

có mặt nữa

} VÍ DỤ 9.5
Sử dụng dữ liệu trong bảng DATA6.6, chúng ta nhận thấy rằng đồ thò biểu diễn số phần trăm
trên tổng số dân số của Mỹ sống nhờ vào ngành nông nghiệp có xu hướng đi xuống và không
tuyến tính từ 1947 đến 1991. Nếu chúng ta làm thích hợp bằng một đường xu hướng tuyến tính
theo thời gian cho tập dữ liệu này, chúng ta có thể kỳ vọng rằng một nhóm các điểm phần dư
nằm liên tiếp nhau biểu hiện mối tương quan chuỗi (xem hình 9.2). Các giá trò ước lượng trên
đường xu hướng tuyến tính được cho như sau (xem Phần Thực Hành Máy Tính 9.4 để biết cách
tính ra các kết quả này):

farmpop
t
= 13,777 – 0,325t d = 0,056

(31,55) (- 19,2)

2
R
= 0,895

Những giá trò trong ngoặc đơn là các trò thống kê t. Lưu ý rằng trò thống kê Durbin –
Watson (DW) rất gần bằng zero, cho thấy mối tương quan chuỗi rất mạnh. Vì lý do này mà trò
thống kê t và đại lượng thích hợp bò làm tăng quá mức. Từ hình 9.1, người ta nhận thấy rằng sẽ
thích hợp hơn nếu xem đây mối quan hệ phi tuyến tính. Đường xu hướng theo thời gian được
thích hợp bằng hàm bậc hai và kết quả được tính ra như sau:

farmpop
t
= 17,026 – 0,749t + 0,00942t

2
d = 0,601

(113,5) (- 48,7) (28,4)

2
R
= 0,995

Mặc dù trò thống kê DW đã tiến đến đến gần giá trò 2 hơn, nhưng nó vẫn cho thấy tính tự tương
quan dương khá mạnh. Phép lấy sai phân bậc nhất giữa các giá trò logarit được tính toán tiếp
theo đây. Cụ thể hơn, chúng ta đặt

gfarmpop
t
= ln(farmpop
t
) – ln(farmpop
t – 1
)
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 13 Thục Đoan/Hào Thi

Lượng này còn được gọi là tỷ lệ tăng trưởng tức thời và có dạng đường tăng trưởng hàm mũ.
Để có được lượng này, chúng ta giả sử rằng hàm Y
t
tăng trưởng theo hàm mũ với Y
t
= Y
0
e
gt
(g
là tỷ lệ tăng trưởng, có thể có dấu âm, biểu thò hàm Y có khuynh hướng suy giảm theo dạng
mũ). Lấy logarit hai vế, chúng ta có

ln(Y
t
) = ln(Y
0
) + gt theo biến thời gian t
ln(Y
t -1
) = ln(Y
0
) + g(t –1) theo biến thời gian (t – 1)
Lấy phương trình thứ nhất trừ đi phương trình thứ hai, ta có

g = ln(Y
t
) – ln(Y
t -1
)

Vì vậy, hiệu số giữa các giá trò logarit trên là tỷ lệ tăng trưởng. Giá trò qua hệ ước lượng đối
với dân số nông nghiệp là (xem bảng 9.2)

gfarmpopt = - 0,064 + 0,00058t d = 2,266
(- 3,9) (0,92)

2
R
= - 0,004

Lưu ý rằng, vì biến phụ thuộc này khác với hai hồi quy trước đây nên giá trò
2
R
là không tương
thích để có thể so sánh với nhau. Trò thống kê DW xấp xỉ bằng 2 và không có chứng cứ nào về
tính tự tương quan bậc nhất (vì d > 2 nên chúng ta sử dụng 4 – d = 1,734). Vì thế, một sự hiệu
chỉnh hợp lý đối với dạng hàm số là có thể loại bỏ tính chất tự tương quan chuỗi biểu kiến.
Điều này có nghóa dạng công thức thứ ba là “tốt nhất”? Câu trả lời phụ thuộc vào ý nghóa của
từ “tốt nhất” là gì? Một nhà nghiên cứu rất quan tâm đến việc dự báo dân số nông nghiệp sẽ
đặt các đánh giá trên cơ sở khả năng dự báo của mô hình. Vấn đề này sẽ được đề cập một cách
hệ thống hơn ở chương 11.

Đặc Trưng Một Cấu Trúc Động và Tổng Quát Hơn

Dễ dàng nhận thấy rằng mô hình với một số hạng sai số tự hồi quy là một trường hợp đặc biệt
của mô hình có cấu trúc động tổng quát hơn cho phần tất đònh (xem tham khảo ở tác giả
Sargan, 1964, và tác giả Hendry và Mizon, 1978). Hãy xem xét mô hình sau đây (thường được
sử dụng trong các bài toán kinh tế học vó mô) về mối quan hệ giữa biến phụ thuộc với giá trò
trễ của chính nó, một biến giải thích, và với độ trễ của nó:

y
t
=
β
0
+
β
1
y
t –1
+
β
2
x
t
+
β
3
x
t –1
+
ε
t

β
1

< 1 (9.8)

Số hạng sai số

ε
t
được giả đònh có giá trò trung bình bằng zero, giá trò phương sai không đổi, và
có tính chất độc lập chuỗi. Phương trình (9.1) có dạng như sau

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 14 Thục Đoan/Hào Thi
y
t
=
α
+
β
x
t
+ u
t
(9.1)

Tìm u
t
theo các biến còn lại và thay thế nó vào phương trình (9.2), chúng ta có

y
t
–
α
–
β
x
t
=
ρ
(y
t –1
–
α
–
β
x
t –1
) +
ε
t


Phương trình có thể viết lại như sau

y
t
=
α

(1 –
ρ
) +
ρ
y
t – 1
+
β
x
t
–
βρ
x
t – 1
+
ε
t
(9.1a)

So sánh giữa phương trình (9.8) và (9.1a), chúng ta thấy rằng

β
0
=
α
(1 –
ρ
),
β
1

=
ρ
,
β
2
=
β
, và
β
3
= –
ρβ


Có thể nhận thấy rằng các tham số thoả mãn giới hạn phi tuyến tính
β
3
+
β
1
β
2
= 0. Nếu giới
hạn này được thoả mãn trong phương trình (9.8) thì mô hình sẽ được rút gọn lại thành mô hình
tónh trong phương trình (9.1) với cấu trúc sai số tự hồi quy trong phương trình (9.2). Phương
trình (9.8) có bốn thông số để ước lượng, trong khi phương trình (9.1) và (9.2) chỉ có ba thông
số chưa biết. Vì thế mà tính tương quan chuỗi là một “sự đơn giản hoá để mang lại sự thuận
tiện chứ không phải là sự khó khăn” như tác giả Hendry và Mizon (1978) đã chỉ ra. Các tác
giả này cùng với tác giả Sargan (1964) đã đề nghò rằng bước đầu tiên là thiết lập mô hình một
cách tổng quát như phương trình (9.8), sau đó kiểm đònh các giới hạn phi tuyến tính lên mô

hình này, và nếu nó được chấp nhận thì hãy làm đơn giản hoá mô hình theo cách tương tự như
phương trình (9.1) và (9.2). Nếu mô hình không thoả mãn giới hạn phi tuyến tính thì giải quyết
bài toán như trong trường hợp mô hình tónh có số hạng sai số tự hồi quy và việc căn cứ trên trò
thống kê Durbin – Watson có ý nghóa có thể dẫn đến các kết quả không chính xác.

Thiết Lập Mô Hình Trong Các Sai Phân Bậc Nhất
Tác giả Granger và Newbold (1974 và 1986) đã nêu lên một số nghi vấn về sự hồi quy giả tạo
có thể có khi một quá trình hồi quy dựa trên nhiều mức biến xu hướng, đặc biệt khi trò thống
kê DW có ý nghóa. Trong việc nghiên cứu kinh tế lượng thực nghiệm, cách thức mà người ta
thường sử dụng để vượt qua vấn đề này là thiết lập một số mô hình theo sai phân bậc nhất,
nghóa là hiệu số giữa giá trò tại mốc thời gian t và t –1. Trong trường hợp này, chúng ta sẽ ước
lượng
∆
y
t
=
β
0
+
β∆
x
t
+
ε
t
, trong đó
∆
y
t
= y

t
– y
t –1
và
∆
x
t
= x
t
– x
t –1
. Tuy nhiên, giải pháp sử
dụng sai phân bậc nhất này không phải lúc nào cũng thích hợp. Để hiểu rõ hơn, hãy lưu ý đến
mô hình sai phân bậc nhất có thể được viết lại như sau:

y
t
= y
t –1
+
β
0
+
β
x
t
–
β
x
t –1

+
ε
t


Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 15 Thục Đoan/Hào Thi
So sánh phương trình trên với phương trình (9.8), chúng ta nhận ra rằng mô hình này
chính là trường hợp đặc biệt khi
β
1
= 1 và
β
2
+
β
3
= 0. Vì thế, một cách tiếp cận khác thường
được sử dụng là kiểm đònh hai giới hạn này trước, và nếu cả hai được chấp nhận thì hãy sử
dụng đặc trưng sai phân bậc nhất.

Những Thủ Tục Ước Lượng

Khi một hàm đã được hiệu chỉnh mà không thể loại bỏ được tính chất tự tương quan, người ta
có thể sử dụng một số thủ tục khác để đưa ra các con số ước lượng những giá trò nhận được từ
phương pháp OLS. Những thủ tục này sẽ được đề cập tiếp theo đây. Tuy nhiên, nên lưu ý rằng
việc “cố đònh” một cách máy móc đối với tính tự tương quan có thể ngầm chứa một số giới hạn
về thuộc tính chuỗi thời gian không nhất quán với dữ liệu của mô hình. Cũng nên lưu ý rằng
các phương pháp này chỉ được áp dụng cho loại dữ liệu chuỗi thời gian. Đối với loại dữ liệu
chéo, người ta có thể tái sắp xếp các giá trò quan sát theo bất cứ hình thái nào và nhận được
một trò thống kê DW chấp nhận được. Tuy nhiên, điều này cũng nói lên rằng thực hiện kiểm
đònh DW cho loại dữ liệu chéo là không có ý nghóa. Vì dữ liệu chuỗi thời gian không thể tái
sắp xếp được nên nhà nghiên cứu cần quan tâm đến mối tương quan chuỗi có thể có giữa
chúng.

Thủ Tục Tính lặp Cochrane – Orcutt
Thủ tục Tính lặp Cochrane – Orcutt (CORC)
(tác giả Cochrane và Orcutt, 1949) yêu cầu có sự
biến đổi mô hình hồi quy (9.5) thành dạng mô hình có thể áp dụng bằng thủ tục OLS. Phương
trình (9.5) được viết lại theo thời đoạn t –1, chúng ta có

Y
t –1
=
β
1
+
β
2
X
(t –1)2
+
β

3
X
(t –1)3
+ … +
β
k
X
(t –1)k
+ u
t –1
(9.5’)

Lấy (9.5) trừ đi (9.5’) sau khi đã nhân từng số hạng của (9.5’) với
ρ
, chúng ta có

Y
t
–
ρ
Y
t –1
=
β
1
(1 –
ρ
) +
β
2

[X
t 2
–
ρ
X
(t –1)2
] +
β
3
[X
t 3
–
ρ
X
(t –1)3
]
+ … +
β
k
[X
t k
–
ρ
X
(t –1)k
] +
ε
t

Với biểu thức u
t
=
ρ
u
t –1
+
ε
t
, phương trình trên có thể viết lại như sau:

t
*
tkk
*
3t3
*
2t2
*
1
*
t
X...XXY ε+β++β+β+β=
(9.9)

Trong đó

*
t
Y

= Y
t
–
ρ
Y
t –1
,
*
1
β
=
β
1
(1 –
ρ
), và
*
ti
X
= X
ti
–
ρ
X
(t – 1)i
với t = 2, 3, …, n và i = 2, …, k

Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 16 Thục Đoan/Hào Thi
Quá trình biến đổi tạo ra biến Y
*
và các biến X
*
còn được gọi là phép lấy sai phân gần
đúng, hay phép lấy sai phân tổng quát.
*
1
β
chỉ là số hạng hằng số mới. Lưu ý rằng số hạng sai
số trong phương trình (9.9) thoả mãn mọi tính chất cần thiết để có thể áp dụng được thủ tục
bình phương tối thiểu. Nếu biết được giá trò của
ρ
, chúng ta có thể áp dụng phương pháp OLS
cho phương trình (9.9) và giá trò ước lượng nhận được là BLUE. Tuy nhiên, giá trò
ρ
chưa biết
nên chúng ta cần phải ước lượng chúng từ mẫu quan sát. Các bước tiến hành thủ tục Cochrane
– Orcutt được trình bày như sau:

Bước 1 Ước lượng phương trình (9.5) bằng phương pháp OLS và tính toán phần dư của nó
t
u

ˆ
.
Bước 2 Ước lượng hệ số tương quan chuỗi bậc nhất (còn gọi là
ρ
ˆ
) từ phương trình (9.7).
Bước 3 Biến đổi các biến như sau:

*
t
Y
= Y
t
–
ρ
ˆ
Y
t –1
,
*
2t
X
= X
t2
–
ρ
ˆ
X
(t – 1)2
, và .v.v.

Lưu ý rằng các biến có dấu hình sao (*) được xác đònh chỉ với t nhận giá trò từ 2 đến n
vì có t –1 số hạng xuất hiện.
Bước 4 Hồi quy
*
t
Y
theo hằng số, theo
*
2t
X
,
*
3t
X
, …,
*
tk
X
và tính giá trò ước lượng của phương
trình (9.9) được biến đổi bằng phương pháp OLS.
Bước 5 Sử dụng những giá trò ước lượng này cho các giá trò
β
trong phương trình (9.5) và tính
được một tập mới các giá trò ước lượng u
t
. Sau đó, quay tính lặp bước 2 với những giá
trò mới này cho đến khi có thể áp dụng được quy tắc dừng tiếp theo đây.
Bước 6 Thủ tục tính lặp trên đây có thể dừng lại khi hiệu số giá trò ước lượng của
ρ

từ hai kết
quả liên tiếp tính được không lớn hơn giá trò chọn trước nào đó, như 0,001 chẳng hạn.
Giá trò
ρ
ˆ
cuối cùng này sẽ được dùng để tính giá trò ước lượng CORC từ phương trình
(9.9).

Vì số hạng hằng số cũng được nhân với 1 –
ρ
ˆ
nên giá trò
1
ˆ
β
nhận được sẽ bằng
*
1
ˆ
β
/ (1
–
ρ
ˆ
), với
*
1
ˆ
β
là số hạng hằng số ước lượng trong phương trình biến đổi (9.9).

Hầu hết những chương trình hồi quy tiêu chuẩn thực hiện tất cả các bước thủ tục trên bằng các
lệnh đơn giản, và giải phóng người sử dụng khỏi công việc tính toán tính lặp nặng nhọc. Hầu
hết các chương trình đều xuất ra kết quả số hạng hằng số của mô hình ban đầu (là
1
ˆ
β
), vì vậy
mà người sử dụng không cần thiết (và không nên) chia nó cho (1 –
ρ
ˆ
). Người sử dụng cũng
nên cẩn thận khi xác đònh kết quả R
2
, tổng bình phương sai số, và .v.v. Nếu chúng có liên quan
đến phương trình (9.9) thì những giá trò này không thể so sánh với giá trò ước lượng bằng
phương pháp OLS tương ứng vì vế bên trái của hai phương trình (9.5) và (9.9) khá khác nhau.
Tương tự, trò thống kê Durbin – Watson nhận được thường liên quan đến phần dư của phương
trình (9.9) mà không liên quan đến phương trình (9.5). Kiểm đònh DW về vấn đề này sẽ kiểm
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 17 Thục Đoan/Hào Thi
đònh mối tương quan chuỗi bậc hai cho phần dư

t
u
ˆ
vì ngầm đònh dưới mô hình này là quá trình
tự hồi quy bậc nhất AR(1) theo
ε
t
.
Thủ tục Cochrange – Orcutt có thể được chứng minh hội tụ về giá trò ước lượng thích
hợp cực đại. Sự hội tụ này này có tính chất nhất quán và tiến đến tiệm cận. Thủ tục tính lặp
thường hội tụ nhanh và không cần lặp lại nhiều hơn ba đến sáu lần. Nên lưu ý rằng số lần quan
sát dùng để ước lượng trong phương trình (9.9) chỉ là n –1 vì chúng ta bỏ qua lần quan sát đầu
tiên. Với k thông số thì bậc tự do là n – k – 1. Kiểm đònh giả thuyết có thể được thực hiện theo
cách thông thường. Có thể sử dụng kết quả cho lần quan sát đầu tiên bằng phép biến đổi sau
đây đối với t =1 (các điều chỉnh trong bước này được trình bày trong phần phụ lục 9.A):

*
1
Y
= Y
t
(1 –
ρ
2
)
1/2
và
*
i1
X

= X
1i
(1 –
ρ
2
)
1/2
với i = 1
→
k


} VÍ DỤ 9.6
Tính tự tương quan của mẫu quan sát bệnh tim trình bày trong ví dụ 9.4 được chứng minh là có
ý nghóa (theo kết quả của kiểm đònh LM), và vì thế chúng ta sẽ tái ước lượng mô hình bằng
kiểm đònh CORC. Phương trình ước lượng được cho ở đây là kết quả tính toán của chương trình
GRETL, bỏ qua lần quan sát đầu tiên (xem thêm trong phần thực hành máy tính 9.5). Vì các
chương trình khác nhau về tiêu chuẩn hội tụ nên kết quả sẽ khác nhau ở một vài điểm giữa các
chương trình với nhau. Tuy nhiên, sự khác nhau này không nên quá cách biệt.

CHD = 341,023 + 2,903 CIG + 0,373 EDFAT + 12,045 SPIRITS – 2,206 BEER
(4,2) (0,6) (0,4) (1,83) (- 2,5)

Các giá trò trong ngoặc đơn là các trò thống kê t. Số vòng lặp cần thiết là 12 và giá trò
ρ
ˆ

cuối cùng là 0,613. Chúng ta có thể thực hiện một kiểm đònh DW đối với các giá trò ước lượng
ε
từ phương trình biến đổi (9.9) để kiểm tra xem các phần dư

ε
có tính chất tự tương quan bậc
nhất hay không. Giá trò d của phương trình trong kiểm đònh DW là 2,232. Từ bảng A.5, chúng
ta có (với n = 33 và k’ = 4) d
L
= 1,19 và d
U
= 1,73. Vì hiệu số 4 – d = 1,771 > d
U
nên chúng ta
có thể kết luận rằng các phần dư
ε
không có tương quan chuỗi.


Thủ Tục Tìm Kiếm Hildreth – Lu
Một giải pháp thường được dùng để thay thế thủ tục Cochrange – Orcutt là
thủ tục tìm kiếm
Hildrth – Lu (HILU)
(của tác giả Hildreth – Lu, 1960). Thủ tục này bao gồm các bước sau:

Bước 1 Chọn một giá trò
ρ
(gọi là
ρ
1
). Sử dụng giá trò này, biến đổi các biến và ước lượng
phương trình (9.9) bằng thủ tục OLS.
Chương trình Giảng dạy Kinh tế Fulbright
Niên khóa 2003-2004

Phương pháp phân tích
Bài đọc

Nhập môn kinh tế lượng với các ứng dụng
Chương 9: Tương quan chuỗi

Ramu Ramanathan 18 Thục Đoan/Hào Thi
Bước 2 Từ các giá trò ước lượng này, tính
t
ˆ
ε
từ phương trình (9.9) và tính ra giá trò tổng bình
phương sai số tương ứng. Gọi giá trò này là ESS(
ρ
1
). Tiếp tục chọn một giá trò khác
nữa cho
ρ
(gọi là
ρ
2
) và lặp lại bước 1 và 2.
Bước 3 Bằng cách thay đổi giá trò của
ρ
từ – 1 đến + 1 theo với bước nhảy có tính hệ thống
nào đó (như với bước nhảy là 0,05 hoặc 0,01), chúng ta sẽ nhận được một chuỗi các
giá trò ESS(
ρ
). Hãy chọn

ρ
nào có giá trò ESS nhỏ nhất. Đây là giá trò
ρ
cuối cùng có
thể cực tiểu hoá một cách bao quát tổng bình phương sai số của mô hình biến đổi.
Phương trình (9.9) ước lượng với giá trò
ρ
cuối cùng này là kết quả tối ưu.

} VÍ DỤ 9.7
Tài liệu gốc của tác giả Hildreth – Lu trình bày gần hai tá ví dụ về ước lượng bằng thủ tục
HILU. Chúng ta sẽ thực hành lại một trong những ví dụ đó. Dữ liệu DATA9-1 trong phần phụ
lục D trình bày số liệu về nhu cầu kem. Các số liệu mẫu quan sát được thực hiện theo từng
thời đoạn 4 tuần từ ngày 18/03/1951 đến ngày 11/07/1953. Đònh nghóa các biến được cho như
sau:

DEMAND = Nhu cầu tiêu thụ kem tính trên mỗi đầu người, đơn vò tính bằng panh (1 panh =
0.58 lít)
PRICE = Giá mỗi panh kem tính bằng dollar
INCOME = Thu nhập hằng tuần của gia đình tính bằng dollar
TEMP = Nhiệt độ trung bình tính bằng độ Fahrenheit

Bảng 9.1 trình bày các hệ số hồi quy ước lượng và tổng bình phương sai số của phương
trình (9.9) của mỗi bước trong thủ tục tìm kiếm. Hàng tương ứng với
ρ
= 0 trình bày các giá trò
ước lượng bằng thủ tục OLS (tương ứng mẫu quan sát 2 đến 30). Thủ tục HILU cực tiểu hoá
ESS(
ρ
) khi

ρ
= 0,41. Lưu ý rằng các giá trò ước lượng theo OLS và HILU khác nhau một cách
đáng kể.
Thủ tục CORC cũng được áp dụng cho những dữ liệu này. Thủ tục này chỉ cần hai vòng
lặp để có thể tiến tới hội tụ. Giá trò
ρ
ˆ
sau cùng là 0,40083, và giá trò ước lượng bằng thủ tục
CORC và trò thống kê t được tính toán như sau (xem phần thực hành máy tính 9.6 để thực tập
tính toán lại):

DEMAND = 0,157 – 0,892 PRICE + 0,0032 INCOME + 0,00356 TEMP

(0,5) (–1,1) (2,07) (6,42)

Những giá trò ước lượng này khá gần với trò ước lượng theo thủ tục HILU. Trò thống kê DW
cho phương trình (9.9) là 1,55. Với n = 29 và k’ = 3, ta có d
L
= 1,198 và d
U
= 1,65. Có thể
chứng minh rằng kiểm đònh DW đã không bác bỏ giả thuyết không về tương quan chuỗi có giá
trò bằng không của các phần dư trong phương trình (9.9). Đặc biệt, kiểm đònh này vẫn chưa thể
kết luận được.